ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

13. fejezet - XIII. FEJEZET A KVANTUMELEKTRODINAMIKA ASZIMPTOTIKUS KÉPLETEI

Tartalom

128.§. A fotonpropagátor aszimptotikus viselkedése nagy impulzusokra

129.§. A kétszeresen logaritmikus tagok kiemelése a vertexoperátorban

Virtuális elektronvonalak esete
Fizikai elektronvégek esete

130.§. A vertexoperátor kétszeresen logaritmikus aszimptotikája

131.§. Az elektron–müon szórás amplitúdójának kétszeresen logaritmikus aszimptotikája

128.§. A fotonpropagátor aszimptotikus viselkedése nagy impulzusokra

A 110. §-ban kiszámítottuk a (k2) polarizációs operátor szerinti hatványsorának első tagját, és azt találtuk, hogy |k2|≫m2 esetén logaritmikus pontossággal

13.1. egyenlet - (128,1)

𝒫 (k^{2}) = \frac{α}{3 π} k^{2} ln \frac{| k^{2} |}{m^{2}} .

Ugyanott megjegyeztük, hogy a képlet levezetésének értelmében (ez a propagátor inverzéhez, 4πD–1=k2 -hez járuló elsőrendű korrekció) feltételeztük, hogy

13.2. egyenlet - (128,2)

\frac{α}{3 π} ln \frac{| k^{2} |}{m^{2}} ≪ 1,

ami a nagy |k2| értékek felől korlátozza a képlet érvényességét. A továbbiakban megmutatjuk, hogy a (128,1) kifejezés érvényes marad a sokkal gyengébb

13.3. egyenlet - (128,3)

\frac{α}{3 π} ln \frac{| k^{2} |}{m^{2}} ≲ 1

feltétel teljesülése esetén is.

A bizonyítás menete a következő.^[463] Mindenekelőtt vegyük észre, hogy bár a (128,3) feltétel mellett (k2) -hez elvileg a perturbációszámítás (-ban) magasabb rendű tagjai is adhatnak járulékot, mindegyik (-edik) rendben elég az αnlnn(|k2|∕m2) -tel arányos tagokat tekinteni, amelyekben a nagy logaritmus és hatványkitevője megegyezik; az α≪1 egyenlőtlenség miatt .a logaritmus kisebb hatványait tartalmazó tagok kicsik.

Továbbá perturbációs sorának vizsgálatát visszavezethetjük és sorainak vizsgálatára a Dyson-egyenlet segítségével:

13.4. egyenlet - (128,4)

𝒫 (k^{2}) = i \frac{4 π α}{3} Sp \int γ_{μ} 𝒢 (p + k) Γ^{μ} (p + k, p; k) 𝒢 (p) \frac{d^{4} p}{{(2 π)}^{4}}

[l. (104,4)]. Mivel a (k2) függvény mértékinvariáns, kiszámításánál a és mennyiségeket tetszőleges mértékben írhatjuk fel. Itt legcélszerűbb a Landau-mértéket használni, amelyben a szabad fotonok propagátora (77,11) alakú:

13.5. egyenlet - (128,5)

D_{μ ν} (k) = \frac{4 π}{k^{2}} (g_{μ ν} - \frac{k_{μ} k_{ν}}{k^{2}})

[(100,17)-ben D(l)=0 ]. Kiderül, hogy a fenti mértéket választva, és perturbációs sorai egyáltalán nem tartalmaznak megfelelő hatványú logaritmikus tagokat. Így (128,4)-ben és helyébe elég a és Γμ=γμ nulladik közelítését beírni. Ekkor a (128,4) kifejezés a

13.6. egyenlet - (128,6)

𝒫 (k^{2}) = i \frac{4 π α}{3} Sp \int γ_{μ} G (p + k) γ^{μ} G (p) \frac{d^{4} p}{{(2 π)}^{4}}

integrálba megy át. Ez éppen az (-ban) elsőrendű közelítésnek, a (110,1) gráfnak megfelelő Feynman-integrál, amely (a megfelelő renormálás után) a (128,1) képlethez vezet.

Rátérve a fenti állítások bizonyítására, először is nézzük meg, hogy honnan ered a (128,6) integrálban a logaritmikus tag. Könnyű belátni, hogy ez a következő integrálási tartományból származik:

13.7. egyenlet - (128,7)

p^{2} ≫ | k^{2} |, ha | k^{2} | ≫ m^{2} .

Valóban, -t 1∕p̂ hatványai szerint formálisan kifejtve, azt kapjuk, hogy

G(p) ≈(1/p̂)=(p̂/p2), G(p–k)≈(1/p̂–k̂)≈(1/p̂)+(1/p̂)k̂(1/p̂) +(1/p̂)k̂(1/p̂)k̂(1/p̂)=(p̂/p2)+(p̂k̂p̂/(p2)2)+(p̂k̂p̂k̂p̂/(p2)3).

