Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Tartalom
A 110. §-ban kiszámítottuk a polarizációs operátor
szerinti hatványsorának első tagját, és azt találtuk, hogy
esetén logaritmikus pontossággal
Ugyanott megjegyeztük, hogy a képlet levezetésének értelmében (ez a
propagátor inverzéhez, -hez járuló elsőrendű korrekció) feltételeztük, hogy
ami a nagy értékek felől korlátozza a képlet érvényességét. A továbbiakban
megmutatjuk, hogy a (128,1) kifejezés érvényes marad
a sokkal gyengébb
feltétel teljesülése esetén is.
A bizonyítás menete a következő.[463] Mindenekelőtt vegyük észre, hogy bár a (128,3) feltétel mellett -hez elvileg a perturbációszámítás (
-ban) magasabb rendű tagjai is adhatnak járulékot, mindegyik
(
-edik) rendben elég az
-tel arányos tagokat tekinteni, amelyekben a nagy logaritmus és
hatványkitevője megegyezik; az
egyenlőtlenség miatt .a logaritmus kisebb hatványait tartalmazó tagok
kicsik.
Továbbá perturbációs sorának vizsgálatát visszavezethetjük
és
sorainak vizsgálatára a Dyson-egyenlet
segítségével:
[l. (104,4)]. Mivel a függvény mértékinvariáns, kiszámításánál a
és
mennyiségeket tetszőleges mértékben írhatjuk fel. Itt legcélszerűbb a
Landau-mértéket használni, amelyben a szabad fotonok
propagátora(77,11) alakú:
[(100,17)-ben ]. Kiderül, hogy a fenti mértéket választva,
és
perturbációs sorai egyáltalán nem tartalmaznak megfelelő hatványú
logaritmikus tagokat. Így (128,4)-ben
és
helyébe elég a
és
nulladik közelítését beírni. Ekkor a
(128,4) kifejezés a
integrálba megy át. Ez éppen az (-ban) elsőrendű közelítésnek, a (110,1) gráfnak megfelelő Feynman-integrál,
amely (a megfelelő renormálás után) a (128,1)
képlethez vezet.
Rátérve a fenti állítások bizonyítására, először is nézzük meg, hogy honnan ered a (128,6) integrálban a logaritmikus tag. Könnyű belátni, hogy ez a következő integrálási tartományból származik:
Valóban, -t
hatványai szerint formálisan kifejtve, azt kapjuk,
hogy
(128,6)-ba helyettesítve, az első tag, amely nem függ
-tól, a regularizáció
következtében kiesik (a
, ha
feltételnek megfelelően). A második tag a
irányára való integráláskor eltűnik. A harmadik integrál
-ben logaritmikusan divergál; ezt
-től [a (128,7) tartomány alsó
korlátja] valamilyen
„levágási paraméterig” integrálva, azt kapjuk, hogy
Regularizáláskor -ből ki kell vonni a
helyen felvett értékét. Mivel viszont a logaritmikus pontosság
feltételezi, hogy
, ezért a fenti pontossággal végzett számításnál a
helyen felvett értéket vonhatjuk le, amelynek következtében a
logaritmus argumentumában
helyett
jelenik meg, és így a (128,1)
képletet kapjuk.
Mivel a minket érdeklő, -hez és
-höz járuló korrekciók logaritmikus jellegűek, ezek figyelembevételével
és
lassan változó logaritmikus szorzótényezőkben fognak eltérni
-től és
. Így a (128,4) pontos integrálban
is ugyanaz a (128,7) tartomány lesz lényeges, minta
(128,6) közelítő integrálban. Ennek ellenére
-ba nem helyettesíthetünk egyszerűen
-t: mivel az integrál kvadratikusan divergál, ennek
regularizációjához
-nak
szerinti hatványsorából a következő két tagot is figyelembe kell
vennünk. Mi azonban itt csak
korrekcióival foglalkozunk, amelyek elég világosan mutatják meg a
mértékválasztás szerepét és a különböző típusú gráfokból származó integrálok jellegének
különbségét. Megjegyezzük, hogy
-t nem kell hasonló módon vizsgálnunk, mivel
és
korrekciói a (105,8)
Ward-azonosságon keresztül összefüggnek
egymással.
