Ugrás a tartalomhoz

Thomas-féle kalkulus, I. kötet

George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano

Typotex

2.7. Érintő és derivált

2.7. Érintő és derivált

Ebben az alfejezetben folytatjuk a szelők és érintők 2.1. alfejezetben megkezdett vizsgálatát. Az érintő meredekségét a szelők meredekségének határértékeként határozzuk meg.

Mit nevezünk egy görbe érintőjének?

Már tudjuk, hogy mikor nevezünk egy egyenest egy kör érintőjének: ahogy a 2.64. ábrán is látható, az L egyenes az adott kört a P pontban érinti, ha L merőleges a kör P végpontú sugarára. A kérdés mármost az, hogyan lehet ezt a fogalmat általánosítani, azaz: mikor mondjuk, hogy egy L egyenes az adott C görbét – annak P pontjában – érinti? A körre vonatkozó példa alapján a következőket állíthatnánk:

2.64. ábra. Az L egyenes a kör P pontbeli érintője, ha merőleges a kör P végpontú sugarára.

  1. L átmegy P-n és merőleges a P pontot a C középpontjával összekötő szakaszra;

  2. L -nek és C-nek csak egy közös pontja van: a P;

  3. L átmegy P-n és teljes egészében C egyik oldalán halad.

Kör és érintője esetén mindhárom állítás igaz ugyan, de egyik sem általánosítható tetszőleges görbére. A legtöbb görbének nincs is középpontja, az az egyenes pedig, amelyet C érintőjének akarunk nevezni, lehetséges, hogy a görbét más pontokban is metszi, sőt az is előfordulhat, hogy az érintési pont előtt a görbe egyik odalán, utána pedig a görbe másik oldalán halad. (2.65. ábra).

2.65. ábra. Az érintőkkel kapcsolatos tévhitek cáfolata.

Az általános érintődefiníció dinamikus: azon alapul, hogy miként viselkednek a P-re és a görbe P-hez közeli Q pontjaira illeszkedő szelők, amint Q egyre közelebb kerül P-hez, l. a 2.66. ábrát. Az alábbi lépéseket követjük:

2.66. ábra. A dinamikus érintőfogalom. A görbe P pontbeli érintője az az egyenes, amelynek meredeksége a PQ szelők meredekségének határértéke, amint QP.

  1. Abból indulunk ki, amit könnyen ki tudunk számolni: a PQ szelő meredekségéből.

  2. Megvizsgáljuk, mi lesz a szelők meredekségének határértéke, amint Q – a görbe mentén – P-hez közelít.

  3. Ha ez a határérték létezik, ezt tekintjük a görbe P-beli meredekségének, az ilyen meredekségű, a P ponton átmenő egyenest pedig a görbe P pontbeli érintőjének nevezzük.

Ezt az eljárást követtük a zuhanó kődarabról és a gyümölcslégy-populációról szóló, 2.1. alfejezetbeli példákban.

1. példa: Parabola érintője

Határozzuk meg az y=x2 egyenletű parabola meredekségét a (2,4) pontban. Írjuk fel a parabolát ebben a pontban érintő egyenes egyenletét.

2.67. ábra. Az y=x2 egyenletű parabola meredeksége P(2,4) pontban.

Megoldás

Tekintsük először a P-n és a P-hez közeli Q(2+h,(2+h)2) parabolapontokon átmenő szelőket. A PQ szelő meredeksége:

Ha h>0, akkor a Q pont a P-től jobbra helyezkedik el (mint a 2.67. ábrán); ha h<0, akkor P-től balra. Mindkét esetben igaz azonban, hogy amint QP, vagyis h0, a PQ szelő meredeksége 4-hez tart:

A parabola (2,4) pontbeli meredeksége ezek szerint 4.

A keresett érintő a P ponton átmenő, 4 meredekségű egyenes:

Függvénygrafikon érintője

2.68. ábra. A P-beli érintő meredeksége: limh0f(x0+h)-f(x0)h.