(128,6)-ba helyettesítve, az első tag, amely nem függ -tól, a regularizáció következtében kiesik (a ∕k2→0 , ha k2→0 feltételnek megfelelően). A második tag a irányára való integráláskor eltűnik. A harmadik integrál -ben logaritmikusan divergál; ezt p2∼|k2| -től [a (128,7) tartomány alsó korlátja] valamilyen „levágási paraméterig” integrálva, azt kapjuk, hogy

13.8. egyenlet - (128,8)

- \frac{α}{3 π} k^{2} ln \frac{Λ^{2}}{| k^{2} |} .

Regularizáláskor ∕k2 -ből ki kell vonni a k2=0 helyen felvett értékét. Mivel viszont a logaritmikus pontosság feltételezi, hogy |k2|≫m2 , ezért a fenti pontossággal végzett számításnál a |k2|∼m2 helyen felvett értéket vonhatjuk le, amelynek következtében a logaritmus argumentumában helyett jelenik meg, és így a (128,1) képletet kapjuk.

Mivel a minket érdeklő, -hez és -höz járuló korrekciók logaritmikus jellegűek, ezek figyelembevételével és lassan változó logaritmikus szorzótényezőkben fognak eltérni -től és . Így a (128,4) pontos integrálban is ugyanaz a (128,7) tartomány lesz lényeges, minta (128,6) közelítő integrálban. Ennek ellenére Γμ(p+k,p;k) -ba nem helyettesíthetünk egyszerűen k=0 -t: mivel az integrál kvadratikusan divergál, ennek regularizációjához-nak szerinti hatványsorából a következő két tagot is figyelembe kell vennünk. Mi azonban itt csak Γμ(p,p,0) korrekcióival foglalkozunk, amelyek elég világosan mutatják meg a mértékválasztás szerepét és a különböző típusú gráfokból származó integrálok jellegének különbségét. Megjegyezzük, hogy -t nem kell hasonló módon vizsgálnunk, mivel és korrekciói a (105,8) Ward-azonosságon keresztül összefüggnek egymással.

Γ(p,p;0) ( szerinti) első korrekciójához a

diagram és ennek megfelelően a

13.9. egyenlet - (128,9)

Γ^{μ (1)} = - i α \int γ^{λ} G (p_{1}) γ^{μ} G (p_{1}) γ^{ν} D_{λ ν} (p - p_{1}) \frac{d^{4} p_{1}}{{(2 π)}^{4}}

integrál tartozik.^[464] A szokásos mértékben

és az integrálban a p12≫p2 tartomány lényeges, ahol az logaritmikusan divergál. A

13.10. egyenlet - (128,10)

Γ^{μ (1)} \approx - 4 π α i \int \frac{γ^{λ} {\hat{p}}_{1} γ^{μ} {\hat{p}}_{1} γ_{λ}}{{(p_{1}^{2})}^{3}} \frac{d^{4} p_{1}}{{(2 π)}^{4}}

integrált kiszámítva és a logaritmust regularizálva, azt kapjuk, hogy

Landau-mértékben (128,10) helyett a

Γμ(1)≈–4παi∫{γλp̂1γμp̂1γλ–p12γμ}(d4p1/(p12)3(2π)4)

integrál lép fel. Ha irányára elvégezzük az integrálást, és a -mátrixok szorzását egyszerűsítjük, az integrál eltűnik, vagyis Γμ(1) -ből a logaritmikus tag kiesik.^[465]

Az ( szerinti) másodrendű korrekciók közül tekintsük a következő diagramot:

Az ennek megfelelő integrál:

Γμ(2)=–α2∫γλG(p2)γνG(p1)γμG(p1)γϱG(p2)γσGνϱ(p2–p1)Dλσ(p–p2)(d4p1d4p2/(2π)8).

Ha a -függvényeket a szokásos mértékben írjuk fel, ez az integrál egy, a logaritmus négyzetével arányos tagot tartalmaz, amely a

13.11. egyenlet - (128,11)

p_{1}^{2} ≫ p_{2}^{2} ≫ p^{2}

integrálási tartományból ered. Valóban, miután a Dνϱ(p2–p1) függvény argumentumában -t elhanyagoljuk, a d4p1 szerinti integrálás ugyanolyan lesz, mint(128,9)-ben, és lnp22 adódik; az ezután következő d4p2 szerinti integrálás szintén logaritmikus jellegű, és így az ln2(p22∕m2) kifejezést kapjuk. Ha a-függvényeket Landau-mértékbenírjuk fel, a logaritmikus tagok mindkét integrálásnál kiesnek.