(
szerinti) első korrekciójához a
![]() |
diagram és ennek megfelelően a
integrál tartozik.[464] A szokásos mértékben
és az integrálban a tartomány lényeges, ahol az logaritmikusan divergál. A
integrált kiszámítva és a logaritmust regularizálva, azt kapjuk, hogy
Landau-mértékben(128,10) helyett a
integrál lép fel. Ha irányára elvégezzük az integrálást, és a
-mátrixok szorzását egyszerűsítjük, az integrál eltűnik, vagyis
-ből a logaritmikus tag kiesik.[465]
Az ( szerinti) másodrendű korrekciók közül tekintsük a következő
diagramot:
![]() |
Az ennek megfelelő integrál:
Ha a -függvényeket a szokásos mértékben írjuk fel, ez az integrál egy, a
logaritmus négyzetével arányos tagot tartalmaz, amely a
integrálási tartományból ered. Valóban, miután a függvény argumentumában
-t elhanyagoljuk, a
szerinti integrálás ugyanolyan lesz, mint(128,9)-ben, és
adódik; az ezután következő
szerinti integrálás szintén logaritmikus jellegű, és így az
kifejezést kapjuk. Ha a
-függvényeket Landau-mértékbenírjuk fel, a
logaritmikus tagok mindkét integrálásnál kiesnek.
Ugyanez a helyzet a többi olyan gráf esetén is, amelyek a
vázdiagramba tartoznak . Másfajta gráfok,
amelyekben fotonvonalak keresztezik egymást, például a
vázdiagramba tartozók [vö. (103,11)],
bármilyen mértéket is választunk, nem tartalmaznak megfelelő kitevőjű logaritmikus
tagokat (nem lehet bennük olyan integrálási tartományt kiválasztani, amelyben az
integrál sorozatos logaritmikus integrálásra vezethető vissza).
A fenti (valamint a függvény
szerinti hatványsorának további tagjaira vonatkozó hasonló)
gondolatmenet alapján láthatjuk, hogy a Landau-mértékben nem lépnek fel a logaritmus
megfelelő hatványait tartalmazó korrekciós tagok
-hez és
-hoz, és így a (128,1) kifejezés
tényleg érvényes a (128,3) feltétel mellett.
A (128,1) polarizációs operátornak megfelelő függvény a következőképpen néz ki:
A (128,3) feltétel miatt ezt a kifejezést
nem szükséges szerint hatványsorba fejteni.[466]
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy nő, ha
a
értékhez közeledik. Ezzel a növekedéssel kapcsolatos a (128,14) képlet érvényességi határa a nagy
értékek felől. Valóban, a fenti képlet levezetésekor elhanyagoltuk a
(128,13) gráfot (és olyanokat, amelyek még több
vastag fotonvonalat tartalmaznak) a (128,12) gráfhoz
képest. Viszont egy ilyen vonal hozzáadása egy
szorzótényezőt ad a diagramba, ahol
a pontos propagátor . Ekkor a kis paraméter szerepét
helyett az
mennyiség játssza, és ezért az említett elhanyagolások csak akkor megalapozottak, ha teljesül az
feltétel.
Amikor növelésével a fenti egyenlőtlenség bal oldalának nagyságrendje
-éval megegyezik, az elmélet lényegében nem tartalmaz többé kis
paramétert. Így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a kvantumelektrodinamika mint
gyenge kölcsönhatásra épülő elmélet, logikailag nem teljes. Viszont a jelenlegi elmélet
egész apparátusa azon alapszik, hogy az elektromágneses kölcsönhatást kis
perturbációként lehet kezelni.
Azt gondolhatnánk, hogy az ilyen elméletet a nagyon nagy energiák tartományában egy „erős csatolást” leíró elmélettel kell kiegészíteni. Komoly érvek szólnak azonban amellett, hogy a jelenlegi fogalmak keretein belül ez lehetetlen, vagyis a kvantumelektrodinamika nemcsak „gyenge csatolást” leíró elméletként nem teljes, hanem általában véve is egy logikailag nem zárt fizikai elmélet.
Ezekre a következtetésekre azoknak a nehézségeknek a vizsgálata vezet, amelyek a
(128,14) képlettel kapcsolatban lépnek fel, ha
ennek levezetésekor nem „útközben” renormálunk, hanem előzetesen bevezetjük az elektron
„csupasz” töltését , amelyet a továbbiakban úgy
választunk meg, hogy a fizikai töltés megfigyelhető e értékére vezessen (107. §). Ha az integrált, az előzőekhez hasonlóan, egy
ideiglenesen bevezetett
felső határnál „levágjuk”, akkor a csupasz töltés függ ettől,
, végül pedig el kell végeznünk a
határátmenetet.
