ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

130.§. A vertexoperátor kétszeresen logaritmikus aszimptotikája

Mikor az előző szakaszban kiszámított Γ(1) korrekciók elérik az 1 nagyságrendet, a vertexoperátor kiszámításához a kétszeresen logaritmikus tagok minden hatványát tartalmazó végtelen sorát kell összegeznünk. Az, hogy ez a feladat megoldható, annak köszönhető, hogy ilyen tagok csak bizonyos típusú diagramokban lépnek fel, és a különböző rendű diagramok járulékai között egyszerű összefüggés áll fenn.

Mint a későbbiekben látni fogjuk, minden, az alábbihoz hasonló diagram ad kétszeresen logaritmikus tagokat:

13.51. egyenlet - (130,1)

stb., amelyekben minden egyes fotonvonal összeköti a jobb és bal oldali elektronvonalat; eközben tetszőleges módon keresztezhetik egymást.

Számozzuk meg az f1,f2,… fotonimpulzusokat, mondjuk a jobb oldali végeik sorrendjében. Ekkor az azonos rendű gráfok a fotonvonalak bal oldali végeinek permutációiban különböznek. Minden Feynman-integrálban elvégezzük az elhanyagolásokat a számlálóban és a nevezőben, ahhoz hasonlóan, ahogy azt a (129,5) integrálban csináltuk; ezután átalakítjuk a számlálót ugyanazzal a módszerrel, mint (129,11) levezetésében. Ezek eredményeként az fotonvonalat tartalmazó összes diagram járulékainak összege, amely -ban az nagyságrendű tagot adja, a következő alakban írható:

13.52. egyenlet - (130,2)

Γ^{μ (n)} = γ^{μ} (\frac{i α}{2 π^{3}} t)^{n} I_{n},

13.53. egyenlet - (130,3)

I_{n} = \sum_{p e r m 2} \int \frac{d^{4} f_{1} \dots d^{4} f_{n}}{2 (p_{1} f_{1}) 2 (p_{1} f_{1} + p_{1} f_{2}) \dots 2 (p_{1} f_{1} + \dots + p_{1} f_{n}) 2 (p_{2} f_{1}) \dots 2 (p_{2} f_{1} + \dots + p_{2} f_{n}) f_{1}^{2} f_{2}^{2} \dots f_{n}^{2}},

ahol az összegezést a p2fk szorzatokban szereplő impulzusok indexeinek összes permutációira kell elvégezni (az és tagokat a nevezőkben a rövidség kedvéért nem írtuk ki).

Nyilvánvaló, hogy ha a (130,3) összegben a p1fk szorzatokban szereplő impulzusok indexeit valahogyan permutáljuk, ez az impulzusok átjelölésére vezethető vissza, és ezért az integrál értéke nem változik meg. Így (130,3)-ban az összegezést kiterjeszthetjük a p2fk és a p1fk szorzatokban szereplő impulzusok permutációira, majd az eredményt osztanunk kell -sal:

Használjuk fel a következő fontos képletet:

13.54. egyenlet - (130,4)

\sum_{p e r m} \frac{1}{a_{1} (a_{1} + a_{2}) \dots (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})} = \frac{1}{a_{1}} \frac{1}{a_{2}} \dots \frac{1}{a_{n}},

ahol az 1,2,…,n indexek permutációira kellösszegezni.^[467] Kétszer alkalmazva ezt a képletet, az integrálok összege helyett egyforma (129,19) [vagy(129,26)] alakú integrál szorzatát kapjuk, vagyis

13.55. egyenlet - (130,5)

I_{n} = \frac{1}{n!} I_{1}^{n} .

Ezt (130,2)-be helyettesítve, majd Γ(n) -et szerint ( n=0,1,2,… ) összegezve, azt kapjuk, hogy

13.56. egyenlet - (130,6)

Γ^{μ} (p_{2}, p_{1}; q) = γ^{μ} exp (\frac{i e^{2}}{2 π^{3}} t I_{1}) .

