Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A kis frekvenciák határesetében bármilyen rögzített töltött részecskén kialakuló
fényszórás hatáskeresztmetszete a megfelelő klasszikus értékhez tart, melyet a
Thomson-képlet ad meg. Ennek a határesetnek egy -tól független,
-lal jelölhető amplitúdó felel meg. Kiderül azonban, hogy a fotonszórás
esetében (akárcsak az előző szakaszban vizsgált fékezési sugárzás esetén) nemcsak ez az
első, hanem az
szerinti sorfejtés következő tagja sem függ a hadron elektromágneses
szerkezetének részleteitől:
ahol (F. E. Low , 1954, M. Gell-Mann , M. L. Goldberger , 1954).
A vizsgált folyamatot három típusú diagram írja le:
amelyek közül az első kettőt ismét az egyrészecskés közbenső állapot
jellemzi, és ennek megfelelően járulékuknak pólusszingularitása van.
A számítások során követett gondolatmenet és elvi eljárás ugyanaz, mint a 134. §-ban volt. Elegendő csak a (135,2)a–b diagramok pólusainak
járulékát kiszámítani, miközben a bennük
szereplő elektromágneses alakfaktorokat sztatikus értékeikkel helyettesítjük (a
töltéssel és a
anomális mágneses momentummal) (134,15)-nek megfelelően.
A fékezési sugárzás esetétől eltérően azonban a bennünket érdeklő, a
Compton-effektus
hatáskeresztmetszetéhez adódó korrekció csak spines részecskékre nem tűnik el. A dolog
lényege az, hogy fékezési sugárzásnál a spinnel kapcsolatos járulékok mellett olyanok is
fellépnek, amelyek a „rugalmas” amplitúdó energiafüggésével kapcsolatosak. De a jelen esetben ez
utóbbi szerepét az alakfaktorok játsszák, melyek „fizikai végekre” az energiától
független állandók. Ezért fotonszórás esetén korrekciók csak a mágneses momentumból
származnak, amely spintelen részecskékre mindig nulla. Az alábbiakban a fotonnak
spinű hadronon való szóródását vizsgáljuk.
A pólusdiagramok járulékára a következő
kifejezést kapjuk [vö. (86,3), (86,4)]:
és a rövidség kedvéért bevezettük a
jelöléseket. A operátorokat a spinorokig cserélve és figyelembe véve
az
egyenleteket, a fenti kifejezést a következő alakra lehet
hozni:
Ez az írásmód (és hasonlóan a és
felcserélésével kapott alak) szemmel láthatóvá teszi a (135,3) kifejezés mértékinvarianciáját, amelynek
feltételei:
(az igazolás során vegyük figyelembe, hogy ).
Minthogy az amplitúdó pólusrésze már magában mértékinvariáns, ilyennek kell lennie a
reguláris résznek is [amely tartalmazza (135,2)c) diagram járulékát is]. Ebből következik, hogy e rész
és
hatványai szerinti kifejtésének négyzetes tagokkal kell kezdődnie [vö.
a (124,5) feltételre vonatkozó hasonló
megjegyzéssel]. Más szavakkal, az amplitúdó reguláris része csak
-tel arányos tagokkal kezdődő sorból áll, azaz nem ad járulékot a
bennünket érdeklő tagokhoz, melyek
-lal és
-gyel arányosak. Ez utóbbiakat következésképpen (135,3) teljességgel tartalmazza.
Kiszámításukra válasszuk a laboratóriumi vonatkoztatási rendszert, amelyben a kezdeti
elektron nyugszik. A fotonokra válasszuk a háromdimenziós transzverzális mértéket,
melyben . Ekkor
, és (135,6)-ból azonnal látható,
hogy
sorfejtésének első tagjai
-lal, a
-t tartalmazó tagok pedig csak
-gyel arányos járulékot adnak.
A kezdeti és végső hadronok hullámamplitúdói a laboratóriumi rendszerben a szükséges pontossággal a következők:
ahol és
háromdimenziós spinorok.
Közvetlen számítással jutunk a következő eredményre:
ahol .
[vö. (65,19)]. Töltött részecskén való
szórásra mind mind
nullától különböző. A megkövetelt pontosság az
és a
tagok megtartását engedi meg
-ben. Az első tag adja a Thomson-hatáskeresztmetszetet , a második tag 0 lesz a fotonok és hadronok spinjére
valóösszegezés után. Ezért a töltött hadronokon való szórás esetében a korrekciók csak a
polarizációs effektusokban jutnak kifejezésre.
Elektromosan semleges hadronokon való szórásnál, és a hatáskeresztmetszetet
adja meg. A végső polarizációkra összegezve, a kezdetiekre átlagolva
ez (a szokásos egységekben) a
eredményt adja, ahol a foton szórási szöge, az anomális mágneses momentum pedig egybeesik a
teljes mágneses momentummal. Megjegyezzük, hogy szögfüggése szerint ez
a hatáskeresztmetszet az antiszimmetrikus szórás esetének felel meg (l. a 61. § 2. feladatát).