ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

135.§. Alacsonyenergiás tétel foton-hadron ütközés esetére

A kis frekvenciák határesetében bármilyen rögzített töltött részecskén kialakuló fényszórás hatáskeresztmetszete a megfelelő klasszikus értékhez tart, melyet a Thomson-képlet ad meg. Ennek a határesetnek egy -tól független, Mfi(0) -lal jelölhető amplitúdó felel meg. Kiderül azonban, hogy a fotonszórás esetében (akárcsak az előző szakaszban vizsgált fékezési sugárzás esetén) nemcsak ez az első, hanem az szerinti sorfejtés következő tagja sem függ a hadron elektromágneses szerkezetének részleteitől:

14.40. egyenlet - (135,1)

M_{f i} = M_{f i}^{(0)} + M_{f i}^{(1)},

ahol M(1)∼ω (F. E. Low , 1954, M. Gell-Mann , M. L. Goldberger , 1954).

A vizsgált folyamatot három típusú diagram írja le:

14.41. egyenlet - (135,2)

amelyek közül az első kettőt ismét az egyrészecskés közbenső állapot jellemzi, és ennek megfelelően járulékuknak pólusszingularitása van.

A számítások során követett gondolatmenet és elvi eljárás ugyanaz, mint a 134. §-ban volt. Elegendő csak a (135,2)a–b diagramok pólusainak járulékát kiszámítani, miközben a bennük szereplő elektromágneses alakfaktorokat sztatikus értékeikkel helyettesítjük (a töltéssel és a μan anomális mágneses momentummal) (134,15)-nek megfelelően.

A fékezési sugárzás esetétől eltérően azonban a bennünket érdeklő, a Compton-effektus hatáskeresztmetszetéhez adódó korrekció csak spines részecskékre nem tűnik el. A dolog lényege az, hogy fékezési sugárzásnál a spinnel kapcsolatos járulékok mellett olyanok is fellépnek, amelyek a „rugalmas” amplitúdó energiafüggésével kapcsolatosak. De a jelen esetben ez utóbbi szerepét az alakfaktorok játsszák, melyek „fizikai végekre” az energiától független állandók. Ezért fotonszórás esetén korrekciók csak a mágneses momentumból származnak, amely spintelen részecskékre mindig nulla. Az alábbiakban a fotonnak (1/2) spinű hadronon való szóródását vizsgáljuk.

A pólusdiagramok Mfi járulékára a következő kifejezést kapjuk [vö. (86,3), (86,4)]:

14.42. egyenlet - (135,3)

M_{f i} = - 4 π {(Z e)}^{2} e_{μ}^{' *} e_{ν} (ū^{'} Q^{μ ν} u),

ahol

14.43. egyenlet - (135,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} Q^{μ ν} = (γ^{μ} + S^{' μ}) \frac{\hat{p} + \hat{k} + M}{s - M^{2}} (γ^{ν} - S^{ν}) + (γ^{ν} - S^{ν}) \frac{\hat{p} - {\hat{k}}^{'} + M}{u - M^{2}} (γ^{μ} + S^{' μ}), \\ s = {(p + k)}^{2} = {(p^{'} + k^{'})}^{2}, u = {(p - k^{'})}^{2} = {(p^{'} - k)}^{2}, \end{aligned} & (135,4) \end{matrix}

és a rövidség kedvéért bevezettük a

14.44. egyenlet - (135,5)

μ_{a n} σ^{μ λ} k_{λ} = Z e S^{μ}, μ_{a n} σ^{μ λ} k_{λ}^{'} = Z e S^{' μ}

jelöléseket. A p̂+M operátorokat a spinorokig cserélve és figyelembe véve az ū′(p̂′–M)=(p̂–M)u=0 egyenleteket, a fenti kifejezést a következő alakra lehet hozni:

14.45. egyenlet - (135,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} Q^{μ ν} & = [(γ^{μ} + S^{' μ}) \frac{\hat{k} γ^{ν} + 2 p^{ν}}{2 p k} + \frac{γ^{ν} \hat{k} - 2 p^{' ν}}{2 p^{'} k} (γ^{μ} + S^{' μ})] - \\ - [\frac{γ^{μ} {\hat{k}}^{'} + 2 p^{' μ}}{2 p^{'} k^{'}} S^{ν} + S^{ν} \frac{γ^{μ} {\hat{k}}^{'} - 2 p^{μ}}{2 p k^{'}}] - \\ - [S^{' μ} \frac{\hat{p} + \hat{k} + M}{2 p k} S^{ν} - S^{ν} \frac{\hat{p} - {\hat{k}}^{'} + M}{2 p k^{'}} S^{' μ}] . \end{aligned} & (135,6) \end{matrix}

Ez az írásmód (és hasonlóan a és felcserélésével kapott alak) szemmel láthatóvá teszi a (135,3) kifejezés mértékinvarianciáját, amelynek feltételei:

14.46. egyenlet - (135,7)

k_{μ}^{'} (ū Q^{μ ν} u) = (ū^{'} Q^{μ ν} u) k_{ν} = 0

(az igazolás során vegyük figyelembe, hogy k̂k̂=0,kS=k′S′=0 ).

