Ugrás a tartalomhoz

BEVEZETÉS A GEOMETRIÁBA

Hajós György

Nemzeti Tankönyvkiadó Rt.

24. § Térelemek hajlásszöge

24. § Térelemek hajlásszöge

Két egyenes, illetve két sík hajlásszögével, majd sík és egyenes merőlegességével, végül sík és egyenes hajlásszögével foglalkozunk.

24.1 Tétel. Ha két konvex szög szárai páronként egyező irányúak, akkor a két szög egyenlő.

A síkban már bevezetett szóhasználatot elfogadva mondhatjuk, hogy a tétel szerint az egy állású szögek a térben is egyenlők.

Bizonyítás. A szögek párhuzamos száraira az O1A1=O2A2 és az O1B1=O2B2 távolságokat mérjük fel (177. ábra). Az O1A1A2O2 és O1B1B2O2 négyszögek parallelogrammák, mert két-két szemközti oldaluk párhuzamos és egyenlő. Ebből következik, hogy egyrészt O1O2 és A1A2, másrészt O1O2 és B1B2 párhuzamos és egyenlő szakaszok. Ugyanez áll akkor az A1A2 és B1B2 szakaszokra is, ezért A1A2B1B2 parallelogramma és A1B1=A2B1. Ezek szerint az O1A1B1 és O2A2B2 háromszögek egybevágók, mert oldalaik páronként egyenlők. E háromszögek megfelelő szögeire tehát O1A1B1=A2O2B2.

177

Tételünk jogot ad arra, hogy irányok szögéről a térben is beszélhessünk.

Két egyenes hajlásszögének (szög) nevezzük a tér egy pontján át velük párhuzamosan húzott egyeneseknek a hajlásszögét. Tételünk szerint ez a szög nem függ attól, hogy a tér melyik pontján át húztunk párhuzamosakat, hiszen ezek mindig négy páronként ugyanakkora szöget határolnak. Definíciónk szerint az egyenesek hajlásszöge csak az állásuktól függ.

Hangsúlyozzuk, hogy kitérő egyenesek is lehetnek merőlegesek egymásra. Ha azonban egy pontból egy egyenesre bocsátott merőlegesről beszélünk, akkor az egyenest metsző merőlegesre gondolunk. Ehhez a merőlegeshez az adott pont és egyenes síkján belül juthatunk el. Ennek a merőlegesnek a talppontja az adott pontnak az adott egyenesre vetett merőleges vetülete.

B Ennek a paragrafusnak több szakaszához fűzünk olyan megjegyzést, amely rámutat, hogyan egyszerűsödik a tárgyalás, ha a térmozgás ismeretére is építünk.

Egyszerűbben bizonyíthatjuk szakaszunk tételét is, ha előbb a tér eltolásaira vonatkozó ismereteinket némileg kiegészítjük. Toljuk el a tér minden pontját ugyanabban az irányban és ugyanakkora távolságra. Nyilvánvaló, hogy ez a leképezés az adott iránnyal párhuzamos egyeneseket, síkokat, valamint az általuk határolt félsíkokat és féltereket önmagukra képezi le. Az adott iránnyal párhuzamos síkokon belül ez a leképezés 14.4 szerint a sík eltolását adja, ebből pedig következik, hogy leképezésünk távolságtartó. Ezek szerint ez a leképezés a tér eltolásával azonos, hiszen távolságtartó, továbbá egy félteret és ennek határán elhelyezkedő félsíkot helyben hagy. Minthogy ilyen előírással a tér minden eltolásához eljuthatunk, minden eltolásra áll, hogy a tér pontjait ugyanabban az irányban és ugyanakkora távolságra viszi. Beszélhetünk tehát a tér eltolásának irányáról és távolságáról. Egy eltolást irányának és távolságának megadásával jellemezhetünk, de jellemezhetjük egyetlen pont kezdő és véghelyzetének megadásával is.

Az elmondottakból nyomban következik, hogy a tér eltolásai az egyenesek állását és irányát megtartják, s hogy az eltolások kommutatív csoportot alkotnak. 12.6 és 14.4 megállapításai tehát a térben is helyesek.

Szakaszunk tételének bizonyításaként elég ezek után arra hivatkozni, hogy az egyik szög csúcsát a másikéba átvivő eltolás az első szög szárainak az irányát nem változtatja meg, tehát ezeket a második szög száraira fekteti.

24.2 Tétel. Ha két metsző sík mindegyikében merőlegest állítunk a metszésvonalra, mégpedig ugyanabban a pontban, akkor e merőlegesek hajlásszöge nem függ a metszésvonal pontjának megválasztásától.

Bizonyítás. Ha a metszésvonal két pontjában mindkét síkon belül merőlegest állítunk a metszésvonalra (178. ábra), akkor párhuzamos egyenesekhez jutunk mindkét síkban. Az előző szakasz eszerint tételünk helyességét mondja ki. —

Ha két sík nem párhuzamos, hajlásszögüknek (szög) a metszésvonal egy pontjában a síkokon belül állított merőlegesek hajlásszögét mondjuk. A bizonyított tétel biztosítja azt, hogy ez a szög csak maguktól a síkoktól függ. Párhuzamos síkok hajlásszöge nullszög.

178

179

Síkok hajlásszöge csak az állásuktól függ, hiszen páronként egyező állású síkok metszésvonalai párhuzamosak, s ezért párhuzamosak a metszésvonataikra bennük állított merőlegesek is.

Egy egyenes által határolt két félsík a teret két részre vágja. Egy ilyen térrészt lapszögnek (lapszögtartomány) nevezünk. A határoló félsíkok a lapszög lapjai, közös határegyenesük, a lapszög éle. A lapszöget azzal a szöggel mérjük, melynek csúcsa a lapszög élén van, szárai a lapszög lapjain az élre merőlegesen helyezkednek el, szögtartománya pedig a lapszög belsejében van (179. ábra). Ez a szög az előző szakasz szerint nem függ csúcsának megválasztásától hiszen olyan szögekről van itt szó, amelyeknek szárai párhuzamosak és egy irányúak. Ha a lapszög szöge 90°-nál nem nagyobb, akkor ez a szög a határoló lapok síkjainak a hajlásszögét adja meg. A 180°-os lapszög a féltérrel azonos. A lapszögek közé sorolhatjuk 360°-os lapszögként a teljes teret, valamint 0°-os lapszögként a félsíkot is. Megemlítjük, hogy ha egyenlő, nagyobb vagy kisebb lapszögekről, továbbá lapszögek számszorosáról, összegéről vagy különbségéről beszélünk, akkor ezzel a lapszögek szögei között fennálló kapcsolatra utalunk.

