Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az előző szakaszokban az atomi szintek sugárzási eltolódásának kiszámításakor használt módszer nem alkalmazható olyan feladat esetén, mint amilyen a pozitrónium energiaszintjeihez tartozó korrekciók meghatározása. A pozitrónium ugyanis két egyenrangú részecskéből áll, egyik sem tekinthető a külső tér forrásaként a másikhoz képest.
A fenti feladat következetes megoldása azon alapul, hogy a kötött állapotok energiaszintjei a két részecske egymáson való szóródását leíró amplitúdóban pólusként jelennek meg (a tömegközépponti rendszerben az összenergia függvényében vizsgálva). Valóban, a pozitróniumot bármely diszkrét állapotában adott tömegű „közbenső részecskének” tekinthetjük, amelyen keresztül az elektron és a pozitron szórása végbemegy. Minden „egyrészecskés” közbenső állapotnak pólus felel meg a szórási amplitúdóban (természetesen ezek a pólusok a szórt részecskék négyesimpulzusainak nercfizikai tartományába esnek).
(103,17) szerint a pontos szórási
amplitúdót a pontos, négyágú vertexfüggvényből
és a részecskék
polarizációs amplitúdóiból lehet felépíteni. Az utóbbiaknak
nyilvánvalóan nincs közük a pólusos szingularitásokhoz, ezért az egyszerűség kedvéért
elhagyjuk őket, és ehelyett magának a vertexfüggvénynek a pólusairól fogunk beszélni,
vagyis a
függvény pólusairól, ahol a (103,12)
diagram külső vonalait az elektron?pozitron szórásnak megfelelően jelöltük.
Hangsúlyozzuk, hogy a pólusok létezéséről szóló állítás a pontos szórási amplitúdóra vagy a pontos vertexfüggvényre vonatkozik; a perturbációszámítás szerinti sorfejtés egyetlen tagjában sincs pólus. Az utóbbi állítás abból is nyilvánvaló, hogy a tetszőleges közelítésben felírt Feynman-gráfok csak elektron- (és foton-) vonalakat tartalmaznak, de nem az „összetett részecske”, a pozitrónium vonalait. Innen az is következik, hogy a pólus közelében az amplitúdó kiszámításához végteién sok gráfot kell összegeznünk. Vizsgáljuk meg, hogy milyen gráfok tartoznak ide.
A perturbációszámítás első nem eltűnő ( szerint első) közelítésében a (122,1) csúcsrésznek két másodrendű diagram felel meg:
A következő ( szerint második) közelítésben már 10 negyedrendű diagram létezik:
és még 5 diagram, amelyek ezekből a cserével kaphatók meg. Mindezek a gráfok a (122,2) gráfokhoz képest egy további
hatványt tartalmaznak. Megmutatjuk azonban, hogy az
a) gráfban ezt a kis tényezőt ellensúlyozza (kis elektron- és
pozitronimpulzusok esetén) a nevezőben álló kis mennyiség.
Minden mennyiséget a „tömegközépponti rendszerben” fogunk felírni. Mivel azonban a
diagramok végződéseit nem tételezzük fel fizikaiaknak (azaz ), így bár ebben a rendszerben
, viszont
. Így a végek négyesimpulzusai:
A pozitróniumban az elektron és a pozitron kötési
energiája. Ezért a szórási amplitúdó minket érdeklő pólusainak közelében
A (122,4)a gráf járuléka a csúcsrészhez:
A (122,7) integrálban a értékeknek az a tartománya lényeges, amikor mindkét
függvény argumentuma a pólus közelében van. Ebben a tartományban
és
kicsi, és az elektronpropagátorok:
A két kifejezés pólusai a komplex síkon a valós tengely két oldalán helyezkednek el; az
integrálási görbét bezárva, mondjuk a felső félsíkban, a
szerinti integrált a megfelelő pólus reziduumának segítségével
meghatározhatjuk.[440] Eredményül azt kapjuk, hogy
innen pedig (122,6) felhasználásával a
becslést. Ugyanez a nagyságrendje a (122,2)a másodrendű diagram járulékának -hoz [(122,3) első tagja], amivel a
fenti, (122,4)a gráfra vonatkozó állításunkat be is bizonyítottuk. Hasonló a
helyzet a perturbációszámítás bármely további közelítésében.