Ugyanez a helyzet a többi olyan gráf esetén is, amelyek a

13.12. egyenlet - (128,12)

vázdiagramba tartoznak . Másfajta gráfok, amelyekben fotonvonalak keresztezik egymást, például a

13.13. egyenlet - (128,13)

vázdiagramba tartozók [vö. (103,11)], bármilyen mértéket is választunk, nem tartalmaznak megfelelő kitevőjű logaritmikus tagokat (nem lehet bennük olyan integrálási tartományt kiválasztani, amelyben az integrál sorozatos logaritmikus integrálásra vezethető vissza).

A fenti (valamint a függvény szerinti hatványsorának további tagjaira vonatkozó hasonló) gondolatmenet alapján láthatjuk, hogy a Landau-mértékben nem lépnek fel a logaritmus megfelelő hatványait tartalmazó korrekciós tagok -hez és -hoz, és így a (128,1) kifejezés tényleg érvényes a (128,3) feltétel mellett.

A (128,1) polarizációs operátornak megfelelő (k2) függvény a következőképpen néz ki:

13.14. egyenlet - (128,14)

𝒟 (k^{2}) = \frac{4 π}{k^{2}} \frac{1}{1 - \frac{α}{3 π} ln \frac{| k^{2} |}{m^{2}}} .

A (128,3) feltétel miatt ezt a kifejezést nem szükséges szerint hatványsorba fejteni.^[466]

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy nő, ha ln(|k2|∕m2) a 3π∕α értékhez közeledik. Ezzel a növekedéssel kapcsolatos a (128,14) képlet érvényességi határa a nagy |k2| értékek felől. Valóban, a fenti képlet levezetésekor elhanyagoltuk a (128,13) gráfot (és olyanokat, amelyek még több vastag fotonvonalat tartalmaznak) a (128,12) gráfhoz képest. Viszont egy ilyen vonal hozzáadása egy szorzótényezőt ad a diagramba, ahol a pontos propagátor . Ekkor a kis paraméter szerepét α=e2 helyett az

mennyiség játssza, és ezért az említett elhanyagolások csak akkor megalapozottak, ha teljesül az

13.15. egyenlet - (128,15)

1 - \frac{α}{3 π} ln \frac{| k^{2} |}{m^{2}} ≫ α

feltétel.

Amikor |k2| növelésével a fenti egyenlőtlenség bal oldalának nagyságrendje -éval megegyezik, az elmélet lényegében nem tartalmaz többé kis paramétert. Így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a kvantumelektrodinamika mint gyenge kölcsönhatásra épülő elmélet, logikailag nem teljes. Viszont a jelenlegi elmélet egész apparátusa azon alapszik, hogy az elektromágneses kölcsönhatást kis perturbációként lehet kezelni.

Azt gondolhatnánk, hogy az ilyen elméletet a nagyon nagy energiák tartományában egy „erős csatolást” leíró elmélettel kell kiegészíteni. Komoly érvek szólnak azonban amellett, hogy a jelenlegi fogalmak keretein belül ez lehetetlen, vagyis a kvantumelektrodinamika nemcsak „gyenge csatolást” leíró elméletként nem teljes, hanem általában véve is egy logikailag nem zárt fizikai elmélet.

Ezekre a következtetésekre azoknak a nehézségeknek a vizsgálata vezet, amelyek a (128,14) képlettel kapcsolatban lépnek fel, ha ennek levezetésekor nem „útközben” renormálunk, hanem előzetesen bevezetjük az elektron „csupasz” töltését , amelyet a továbbiakban úgy választunk meg, hogy a fizikai töltés megfigyelhető e értékére vezessen (107. §). Ha az integrált, az előzőekhez hasonlóan, egy ideiglenesen bevezetett felső határnál „levágjuk”, akkor a csupasz töltés függ ettől, ec=ec(Λ) , végül pedig el kell végeznünk a Λ→∞ határátmenetet.

Ha így közelítjük meg a problémát, a polarizációs operátor a következő lesz:

[a (128,8) kifejezés, ahol helyett áll], és ennek megfelelően

13.16. egyenlet - (128,16)

𝒟 (k^{2}) = \frac{4 π}{k^{2}} \frac{1}{1 + \frac{e_{c}^{2}}{3 π} ln \frac{Λ^{2}}{| k^{2} |}} .

A fizikai töltést a következő feltétel segítségével határozzuk meg:

ekkor azt kapjuk, hogy

13.17. egyenlet - (128,17)

e^{2} = \frac{e_{c}^{2}}{1 + \frac{e_{c}^{2}}{3 π} ln \frac{Λ^{2}}{m^{2}}},

vagy

13.18. egyenlet - (128,18)

e_{c}^{2} = \frac{e^{2}}{1 - \frac{e^{2}}{3 π} ln \frac{Λ^{2}}{m^{2}}} .