Két közös határú félsík hajlásszöge (szög) az általuk határolt két lapszög szögének a kisebbike. Egymást síkká kiegészítő félsíkok hajlásszöge 180°.

B1 A lapszög definíciójában a tér kettévágásáról volt szó. 3.1 B mintájára rámutatunk arra, hogy a két térrészhez hogyan juthatunk el. Nem kell foglalkoznunk azzal az esettel, amikor a felbontó félsíkok együttesen egy teljes síkot alkotnak, mert ez a sík a teret félterekre bontja fel. Minden más esetben a félsíkok síkjai egy-egy olyan félteret határolnak, amelyik tartalmazza a másik félsíkot. E két féltér közös része a keresett térrészek egyike, a másik pedig ezt a térrészt a teljes térré egészíti ki.

B2 Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a lapszögekre vonatkozó legegyszerűbb tények bizonyítása ezen a helyen még akadályokba ütköznék. Rövidesen azonban erre is sor kerül (lásd 24.4).

24.3 Egy egyenes és egy sík akkor merőleges egymásra, ha az egyenes a sík minden egyenesére merőleges. Természetesen csak a síkot döfő egyenesnek lehet meg ez a tulajdonsága, hiszen a síkkal párhuzamos, valamint a síkban elhelyezkedő egyenesek a sík egyenesei közül egyesekkel párhuzamosak, s így nem lehetnek merőlegesek azokra. A síkot döfő egyenes merőlegességének kimondásához elég azt megkövetelni, hogy a síknak a döfésponton áthaladó egyeneseire legyen merőleges, hiszen a sík minden egyenese párhuzamos ezeknek valamelyikével.

Tétel. Ha egy egyenes merőleges egy síknak két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges a síkra is.

Másként szövegezve azt mondja ki e tétel, hogy a szóban forgó egyenes a sík minden egyenesére merőleges. Ha tételünk kimondásakor már eleve csak a síkot döfő egyenesre szorítkozunk, akkor az előre bocsátottak alapján kimondhatjuk: Ha egy a síkot döfő egyenes merőleges a síknak a döfésponton áthaladó két egyenesére, akkor merőleges a síkra is.

Bizonyítás. a) Először azt bizonyítjuk, hogy ha az A, B pontok mindegyike ugyanolyan messze van P-től, mint Q-tól, akkor az AB egyenes minden pontja ilyen. Feltevésünk szerint az ABP, ABQ háromszögek egybevágók, hiszen oldalaik páronként egyenlők. Ebből következik, hogy ha az AB egyenes által határolt, a P, Q pontokat tartalmazó félsíkokat AB körül elforgatva egymásra fektetjük, akkor a P, Q pontok helyzete azonos lesz. Ez pedig azt jelenti, hogy ennek a két pontnak az AB egyenes pontjaitól mért távolságai az elforgatás előtt is egyenlők voltak.

b) Legyen e merőleges az S sík két egymást metsző egyenesére. Kell, hogy e döfje az S síkot, mert különben volna az S síkban c-vel párhuzamos egyenes, és ez nem lehet merőleges S-nek két egymással nem párhuzamos egyenesére. Legyen e döféspontja D, és legyenek a D ponton áthaladó a, b egyenesek párhuzamosak azzal a két egyenessel, amelyekről tudjuk, hogy e-re merőlegesek. Tudjuk tehát, hogy e merőleges az a, b egyenesekre, és azt kell bizonyítanunk, hogy e merőleges a D ponton áthaladó, S síkban tetszőlegesen felvett c egyenesre is, hiszen akkor e a sík minden egyenesére merőleges (180. ábra).

180

Az e egyenesen D-re nézve szimmetrikusan elhelyezkedő P, Q pontokat veszünk fel. Az a, b egyenesek minden pontja egyenlő távolságra van ezektől a pontoktól, hiszen ezek az egyenesek merőlegesen felezik a PQ szakászt. Az S síkban olyan egyenest veszünk fel, amely az a, b, c egyeneseket egymástól különböző A, B, C pontokban metszi. Minthogy az A, B pontok ugyanolyan messze vannak P-től, mint Q-tól, a) szerint a C pont is ilyen. Ugyancsak a) szerint ilyen akkor a c, azaz CD egyenes valamennyi pontja, hiszen D is rendelkezik a mondott tulajdonsággal. Ebből azonban következik, hogy merőlegesen felezi a PQ szakaszt. —

A bizonyított tételből nyomban következik, hogy van olyan egyenes és sík, amelyek egymásra merőlegesek, mert könnyű két olyan egyenest szerkeszteni, amelyek egy adott egyenesre merőlegesek, és egymást pl. az adott egyenes egy pontjában metszik.

B Ha a tárgyalást a térelmozgatásokra alapozzuk, akkor ennek a szakasznak a tételéhez a következőképpen juthatunk el:

Tekintsük az S síkot és rajta kívül a P pontot. A P pont, valamint S-re vonatkozó Q tükörképe a szimmetria következtében S minden egyes pontjától egyenlő távolságra van. Ebből következik, hogy a P, Q pontokon átfektetett síkok mindegyike S-et a PQ szakasz felezőmerőlegesében metszi, hogy tehát a PQ egyenes S-re merőleges. Minthogy a síknak egy szakasz felezőmerőlegeséhez nem illeszkedő pontjai a szakasz végpontjaitól különböző távolságra vannak, azt is megállapíthatjuk, hogy S a P, Q pontoktól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye. Mivel a PQ szakasz minden felezőmerőlegese ilyen pontokból áll, az S sík mindezeket a felezőmerőlegeseket tartalmazza.

A PQ egyenesről és egy pontjáról, ti. a PQ szakasz felezőpontjáról megállapítottuk, hogy az egyenesre ebben a pontjában emelt merőlegesek egy síkot alkotnak. Ugyanez igaz akkor bármely egyenesre és annak bármely pontjára, hiszen elmozgathatjuk a teret úgy, hogy egy egyenes és egy pontja tetszőlegesen előírt helyzetbe jusson.

