Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A sugárzási korrekciók a külső térben kötött elektronok energiaszintjeinek eltolásához vezetnek (ún. Lamb-eltolódás ). A legérdekesebb ilyen eset a hidrogénatom (vagy a hidrogénatomhoz hasonló ion) szintjeinek eltolódása .[432]
Az energiaszintek korrekcióinak következetes kiszámítása a külső térben levő elektron pontos propagátorának (106. §) felhasználásán alapul. De ha
akkor kényelmesebb egyszerűbb módszert alkalmazni, amelyben a külső teret
perturbációként tekintjük.
A külső tér szerinti első közelítésben az állandó elektromos tér és az elektron közti kölcsönhatás sugárzási korrekcióját a (118,2) alatti két diagram ábrázolja, amelyeket már vizsgáltunk a külső téren való elektronszórás esetében; az egyik esetről a másikra való áttérés csupán egyszerű átfogalmazást igényel (l. alább).
Könnyű azonban belátni, hogy így a szinteltolódásnak csak azt a részét kapjuk meg, amely az elég nagy frekvenciájú virtuális fotonoktól származik. Valóban, tekintsük az elektron szórási amplitúdójához járuló (a külső tér szerinti) következő sugárzási korrekciót :
[ (118,2)b-től eltérően ez a gráf két csúcsában kapcsolódik a külső térhez].
A szerinti integrálásnak abban a tartományában, ahol
elég nagy, ez a korrekció egy további
tényezőt tartalmaz, és így lényegtelen. De az, hogy a gráfba egy
második, a külső térhez tartozó csúcsot írtunk, azt eredményezi, hogy megjelenik egy
újabb elektronpropagátor,
. Kis
értékek (és nemrelativisztikus
,
külső vonalak) esetén a virtuális elektronnak azok az
impulzusai, amelyek közel vannak a
propagátor pólusához, lényeges járulékot adnak. Az így fellépő kicsiny
nevező kompenzálja az előzőekhez képest megjelenő kis
tényezőt. Nyilvánvalóan ugyanez vonatkozik a külső tér szerinti
közelítés tetszőleges rendjére. Más szóval, a virtuális fotonok kis impulzusai esetén a
külső teret pontosan kell figyelembe venni.
A keresett szinteltolódást[433] bontsuk két részre:
amelyek megfelelően az I) , II)
frekvenciájú virtuális fotonokkal való kölcsönhatásból származnak. A
-t úgy választjuk meg, hogy
teljesüljön ( az atomban levő elektron kötési energiájának nagyságrendje). Ekkor az
I tartományban a mag terét elegendő csupán első rendben tekinteni. A II tartományban a
mag terét pontosan kell figyelembe venni, viszont (a
feltétel miatt) a feladatot nemrelativisztikus közelítésben oldhatjuk
meg, nemcsak az elektronra, hanem minden közbensőállapotra nézve is. A (120,4) feltétel mellett a két számítási módszer
érvényességi tartományai átfedik egymást, ami lehetővé teszi az energiaszint két
korrekciójának pontos „összeillesztését”.
Tekintsük először az I tartományt. Ebben felhasználhatjuk a szórásamplitúdóhoz
tartozó (119,1) korrekciót, amelyből azonban
előzőleg le kell vonni a II tartományhoz tartozó virtuális fotonok járulékát. Ezek a
fotonok csak kis járulékot adnak a alakfaktorhoz, ezért ezt nem kell megváltoztatnunk. Az
függvényhez a kis frekvenciájú fotonok az infravörös
divergencia miatt adnak nagy járulékot. Ezért a (119,1) képletben
helyébe az
függvényt kell írni, amelyből kizártuk a
tartományt.
Ezt a kizárást közvetlenül is elvégezhetnénk úgy, hogy -ből levonjuk a
tartományra vett integrált. A keresett eredményt azonban a 119. § eredményeit felhasználva, új számítások
nélkül is megkaphatjuk.
E célból vegyük észre, hogy a frekvenciák kizárását az infravörös levágás egy lehetséges módjának is tekinthetjük.