Ha -et (129,22)-ből helyettesítjük be, akkor a virtuális elektronvonalakkal rendelkező vertexoperátor kétszeresen logaritmikus aszimptotikáját kapjuk meg:

13.57. egyenlet - (130,7)

\begin{matrix} \begin{aligned} Γ^{μ} (p_{2}, p_{1}; q) & = γ^{μ} exp \{- \frac{α}{2 π} ln | \frac{q^{2}}{p_{1}^{2}} | ln | \frac{q^{2}}{p_{2}^{2}} |\}, \\ | q^{2} | ≫ | p_{1}^{2} |, | p_{2}^{2} | ≫ m^{2} \end{aligned} & (130,7) \end{matrix}

(V. V. Szudakov , 1956).

Ha -et (129,29)-ből helyettesítjük be, akkor valódi fotonvégek esetére kapjuk meg a vertexoperátor aszimptotikáját:

13.58. egyenlet - (130,8)

\begin{matrix} \begin{aligned} Γ^{μ} (p_{2}, p_{1}; q) = γ^{μ} exp \{- \frac{α}{4 π} ({ln}^{2} \frac{| q^{2} |}{m^{2}} + 4 ln \frac{| q^{2} |}{m^{2}} ln \frac{m}{λ})\}, \\ | q^{2} | ≫ p_{1}^{2} = p_{2}^{2} = m^{2} . \end{aligned} & (130,8) \end{matrix}

A szorzótényező, amellyel a nem perturbált értéktől eltér, meghatározza a külső téren szórt elektron szórási amplitúdójának a Born-közelitéstől való eltérését. Így a szórási hatáskeresztmetszet:

13.59. egyenlet - (130,9)

d σ = d σ_{B} exp \{- \frac{α}{2 π} ({ln}^{2} \frac{| q^{2} |}{m^{2}} + 4 ln \frac{| q^{2} |}{m^{2}} ln \frac{m}{λ})\} .

Ahhoz, hogy az infravörös divergenciát eltüntessük, ezt a kifejezést meg kell még szorozni egy adott ωmax értéket meg nem haladó energiájú, tetszőleges számú lágy foton emissziójának valószínűségével , vagyis a következő mennyiséggel [l. (119,2)]:

13.60. egyenlet - (130,10)

1 + \int_{0}^{ω_{m a x}} d w_{ω} + \frac{1}{2!} \int_{0}^{ω_{m a x}} d w_{ω_{1}} \int_{0}^{ω_{m a x}} d w_{ω_{2}} + \dots = exp \{\int_{0}^{ω_{m a x}} d w_{ω}\} .

Az exponensben szereplő integrált (117,14)-ből vesszük (a dσrug mellett álló szorzótényező), és végül egy energiájú elektron szórási hatáskeresztmetszetére nagy impulzusátadás esetén a következő aszimptotikus kifejezést kapjuk:

13.61. egyenlet - (130,11)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = d σ_{B} exp \{- \frac{2 α}{π} ln \frac{| q^{2} |}{m^{2}} ln \frac{𝜀}{ω_{m a x}}\}, \\ | q^{2} | ≫ m^{2}, \frac{α}{2 π} {ln}^{2} \frac{𝜀}{m} \sim 1 \end{aligned} & (130,11) \end{matrix}

(A. A. Abrikoszov , 1956). A fenti kifejezés ( szerinti) sorfejtésének első tagja természetesen megegyezik a (119,12) képlettel.

^[467] n=2 -re ez a képlet nyilvánvaló, általánosítása pedig teljes indukcióval könnyen elvégezhető. Megjegyezzük, hogy a (95,14) képlet levezetésekor, amikor a lágy fotonok emissziójának valószínűségét kiszámítottuk, már felhasználtuk a fenti képletből eredő faktorizációt.