ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

123.§. Kettős diszperziós reláció

A három külső vonalat tartalmazó csúcsrész után bonyolultságban a négy véget tartalmazó blokk következik. A kvantumelektrodinamikában három ilyen legegyszerűbb diagram lehetséges:

12.187. egyenlet - (123,1)

Az első közülük a foton–foton szórást írja le. A többi gráf a sugárzási korrekciók bizonyos tagjai a foton–elektron szórásban(b) és az elektron–elektron szórásban(c).

Ebben a szakaszban az ilyenfajta diagramok néhány általános tulajdonságát vizsgáljuk. Az egyszerűség kedvéért azonban csak a (123,1)a diagramra szorítkozunk.

Jelöljük ennek vonalait a következő módon:

12.188. egyenlet - (123,2)

A k1,k2,k3,k4 négyesimpulzusok valódi fotonoknak felelnek meg, így négyzeteik eltűnnek.

A fotonok polarizációjától való függést leválasztva, a (123,2) gráfnak megfelelő Mfi amplitúdót a fotonok négyesimpulzusától függő néhány skalárfüggvénnyel lehet kifejezni. Ezek az invariáns amplitúdók , amelyekről a 71. §-ban volt szó; konkrét leválasztásukat a foton–foton szórás esetére a következő szakaszban fogjuk elvégezni. Skalárok lévén, ezek csak skalár változóktól függnek, amelyeknek például az alábbi mennyiségek közül bármely kettőt választhatjuk:

12.189. egyenlet - (123,3)

s = {(k_{1} + k_{2})}^{2}, t = {(k_{1} - k_{3})}^{2}, u = {(k_{1} - k_{4})}^{2}, s + t + u = 0 .

A továbbiakban az és változókat függetleneknek tekintjük.

Az invariáns amplitúdók bármelyike (amit itt ugyanazzal az betűvel jelölünk) a következő integrálalakban állítható elő:

12.190. egyenlet - (123,4)

M = \int \frac{i B d^{4} q}{[q^{2} - m^{2}] [{(q - k_{4})}^{2} - m^{2}] [{(q - k_{1} - k_{2})}^{2} - m^{2}] [{(q - k_{2})}^{2} - m^{2}]},

ahol a négyesimpulzusoknak valamilyen függvénye; a nevező tényezői a négy virtuális elektron propagátoraiból származnak.

Elég kis és esetén az amplitúdók valósak (pontosabban szólva, a fázisszorzó megfelelő választásával azzá tehetők). Valóban, ha kicsi, akkor a fotonok nem kelthetnek valódi részecskéket (elektron-pozitron párt) az -csatornában; ha kicsi, akkor ugyanez áll a -csatornára.^[446] Más szóval, mindkét csatornában hiányzanak a valódi közbenső állapotok, amelyek – az unitaritási feltétel szerint – az amplitúdó imaginárius részének megjelenéséhez vezetnének.

Növeljük most -et rögzített (kis) érték mellett. Ha s≥4m2 , az amplitúdó képzetes része is megjelenik, mivel a két foton egy párt kelthet az -csatornában. Így -re diszperziós összefüggést írhatunk fel az „ változóban”:

12.191. egyenlet - (123,5)

M (s, t) = \frac{1}{π} \int_{4 m^{2}}^{\infty} \frac{A_{1 s} (s^{'}, t)}{s^{'} - 1 - i 0} d s^{'},

ahol A1s(s,t) az M(s,t) képzetes része.

Mint bármely

alakú gráf esetén, A1s(s,t) -t a (112,9) szabály szerint kell kiszámítani, tehát úgy, hogy a (123,4) integrálban a megfelelő pólustényezőket -függvényekkel helyettesítjük:

12.192. egyenlet - (123,6)

2 i A_{1 s} (s, t) = {(2 π i)}^{2} \int \frac{i B δ (q^{2} - m^{2}) δ [{(q - k_{1} - k_{2})}^{2} - m^{2}]}{[{(q - k_{4})}^{2} - m^{2}] [{(q - k_{2})}^{2} - m^{2}]} d^{4} q,

ahol a -térnek a q0>0 felére kell integrálni.

Lényeges lépést tehetünk előre, ha észrevesszük, hogy a (123,6) integrál szerkezete (pólustényezőit tekintve) ugyanolyan típusú, mint a következő gráf segítségével definiált amplitúdó:

Így az A1s(s,t) függvény analitikus tulajdonságai a változóban hasonlóak a fenti amplitúdó analitikus tulajdonságaihoz. Így például az függvénynek csak akkor jelenhet meg ( növelésekor) képzetes része, amikor a nevező két tényezője egyszerre válik nullává. Ez azonban nem történik meg rögtön, amikor elérjük a t=4m2 értéket, a párkeltés küszöbét a -csatornában. Ennek az az oka, hogy az integrandusban álló -függvények a -tér integrálási tartományát leszűkítik, és lehet, hogy ez nem egyeztethető össze a t=4m2 értékkel. Az integrálási terület nagysága függ értékétől (a -függvények argumentumai tartalmazzák -et és -t). Így a t=tc(s) határ is, amelyen túl az A1s(s,t) függvény komplexszé válik, függ -től.