Nyomban belátható most már a szakaszunkban kimondott tétel helyessége is. Elég ehhez azt megjegyezni, hogy ha az a, b egyenesek az e egyenest egy T pontjában merőlegesen metszik, akkor a és b síkja a T-ben e-re emelt merőlegesek síkjával azonos.

24.4 Tétel. Egy egyenesre egy pontjában állított merőlegesek mindannyian egy síkban vannak. Ez az egyetlen olyan sík, amely ezt az egyenest a megadott pontban merőlegesen metszi.

Bizonyítás. a) Emeljünk merőlegeseket az e egyenesre D pontjában. Legyen a és b kettő ezek közül. E két egyenes S síkja az előző szakasz szerint merőleges e-re. Legyen c egy tetszőleges egyenes a D-ben e-re emelt merőlegesek közül, e és c síkja az S síkot ugyancsak olyan egyenesben metszi, amely merőlegesen metszi az e egyenest a D pontban. Ez a metszésvonal azonos c-vel, mert egy síkban egy egyenesre egy ponton át csak egyetlen merőleges egyenes húzható. Ezek szerint c az S síkban van.

b) Ha egy sík áthalad a D ponton és merőleges e-re, akkor tartalmaz olyan egyeneseket, amelyek az e egyenest D-ben merőlegesen metszik, tartalmaz tehát az S sík által is tartalmazott egyeneseket. Ezért a szóban forgó sík S-sel azonos. —

Hozzáfűzhetjük a bizonyításhoz, hogy S minden pontján áthalad olyan egyenes, amely az e egyenest D-ben merőlegesen metszi. Tételünk alapján kimondhatjuk tehát, hogy ha egymást merőlegesen metsző egyenesek síkját az egyik egyenes körül megforgatjuk, akkor a másik egyenes az elsőre merőleges síkot ír le. Ugyanezt a tényt mondja ki az a megállapítás, hogy ha egy derékszöget egyik szára körül megforgatunk, akkor a másik szár az elsőre merőleges síkot ír le. Hasonlóképpen azt is megállapíthatjuk, hogy ha egy síkot egy egyenese körül megforgatunk, akkor a síknak egy ehhez a forgástengelyhez nem illeszkedő pontja kört ír le, ennek síkja merőleges a forgástengelyre, középpontja pedig a forgástengelyen van.

Ha egy félsíkot forgatunk el határegyenese körül, lapszöghöz juthatunk. Miközben a félsík végigsöpri ezt a lapszöget, egy a félsíkon belül a határegyenesre emelt merőleges — mint láttuk — egy síkban mozog, mégpedig éppen olyan szöget súrol, amely 24.2 szerint lapszögünk mértékét adja meg. Ezek szerint a lapszög szögét úgy is megkaphatjuk, hogy a lapszöget egy az élére merőleges síkkal elmetsszük. Közvetlenül belátható ilyen módon, hogy ha két közös élű lapszög egyike tartalmazza a másikat, akkor az elsőnek a szöge a nagyobb, hogy továbbá a lapszög éle által határolt és a lapszög belsejében haladó félsík a lapszöget két olyan lapszögre bontja fel, amelyek szögei összegül az eredeti lapszög szögét adják, hogy végül a lapszöget egyértelműen meghatározzuk, ha megadjuk egyik lapját, a szögét, valamint megmondjuk, hogy a lapszög az adott lap síkja által határolt félterek melyikében van, vagy melyiket tartalmazza. Szó lehet tehát egy lapszöget felező félsíkról, és ennek síkjáról, a lapszög felezősíkjáról, valamint metsző síkok két (egymásra merőleges) szögfelező síkjáról is. A most mondottak alapján két közös határú félsík irányított szögéről is beszélhetünk. Ehhez a határegyenesre merőleges síkokban jutunk el, és méréséhez az ilyen sík irányítása, azaz a határegyenes körüli pozitív irányú térelforgatás ismerete szükséges.

Tétel. Két ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye sík. Ez a sík a két pont összekötő szakaszát felezi és merőleges rá.

Bizonyítás. a) Ha a P pont az A, B pontoktól egyenlő távol van, akkor rajta van az AB szakasznak az ABP síkon belül szerkesztett felezőmerőlegesén. Rajta van tehát P az előző tétel szerint azon az S síkon, amelyiket AB felezőmerőlegesének forgatásával nyerünk, amelyik tehát az AB szakaszt merőlegesen felezi.

b) Ha a P pont nincs A-tól és B-től egyenlő távolságra, akkor az AB szakasznak az APB síkon belül szerkesztett c felezőmerőlegesén sincs rajta. Minthogy az APB sík az S síkot c-ben metszi, P nincs az S síkon. —

A bizonyítás alapján kiegészíthetjük tételünket azzal, hogy ha PA<PB, akkor a P pont abban az S által határolt féltérben van, amelyik az A pontot is tartalmazza.

B Ha a tárgyalást a térelmozgatásokra alapozzuk, tehát 24.3 B tárgyalását folytatjuk, akkor ez a szakasz majdnem feleslegessé válik. Szakaszunk első tételét ugyanis már 24.3 B-ben bebizonyítottuk, sőt az ott szereplő P, Q pontokra vonatkozólag a második tételt is. Ehhez most csak azt a kiegészítést kell fűznünk, hogy a PQ egyenesen a PQ szakasz helyett egy tetszőlegesen előírt hosszúságú, az S síkra vonatkozólag ugyancsak szimmetrikus szakaszt vehetünk fel, és ezért a második tétel egymástól tetszőlegesen távoli pontokra, tehát minden pontpárra helyes. Utolsó következtetésünk a térelmozgatások ismeretén alapszik, azon a tényen, hogy a tér elmozgatása révén bármely szakasz ráfektethető egy megadott ugyanakkora szakaszra.

Azzal kapcsolatban, amit egy félsíknak a határegyenese körüli elforgatásáról mondtunk, itt mindjárt a térnek egy tengely körüli elforgatásáról szólhatunk. Kimondhatjuk tehát, hogy ha a teret egy egyenes körül elforgatjuk, akkor az egyenesre merőleges síkok az egyenes döféspontja körül fordulnak el. A tér tengely körüli elforgatása felfogható eszerint egy pontja körül forgó síkhoz tapasztott tér elfordulásaként is. Igaz akkor, hogy a forgó síkhoz tapasztott tér meg tengely körül forog, hiszen bármely síkot és egy pontját a tér elmozgatása segítségével megadott helyzetbe vihetünk.