Ahhoz tehát, hogy a minket érdeklő csúcsrészt a pólusai közelében kiszámítsuk, az
„anomálisan nagy” diagramok végtelen sorát kell összegeznünk, olyan gráfokét, amelyek a
(122,4)a-hoz hasonló belső vonalakat tartalmaznak. Ezekre jellemző, hogy a
és a
végeik közt két részre lehet őket vágni, amelyeket csak két
elektronvonal köt össze egymássa1.[441] Azoknak a gráfoknak a sokaságát, amelyek nem elégítik ki ezt a feltételt,
nevezzük „kompakt” csúcsrésznek , és jelöljük
-mel; mivel ez nem tartalmaz anomálisan nagy gráfokat, ezeket a
mennyiségeket a szokásos perturbációszámítás segítségével ki lehet számítani. Így
-t első közelítésben a (122,2) két
másodrendű diagramja, második közelítésben pedig nyolc negyedrendű diagram [a (122,4)a-b kivételével mind] határozza meg.
A nemkompakt csúcsrészeket rendszerezhetjük a bennük levő „kettős
kötések” száma szerint. Így a teljes -t végtelen sor alakjában állíthatjuk elő:
ahol minden belső vastag vonal a pontos propagátort jelenti (az ilyen alakú sort gyakran létrasornak nevezik). Hogy összegezhessük ezt a sort, „szorozzuk” be balról egy
-val:[442]
![]() |
Ezt a sort az eredeti (122,9) sorral összehasonlítva, látjuk, hogy
Ez a grafikus egyenlőség a következő integrálegyenlettel ekvivalens:
A és
függvényeket perturbációszámítás segítségével határozzuk meg, ezután
pedig a (122,11) egyenlet elvben lehetőséget ad
arra, hogy
-t tetszőleges pontossággal kiszámítsuk.
Az energiaszintek meghatározásához
elegendő a függvény pólusainak helyzetét ismerni. A pólusok közelében
, így (122,11) jobb oldalának első
tagját [ (122,10) jobb oldalán a második gráf] el
lehet hagyni, és ekkor az egyenlet
-ra nézve homogénné válik. Ebben az egyenletben a
változók, akárcsak a
indexek csupán paraméterek, az ezektől való függés tetszőleges marad
(az egyenlet nem határozza meg).[443] Ezeket a paramétereket (és velük együtt a megmaradó
változókról a vesszőt) elhagyva, a következő egyenlet adódik:
(E. E. Salpeter , H. A. Bethe , 1951).
A tömegközépponti rendszerben () felírt (122,12) egyenletnek csak
bizonyos
értékek mellett van megoldása – ezek adják meg a pozitrónium
energiaszintjeit. A
függvénynek ekkor csak kisegítő szerepe van. Helyette célszerűbb új
függvényt bevezetni:
Ekkor a (122,12) egyenlet a következő
alakot ölti:
amelyben az integráloperátor magjaként szerepel. Amint már megjegyeztük,
-t a perturbációszámítás
segítségével meghatározhatjuk; ugyanez vonatkozik természetesen a
függvényre is.
Megmutatjuk, hogy a perturbációszámítás
( szerinti) első közelítésében (122,14), amint az várható, a pozitróniumra felírt nemrelativisztikus
Schrödinger-egyenletbe megy
át.