A különféle görbék érintőjének megtalálása a 17. század első felében a legfontosabb matematikai problémák egyike volt. A feladat több területen is kiemelt fontossággal bírt. Az optikában az érintő határozza meg, hogy az adott alakú lencsére érkező fénysugárnak mekkora a beesési szöge. A mechanikában a test pályáját leíró görbe érintője adja meg a sebesség irányát az adott pillanatban. A geometriában az egymást metsző görbék szögét a közös pontbeli érintők által bezárt szögként határozzák meg. Egy y=f(x) egyenletű görbe P(x,f(x)) pontbeli érintőjét a fent leírt dinamikus eljárással határozzuk meg. Első lépésben kiszámítjuk a P és a Q(x+h,f(x+h)) pontokon átmenő szelő meredekségét. Ezután megvizsgáljuk, létezik-e a meredekség határértéke, amint h0 (l. a 2.68. ábrát). Amennyiben a határérték létezik, a görbe P pontbeli meredekségének tekintjük, a P-beli érintő pedig az ilyen meredekségű, P-n átmenő egyenes.

Definíciók: Görbe meredeksége, érintője

Az y=f(x) egyenletű görbe meredeksége a P(x0,f(x0)) pontban:

A görbe P-beli érintője a P-n átmenő, m meredekségű egyenes.

Ha egy új definíció helyességéről akarunk meggyőződni, érdemes kipróbálni, hogy alkalmazható-e a korábbról már ismert esetekre. A következő példa igazolja, hogy a meredekség új definíciója a nem függőleges egyenesek esetében ekvivalens a 1.2. alfejezetbeli meghatározással.

2. példa: A definíció próbája

Igazoljuk, hogy az y=mx+b egyenes érintője bármely (x0,mx0+b) pontban önmaga.

Megoldás

Legyen f(x)=mx+b.

  1. Adjuk meg az f(x0) és az f(x0+h) függvényértékeket.

     

    f(x0)

    =mx0+b

      
     

    f(x0+h)

    =m(x0+h)+b=mx0+mh+b

      
  2. Határozzuk meg a limh0(f(x0+h)-f(x0))/h határértéket.

     

    limh0f(x0+h)-f(x0)h

    =limh0(mx0+mh+b)-(mx0+b)h=

      
      

    =limh0mhh=m

      
  3. Írjuk fel a P-beli érintő egyenletét. Az (x0,mx0+b) ponton átmenő, m iránytangensű egyenes egyenlete:

     

    y

    =(mx0+b)+m(x-x0)

      
     

    y

    =mx0+b+mx-mx0

      
     

    y

    =mx+b

      

Foglaljuk össze a 2. példában követett eljárás lépéseit.

Az y=f(x) egyenletű görbe (x0,f(x0)) pontbeli érintője..

1. Határozzuk meg az f(x0) és az f(x0+h) függvényértékeket.

2. Határozzuk meg az

meredekséget.

3. Ha létezik ez a határérték, akkor a keresett érintő egyenlete:

3. példa: Az y=1/x egyenletű görbe meredeksége és érintője az x0 abszcisszájú pontokban.

2.69. ábra. Az y=1/x egyenletű görbének két olyan érintője van, amelynek meredeksége -1/4 (3. példa).

  1. Határozzuk meg az y=1/x egyeletű görbe meredekségét az x=a0 abszcisszájú pontban.

  2. Melyik pontban lesz az érintő meredeksége -1/4?

  3. Mi történik a görbe (a,1/a) pontbeli érintőjével, ha a változik?

2.70. ábra. Az origó környékén igencsak meredek érintők egyre jobban közelítenek a vízszinteshez, amint az érintési pont az origótól távolodik.

Megoldás

  1. Esetünkben tehát f(x)=1/x. Az (a,1/a) pontbeli meredekség:

     

    limh0f(a+h)-f(a)h

    =limh01a+h-1ah=

      
      

    =limh01ha-(a+h)a(a+h)=

      
      

    =limh0-hha(a+h)=

      
      

    =limh0-1a(a+h)=-1a2

      

    Vegyük észre, hogy a limh0 ,,előtagot” minden tört előtt szerepeltetnünk kelett, egészen addig, amíg az utolsó lépésben – behelyettesítéssel – meg nem adtuk, mennyi is ez a határérték. Az a szám pozitív és negatív is lehet, de nem lehet egyenlő 0-val.

  2. Az y=1/x egyenletű görbe meredeksége az x=a abszcisszájú pontban -1/a2. Értéke tehát akkor -1/4, ha

    vagyis ha a2=4, azaz ha a=2 vagy a=-2 (l. a 2.69. ábrát).

