Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A három külső vonalat tartalmazó csúcsrész után bonyolultságban a négy véget tartalmazó blokk következik. A kvantumelektrodinamikában három ilyen legegyszerűbb diagram lehetséges:
Az első közülük a foton–foton szórást írja
le. A többi gráf a sugárzási korrekciók bizonyos tagjai a foton–elektron
szórásban(b) és az elektron–elektron szórásban(c).
Ebben a szakaszban az ilyenfajta diagramok néhány általános tulajdonságát vizsgáljuk. Az egyszerűség kedvéért azonban csak a (123,1)a diagramra szorítkozunk.
Jelöljük ennek vonalait a következő módon:
A négyesimpulzusok valódi fotonoknak felelnek meg, így négyzeteik
eltűnnek.
A fotonok polarizációjától való függést leválasztva, a (123,2) gráfnak megfelelő amplitúdót a fotonok négyesimpulzusától függő néhány skalárfüggvénnyel
lehet kifejezni. Ezek az invariáns amplitúdók , amelyekről a 71. §-ban volt szó; konkrét leválasztásukat a foton–foton szórás esetére a következő szakaszban fogjuk elvégezni. Skalárok
lévén, ezek csak skalár változóktól függnek, amelyeknek például az alábbi mennyiségek
közül bármely kettőt választhatjuk:
A továbbiakban az és
változókat függetleneknek tekintjük.
Az invariáns amplitúdók bármelyike (amit itt ugyanazzal az betűvel jelölünk) a következő integrálalakban állítható elő:
ahol a négyesimpulzusoknak valamilyen függvénye; a nevező tényezői a négy
virtuális elektron propagátoraiból származnak.
Elég kis és
esetén az
amplitúdók valósak (pontosabban szólva, a fázisszorzó megfelelő választásával azzá tehetők). Valóban, ha
kicsi, akkor a fotonok nem kelthetnek valódi részecskéket
(elektron-pozitron párt) az
-csatornában; ha
kicsi, akkor ugyanez áll a
-csatornára.[446] Más szóval, mindkét csatornában hiányzanak a valódi közbenső állapotok,
amelyek – az unitaritási feltétel szerint – az
amplitúdó imaginárius részének megjelenéséhez vezetnének.
Növeljük most -et rögzített (kis)
érték mellett. Ha
, az
amplitúdó képzetes része is megjelenik, mivel a két foton egy párt
kelthet az
-csatornában. Így
-re diszperziós összefüggést
írhatunk fel az „
változóban”:
ahol az
képzetes része.
Mint bármely
![]() |
alakú gráf esetén, -t a (112,9) szabály szerint kell
kiszámítani, tehát úgy, hogy a (123,4) integrálban a
megfelelő pólustényezőket
-függvényekkel helyettesítjük:
ahol a -térnek a
felére kell integrálni.
Lényeges lépést tehetünk előre, ha észrevesszük, hogy a (123,6) integrál szerkezete (pólustényezőit tekintve) ugyanolyan típusú, mint a következő gráf segítségével definiált amplitúdó:
![]() |
Így az függvény analitikus tulajdonságai a
változóban hasonlóak a fenti amplitúdó analitikus tulajdonságaihoz.
Így például az
függvénynek csak akkor jelenhet meg (
növelésekor) képzetes része, amikor a nevező két tényezője egyszerre
válik nullává. Ez azonban nem történik meg rögtön, amikor elérjük a
értéket, a párkeltés küszöbét a
-csatornában. Ennek az az oka, hogy az integrandusban álló
-függvények a
-tér integrálási tartományát leszűkítik, és lehet, hogy ez nem
egyeztethető össze a
értékkel. Az integrálási terület nagysága függ
értékétől (a
-függvények argumentumai tartalmazzák
-et és
-t). Így a
határ is, amelyen túl az
függvény komplexszé válik, függ
-től.
Ahhoz hasonlóan, ahogy (123,5) szerint az
függvény kifejezhető képzetes része segítségével, az
függvényt is kifejezhetjük egy „
változóban” felírt diszperziós relációval (összefüggéssel):
ahol .
(123,7)-et (123,5)-be helyettesítve, az amplitúdóra felírt kettős diszperziós relációt , az ún.
Mandelstam-reprezentációt kapjuk:
Az függvényt az
függvény kettős spektrális sűrűségének nevezik. Ezt a (123,6) integrálból a
(112,9) szabály ismételt alkalmazásával kapjuk. A
rövidség kedvéért bevezetve az
ahol az integrálást a tartományra kell elvégezni.
Meg kell jegyeznünk azonban, hogy a (123,10)
képletnek csak szimbolikus értelme van. Az tartomány ugyanis nem fizikai. Ennek megfelelően ebben a tartományban
az
mennyiségek valós
értékek mellett általában véve komplexek; a
-függvény fogalma viszont az argumentum komplex értékei esetén nem
teljesen meghatározott. Helyesebb lenne az eredeti (123,4) integrál megfelelő pólusaiban vett reziduumokról beszélni. A mi
esetünkben azonban ez nem játszik szerepet. Az a feltétel, hogy (123,4) négy nevezője vagy a négy
-függvény argumentuma egyszerre nullává váljék, teljesen meghatározza a
négyesvektor komponenseit. Az
változók szerinti integrálásra áttérve (l. alább) és formálisan
használva (123,10)-et, megkapjuk (előjeltől
eltekintve) az
-t leíró kifejezést.