Természetesen a szórási hatáskeresztmetszethez tartozó korrekció nem függhet a
levágás módjától, feltéve, hogy ugyanígy vágjuk le a valódi lágy fotonok
emissziójának valószínűségét is, azaz a „rugalmas”
szórás fogalmába tartozónak csak
és
közé eső frekvenciájú fotonok emisszióját tekintjük. Ha
, akkor feleslegessé válik a fotonemisszió figyelembevétele. Innen
látszik, hogy
-t megkaphatjuk a 119. §-ban
meghatározott
-ból, ha
helyett
-t írunk. Speciálisan, a nemrelativisztikus esetben
Hozzuk olyan alakra a szórási amplitúdó (119,1) sugárzási korrekcióját , hogy azt a külső térben levő elektron effektív potenciális energiájához tartozó megfelelő korrekció eredményeként lehessen tekinteni. Összehasonlítva a (119,1)
amplitúdót a (118,6)-beli
Born-közelítéssel , látjuk, hogy a fenti korrekció szerepét (impulzusreprezentációban) az
függvény veszi át. Nemrelativisztikus esetben, -t és
-t (110,14)-ből és (114,20)-ból véve,
helyébe pedig (120,5)-ből
-t helyettesítve, azt kapjuk, hogy
Az ennek megfelelő függvény koordinátareprezentációban[434]
A energiaszint-eltolódást
megkapjuk, ha
-et átlagoljuk az atomban kötött elektron perturbálatlan
hullámfüggvénye szerint.[435]
Az első tagban az átlagoláskor elég az elektron nemrelativisztikus
hullámfüggvényét használni. A második tagban ez a közelítés nem elegendő: a
nemrelativisztikus függvényeket tartalmazó nulladik közelítés eltűnik, mivel a
mátrixoknak nincs diagonális mátrixelemük. Ezért itt a 33. §-ban levezetett
közelítő relativisztikus hullámfüggvénnyel kell számolni, megtartva
benne a (standard reprezentációban) kis
komponenseket. Ekkor
és (33,4)-ből a
kifejezést behelyettesítve, azt kapjuk, hogy
[az integrál átalakításakor felhasználtuk a (33,5) azonosságot, és parciálisan integráltunk].
Mivel , így
és ezért
ahol a pálya-impulzusmomentum operátora. Végül, a fenti kifejezéseket
összegyűjtve és (120,9)-be helyettesítve, azt
kapjuk, hogy
ahol már mindkét tagban a nemrelativisztikus hullámfüggvény szerint
kellátlagolni.
A szinteltolódás második részének kiszámítására olyan módszert alkalmazunk, amely végső soron az unitaritási feltételen alapul.
Mivel gerjesztett állapotban az atom egy fotont sugározhat ki, ez az állapot
kvázistacionáris (nem pedig szigorúan stacionáris). Ilyen állapothoz komplex
energiaértéket rendelhetünk, amelynek képzetes része , ahol
az állapot elbomlásának valószínűsége, vagyis az adott esetben a
foton kisugárzásának teljes valószínűsége (l. III. 134. §).
Nemrelativisztikus közelítésben a sugárzás dipólus jellegű és (45,7) alapján
(ahol az összegezést az összes alsóbb energiaszintre,
kell elvégezni), vagy ezzel ekvivalens alakban:
Hogy valós részét meghatározzuk,
-et komplex változóként kell kezelnünk, és analitikus folytatást
kell elvégeznünk. Ezt megtehetjük úgy, hogy a
-függvényt pólusból eredőnek tekintjük. A pólus kikerülésének
szabályát , mint általában, úgy
kapjuk meg, hogy a virtuális részecskék tömegéhez kis képzetes részt adunk hozzá; az
adott esetben
az atomi elektron megfelelő közbenső állapotának tömege. Itt ezt a
szerepet az
kifejezés játssza, így az
helyettesítésre van szükség, amiből következik a
összefüggés [vö. (108,3)].
(120,12)-t (120,11)-be helyettesítve:
A keresett analitikus kifejezést megkapjuk, ha az jelet egyszerűen elhagyjuk. Nekünk azonban
-nek csak az a része kell, amely a II tartomány járulékából ered:
. Ehhez elég az integrál felső határát
-val helyettesíteni. Az integrálást elvégezve az eredmény:
[a (120,4) egyenlőtlenség miatt a
felső határon az különbség
-hoz képest elhanyagolható, ezért elhagytuk. A továbbiakban az
energiaszint valós részeérdekel csak minket; ezt úgy kapjuk meg, hogy
(120,13)-ban a logaritmus argumentumát
a
kifejezéssel helyettesítjük.
