Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Mikor az előző szakaszban kiszámított korrekciók elérik az 1 nagyságrendet, a vertexoperátor
kiszámításához a kétszeresen logaritmikus
tagok
minden hatványát tartalmazó végtelen sorát kell összegeznünk. Az, hogy
ez a feladat megoldható, annak köszönhető, hogy ilyen tagok csak bizonyos típusú
diagramokban lépnek fel, és a különböző rendű diagramok járulékai között egyszerű
összefüggés áll fenn.
Mint a későbbiekben látni fogjuk, minden, az alábbihoz hasonló diagram ad kétszeresen logaritmikus tagokat:
stb., amelyekben minden egyes fotonvonal összeköti a jobb és bal oldali
elektronvonalat; eközben tetszőleges módon keresztezhetik egymást.
Számozzuk meg az fotonimpulzusokat, mondjuk a jobb oldali végeik sorrendjében. Ekkor az
azonos rendű gráfok a fotonvonalak bal oldali végeinek permutációiban különböznek.
Minden Feynman-integrálban elvégezzük az
elhanyagolásokat a számlálóban és a nevezőben, ahhoz hasonlóan, ahogy azt a (129,5) integrálban csináltuk; ezután átalakítjuk a
számlálót ugyanazzal a módszerrel, mint (129,11)
levezetésében. Ezek eredményeként az
fotonvonalat tartalmazó összes diagram járulékainak összege, amely
-ban az
nagyságrendű tagot adja, a következő alakban írható:
ahol az összegezést a szorzatokban szereplő
impulzusok indexeinek összes permutációira kell elvégezni (az
és
tagokat a nevezőkben a rövidség kedvéért nem írtuk ki).
Nyilvánvaló, hogy ha a (130,3) összegben a
szorzatokban szereplő
impulzusok indexeit valahogyan permutáljuk, ez az impulzusok
átjelölésére vezethető vissza, és ezért az
integrál értéke nem változik meg. Így (130,3)-ban az összegezést kiterjeszthetjük a
és a
szorzatokban szereplő
impulzusok permutációira, majd az eredményt osztanunk kell
-sal:
Használjuk fel a következő fontos képletet:
ahol az indexek permutációira kellösszegezni.[467] Kétszer alkalmazva ezt a képletet, az integrálok összege helyett
egyforma (129,19) [vagy(129,26)] alakú integrál szorzatát kapjuk,
vagyis
Ezt (130,2)-be helyettesítve, majd
-et
szerint (
) összegezve, azt kapjuk, hogy
Ha -et (129,22)-ből helyettesítjük be,
akkor a virtuális elektronvonalakkal rendelkező vertexoperátor kétszeresen logaritmikus
aszimptotikáját
kapjuk meg:
Ha -et (129,29)-ből helyettesítjük be,
akkor valódi fotonvégek esetére kapjuk meg a
vertexoperátor aszimptotikáját:
A szorzótényező, amellyel a nem perturbált
értéktől eltér, meghatározza a külső téren szórt elektron szórási
amplitúdójának a Born-közelitéstől való eltérését. Így a szórási hatáskeresztmetszet:
Ahhoz, hogy az infravörös divergenciát
eltüntessük, ezt a kifejezést meg kell még szorozni egy adott értéket meg nem haladó energiájú, tetszőleges számú lágy foton
emissziójának valószínűségével , vagyis a következő mennyiséggel
[l. (119,2)]:
Az exponensben szereplő integrált (117,14)-ből
vesszük (a mellett álló szorzótényező), és végül egy
energiájú elektron szórási hatáskeresztmetszetére nagy impulzusátadás esetén a
következő aszimptotikus kifejezést kapjuk:
(A. A. Abrikoszov , 1956). A fenti kifejezés ( szerinti) sorfejtésének első tagja természetesen megegyezik a (119,12) képlettel.