A tér elforgatását a tengelynek, valamint egy rá merőleges irány kezdő- és véghelyzetének a megadásával jellemezhetjük, hiszen ezek az irányok megszabják a tengelyre merőleges síkok elfordulását. Ez a két irány egy irányított szöget ad meg. Az ehhez tartozó forgásszögek a tér elforgatásának irányát és szögét szolgáltatják.

24.5 Miután az előző két szakaszban megismerkedtünk az egymásra merőleges sík és egyenes fogalmával, majd olyan tételekkel, amelyek egy megadott egyenest merőlegesen metsző síkhoz vezetnek el, ebben a szakaszban az egymásra merőleges síkra és egyenesre vonatkozó alapvető tényekkel ismerkedünk meg.

Tétel. Ha egy sík merőleges egy egyenesre, akkor merőleges bármely ezzel párhuzamos egyenesre is.

Bizonyítás. A sík egyenese a két párhuzamos egyenessel egyenlő szögeket zár be. Ha tehát e szögek egyike derékszög, akkor derékszög a másik is. —

Tétel. Ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor merőleges bármely ezzel párhuzamos síkra is.

Bizonyítás. A második sík minden egyeneséhez található 23.5 szerint olyan párhuzamos, amelyik az első síkban helyezkedik el. Minthogy pedig az első sík egyenesei merőlegesek egyenesünkre, ez a második sík egyeneseire is áll. —

A most bizonyított két tételt egybefoglalva kimondhatjuk, hogy az egyenes és a sík merőlegessége csak állásuktól függ.

Tétel. Adott ponton át egy és csak egy olyan sík fektethető, amely egy adott egyenesre merőleges.

Bizonyítás. a) Már 24.4 első tétele kimondotta tételünk helyességét arra az esetre, amidőn az adott pont illeszkedik az adott egyeneshez.

b) Ha az adott P pont nem illeszkedik az adott e egyeneshez, akkor a P ponton át e-vel párhuzamos f egyenest fektetünk, a) szerint egyetlenegy f-re merőleges és a P pontot tartalmazó sík van. Szakaszunk első tétele szerint ez a sík e-re is merőleges, és a keresett sík csak ez az f-re merőleges sík lehet. —

Tétel. Adott ponton át egy és csak egy olyan egyenes halad, amely egy adott síkra merőleges.

Bizonyítás. a) Az adott S síkban egymást metsző g1,g2 egyeneseket választunk. Az adott P ponton át ezekre merőleges S1,S2 síkokat fektetünk (181. ábra). E síkok tartalmaznak (legalább) egy közös, a P ponton áthaladó e egyenest, hiszen P a két sík közös pontja. A merőlegesség definíciója szerint az e egyenes merőleges g1-re és g2-re. 24.3 tétele szerint tehát e merőleges S-re is.

181

b) A P ponton át nem haladhat két S-re merőleges egyenes, mert akkor ezeknek síkja S-et olyan egyenesben metszené, amelyre ebben a síkban P-ből két merőleges volna bocsátható. —

Tétel. Két ugyanarra a síkra merőleges egyenes párhuzamos egymással.

Első tételünkkel egybefoglalva azt mondja ki ez a tétel, hogy ha e merőleges egy síkra, akkor valamely másik egyenes akkor és csak akkor merőleges rá, ha c-vel párhuzamos.

Bizonyítás. Egy ponton áthaladó s a két egyenessel párhuzamos egyeneseket tekintünk. Szakaszunk első tétele szerint ezek is merőlegesek a síkunkra. Az előző tétel szerint e két egyenes tehát azonos, és ezért a tételben szereplő két egyenes párhuzamos. —

Tétel. Két ugyanarra az egyenesre merőleges sík párhuzamos egymással.

Az előző tételnél mondottak mintájára tételünket a második tétellel foglalhatjuk egybe: ha S merőleges egy egyenesre, akkor valamely másik sík akkor és csak akkor merőleges rá, ha S-sel párhuzamos.

Bizonyítás. Egy ponton áthaladó s a két síkkal párhuzamos síkokat tekintünk. E szakasz második tétele szerint ezek a síkok is merőlegesek egyenesünkre, s akkor a harmadik tétel szerint azonosak. Így tehát a tételben szereplő síkok párhuzamosak. —

Tételeinket összefoglalva kimondhatjuk, hogy egymásra merőleges sík és egyenes állása egymást kölcsönösen és egyértelműen meghatározza.

24.6 Ebben a szakaszban olyan tételeket tárgyalunk, amelyek a sík és egyenes merőlegességét egyenesek merőlegességével, valamint síkok merőlegességével hozzák kapcsolatba.

Tétel. Legyen az e egyenes az S síkra merőleges. Valamely egyenes akkor és csak akkor merőleges az e egyenesre, ha nem döfi az S síkot.

Bizonyítás. Legyen f a szóban forgó egyenes, D pedig e és S metszéspontja (182. ábra). A D ponton át f-fel egyező állású g egyenest fektetünk.

f akkor és csak akkor nem döfi az S síkot, ha g sem döfi, ha tehát g az S síkban van. Ez viszont akkor és csak akkor következik be, ha g és vele együtt f is merőleges az e egyenesre. —

182

Tételünk azt is kimondja, hogy ha két egyenes egymásra merőleges, és az egyiknek valamely pontján át a másikra merőleges síkot fektetünk, akkor ez a sík tartalmazza az első egyenest. Így tehát egymásra merőleges egyenesek egyikén át a másikra merőleges síkot fektethetünk.

Tételünkből is következik, hogy ha egy sík pontjaiból egy rá merőleges egyenesre merőlegeseket bocsátunk, akkor ezeknek a talppontja közös, ti. azonos a sík és a rá merőleges egyenes döféspontjával. Ez a kijelentés azt is magában foglalja (az előző bekezdésben mondottakra hivatkozva), hogy ha egy egyenes pontjait merőlegesen vetítjük egy rá merőleges egyenesre, akkor egyetlen közös talpponthoz jutunk.

Utolsó megállapításunk többek között azt is kimondja, hogy ha egy síkra merőleges egyenes döféspontjából, valamint egy további pontjából merőlegest bocsátunk a síknak ugyanarra az egyenesére, akkor ugyanaz a talppont adódik (három merőleges tétele).