Ahhoz hasonlóan, ahogy (123,5) szerint az M(s,t) függvény kifejezhető képzetes része segítségével, az A1s(s,t) függvényt is kifejezhetjük egy „ változóban” felírt diszperziós relációval (összefüggéssel):

12.193. egyenlet - (123,7)

A_{1 s} (s, t) = \frac{1}{π} \int_{t_{c} (s)}^{\infty} \frac{A_{2} (s, t^{'})}{t^{'} - t - i 0} d t^{'},

ahol A2(s,t)=ℑA1s(s,t) .

(123,7)-et (123,5)-be helyettesítve, az M(s,t) amplitúdóra felírt kettős diszperziós relációt , az ún. Mandelstam-reprezentációt kapjuk:

12.194. egyenlet - (123,8)

M (s, t) = \frac{1}{π^{2}} \int_{4 m^{2}}^{\infty} \int_{t_{c} (s)}^{\infty} \frac{A_{2} (s^{'}, t^{'})}{(s^{'} - s - i 0) (t^{'} - t - i 0)} d t^{'} d s^{'}

(S. Mandelstam , 1958).

Az A2(s,t) függvényt az M(s,t) függvény kettős spektrális sűrűségének nevezik. Ezt a (123,6) integrálból a (112,9) szabály ismételt alkalmazásával kapjuk. A rövidség kedvéért bevezetve az

12.195. egyenlet - (123,9)

l_{1} = q, l_{2} = q - k_{4}, l_{3} = q - k_{2}, l_{4} = q - k_{1} - k_{2}

jelöléseket, azt kapjuk, hogy

12.196. egyenlet - (123,10)

{(2 i)}^{2} A_{2} (s, t) = {(2 π i)}^{4} \int i B δ (l_{1}^{2} - m^{2}) δ (l_{2}^{2} - m^{2}) δ (l_{3}^{2} - m^{2}) δ (l_{4}^{2} - m^{2}) d^{4} q,

ahol az integrálást a q0>0 tartományra kell elvégezni.

Meg kell jegyeznünk azonban, hogy a (123,10) képletnek csak szimbolikus értelme van. Az s>0,t>0 tartomány ugyanis nem fizikai. Ennek megfelelően ebben a tartományban az l1,l2,… mennyiségek valós értékek mellett általában véve komplexek; a -függvény fogalma viszont az argumentum komplex értékei esetén nem teljesen meghatározott. Helyesebb lenne az eredeti (123,4) integrál megfelelő pólusaiban vett reziduumokról beszélni. A mi esetünkben azonban ez nem játszik szerepet. Az a feltétel, hogy (123,4) négy nevezője vagy a négy -függvény argumentuma egyszerre nullává váljék, teljesen meghatározza a négyesvektor komponenseit. Az l12,l22,… változók szerinti integrálásra áttérve (l. alább) és formálisan használva (123,10)-et, megkapjuk (előjeltől eltekintve) az -t leíró kifejezést.

A további számítások céljából tekintsük a tömegközépponti rendszert (az -csatornában). Ekkor

12.197. egyenlet - (123,11)

k_{1} = (ω, k), k_{2} = (ω, - k), k_{3} = (ω, k^{'}), k_{4} = (ω, - k^{'}),

12.198. egyenlet - (123,12)

\begin{matrix} \begin{aligned} s & = 4 ω^{2}, t = - {(k - k^{'})}^{2} = - 4 ω^{2} {sin}^{2} \frac{𝜃}{2}, \\ u & = - {(k + k^{'})}^{2} = - 4 ω^{2} {cos}^{2} \frac{𝜃}{2}, \end{aligned} & (123,12) \end{matrix}

ahol a és által bezárt szög (szórási szög ). A térbeli derékszögű koordináta-rendszer tengelye mutasson a k+k′ vektor irányába, tengelye pedig k–k′ irányába.^[447]

Ezután alakítsuk át a (123,10) integrált úgy, hogy áttérünk az l12,l22,… új integrális változókra ( négy komponense helyett). Mivel

így a transzformáció Jacobi-determinánsa :

(∂(l12,l22,l32,l42)/∂(q0,qx,qy,qz))=16D,

ahol az l1,l2,l3,l4 négyesvektorok 16 komponenséből alkotott determináns. (123,10)-ben az integrálást úgy kell elvégezni, hogy az integrandusban álló és függvényeket az

12.199. egyenlet - (123,13)

l_{1}^{2} = l_{2}^{2} = l_{3}^{2} = l_{4}^{2} = m^{2}

helyen felvett értékükkel helyettesítjük.^[448] Az l12=l42=m2 feltételekből, akárcsak a 112. §-ban, azt kapjuk, hogy:

12.200. egyenlet - (123,14)

q^{0} = ω, q^{2} = ω^{2} - m^{2} .