A további számítások céljából tekintsük a tömegközépponti rendszert (az
-csatornában). Ekkor
ahol a
és
által bezárt szög (szórási szög ). A
térbeli derékszögű koordináta-rendszer
tengelye mutasson a
vektor irányába,
tengelye pedig
irányába.[447]
Ezután alakítsuk át a (123,10) integrált úgy,
hogy áttérünk az új integrális változókra (
négy komponense helyett). Mivel
így a transzformáció Jacobi-determinánsa :
ahol az
négyesvektorok 16 komponenséből alkotott determináns. (123,10)-ben az integrálást úgy kell elvégezni, hogy az
integrandusban álló
és
függvényeket az
helyen felvett értékükkel helyettesítjük.[448] Az feltételekből, akárcsak a 112.
§-ban, azt kapjuk, hogy:
A két további feltételből:
tehát
vagy komponensek szerint kiírva:
Így a (123,10) integrál eredménye:
ahol az összegezést a (123,15)-ben
meghatározott két értékre kell elvégezni.
A determinánst felírhatjuk az antiszimmetrikus egységtenor segítségével:
(az átalakítások során felhasználtuk azt, hogy antiszimmetrikus). Észrevéve, hogy a négy tényező közül csak
-nek van időkomponense, ez a képlet egyszerűsíthető:
Ha ezt a kifejezést kifejtjük -nál, majd
-hoz folytatjuk, azt kapjuk, hogy
A fenti kifejezésben a helyes előjelet a következő meggondolás alapján határozhatjuk
meg. Legyen az egyszerűség kedvéért . Ekkor látható, hogy az (
) fizikai tartományban
. Valóban, a (123,6) integrálban
mindkét nevező előjele megegyezik (negatív):
[itt felhasználtuk, hogy a számlálóban levő -függvények miatt fennáll (123,14),
és így
].[449](123,7)-ből látható, hogy az
függvénynek is negatívnak kell lennie, ha
[figyelembe véve, hogy – amint a (123,16)-ból látható –
nem vált előjelet]. Ez azt jelenti, hogy (123,17)-ben a felső előjelet kell választani, és így végül
Mivel az függvény értelemszerűen valós kell, hogy legyen, azonkívül mivel
és
pozitív, még a nevezőben a szögletes zárójelben álló kifejezésnek is
pozitívnak kell lennie:
Ezek az egyenlőtlenségek meghatározzák azt a tartományt, amelyre a (123,8) kettős diszperziós integrálban integrálni kell
(ez a 22. ábrán látható bevonalkázott tartomány).
Ennek határa az
görbe, amelynek aszimptotái és
.
A (123,5) és (123,8) alakban felírt diszperziós összefüggések még nem veszik figyelembe a
renormálási feltételeket , szó szerinti
felhasználásuk esetén divergensek lennének, és regularizálni kellene őket. Az
amplitúdóra felírt regularizációs feltétel :
Valóban, a foton–foton szórás amplitúdójának el kell tűnnie, amikor (és így
), mivel
térben és időbenállandó potenciált jelent, amelynek semmilyen fizikai
tér nem felel meg (erre a feltételre még részletesebben visszatérünk a következő
szakaszban).
Hogy ezt a feltételt automatikusan figyelembe vegyük, „levonásos” diszperziós relációt kell felírnunk [a (108,8)-ról (108,13)-ra való áttéréshez hasonlóan]. Természetes módon juthatunk ilyen diszperziós relációhoz, ha előbb (123,8)-ban azonos átalakítást hajtunk végre az
azonosság segítségével. Ezt (123,8) integrandusába helyettesítve, azt kapjuk, hogy
ahol
Az utóbbi egyenlőségeknek azonban csak akkor volna értelmük, ha mindegyik integrál
konvergálna. Ellenkező esetben az függvényeket és a
állandót külön meg kell adni úgy, hogy a renormálási feltétel
teljesüljön. Ennek a
választás felel meg [ahol az
képzetes része, amely
növelésekor jelenik meg adott kis s mellett, ahhoz hasonlóan, ahogyan
az
növelésekor megjelenő képzetes rész, adott kis
mellett]. Az első egyenlőség nyilvánvaló:
. A második (és hasonlóan a harmadik) megkapható, ha összehasonlítjuk
az
egyenlőséget a (123,5) egyszeres diszperziós relációval , amelyet a (123,20) feltételnek megfelelően, „levonással” írunk fel:
Így a végleges „levonásos” kettős diszperziós összefüggés :
Ha az értékek az integrálási tartományba esnek, akkor az integrált, mint
mindig, az
határértékként kell értelmezni.
[446] A (123,2) gráf vonalainak iránya az
-csatornának felel meg. A
-csatornában az 1 és 3 vonalak lennének befutóak, tehát a kezdeti
fotonok négyesimpulzusai
és
lennének. A foton-foton szórás fizikai tartománya az
változókban a 10. ábrán (68. §) a vonalkázott szektorok. Így például
az
-csatornának az
,
,
tartomány felel meg.
[447] esetén
, vagyis a
vektor képzetes. Ezt a nehézséget azonban elkerülhetjük, ha a
vektorális kifejezéseket
-ra kifejtjük, majd analitikusan folytatjuk őket
-ra.
[448] Ilyen integrálási módszerrel automatikusan elérjük, hogy mindegyik
-függvény argumentumának csak az egyik gyökét vesszük figyelembe.
[449] Természetesen ez nem véletlen. Az, hogy negatív, valójában az unitaritási feltételből következik, ami különösen nyilvánvaló a
esetben, mikor
a teljes hatáskeresztmetszetet határozza meg.