Minthogy az amplitúdó pólusrésze már magában mértékinvariáns, ilyennek kell lennie a reguláris résznek is [amely tartalmazza (135,2)c) diagram járulékát is]. Ebből következik, hogy e rész és hatványai szerinti kifejtésének négyzetes tagokkal kell kezdődnie [vö. a (124,5) feltételre vonatkozó hasonló megjegyzéssel]. Más szavakkal, az amplitúdó reguláris része csak ωω′∼ω2 -tel arányos tagokkal kezdődő sorból áll, azaz nem ad járulékot a bennünket érdeklő tagokhoz, melyek -lal és -gyel arányosak. Ez utóbbiakat következésképpen (135,3) teljességgel tartalmazza.

Kiszámításukra válasszuk a laboratóriumi vonatkoztatási rendszert, amelyben a kezdeti elektron nyugszik. A fotonokra válasszuk a háromdimenziós transzverzális mértéket, melyben e0=e0′=0 . Ekkor pe=0,p′e′∗∼|p′|∼ω , és (135,6)-ból azonnal látható, hogy Mfi sorfejtésének első tagjai -lal, a μan -t tartalmazó tagok pedig csak -gyel arányos járulékot adnak.

A kezdeti és végső hadronok hullámamplitúdói a laboratóriumi rendszerben a szükséges pontossággal a következők:

u=√(2M)(w / 0) ū′=√(2M)(w′∗,–(w′∗/2M)(k–k′)σ),

ahol és háromdimenziós spinorok.

Közvetlen számítással jutunk a következő eredményre:

14.47. egyenlet - (135,8)

M_{f i}^{(0)} = - 8 π {(Z e)}^{2} (e^{' *} e) (w^{' *} w),

14.48. egyenlet - (135,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} M_{f i}^{(1)} = - 16 π i M μ_{a n}^{2} ω (w^{' *} σ w) (n^{'} \times e^{' *}) \times (n \times e) - \\ - 4 π i Z e μ_{a n} ω (w^{' *} σ w) {n [(n \times e) e^{' *}] + (n \times e) ({n e}^{' *}) - n^{'} [(n^{'} \times e^{' *}) e] - (n^{'} \times e^{' *}) (n e) - 2 e^{' *} \times e}, \end{aligned} & (135,9) \end{matrix}

ahol n=k∕ω,n′=k′∕ω′ .

A hatáskeresztmetszet

14.49. egyenlet - (135,10)

d σ = \frac{1}{64 π^{2}} | M_{f i} |^{2} \frac{ω^{' 2}}{M^{2} ω^{2}} d Ω^{'}

[vö. (65,19)]. Töltött részecskén való szórásra mind Mfi(1) mind Mfi(0) nullától különböző. A megkövetelt pontosság az |Mfi(0)|2 és a ℜ(Mfi(0)Mfi(1)∗) tagok megtartását engedi meg |Mfi|2 -ben. Az első tag adja a Thomson-hatáskeresztmetszetet , a második tag 0 lesz a fotonok és hadronok spinjére valóösszegezés után. Ezért a töltött hadronokon való szórás esetében a korrekciók csak a polarizációs effektusokban jutnak kifejezésre.

Elektromosan semleges hadronokon való szórásnál Mfi(0)=0 , és a hatáskeresztmetszetet |Mfi(1)|2 adja meg. A végső polarizációkra összegezve, a kezdetiekre átlagolva ez (a szokásos egységekben) a

14.50. egyenlet - (135,11)

d σ = \frac{2 μ^{4} ω^{2}}{ℏ^{2} c^{4}} (2 + {sin}^{2} 𝜗) d Ω^{'}

eredményt adja, ahol a foton szórási szöge, az anomális mágneses momentum pedig egybeesik a teljes mágneses momentummal. Megjegyezzük, hogy szögfüggése szerint ez a hatáskeresztmetszet az antiszimmetrikus szórás esetének felel meg (l. a 61. § 2. feladatát).