Tétel. Egymást metsző síkok hajlásszöge a rájuk merőleges egyenesek hajlásszögével egyenlő.

Bizonyítás. Egy az S1,S2 síkok m metszésvonalára merőleges S sík ezeket a síkokat az m1,m2 egyenesekben metszi (183. ábra). Metszéspontjukban az S1,S2 síkokra merőleges e1,e2 egyeneseket állítunk. Ezek S-ben vannak, hiszen m-re is merőlegesek. Azt kell bizonyítanunk, hogy az m1,m2 egyenesek hajlásszöge az e1,e2 egyenesek hajlásszögével egyenlő. Ez abból következik, hogy az S síknak egymásra páronként merőleges egyeneseiről van szó. —

183

A most bizonyított tétel többek között azt is kimondja, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a síkokra merőleges egyenesek egymásra is merőlegesek.

Tétel. Legyen az e egyenes az S síkra merőleges. Valamely sík akkor és csak akkor merőleges az S síkra, ha nem metszi az e egyenest.

Bizonyítás. Legyen S1 a szóban forgó sík, és e1 egy rá merőleges egyenes (184.ábra). Éppen az imént láttuk be, hogy S1 akkor és csak akkor merőleges S-re, ha e1 merőleges e-re. Ez viszont szakaszunk első tétele szerint akkor és csak akkor következik be, ha e nem döfi az S1 síkot. —

184

Tételünk többek között kimondja, hogy ha az e egyenesen át síkot fektetünk, akkor S-re merőleges síkhoz jutunk, s hogy ha egymásra merőleges síkok metszésvonalának egy pontjában az egyik síkra merőlegest állítunk, akkor a másik síkban elhelyezkedő egyeneshez jutunk.

Tétel. Ha egymásra merőleges síkok egyikében merőlegest állítunk a metszésvonalra, a másik síkra merőleges egyeneshez jutunk.

Bizonyítás. A merőleges S1,S2 síkok m metszésvonalára egy pontban a két síkon belül e1,e2 merőlegeseket állítunk (185. ábra). A síkok merőlegessége miatt e1 merőleges e2-re. Minthogy e1 az m egyenesre is merőleges, merőleges az S2 síkra is. —

Tétel. Ugyanarra a síkra merőleges síkok egymást a síkra merőleges egyenesben metszik.

A tétel csak úgy értendő, hogy ha van metszésvonal, akkor az merőleges.

Bizonyítás. Tekintsük az S síkra merőleges S1,S2síkokat és a rá ugyancsak merőleges (S1-hez és S2-höz nem illeszkedő) e egyenest (183. ábra). Az S1,S2 síkok az utolsó előtti tétel szerint e-vel párhuzamosak. Metszésvonaluk tehát 23.3 szerint párhuzamos e-vel, s ezért szintén merőleges S-re. —

185

A most bizonyított tétel alapján kimondhatjuk, hogy ha egy sík egy egyenesen átfektetett síkok közül kettőre merőleges, akkor mindre merőleges, s hogy egy sík akkor és csak akkor merőleges egy egyenesre, ha a rajta átfektetett síkokra merőleges.

24.7 Ebben a szakaszban az egyenes és a sík hajlásszögének bevezetése a cél, és evégből először a síkra való merőleges vetítésről lesz szó. Ehhez kapcsolódva tárgyaljuk a síkra vonatkozó tükrözést is.

Egy pontból egy síkra bocsátott merőleges egyenest a pont merőleges vetítőegyenesének, döféspontját a pont merőleges vetületének (projekció) nevezzük. A pontból a síkra bocsátott merőlegesnek (merőleges szakasz) mondjuk a pontnak és vetületének az összekötő szakaszát is, a pont vetülete ennek a merőlegesnek a talppontja.

Egy adott síkra való merőleges vetítés (projekció, projiciálás) az a ponttranszformáció, amely a tér minden pontjához az adott síkra vetett merőleges vetületét rendeli hozzá. Egy alakzat vetülete az alakzat pontjainak vetületéből áll. Az adott sík alakzata egyben a saját vetülete is. Szó van ugyan néha másfajta vetítésről is, a leggyakrabban azonban a merőleges vetítés szerepel, és ezért a merőleges jelzőt általában elhagyjuk.

Tétel. Egy adott síkra nem merőleges egyenesen át egyetlenegy olyan sík fektethető, amely merőleges az adott síkra. A két sík metszésvonala az egyenesnek az adott síkra vetett merőleges vetülete.

A tétel csak az adott síkra nem merőleges egyenesekről szól, hiszen merőleges egyenesen átfektetett síkok mindegyike merőleges az adott síkra. Az ilyen merőleges egyenes esetében a döféspont egyben az egyenes merőleges vetülete. Tételünk kimondja, hogy minden más esetben az egyenes merőleges vetülete is egyenes. A tételben említett egyetlen merőleges síkot a szóban forgó egyenes (merőleges) vetítősíkjának mondjuk.

Bizonyítás. a) Tekintsük az S síkot, a rá nem merőleges e egyenest és ennek egy P pontját (186. ábra). A keresett síknak 24.6 harmadik tétele szerint tartalmaznia kell a P-ből S-re bocsátott m merőlegest. A keresett sík eszerint csak az egymást P pontban metsző e és m egyenesek T síkja lehet. Ez a sík 24.6 említett tétele szerint valóban merőleges is az S síkra.

b) Bizonyítanunk kell még, hogy az S, T síkok v metszésvonala valóban az e egyenes merőleges vetülete. Az m egyenes metszi a T síkban elhelyezkedő e, v egyeneseket. Igaz ezért, hogy ha e két egyenes valamelyikének egy pontján át m-mel párhuzamos egyenest fektetünk, akkor ez metszi a két egyenes közül a másikat is. Minthogy az m-mel párhuzamos egyenesek S-re merőlegesek, megállapításunk azt jelenti, hogy e minden pontjának vetülete v-hez tartozik, és v minden pontja e valamelyik pontjának a vetülete. —

186

Ha egy egyenes nem merőleges egy síkra, akkor hajlásszögük (szög) az egyenesnek és a síkra vetett merőleges vetületének a hajlásszöge. A síkra merőleges egyenes hajlásszöge derékszög. A síkkal párhuzamos állású egyenes hajlásszöge nullszög. Az egyenes és a sík hajlásszögének ismeretében szó lehet természetesen a szakasznak, félegyenesnek vagy iránynak a síkkal alkotott hajlásszögéről is.