A két további feltételből:

(q–k4)2–m2 =–2qk4=–2ω2–2qk′=0, (q–k2)2–m2 =–2ω2–2qk=0,

tehát

vagy komponensek szerint kiírva:

12.201. egyenlet - (123,15)

\begin{matrix} \begin{aligned} q^{0} & = ω, q_{x} = - \frac{s}{2 (s + t)}, q_{y} = 0, \\ q_{z} & = \pm \sqrt{ω^{2} - m^{2} - q_{x}^{2}} = \pm {[\frac{s t - 4 m^{2} (s + t)}{4 (s + t)}]}^{1 ∕ 2} . \end{aligned} & (123,15) \end{matrix}

Így a (123,10) integrál eredménye:

12.202. egyenlet - (123,16)

A_{2} (s, t) = \frac{π^{4}}{4 D} \sum (- i B),

ahol az összegezést a (123,15)-ben meghatározott két értékre kell elvégezni.

A determinánst felírhatjuk az antiszimmetrikus egységtenor segítségével:

D=eμνϱσl1μl2νl3ϱl4σ=–eμνϱσqμk4νk2ϱk1σ=–eμνϱσ(q–k1)μ(k4–k1)ν(k2–k1)ϱk1σ

(az átalakítások során felhasználtuk azt, hogy eμνϱσ antiszimmetrikus). Észrevéve, hogy a négy tényező közül csak -nek van időkomponense, ez a képlet egyszerűsíthető:

Ha ezt a kifejezést kifejtjük t<0 -nál, majd t>0 -hoz folytatjuk, azt kapjuk, hogy

12.203. egyenlet - (123,17)

D = - ω q_{z} \sqrt{s + t} \sqrt{- t} \to \pm \frac{i}{4} {s t [s t - 4 m^{2} (s + t)]}^{1 ∕ 2} .

A fenti kifejezésben a helyes előjelet a következő meggondolás alapján határozhatjuk meg. Legyen az egyszerűség kedvéért B=1 . Ekkor látható, hogy az ( s>0,t<0 ) fizikai tartományban A1s(s,t)<0 . Valóban, a (123,6) integrálban mindkét nevező előjele megegyezik (negatív):

(q–k4)2–m2 =–2ω2–2qk′<–2ω(ω–|q|)<0, (q–k2)2–m2 =–2ω2–2qk<–2ω(ω–|q|)<0

[itt felhasználtuk, hogy a számlálóban levő -függvények miatt fennáll (123,14), és így |q|<ω ].^[449](123,7)-ből látható, hogy az A2(s,t) függvénynek is negatívnak kell lennie, ha s>0,t>0 [figyelembe véve, hogy – amint a (123,16)-ból látható – nem vált előjelet]. Ez azt jelenti, hogy (123,17)-ben a felső előjelet kell választani, és így végül

12.204. egyenlet - (123,18)

A_{2} = - π^{4} \frac{\sum B}{{s t [s t - 4 m^{2} (s + t)]}^{1 ∕ 2}} .

Mivel az A2(s,t) függvény értelemszerűen valós kell, hogy legyen, azonkívül mivel és pozitív, még a nevezőben a szögletes zárójelben álló kifejezésnek is pozitívnak kell lennie:

12.205. egyenlet - (123,19)

\begin{matrix} \begin{aligned} s t & - 4 m^{2} (s + t) \geq 0, \\ s & > 0, t > 0 . \end{aligned} & (123,19) \end{matrix}

Ezek az egyenlőtlenségek meghatározzák azt a tartományt, amelyre a (123,8) kettős diszperziós integrálban integrálni kell (ez a 22. ábrán látható bevonalkázott tartomány). Ennek határa az

görbe, amelynek aszimptotái s=4m2 és t=4m2 .

22. ábra.

A (123,5) és (123,8) alakban felírt diszperziós összefüggések még nem veszik figyelembe a renormálási feltételeket , szó szerinti felhasználásuk esetén divergensek lennének, és regularizálni kellene őket. Az M(s,t) amplitúdóra felírt regularizációs feltétel :

12.206. egyenlet - (123,20)

M (0, 0) = 0 .