A (120,13) kifejezésben az -t tartalmazó tagot alakítsuk át úgy, hogy a
dipólusmomentum mátrixelemeit a
impulzus és ennek deriváltja,
mátrixelemeivel helyettesítjük:
Itt helyett az elektron operátoralakban felírt
mozgásegyenletének jobb oldalát írva, azt kapjuk, hogy:
így (120,13)-at a következő alakra
hozhatjuk:
Végül, a két részt összeadva, az energiaszint eltolódására a következő végeredményt kapjuk:
(amint annak lennie kellett, a segédmennyiség kiesett).[436]
(120,16)-ban az összes mátrixelemet az atomban
kötött elektron nemrelativisztikus hullámfüggvényeivel kell képezni. Hidrogénatom
(vagy hidrogénatomhoz hasonló ionok) esetén ezek a függvények csak három
kvantumszámtól függnek: az főkvantumszámtól, az
pálya-impulzusmomentumtól és annak
vetületétől (de nem függenek
-től, a teljes impulzusmomentumtól); a megfelelő energiaszintek csak
-től függenek. Vezessük be az
jelölést.[437] Az energiaszintek -nel arányosak, míg az atom jellemző mérete
-tel; így a (120,17) szerint
definiált
mennyiségek nem függenek
-től.[438] Ezeknek a mennyiségeknek Számértéke meghatározható.
Tekintsük továbbá külön az és
eseteket. Az
esetben (120,16) utolsó tagja
eltűnik. A második tagban használjuk fel az
egyenletet, amelynek a mag Coulomb-tere eleget tesz. Innen
[l. (34,3)]. Az első tagban bevezetjük a (120,17) jelölést, és még egyszer felhasználjuk a (120,14) egyenlőséget:
Így az -szintek eltolódására a következő kifejezést kapjuk:
(a szokásos egységekben). Néhány mennyiség számértéke:
A perturbálatlan energiaszintek:; így a sugárzási eltolódás relatív nagysága
Az esetben (120,16)-ban a második
tag tűnik el. A harmadikat a 34. §-ban felsorolt
képletek segítségével számíthatjuk ki; ezzel a taggal megjelenik a
szinteltolódás
-től való függése. Az eredmény:
Tehát a sugárzási korrekció megszünteti az utolsó elfajultságot, amely a
spinpálya kölcsönhatás figyelembevétele után még megmaradt – az adott és
, de különböző
értékekkel rendelkező szintek degenerációját.
, és így (120,18)-(120,20)-ból a hidrogénatom
és
energiaszintjeinek különbségére a következő eredményt kapjuk:
(ennek a különbségnek 1050 frekvencia felel meg).
[432] Elsőnek H. A. Bethe (1947) számolta ki a hidrogénatom szintjeinek
eltolódását logaritmikus pontossággal, nemrelativisztikus meggondolások alapján;
ez a számítás indította meg a kvantumelektrodinamika további fejlődését. A
és
szintek különbségét (a perturbációszámítás első el nem tűnő
rendjében) N. M. Kroll és W. E. Lamb (1949) számították ki pontosan, a szinteltolódás
teljes képletét V. Weisskopf és J. B. French (1949) vezették le.
[433] Ebben a szakaszban az atomban levő elektron energiáját jelöli, amely nem
tartalmazza a nyugalmi energiát. Az
index az atom állapotát meghatározó kvantumszámokra utal.
[434] Hangsúlyozzuk, hogy ez a potenciálhoz tartozó korrekció különbözik a 111. §-ban számítottól. Az utóbbi csak a vákuumpolarizáció [a (118,2)a gráf] járulékát írta le a Coulomb-térhez. A (120,8) már az elektron és a tér kölcsönhatására vonatkozik, és magába foglalja az elektron mozgásának változásával járó hatást is [ (118,2)b gráf].
[435] Szigorúan véve, a 114. §-ban
meghatározott alakfaktorok a két szabad
elektronvéggel () rendelkező vertexoperátorra
vonatkoznak. Az atomi elektron esetében
, egy energiaszint, amely semmilyen kapcsolatban sincs
-vel. Ezt a különbséget azonban az I tartományban
elhanyagolhatjuk.
[436] Az energiaszintek eltolódásának következő rendben való kiszámítása nagyon bonyolult. Az ilyen korrekciók legteljesebb felsorolása és részletes levezetése (a megfelelő bibliográfiával együtt) a következő cikkekben található: G. W. Erickson , D. R. Yennie , Ann. of Physics 35, 271, 447 (1965).