  3. Vegyük észre, hogy -1/a2 minden a0 esetén negatív. Amennyiben a0+, az érintő egyre meredekebb lesz (l. a 2.70. ábrát). Ugyanez a helyzet akkor is, amikor a0-. Ahogy a egyre messzebb kerül (bármelyik irányban) az origótól, az érintő meredeksége 0- felé, maga az érintő pedig a vízszinteshez közelít. ∎

Változási sebesség. Függvény pontbeli deriváltja

Az

kifejezést az f függvény x0 pontbeli, h növekményhez tartozó differenciahányadosának nevezzük. Ha a differenciahányadosnak létezik határértéke, amint h0, akkor ezt a határértéket az f függvény x0 pontbeli deriváltjának vagy differenciálhányadosának nevezzük. Ha a differenciahányadost a megfelelő szelő meredekségeként értelmezzük, akkor a derivált a görbe x=x0 pontbeli meredekségét – vagyis az x0 abszcisszájú ponthoz tartozó érintő meredekségét – adja meg. Ha a differenciahányadost a 2.1. alfejezetbeli példák nyomán a függvény átlagos változási sebességeként interpretáljuk, akkor a deriváltat a függvény x=x0 pontbeli változási sebességének tekinthetjük. A derivált az analízis két legfontosabb fogalmának egyike, a következő két fejezetetben ő lesz a főszereplő. (A másik alapvető fogalom az integrálé, ezt a 5. fejezetben definiáljuk.)

4. példa: Pillanatnyi sebesség

A 2.1. alfejezet 1. és 2. példájában egy szabadon eső kődarab mozgását vizsgáltuk. A szabadesés Galilei-féle törvénye alapján tudjuk, hogy a kő t másodperc alatt y=4.9t2 méter hosszúságú utat tesz meg. Egyre rövidebb időtartamokat figyelembe véve becsültük meg, mekkora a kő sebessége 1 másodperc elteltével. Újabb ismereteink alapján már pontos választ adhatunk a kérdésre: mekkora a kő sebessége a t=1 pillanatban?

Megoldás

Legyen f(t)=4.9t2. A kő átlagsebessége a t=1 és a t=1+h pillanatok között eltelt idő alatt

Eszerint a kő sebessége a t=1 időpontban:

A 2.1. alfejezetben tehát jó becslést adtunk. ∎

Összegzés

Összefoglalásképpen leszögezhetjük: a görbék meredeksége és érintője, a függvény változási sebessége, a differenciahányados határértéke és a derivált tárgyalásakor lényegében mindig ugyanarról volt szó, az éremnek tehát öt odala van:

  1. az y=f(x) egyenletű görbe meredeksége az x=x0 helyen;

  2. az y=f(x) egyenletű görbe x=x0 abszcisszájú pontbeli érintőjének meredeksége;

  3. az f(x) függvény változási sebessége az x=x0 helyen;

  4. az f függvény x=x0 pontbeli deriváltja;

  5. az f(x0+h)-f(x0)h differenciahányados határértéke, amint h0.

2.7. Feladatok

Meredekség. Érintők

A 14. feladatokban az ábra alapján becsüljük meg a görbék meredekségét a P1, illetve a P2 pontban. (A nyomda ördöge nem alszik: lehetséges, hogy az Olvasó becslése jobb mint az, amelyik a Megoldásokban szerepel.)

A 510. feladatokban írjuk fel a görbét az adott pontban érintő egyenes egyenletét; számításunkat ellenőrizzük a görbe és az érintő ábrázolásával.

  1. y = 4 - x 2 ,   (-1,3)

  2. y = ( x - 1 ) 2 + 1 ,   (1,1)

  3. y = 2 x ,   (1,2)

  4. y = 1 x 2 ,   (-1,1)

  5. y = x 3 ,   (-2,-8)

  6. y = 1 x 3 ,   (-2,-18)

Állapítsuk meg a görbe adott pontbeli meredekségét, majd írjuk fel a görbét az adott pontban érintő egyenes egyenletét (1118. feladatok).

  1. f ( x ) = x 2 + 1 ,   (2,5)

  2. f ( x ) = x - 2 x 2 ,   (1,-1)

  3. g ( x ) = x x - 2 ,   (3,3)

  4. g ( x ) = 8 x 2 ,   (2,2)

  5. h ( t ) = t 3 ,   (2,8)

  6. h ( t ) = t 3 + 3 t ,   (1,4)

  7. f ( x ) = x ,   (4,2)

  8. f ( x ) = x + 1 ,   (8,3)

Állapítsuk meg a görbét az adott abszcisszájú pontban érintő egyenes meredekségét (1922. feladatok).

