Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A 95. §-ban megvizsgáltuk a részecskék ütközése
során bekövetkező fotonemisszió folyamatát abban a határesetben, amikor a foton
frekvenciája nullához tart. Beláttuk, hogy a folyamat amplitúdója fordítva arányos
-val, és egyszerűen kifejezhető ugyanennek, azonban lágy foton
kibocsátása nélküli ütközésnek az amplitúdójával (ez utóbbit fogjuk az alábbiakban
feltételesen a „rugalmas” szórás amplitúdójának nevezni, és
-vel jelöljük).[477] Az
szerinti következő közelítésben
ahol az () vezető taghoz az
-tól független (
) korrekció adódik hozzá. Be fogjuk látni, hogy ez a korrekciós tag
(csakúgy, mint a vezető tag) szintén kifejezhető
-vel, függetlenül a hadron számunkra ismeretlen elektromágneses
struktúrájának részleteitől. Ezt az állítást hívjákalacsonyenergiás
tételnek a fékezési sugárzás esetében
(F. E. Low , 1958).
A 95. §-ban láttuk, hagy a lágy foton emissziójának amplitúdójához a fő járulékot [amely (134,1) első tagjának felel meg] azok a diagramok adják, amelyeken a fotont közvetlenül a kezdő vagy a végső részecske emittálja. Ezek a diagramok a következő alakúak:
típusú diagramokkal kell szembeállítanunk, amelyeken a fotonvonal a diagram
belső részeiből indul ki. A (134,2) ábrákat az
jellemzi, hogy két részre vághatók egy (kezdeti vagy végső) virtuális hadronvonal
elvágásával . Más szavakkal, a mi
szempontunkból lényeges tulajdonságuk: egyhadronos közbenső állapot lehet jelen. A 80. §-ban láttuk, hogy az unitaritási feltétel értelmében ez a tulajdonság egymagában elegendő az
amplitúdó pólusszingularitásának megjelenéséhez.
Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az ütköző részecskék közül csak az egyik elektromosan töltött (és így sugárzásra képes; legyen ez az első), és mindkét hadron spintelen. Az ilyen hadronok hullámamplitúdói skalárok, 1-nek vehetők.
A (134,2)a diagram pólusjáruléka az amplitúdóhoz
Az első tényező a fotonnak felel meg (
a polarizáció négyesvektora). A második tényező a hadron
elektromágneses csúcsa (a vastag pont az ábrán); ezt a(132,5) alakban írtuk fel, benne
a hadron töltése,
pedig az alakfaktora. A harmadik tényező a virtuális hadron
propagátor
impulzussal (
a hadron tömege ). Végül az
szorzó az egész maradék blokkot jelöli. Az utóbbi a „rugalmas”
folyamat amplitúdójától
csak a impulzusú valódi hadron
impulzusú virtuális hadronra való cseréjében tér el.
(134,4)
szerinti sorfejtésében az első tagok a következők lesznek:
1.
-val fordítva arányos, 2.
-tól független, de
irányától függő, 3.
-tól és
-tól teljesen független tagok. A harmadik típusú tagok (és csakis az
ilyenek) a „nemszinguláris” diagramoktól , azaz a (134,3) típusúaktól is származhatnak, melyeknek nincs pólusjárulékuk,
valamint a (134,2) diagramok pólust nem tartalmazó
járulékától. Meg fogjuk mutatni, hogy e tagok összességét a mértékinvariancia révén az első két típusú járulék meghatározza és így
ezeket nem kell külön kiszámítani.