A síkra vonatkozó tükrözés minden ponthoz a pontnak a saját vetületére vonatkozó tükörképét rendeli. Megállapíthatjuk, hogy ez a tükrözés csak a sík pontjait hagyja változatlan helyzetben, és hogy a síkra merőleges egyenesen belül a döféspontra vonatkozó tükrözést, a síkra merőleges síkon belül pedig a két sík metszésvonalára vonatkozó tükrözést jelent. Ezekből a tulajdonságokból következik, hogy minden pont a saját tükörképének a tükörképe, hogy továbbá a síkra vonatkozó tükrözés távolságtartó, azaz egybevágóság, s így szögtartó is.

Itt említjük, miután a térelemek hajlásszögét minden lehetséges esetben tisztáztuk, hogy beszélhetünk egymást metsző kör és egyenes, két kör, valamint kör és sík hajlásszögéről is. Ehhez úgy jutunk, hogy a kört a metszéspontbeli érintőjével pótoljuk. Kör és sík esetét illetően megjegyezhetjük, hogy a két metszéspontban ugyanakkora hajlásszög keletkezik. Ez arra a síkra vonatkozó szimmetriából következik, amelyik merőleges a síkra és a kör síkjára, továbbá áthalad a kör középpontján.

B1 Definiáltuk a síkra vonatkozó tükrözést, és levezettük egyes olyan tulajdonságait is, amelyeket a bevezető fejezetből már ismerünk. Nincs erre szükség, ha a bevezető fejezet egészére, tehát a térmozgásokra is építünk. Ebben az esetben elég lett volna itt csak a tükörsíkra merőleges egyenesek és síkok tükröződéséről szólnunk.

B2 A tér szögtartó leképezései nemcsak a metsző egyenesek szögét, hanem kitérő egyenesek szögét, síkok szögét, valamint sík és egyenes szögét is megtartják. Ez abból következik, hogy a párhuzamosság megtartása a szögtartásnak már ismert következménye, s hogy az említett szögfajtákat a párhuzamosságra támaszkodva metsző egyenesek szögével definiáltuk. Megállapításunk nemcsak az egybevágóságokra és köztük a tükrözésekre, hanem a térhasonlóságaira is vonatkozik.

24.8 Ebben a szakaszban a térmozgásokkal foglalkozunk. Nem építünk arra, amit a térmozgásokról a bevezető fejezetben mondottunk, és ezért újból definiáljuk a tér eltolását, elforgatását és elmozgatását, igazoljuk ezeknek a transzformációknak bizonyos tulajdonságait, így többek között azokat is, amelyek a bevezető fejezetben már említést nyertek. Eljárásunk indokolását illetően 6.5 B5-re utalunk.

a) A tér egy ponttranszformációja akkor eltolás (tranzláció), ha bármely két A, B ponthoz olyan A1,B1 pontokat; rendel, hogy az AA1,BB1 irányított szakaszok egy irányúak és egyenlők. Egy eltolást eszerint az eltolás irányának és távolságának megadásával jellemezhetünk. Az el nem mozgatást is az eltolások közé soroljuk; ennek távolsága 0, irányát pedig tetszőlegesnek tekinthetjük.

A definícióból következik, hogy a tér eltolása az eltolás irányával párhuzamos egyeneseket és síkokat önmagukban tolja el, s hogy ugyanezt e síkoknak ilyen egyenesek által határolt félsíkjairól, valamint az ezek által a síkok által határolt félterekről és a félsíkjaik által határolt lapszögekről is elmondhatjuk.

Minthogy bármely egyenesen átfektethetünk olyan síkot, amely az eltolás irányával párhuzamos, és ez a sík önmagában tolódik el, a sík eltolásának ismert tulajdonságaira hivatkozva azt is megállapíthatjuk, hogy a tér eltolása távolságtartó és egyenestartó, s hogy az egyenesek állását és az irányokat nem változtatja meg. 23.6 első tételére hivatkozva az is adódik, hogy az eltolás síktartó és a síkok állását megtartja. Ha két eltolás van adva, az irányukkal párhuzamos síkok eltolódásából következik, hogy két eltolás egymás utáni alkalmazása újból eltolást ad, s hogy az eredő eltolás nem függ a két összetett eltolás sorrendjének a megválasztásától.

b) A tér elforgatása olyan ponttranszformáció, amely az e egyenesre merőleges S síkot e döféspontja körül forgatja el, az e egyenes által határolt félsíkok mindegyikét pedig úgy forgatja el e körül, hogy az S síkkal alkotott metszésvonala az S síkban adott elforgatás előírása szerint változzék meg. Ez az elforgatás 24.4 szerint az e-re merőleges síkok mindegyikét e döféspontja körül forgatja el, mégpedig úgy, hogy ha ezeket a párhuzamos síkokat egymásnak megfelelő módon irányítjuk, akkor elforgatásaikat ugyanazok a szögek mérik. Az S sík szerepét ezek szerint az e-re merőleges síkok bármelyike átveheti.

A tér elforgatását tengelyének, irányának és szögének megadásával jellemezhetjük. Az elforgatás ugyanúgy nem határozza meg egyértelműen a forgásirányt és a szöget, mint ahogyan az irányított szög nem szabja meg egyértelműen a hozzátartozó forgásszöget (vö. 3.5). A tér elforgatásai közé sorolt el nem forgatás a forgástengelyt sem határozza meg, hiszen azt tetszőlegesnek gondolhatjuk. Az elforgatás definíciójából kiolvasható, hogy egy elforgatást egyértelműen jellemzünk, ha megadjuk a forgástengelyt és egy általa határolt félsík kezdő és elforgatott helyzetét.

Megállapíthatjuk, hogy a tér elforgatása csak a tengely pontjait hagyja változatlan helyzetben, hacsak nem el nem forgatásról van szó. Minthogy a tengelyre merőleges síkok helyzete nem változik meg, ugyanez az ezek által a síkok által határolt félterekre is áll.