Ha így közelítjük meg a problémát, a polarizációs operátor a következő lesz:
[a (128,8) kifejezés, ahol
helyett
áll], és ennek megfelelően
A fizikai töltést a következő feltétel segítségével határozzuk meg:
Ezekben a képletekben azonban még nem lehet a határátmenetet elvégezni. (128,18)-ból látható, hogy
-t növelve (adott
mellett)
nő; viszont a fenti képletek már
körül elvesztik érvényességüket, mivel levezetésük az
feltevésen alapult, ami annak a feltétele, hogy a perturbációszámítást alkalmazni lehessen a „csupasz” kölcsönhatásra.
Ez a nehézség azonban a következő gondolatmenet segítségével elkerülhető (L. D. Landau , I. Ja. Pomerancsuk , 1955).
Legyen olyan nagy, hogy
de ugyanakkor még . Ekkor (128,16) nevezőjében az
egységet elhanyagolhatjuk:
Vezessük be az elektromágneses tér négyespotenciáljának operátora helyett az
négyesvektort. Ekkor a kölcsönhatás
Hamilton-operátora nem
tartalmazza az
csupasz töltést, a szabad tér
Hamilton-operátora pedig (ez
-ben kvadratikus)
-et a nevezőben tartalmazza. A
függvény, amelyet úgy határozunk meg
-ből, mint
-et
-ből, a következő:
Ez a kifejezés nem tartalmazza -t. Ez azt jelenti, hogy a fenti képlet a
Hamilton-operátorban az
-től függő
tag elhagyásának felel meg. Ha
-t a
-hez képest (nagy
értékeknél) már
esetén is elhanyagolhatjuk, akkor természetes az a következtetés, hogy
ez még inkább igaz nem kicsi e! értékekre is.
Tehát a (128,19) és vele a (128,20) képlet is független az feltételtől, és a
határátmenet lehetővé válik. Ekkor viszont
, az
függvény alakjától függetlenül. A fizikai töltés ilyen
„nullázódása ” azt jelenti, hogy a
renormálást nem lehet szigorúan elvégezni.
A fenti érvelést természetesen nem lehet szigorú bizonyításnak tekinteni. Ugyanakkor azonban komoly mértékben utal a jelenlegi kvantumelektrodinamika lehetséges belső következetlenségére .
Meg kell viszont jegyeznünk, hogy a kvantumelektrodinamikában a tárgyalt nehézségek
tisztán elméleti jelentőségűek. Ezek fantasztikusan nagy, energiákon lépnek csak fel, amelyek gyakorlatilag nem érdekesek. Azt
várjuk, hogy a valóságban az elektromágneses kölcsönhatások már összehasonlíthatatlanul előbb
„összekeverednek” az erős kölcsönhatásokkal , aminek eredményeként a tiszta elektrodinamika
értelmét veszti.
[463] A probléma itt közölt felvetése és az eredmények L. D. Landautól, A. A. Abrikoszovtól és I. M. Halatnyikovtól származnak (1954).
[464] Hogy elkerüljük a 114. § eredményeivel
való összehasonlításból származó félreértéseket, emlékeztetünk arra, hogy a 114. §-ban mindkét elektronvégződés fizikai volt,
itt viszont feltesszük, hogy , vagyis egyik vonal sem fizikai.
[465] -hez a két mértékben járuló korrekciók, amelyeket a
korrekciókból a (105,8)
azonosság alapján kaphatunk meg, amint az várható, összhangban állnak a 116. § eredményeivel.
[466] Ezt a képletet le lehet vezetni a propagátoroknak és a csúcsrészeknek a kvantumelektrodinamika renormálhatóságát kifejező funkcionális tulajdonságaiból is; l. L. D. Landau , A kvantumtérelmélet-ről (cikk a „Niels Bohr és a fizika fejlődése” c. gyűjteményben, 1955; Összes művei, II. kötet „Nauka” 1969); N. N. Bogoljubov , D. V. Sirkov , ZSETF 30, 77 (1956). A fenti tulajdonságok felhasználásán alapuló módszer részletes tárgyalása megtalálható a következő könyvben: N. N. Bogoljubov és D. V. Sirkov, Bevezetés a kvantuintérelméletbe, Gosztehizdat, 1957.