A „rugalmas” folyamat(134,5) amplitúdója csak két invariáns változótól függ:
A helyettesítés nemcsak azt eredményezi, hogy
helyett
-et kell írnunk, hanem egy
új változótól való függést is bevezet, amely a impulzusnak a tömeghéjtól való eltérését jellemzi. De az amplitúdó
e kicsiny paraméter szerinti sorfejtésének már elsőrendű tagja is kiküszöböli a (134,4) amplitúdó szingularitását, és így abba csak
olyan tagokat ad, amelyek
-tól függetlenek. Ezek a fentebb említett okok miatt egyelőre nem
érdekelnek bennünket, így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a (134,4)-beli
mennyiség helyett az
fizikai amplitúdót helyettesíthetjük be, abban csak az
helyettesítést végezve el. A sorfejtés első tagjai
Hasonló okokból érdektelen az a tény, hogy az elektromágneses alakfaktor olyan csúcshoz tartozik, amelynek két
hadronvonala (
és
) közül csak az egyik fizikai. Ezt nyugodtan helyettesíthetjük a
132. §-ban tekintett csúccsal, amelyhez két
fizikai hadron csatlakozik alakfaktorával. Mivel ekkor a foton valódi, így
.
Így (134,4)-ből kapjuk, hogy
ahol a pontozás a -tól teljesen független tagokat jelöli [ugyanakkor (134,8) második tagja
irányától függ]. Hasonló módon kapjuk, hogy a (134,2)b) diagram
-be adott járuléka (134,8)-tól
csak
-nak
-ra való cseréjében különbözik. A sorfejtés vezető tagjára így az
általunk már ismert
kifejezés adódik [vö. (95,5)].
A -tól független tagokat meghatározhatjuk, ha a teljes amplitúdó
mértékinvarianciáját követeljük meg. Nevezetesen, az
amplitúdónak változatlannak kell maradnia az
helyettesítésre, azaz
alakú kell, hogy legyen, teljesítve a
mellékfeltételt. Könnyű belátni, hogy ennek elérésére (134,8)-hoz a
-tól független tagot kell hozzáadnunk, és hasonlóan kell eljárnunk a
(134,2)b) diagram esetén is. Ennek eredményeként a következő
végeredményt kapjuk:
Ez az összefüggés a kitűzött feladat megoldása. Tömörebb alakban adható meg, ha elvégezzük a
azonos átalakítást (hasonlóan -re is), és bevezetjük a
differenciáloperátorokat (hasonlóan -re is). Ekkor[478]
A hatáskeresztmetszetet határozza meg, amely a vizsgált pontossággal
A második tag adja a sugárzási hatáskeresztmetszet keresett
korrekcióját . A foton polarizációjára
összegezve, erre a korrekcióra a következő kifejezés adódik:
Tehát a sugárzás hatáskeresztmetszetéhez adódó korrekciót a „rugalmas”
folyamat amplitúdójávalés szerinti deriváltjával fejezhetjük ki.
Legyen most a töltött részecske spinű. Az előző számítások elvi menete változatlan marad, csak a
vertexek és propagátorok konkrét alakja változik.
Az elektromágneses vertexoperátornak a (132,7) kifejezést vesszük, amely esetén, kimenő fotonvonalra
lesz, ahol a hadron mágneses momentumának anomális része [vö. (132,8)]. A
vertexoperátor, amely a „rugalmas” folyamatot jellemzi az
alakban definiálandó, ahol a kezdeti, illetve a végső hadronok bispinor amplitúdói . A négyesimpulzusoktól való
függése
alakban adható meg, ahol és
invariáns amplitúdók [vö. (71,3)].
Ekkor a (134,2)a diagramnak a folyamat amplitúdójához adott járuléka,
argumentumában
-et (134,7) szerint kell
helyettesítenünk.
A számításokat elhagyva, a végeredményt közöljük:
a hatáskeresztmetszethez adott korrekcióban (134,13) szerint lineárisan szerepel. Nyilvánvaló,
hogy a
mágneses momentum az eredményben csak
vagy
alakban jelenik meg, ahol
a hadronok polarizációs vektora . Így a hadronok polarizációjára
átlagolva a korrekciónak ez a része kiesik. Ha a foton polarizációjára is átlagolunk,
akkor egyszerű átalakítások után kiderül; hogy újra csak a (134,14) képlet lesz igaz, amely a
hatáskeresztmetszet korrekcióját a „rugalmas” szórás hatáskeresztmetszetén keresztül fejezi ki
(T. N. Burnett , N. M. Kroll , 1968).