Valóban, a foton–foton szórás amplitúdójának el kell tűnnie, amikor k1=k2=k3=k4=0 (és így s=t=0 ), mivel k=0 térben és időbenállandó potenciált jelent, amelynek semmilyen fizikai tér nem felel meg (erre a feltételre még részletesebben visszatérünk a következő szakaszban).

Hogy ezt a feltételt automatikusan figyelembe vegyük, „levonásos” diszperziós relációt kell felírnunk [a (108,8)-ról (108,13)-ra való áttéréshez hasonlóan]. Természetes módon juthatunk ilyen diszperziós relációhoz, ha előbb (123,8)-ban azonos átalakítást hajtunk végre az

(1/(s′–s)(t′–t))=(st/(s′–s)(t′–t)s′t′)+(s/(s′–s)s′t′)+(t/(t′–t)s′t′)+(1/s′t′)

azonosság segítségével. Ezt (123,8) integrandusába helyettesítve, azt kapjuk, hogy

M(s,t)=(st/π2)∬(A2(s′,t′) ds′dt′/(s′–s)(t′–t)s′t′)+(s/π)∫(f(s′) ds′/(s′–s)s′)+(t/π)∫(g(t′) dt′/(t′–t)t′)+C,

ahol

f(s) =(1/π)∫(A2(s,t′)/t′) dt′, g(t)=(1/π)∫(A2(s′,t)/s′) ds′, C =(1/π2)∬(A2(s′,t′)/s′t′) ds′dt′.

Az utóbbi egyenlőségeknek azonban csak akkor volna értelmük, ha mindegyik integrál konvergálna. Ellenkező esetben az f(s),g(t) függvényeket és a állandót külön meg kell adni úgy, hogy a renormálási feltétel teljesüljön. Ennek a

választás felel meg [ahol A1t az M(s,t) képzetes része, amely növelésekor jelenik meg adott kis s mellett, ahhoz hasonlóan, ahogyan A1s az növelésekor megjelenő képzetes rész, adott kis mellett]. Az első egyenlőség nyilvánvaló: C=M(0,0)=0 . A második (és hasonlóan a harmadik) megkapható, ha összehasonlítjuk az

egyenlőséget a (123,5) egyszeres diszperziós relációval , amelyet a (123,20) feltételnek megfelelően, „levonással” írunk fel:

12.207. egyenlet - (123,21)

M (s, t) = \frac{s}{π} \int \frac{A_{1 s} (s^{'}, t)}{(s^{'} - s) s^{'}} d s^{'} .

Így a végleges „levonásos” kettős diszperziós összefüggés :

12.208. egyenlet - (123,22)

\begin{matrix} \begin{aligned} M (s, t) & = \frac{s t}{π^{2}} \iint \frac{A_{2} (s^{'}, t^{'})}{(s^{'} - s) (t^{'} - t) s^{'} t^{'}} d s^{'} d t^{'} + \\ + \frac{s}{π} \int \frac{A_{1 s} (s^{'}, 0)}{(s^{'} - s) s^{'}} d s^{'} + \frac{t}{π} \int \frac{A_{1 t} (0, t^{'})}{(t^{'} - t) t^{'}} d t^{'} . \end{aligned} & (123,22) \end{matrix}

Ha az s,t értékek az integrálási tartományba esnek, akkor az integrált, mint mindig, az

12.209. egyenlet - (123,23)

s \to s + i 0, t \to t + i 0

határértékként kell értelmezni.

^[446] A (123,2) gráf vonalainak iránya az -csatornának felel meg. A -csatornában az 1 és 3 vonalak lennének befutóak, tehát a kezdeti fotonok négyesimpulzusai és –k3 lennének. A foton-foton szórás fizikai tartománya az s,t,u változókban a 10. ábrán (68. §) a vonalkázott szektorok. Így például az -csatornának az s>0 , t<0 , u<0 tartomány felel meg.

^[447] t>0 esetén (k–k′)2<0 , vagyis a vektor képzetes. Ezt a nehézséget azonban elkerülhetjük, ha a vektorális kifejezéseket t<0 -ra kifejtjük, majd analitikusan folytatjuk őket t>0 -ra.

^[448] Ilyen integrálási módszerrel automatikusan elérjük, hogy mindegyik -függvény argumentumának csak az egyik gyökét vesszük figyelembe.

^[449] Természetesen ez nem véletlen. Az, hogy A1s negatív, valójában az unitaritási feltételből következik, ami különösen nyilvánvaló a t=0 esetben, mikor A1s a teljes hatáskeresztmetszetet határozza meg.