Ezekben a képletekben azonban még nem lehet a Λ→∞ határátmenetet elvégezni. (128,18)-ból látható, hogy -t növelve (adott mellett) ec2 nő; viszont a fenti képletek már ec2∼1 körül elvesztik érvényességüket, mivel levezetésük az

feltevésen alapult, ami annak a feltétele, hogy a perturbációszámítást alkalmazni lehessen a „csupasz” kölcsönhatásra.

Ez a nehézség azonban a következő gondolatmenet segítségével elkerülhető (L. D. Landau , I. Ja. Pomerancsuk , 1955).

Legyen Λ2∕k2 olyan nagy, hogy

de ugyanakkor még ec2≪1 . Ekkor (128,16) nevezőjében az egységet elhanyagolhatjuk:

13.19. egyenlet - (128,19)

𝒟 (k^{2}) = \frac{12 π^{2}}{k^{2} e_{c}^{2} ln \frac{Λ^{2}}{| k^{2} |}},

és ennek megfelelően

13.20. egyenlet - (128,20)

e^{2} = \frac{3 π}{ln \frac{Λ^{2}}{m^{2}}} .

Vezessük be az elektromágneses tér négyespotenciáljának operátora helyett az μ=ecAμ négyesvektort. Ekkor a kölcsönhatás Hint Hamilton-operátora nem tartalmazza az csupasz töltést, a szabad tér Hamilton-operátora pedig (ez -ben kvadratikus) ec2 -et a nevezőben tartalmazza. A (k2) függvény, amelyet úgy határozunk meg -ből, mint (k2) -et -ből, a következő:

Ez a kifejezés nem tartalmazza -t. Ez azt jelenti, hogy a fenti képlet a H=H0+Hint Hamilton-operátorban az -től függő tag elhagyásának felel meg. Ha -t a Hint -hez képest (nagy értékeknél) már ec2≪1 esetén is elhanyagolhatjuk, akkor természetes az a következtetés, hogy ez még inkább igaz nem kicsi e! értékekre is.

Tehát a (128,19) és vele a (128,20) képlet is független az ec2≪1 feltételtől, és a Λ→∞ határátmenet lehetővé válik. Ekkor viszont e2→0 , az ec(Λ) függvény alakjától függetlenül. A fizikai töltés ilyen „nullázódása ” azt jelenti, hogy a renormálást nem lehet szigorúan elvégezni.

A fenti érvelést természetesen nem lehet szigorú bizonyításnak tekinteni. Ugyanakkor azonban komoly mértékben utal a jelenlegi kvantumelektrodinamika lehetséges belső következetlenségére .

Meg kell viszont jegyeznünk, hogy a kvantumelektrodinamikában a tárgyalt nehézségek tisztán elméleti jelentőségűek. Ezek fantasztikusan nagy, ∼me3π∕2α energiákon lépnek csak fel, amelyek gyakorlatilag nem érdekesek. Azt várjuk, hogy a valóságban az elektromágneses kölcsönhatások már összehasonlíthatatlanul előbb „összekeverednek” az erős kölcsönhatásokkal , aminek eredményeként a tiszta elektrodinamika értelmét veszti.

^[463] A probléma itt közölt felvetése és az eredmények L. D. Landautól, A. A. Abrikoszovtól és I. M. Halatnyikovtól származnak (1954).

^[464] Hogy elkerüljük a 114. § eredményeivel való összehasonlításból származó félreértéseket, emlékeztetünk arra, hogy a 114. §-ban mindkét elektronvégződés fizikai volt, itt viszont feltesszük, hogy p2≫|k2|≫m2 , vagyis egyik vonal sem fizikai.

^[465] G–1 -hez a két mértékben járuló korrekciók, amelyeket a Γ(1) korrekciókból a (105,8) azonosság alapján kaphatunk meg, amint az várható, összhangban állnak a 116. § eredményeivel.

^[466] Ezt a képletet le lehet vezetni a propagátoroknak és a csúcsrészeknek a kvantumelektrodinamika renormálhatóságát kifejező funkcionális tulajdonságaiból is; l. L. D. Landau , A kvantumtérelmélet-ről (cikk a „Niels Bohr és a fizika fejlődése” c. gyűjteményben, 1955; Összes művei, II. kötet „Nauka” 1969); N. N. Bogoljubov , D. V. Sirkov , ZSETF 30, 77 (1956). A fenti tulajdonságok felhasználásán alapuló módszer részletes tárgyalása megtalálható a következő könyvben: N. N. Bogoljubov és D. V. Sirkov, Bevezetés a kvantuintérelméletbe, Gosztehizdat, 1957.