  1. y = 5 x 2 ,   x=-1

  2. y = 1 - x 2 ,   x=2

  3. y = 1 x - 1 ,   x=3

  4. y = x - 1 x + 1 ,   x=0

Adott meredekségű érintő

A megadott görbék melyik pontjában lesz vízszintes az érintő (2324. feladatok)?

  1. f ( x ) = x 2 + 4 x - 1

  2. g ( x ) = x 3 - 3 x

  3. Írjuk fel azoknak a -1 meredekségű egyeneseknek az egyenletét, amelyek érintik az y=1/(x-1) egyenletű görbét.

  4. Írjuk fel azoknak az 1/4 meredekségű egyeneseknek az egyenletét, amelyek érintik az y=x egyenletű görbét.

Változási sebesség

  1. Ledobott kő. Egy 100 méter magas torony tetejéről leejtünk egy követ; a kő t másodperc elteltével 100-4.9t2 méter távolságra van a talajtól. Mekkora a kő sebessége 2 másodperc elteltével?

  2. Rakéta sebessége. A kilövés után t másodperccel a rakéta 3t2 méter magasságban van a földfelszín felett. Mekkora a rakéta sebessége 10 másodperccel a kilövés után?

  3. Körterület változási sebessége. Mekkora a kör A=πr2 területének változási sebessége, ha r=3?

  4. Gömbtérfogat változási sebessége. Mekkor a gömb V=(4/3)πr3 térfogatának változási sebessége, amikor r=2?

Létezik-e érintő az adott pontban?

  1. Van-e az

    függvény grafikonjának érintője az origóban?

  2. Van-e a

    függvény grafikonjának érintője az origóban?

Függőleges érintők

Azt mondjuk, hogy az y=f(x) egyenletű görbének az x=x0 abszcisszájú pontban függőleges érintője van, ha

Az y=f(x)=x1/3 függvény esetében ez a helyzet az x=0 helyen:

 

limh0f(0+h)-f(0)h

=limh0h1/3-0h=

  
  

=limh01h2/3=.

  

Nem így áll a dolog a y=g(x)=x2/3 függvény esetében:

 

limh0g(0+h)-g(0)h

=limh0h2/3-0h=

  
  

=limh01h1/3,

  

ez a határérték azonban nem létezik, mivel limh0+=, viszont limh0-=- (l. az ábrát).

  1. Van-e az

    függvény grafikonjának érintője az origóban? Indokoljuk válaszunkat.

  2. Van-e az

    függvény grafikonjának érintője a (0,1) pontban? Indokoljuk válaszunkat.

T A 3544. feladatokban a következők a teendőink:

  • (a) Vázoljuk a megadott egyenletű görbét. Az ábra alapján állapítsuk meg, hol lehet a görbéknek függőleges érintőjük.

  • (b) Az (a) pontban adott válaszunkat számítással ellenőrizzük (a számítás során használjuk fel a 33. feladat előtt mondottakat).

  1. y = x 2 / 5

  2. y = x 4 / 5

  3. y = x 1 / 5

  4. y = x 3 / 5

  5. y = 4 x 2 / 5 - 2 x

  6. y = x 5 / 3 - 5 x 2 / 3

  7. y = x 2 / 3 - ( x - 1 ) 1 / 3

  8. y = x 1 / 3 + ( x - 1 ) 1 / 3

  9. y = { - | x | , x 0 x , x > 0

  10. y = | 4 - x |

Számítógépes függvényvizsgálat

Vizsgáljuk a 4548. feladatokban megadott függvényeket az alábbiak szerint.

  • (a) Ábrázoljuk az y=f(x) függvény grafikonját az [x0-1/2,x0+3] intervallumon.

  • (b) Rögzített x0 esetén a

    függvényérték csupán a h növekménytől függ.

  • (c) Állapítsuk meg, mennyi a limh0q(h) határérték.

  • (d) Ábrázoljuk az y=f(x0)+q(h)(x-x0) egyenletű szelőket a h=3,2,1 esetben. Ugyanebben a koordináta-rendszerben rajzoltassuk ki az x0 abszcisszájú ponthoz tartozó érintőt is.

  1. f ( x ) = x 3 + 2 x ,   x0=0

  2. f ( x ) = x + 5 x ,   x0=1

  3. f ( x ) = x + sin ( 2 x ) ,   x0=π/2

  4. f ( x ) = cos x + 4 sin ( 2 x ) ,   x0=π