ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

134.§. Alacsonyenergiás tétel a fékezési sugárzásra

A 95. §-ban megvizsgáltuk a részecskék ütközése során bekövetkező fotonemisszió folyamatát abban a határesetben, amikor a foton frekvenciája nullához tart. Beláttuk, hogy a folyamat amplitúdója fordítva arányos -val, és egyszerűen kifejezhető ugyanennek, azonban lágy foton kibocsátása nélküli ütközésnek az amplitúdójával (ez utóbbit fogjuk az alábbiakban feltételesen a „rugalmas” szórás amplitúdójának nevezni, és Mfi(rug) -vel jelöljük).^[477] Az szerinti következő közelítésben

14.22. egyenlet - (134,1)

M_{f i} = M_{f i}^{(- 1)} + M_{f i}^{(0)},

ahol az ( ∝ω–1 ) vezető taghoz az -tól független ( ∝ω0 ) korrekció adódik hozzá. Be fogjuk látni, hogy ez a korrekciós tag (csakúgy, mint a vezető tag) szintén kifejezhető Mfi(rug) -vel, függetlenül a hadron számunkra ismeretlen elektromágneses struktúrájának részleteitől. Ezt az állítást hívjákalacsonyenergiás tételnek a fékezési sugárzás esetében (F. E. Low , 1958).

A 95. §-ban láttuk, hagy a lágy foton emissziójának amplitúdójához a fő járulékot [amely (134,1) első tagjának felel meg] azok a diagramok adják, amelyeken a fotont közvetlenül a kezdő vagy a végső részecske emittálja. Ezek a diagramok a következő alakúak:

14.23. egyenlet - (134,2)

amiket a

14.24. egyenlet - (134,3)

típusú diagramokkal kell szembeállítanunk, amelyeken a fotonvonal a diagram belső részeiből indul ki. A (134,2) ábrákat az jellemzi, hogy két részre vághatók egy (kezdeti vagy végső) virtuális hadronvonal elvágásával . Más szavakkal, a mi szempontunkból lényeges tulajdonságuk: egyhadronos közbenső állapot lehet jelen. A 80. §-ban láttuk, hogy az unitaritási feltétel értelmében ez a tulajdonság egymagában elegendő az amplitúdó pólusszingularitásának megjelenéséhez.

0 spinű hadronok

Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az ütköző részecskék közül csak az egyik elektromosan töltött (és így sugárzásra képes; legyen ez az első), és mindkét hadron spintelen. Az ilyen hadronok hullámamplitúdói skalárok, 1-nek vehetők.

A (134,2)a diagram pólusjáruléka az amplitúdóhoz

14.25. egyenlet - (134,4)

i M_{f i}^{(a)} = \sqrt{4 π} e_{μ}^{*} (2 p_{1}^{μ} - k^{μ}) Z_{1} e F \frac{1}{{(p_{1} - k)}^{2} - M^{2}} i Γ .

Az első tényező a fotonnak felel meg ( a polarizáció négyesvektora). A második tényező a hadron elektromágneses csúcsa (a vastag pont az ábrán); ezt a(132,5) alakban írtuk fel, benne Z1e a hadron töltése, pedig az alakfaktora. A harmadik tényező a virtuális hadron propagátor p1–k impulzussal ( a hadron tömege ). Végül az szorzó az egész maradék blokkot jelöli. Az utóbbi a „rugalmas” folyamat amplitúdójától

14.26. egyenlet - (134,5)

csak a impulzusú valódi hadron p1–k impulzusú virtuális hadronra való cseréjében tér el.

(134,4) szerinti sorfejtésében az első tagok a következők lesznek: 1.-val fordítva arányos, 2.-tól független, de irányától függő, 3.-tól és -tól teljesen független tagok. A harmadik típusú tagok (és csakis az ilyenek) a „nemszinguláris” diagramoktól , azaz a (134,3) típusúaktól is származhatnak, melyeknek nincs pólusjárulékuk, valamint a (134,2) diagramok pólust nem tartalmazó járulékától. Meg fogjuk mutatni, hogy e tagok összességét a mértékinvariancia révén az első két típusú járulék meghatározza és így ezeket nem kell külön kiszámítani.