A tengelyre támaszkodó félsíkok elforgatása mutatja, hogy a tér elforgatása a tengellyel párhuzamos (és az általa tartalmazott) szakaszok hosszát nem változtatja meg. Nem változik meg a tengelyre merőleges szakaszok hossza sem, hiszen egy a tengelyre merőleges síkon belül fordulnak el, és a sík elforgatása távolságtartó. Könnyen adódik most már, hogy a tengelyhez szögben hajló szakaszok hossza sem változik meg, hiszen ezeket egy-egy olyan derékszögű háromszög átfogójának tekinthetjük, amelynek egyik befogója párhuzamos a tengellyel és a másik merőleges rá; ha pedig a befogók hossza változatlan, akkor nem változik az átfogó hossza sem. A most mondottakat összefoglalva kimondhatjuk, hogy a tér elforgatása távolságtartó.

c) A tér elmozgatásához úgy jutunk, hogy egymást követően véges sok eltolást és elforgatást alkalmazunk. Lehetséges tehát, hogy egyetlen eltolás vagy elforgatás szerepel csak, de lehetséges az is, hogy az eltolások és elforgatások megadott sorrendjében e kétfajta művelet váltakozva, tetszőlegesen vegyítve fordul elő.

Nyomban következik az elmozgatás definíciójából, hogy két elmozgatás egymásutánja ismét elmozgatást ad. Könnyen beláthatjuk azt is, hogy egy elmozgatás ellentétes transzformációja ugyancsak elmozgatás. Ehhez az ellentétes elmozgatáshoz jutunk, ha az eredeti elmozgatást szolgáltató eltolások és elforgatások inverzeit egymás után, de az ellenkező sorrendben alkalmazzuk.

Minden elmozgatás távolságtartó, hiszen az eltolás és az elforgatás is ilyen. Eszerint minden elmozgatás egybevágóság. Ebből már következik (lásd 11.1), hogy a tér minden elmozgatása szögtartó, egyenestartó és síktartó. Ezekből a tulajdonságokból könnyen adódik, hogy az elmozgatás a félegyenest, szakaszt, félsíkot, szögtartományt, félteret és lapszöget ugyanilyen alakzatba viszi át, s hogy párhuzamos egyenesekhez, síkokhoz, valamint egyeneshez és síkhoz ugyancsak ilyen párhuzamos alakzatokat rendel. Beszélhetünk ezért arról, hogy valamely elmozgatás egy irányt milyen irányba visz át. A hajlásszögek definíciója alapján következik az elmondottakból, hogy a tér elmozgatása egyenesek, síkok, valamint egyenes és sík hajlásszögét sem változtatja meg. Megemlítjük, hogy az ebben a bekezdésben említett tulajdonságokkal nemcsak a tér elmozgatása, hanem minden egybevágósága is rendelkezik, hiszen az okoskodás csak a távolságtartásra épült.

Ha megadunk egy S félsíkot és határán egy s félegyenest, továbbá egy S1 félsíkot és ennek határán egy s1 félegyenest, akkor van olyan térmozgás, amely az S, s alakzatokat az S1,s1 helyzetbe viszi. Ennek bizonyítása végett először azt az eltolást alkalmazzuk, amely s kezdőpontját s1 kezdőpontjába viszi, az S félsíkot pedig S helyzetbe juttatja. Ezt követően elforgatjuk a teret S és S1 síkjának közös egyenese körül úgy, hogy a már másodszor elmozgatott S félsík S1 síkjába jusson. Ezután elforgatjuk a teret az s1 kezdőpontjában S1 síkjára emelt merőleges körül, és ezáltal elérjük, hogy a már háromszor elmozgatott s félegyenes fedje s1-et. Ezek az elmozgatások az S félsíkot vagy S1-re fektetik, vagy pedig az ezt kiegészítő félsíkra. Az utóbbi esetben még az s1 egyenese körüli 180°-os elforgatást, azaz erre az egyenesre vonatkozó tükrözést alkalmazunk. Egy eltolást követő elforgatásokkal minden helyzetben elérhető tehát, hogy az S, s alakzatok az előírt helyzetbe jussanak.

Bizonyítjuk végül, hogy csak egyetlenegy olyan elmozgatás van, amelynek lehetőségét az előző bekezdésben kimutattuk. Abból indulunk ki, hogy ha két ilyen elmozgatás egyike után a másikkal ellentétes elmozgatást alkalmazzuk, akkor az S, s alakzatokat meg nem változtató elmozgatáshoz jutunk. Elég belátnunk, hogy ez utóbbi tulajdonsággal az elmozgatások közül csak a helyben hagyás rendelkezik, mert akkor az egyik elmozgatás után a saját inverzét kellett, hogy alkalmazzuk, a két szóban forgó elmozdulás tehát azonos volt.

A bizonyítás érdekében először azt nézzük meg, hogy a tér egybevágóságai között melyek nem változtatják meg az S, s alakzatok helyzetét. Tudjuk, hogy ha S és s helyben marad, akkor S síkjának egyetlen pontja sem mozdul el. Ebből következik, hogy ha egy P pont P1 helyzetbe jut, akkor a P,P1 pontok S síkjának minden pontjától ugyanakkora távolságra vannak. Ha tehát P és P1 nem azonos, akkor S síkja merőlegesen felezi a PP1 szakaszt. Ez azt jelenti, hogy az S, s alakzatokat helyben hagyó egybevágóság az el nem mozgatáson kívül csak az S síkjára való tükrözés lehet. Ez a tükrözés valóban rendelkezik is ezzel a tulajdonsággal.

Most már csak azt kell belátnunk, hogy a síkra vonatkozó tükrözés nem elmozgatás. Ezt nyomban be is látjuk, ha tudjuk, hogy a tér eltolásai és elforgatásai, s ezért a tér elmozgatásai is megtartják a tér orientációját, viszont a síkra vonatkozó tükrözés megváltoztatja azt (vö. Bl).

B1 Okoskodásunk végén felhasználtuk azt, hogy a tér eltolása és elforgatása a tér orientációját megtartja, a síkra vonatkozó tükrözés viszont megváltoztatja. Ezek a megállapítások 6.5-ben a térelmozgatás ismeretére épültek. Megmutatjuk most, hogy okoskodásunkat hogyan lehet ilyen hivatkozás nélkül befejezni.

A térelmozgatás ebben a szakaszban megismert fogalmából indulunk ki és azt akarjuk bizonyítani, hogy a síkra vonatkozó tükrözés nem elmozgatás.