Az első nemrelativisztikus közelítésben -nak csak egy gráf, a (122,2)a felel meg [a (122,2)b szétsugárzási típusú diagram ebben a közelítésben nullává
válik].[444] Mint a 83. §-ban tárgyalt hasonló
esetben, a fotonpropagátort célszerű a (77,12), (77,13)
Coulomb-mértékben felírni, és elég csak a
komponenst megtartani. Ekkor
ahol
a pozitron és elektron Coulomb-kölcsönhatását leíró potenciális energia Fourier-komponense . Ekkor a (122,14) egyenlet a következő lesz:
ahol a pontos propagátorokat is helyettesítettük a szabad
propagátorokkal . Az utóbbiakra a következő közelítő kifejezések
írhatók fel [vö.(122,8)]:
ahol kiemeltük a mátrixtényezőket, pedig a
skalár függvény. Ezeket a kifejezéseket (122,15)-be helyettesítve, észrevesszük, hogy minden, zérustól különböző
mátrixelem megegyezik a megfelelő elemmel. Így a (122,15) egyenlet
ekvivalens az
skalár függvényre felírt egyenlettel.
Vezessünk be helyett új változókat:
(a részecskék relatív mozgásának és a pozitróniumnak mint egésznek a négyesimpulzusai). A tömegközépponti rendszerben
ahol a teljes energiát -mel jelöltük, azaz
a nyugalmi tömegtől számított energia. Ezekkel a változókkal (122,17)-et a következő alakba írjuk át:
Ebben az egyenletben csak paraméterként szerepel, a
függvény pedig az egyenlőség jobb oldalán csak a
integrál alakjában fordul elő. Az integrálást az egyenlőség mindkét
oldalán szerint elvégezve,
-re nézve zárt egyenletet kapunk:
ahol
A szerinti integrál kontúrját bezárva, mondjuk az
komplex változó felső félsíkjában, az integrált a megfelelő pólus
reziduumából kiszámítva, végül azt kapjuk, hogy
Ez éppen a pozitróniumra felírt Schrödinger-egyenlet , impulzusreprezentációban [vö. III.
(130,4)].
Ha -ban csak a (122,2) diagramokat
tekintjük, de az
szerinti sorfejtés következő tagját is figyelembe vesszük (és
hasonlóan
-ben is), akkor a Breit-egyenletet kapjuk
(83. §). Ha a (122,4) diagramokat is figyelembe vesszük (az
szerinti sorfejtés további tagjaival együtt), akkor a pozitron
energiaszintjeinek sugárzási korrekcióit kapjuk; a számítások azonban
nagyon bonyolulttá válnak.
A fenti korrekciók alapján az orto- és parapozitrónium alapállapotainak energiakülönbsége:[445]
(a kapcsos zárójelben álló első tag a finomfelhasadás , l. a 84. § 2. feladatát).
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az energiaszint sugárzási korrekciója ugyanolyan
nagyságrendű mennyiség, mint a parapozitrónium szétsugárzási valószínűsége [l. (89,4)]. Ez azt jelenti, hogy az adott közelítésben az
szint komplexszé válik [
a (122,19) képletben ennek a valós
része]. Természetesen az energiaszintek komplex voltát automatikusan megkapjuk a (122,14) egyenletből az adott közelítésben.
[440] A (122,4)c gráf esetén, amely csak az elektronvonalak egymáshoz viszonyított irányában tér el (122,4)a-tól, mindkét pólus a valós tengelynek ugyanarra az oldalára kerül, és így a fenti elhanyagolások után a megfelelő integrál eltűnik.
[441] Ez a meghatározás minden anomálisan nagy diagramot tartalmaz, de velük együtt néhány „normálisat” is, pl. a (122,4)b diagramot.
[442] Azaz a sor minden tagját -val és két
-vel megszorozzuk, és az új belső vonalak négyesimpulzusai
szerint a megfelelő integrálást elvégezzük.
[443] Vö. a 106. § végén fellépő hasonló
helyzettel, ahol a (106,23) homogén
integrálegyenletre való áttéréskor az ’-függés eltűnt.
[444] Emlékeztetünk arra, hogy a részecskék sebessége a pozitróniumban
. Ebben az értelemben az
és az
szerinti sorfejtések összefüggnek egymással.
[445] R. Karplus , A. Klein , Phys, Rev. 87, 848 (1952).