A „rugalmas” folyamat (134,5) amplitúdója csak két invariáns változótól függ:

14.27. egyenlet - (134,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} s & = {(p_{1} + p_{2})}^{2} = {(p_{1}^{'} + p_{2}^{'})}^{2}, \\ t & = {(p_{2}^{'} - p_{2})}^{2} . \end{aligned} & (134,6) \end{matrix}

A p1→p1–k helyettesítés nemcsak azt eredményezi, hogy helyett (p1–k+p2)2 -et kell írnunk, hanem egy

új változótól való függést is bevezet, amely a p1–k impulzusnak a tömeghéjtól való eltérését jellemzi. De az amplitúdó e kicsiny paraméter szerinti sorfejtésének már elsőrendű tagja is kiküszöböli a (134,4) amplitúdó szingularitását, és így abba csak olyan tagokat ad, amelyek -tól függetlenek. Ezek a fentebb említett okok miatt egyelőre nem érdekelnek bennünket, így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a (134,4)-beli mennyiség helyett az Mfi(rug)(s,t) fizikai amplitúdót helyettesíthetjük be, abban csak az

14.28. egyenlet - (134,7)

s \to {(p_{1} + p_{2} - k)}^{2} = s - 2 k (p_{1} + p_{2})

helyettesítést végezve el. A sorfejtés első tagjai

Γ→Mfi(rug)(s,t)–2(kp1+kp2)((∂Mfi(rug)/∂s))t.

Hasonló okokból érdektelen az a tény, hogy az elektromágneses alakfaktor olyan csúcshoz tartozik, amelynek két hadronvonala ( és p1–k ) közül csak az egyik fizikai. Ezt nyugodtan helyettesíthetjük a 132. §-ban tekintett csúccsal, amelyhez két fizikai hadron csatlakozik alakfaktorával. Mivel ekkor a foton valódi, így F(k2)=F(0)=1 .

Így (134,4)-ből kapjuk, hogy

14.29. egyenlet - (134,8)

M_{f i}^{(a)} = Z_{1} e \sqrt{4 π} \frac{2 (e^{*} p_{1})}{- 2 (k p_{1})} - Z_{1} e \sqrt{4 π} 2 (e^{*} p_{1}) \frac{1}{- 2 (k p_{1})} 2 (p_{2} k) \frac{\partial M_{f i}^{(r u g)}}{\partial s} + \dots,

ahol a pontozás a -tól teljesen független tagokat jelöli [ugyanakkor (134,8) második tagja irányától függ]. Hasonló módon kapjuk, hogy a (134,2)b) diagram Mfi -be adott járuléka (134,8)-tól csak (p1,p2,k) -nak (p1′,p2′,–k) -ra való cseréjében különbözik. A sorfejtés vezető tagjára így az általunk már ismert

14.30. egyenlet - (134,9)

M_{f i}^{(- 1)} = Z_{1} e \sqrt{4 π} (\frac{p_{1}^{'} e^{*}}{p_{1}^{'} k} - \frac{p_{1} e^{*}}{p_{1} k}) M_{f i}^{(r u g)}

kifejezés adódik [vö. (95,5)].

A -tól független tagokat meghatározhatjuk, ha a teljes amplitúdó mértékinvarianciáját követeljük meg. Nevezetesen, az amplitúdónak változatlannak kell maradnia az e∗→e∗+const⋅k helyettesítésre, azaz Mfi=eμ∗Jμ alakú kell, hogy legyen, teljesítve a kμJμ=0 mellékfeltételt. Könnyű belátni, hogy ennek elérésére (134,8)-hoz a

-tól független tagot kell hozzáadnunk, és hasonlóan kell eljárnunk a (134,2)b) diagram esetén is. Ennek eredményeként a következő végeredményt kapjuk:

14.31. egyenlet - (134,10)

M_{f i}^{(0)} = 2 Z_{1} e \sqrt{4 π} e_{μ}^{*} [p_{1}^{μ} \frac{(p_{2} k)}{(p_{1} k)} - p_{2}^{μ} + p_{1}^{^{'} μ} \frac{(p_{2}^{'} k)}{(p_{1}^{'} k)} - p_{2}^{^{'} μ}] \frac{\partial M_{f i}^{(r u g)}}{\partial s} .

Ez az összefüggés a kitűzött feladat megoldása. Tömörebb alakban adható meg, ha elvégezzük a

azonos átalakítást (hasonlóan ∂∕∂p1μ′ -re is), és bevezetjük a

14.32. egyenlet - (134,11)

d_{1 μ} = \frac{p_{1 μ}}{(p_{1} k)} k^{ν} \frac{\partial}{\partial p_{1}^{ν}} - \frac{\partial}{\partial p_{1}^{μ}}

differenciáloperátorokat (hasonlóan d1μ′ -re is). Ekkor^[478]

14.33. egyenlet - (134,12)

M_{f i}^{(0)} = Z_{1} e \sqrt{4 π} e_{μ}^{*} (d_{1}^{μ} + d_{1}^{^{'} μ}) M_{f i}^{(r u g)}

A hatáskeresztmetszetet |Mfi|2 határozza meg, amely a vizsgált pontossággal

14.34. egyenlet - (134,13)

| M_{f i} |^{2} = | M_{f i}^{(- 1)} |^{2} + 2 ℜ (M_{f i}^{(- 1)} M_{f i}^{(0) *}) .

A második tag adja a sugárzási hatáskeresztmetszet keresett korrekcióját . A foton polarizációjára összegezve, erre a korrekcióra a következő kifejezés adódik:

14.35. egyenlet - (134,14)

- 4 π {(Z_{1} e)}^{2} (\frac{p^{'}}{(p^{'} k)} - \frac{p}{(p k)})^{μ} {(d_{1}^{'} + d_{1})}_{μ} | M_{f i}^{(r u g)} |^{2} .

Tehát a sugárzás hatáskeresztmetszetéhez adódó korrekciót a „rugalmas” folyamat amplitúdójávalés szerinti deriváltjával fejezhetjük ki.

spinű hadronok

Legyen most a töltött részecske (1/2) spinű. Az előző számítások elvi menete változatlan marad, csak a vertexek és propagátorok konkrét alakja változik.

Az elektromágneses vertexoperátornak a (132,7) kifejezést vesszük, amely k2→0 esetén, kimenő fotonvonalra

14.36. egyenlet - (134,15)

Z_{1} e γ^{μ} + μ_{a n} σ^{μ ν} k_{ν}

lesz, ahol μan a hadron mágneses momentumának anomális része [vö. (132,8)]. A vertexoperátor, amely a „rugalmas” folyamatot jellemzi az

14.37. egyenlet - (134,16)

i M_{f i}^{(r u g)} = ū_{1}^{'} i Γ u_{1}

alakban definiálandó, ahol u1=u(p1),u1′=u(p1′) a kezdeti, illetve a végső hadronok bispinor amplitúdói . A négyesimpulzusoktól való függése

14.38. egyenlet - (134,17)

Γ = f_{1} (s, t) + ({\hat{p}}_{2} + {\hat{p}}_{2}^{'}) f_{2} (s, t)

alakban adható meg, ahol és invariáns amplitúdók [vö. (71,3)].

Ekkor a (134,2)a diagramnak a folyamat amplitúdójához adott járuléka,

Mfi(a)=ū1′Γ(p̂1–k̂+M/–2(p1k))√(4π)(Z1eê∗+μanσμveμ∗kv)u1,

argumentumában -et (134,7) szerint kell helyettesítenünk.

A számításokat elhagyva, a végeredményt közöljük:

14.39. egyenlet - (134,18)

\begin{matrix} \begin{aligned} M_{f i}^{(0)} & = \sqrt{4 π} Z_{1} e ū_{1}^{'} [(d_{1}^{'} + d_{1}) Γ + \frac{ê^{*} \hat{k}}{2 (p_{1}^{'} k)} Γ + Γ \frac{\hat{k} ê^{*}}{2 (p_{1} k)}] u_{1} - \\ - \sqrt{4 π} μ_{a n} ū_{1}^{'} [\frac{σ^{μ ν} e_{μ}^{*} k_{ν} M - \hat{k} (p_{1}^{'} e^{*}) + ê^{*} (p_{1}^{'} k)}{(p_{1}^{'} k)} Γ - \\ - Γ \frac{σ^{μ ν} e_{μ}^{*} k_{ν} M + \hat{k} (p_{1} e^{*}) - ê^{*} (p_{1} k)}{(p_{1} k)}] u_{1} . \end{aligned} & (134,18) \end{matrix}

M f i (0) a hatáskeresztmetszethez adott korrekcióban (134,13) szerint lineárisan szerepel. Nyilvánvaló, hogy a μan mágneses momentum az eredményben csak μanζ1 vagy μanζ1′ alakban jelenik meg, ahol a hadronok polarizációs vektora . Így a hadronok polarizációjára átlagolva a korrekciónak ez a része kiesik. Ha a foton polarizációjára is átlagolunk, akkor egyszerű átalakítások után kiderül; hogy újra csak a (134,14) képlet lesz igaz, amely a hatáskeresztmetszet korrekcióját a „rugalmas” szórás hatáskeresztmetszetén keresztül fejezi ki (T. N. Burnett , N. M. Kroll , 1968).

^[477] A 95. §-ban az Mfi(0) jelölést alkalmaztuk.

^[478] E képlet tetszőleges számú töltött részecskére való általánosítását a Z1(d1+d1′) mennyiségnek az összes kezdeti és végső részecskére vonatkozó analóg mennyiségek összegével való helyettesítésével kapjuk.