Először azt bizonyítjuk, hogy minden elmozgatás megvalósítható azáltal, hogy először egy szabadon választott ponton áthaladó tengelyek körül elforgatunk, azután pedig egyetlen eltolást alkalmazunk. A megvalósítandó elmozgatást bizonyos sorrendben adott eltolások és elforgatások definiálták. Az ebben az előírásban előforduló elforgatások tengelyeivel a szabadon választott O ponton át párhuzamosokat húzunk. A teret először ezek körül a párhuzamosok körül forgatjuk el, mégpedig az eredeti elforgatások iránya és szöge által adott irányban és szöggel. Azt állítjuk, hogy ezek után az elforgatások után már egyetlen eltolást kell csak alkalmazni ahhoz, hogy a szóban forgó tér elmozgatáshoz eljussunk, mégpedig azt az eltolást, amelyik az O pontot az előírt O1, véghelyzetbe viszi.

Ennek az állításnak az igazolásához elég belátnunk, hogy párhuzamos tengelyek körüli, egyező forgásirányú és szögű elforgatások az irányokat ugyanúgy változtatják meg. Ebből következik ugyanis, hogy ha térelmozgatásunk a P pontot a P1 helyzetbe viszi, akkor az irányított OP szakasz az általunk alkalmazott átalakítások során is az O1P1 helyzetbe jut, hiszen egyrészt O az elforgatások során helyben maradt, az eltolás pedig O1 helyzetbe vitte, másrészt OP irányát a térelmozgatást definiáló eltolások nem változtatják meg, az elforgatásokról pedig bizonyítani fogjuk, hogy OP irányát ugyanúgy változtatják meg, mint az általunk alkalmazottak. Ezek szerint P kétféle véghelyzete valóban azonos.

A párhuzamos tengelyek körüli elforgatásokról szóló kijelentésünk helyességét kell még bizonyítanunk. Tudjuk, hogy ha a síkot az A, B pontok körül ugyanolyan forgásirányban és ugyanakkora szöggel elforgatjuk, akkor az irányok ugyanúgy változnak meg. Ebből következik, hogy a B körüli elforgatáshoz úgy is eljutunk, hogy először a B pontot A-ba vivő eltolást, ezt követően az A körüli elforgatást, végül pedig az A pontot B-be vivő eltolást alkalmazzuk. Hasonlót mondhatunk ezért a térnek a párhuzamos a, b tengelyek körüli egyező forgásirányú és szögű elforgatásairól, hiszen ezek a műveletek a tengelyekre merőleges síkokat önmagukba tolják el, illetőleg forgatják el. Igaz tehát, hogy a b tengely körüli elforgatáshoz jutunk, ha először a tengelyekre merőleges irányú, a b egyenest a-ba vivő eltolást, ezt követően az a tengely körüli elforgatást, végül pedig az imént alkalmazott eltolás inverzét alkalmazzuk. Beláttuk ilyen módon, hogy a két elforgatás az irányokat ugyanúgy változtatja meg, hiszen az eltolások ezeket nem változtatják meg.

b) Miután bebizonyítottuk, hogy egy adott elforgatáshoz a szabadon választott O ponton áthaladó tengelyek körüli elforgatásokat követő egyetlen eltolással is eljuthatunk, most azt fogjuk belátni, hogy az O ponton áthaladó tengelyek körüli elforgatások egymásutánját egyetlen ilyen tengelyű elforgatás helyettesítheti. Elég bizonyítanunk, hogy az O ponton áthaladó tengelyű elforgatások közül bármely kettőnek az egymásutánja egyetlen ilyen elforgatást ad. Ebből valóban következik majd, hogy ez a kijelentés véges sok elforgatásra is helyes, hiszen a két elforgatásról szólót ismételten alkalmazhatjuk. Elég, ha a bizonyítás során két különböző tengelyű elforgatásra gondolunk, amelyeknek egyike sem el nem forgatás.

Abból a 6.5 B4b)-ben már említett tényből indulunk ki, hogy a sík elforgatása két metsző egyenesre vonatkozó tükrözés egymás utáni végrehajtásával valósítható meg. Hozzátehetjük, hogy ha két metsző egyenest a metszéspontjuk körül ugyanakkora szöggel elforgatunk, akkor az ezekre vonatkozó tükrözések egymásutánja a szög megválasztásától függetlenül a síknak mindig ugyanahhoz az elforgatásához vezet. Itt is megállapíthatjuk, hogy ha sík helyett a teret tükrözzük egymást követően ugyanazokra az egyenesekre, akkor a tér elforgatásához, mégpedig az egyenesek metszéspontjában síkjukra emelt merőleges körüli elforgatásához jutunk. Ez itt abból következik, hogy a két tükrözés után a merőleges pontjai helyben maradnak, a tengelyek síkja metszéspontjuk körül elfordul, s ezért ugyanígy fordulnak el a merőleges egyenesen átfektetett síkok is. Ezek szerint a tér elforgatását két egyenesre vonatkozó, egymást követő tükrözés valósítja meg, a tükörtengelyek a forgástengelyt egy pontjában merőlegesen metszik, és síkjukban a metszéspontjuk körül ugyanakkora szöggel szabadon elforgathatók.

Tekintsük most a tér két elforgatását, amelyek e1,e2 tengelye az O ponton áthalad. A tengelyek síkjára az O pontban emelt merőlegest m-mel jelöljük. Mindkét elforgatást két tükrözés egymásutánjával pótoljuk. A tükörtengelyeket úgy választjuk meg, hogy a forgástengelyt az O pontban merőlegesen messék, mégpedig előírjuk, hogy a tükörtengelyek egyike m legyen. Az első elforgatást a t1,m egyenesekre, a másodikat pedig az m,t2 egyenesekre vonatkozó tükrözésekkel pótoljuk. A két elforgatás egymásutánja ugyanazt adja ezek szerint, mint az egymást követő, t1,m,m,t2 egyenesekre vonatkozó tükrözések. Ez utóbbi sorozatból elhagyhatjuk az m-re vonatkozó kétszeri tükrözést, hiszen a második éppen megsemmisíti az első hatását. Ezek szerint a két elforgatás együttesének az eredménye ugyanaz, mint az egymást O-ban metsző t1,t2 egyenesekre vonatkozó tükrözéseké, ez az eredmény pedig, mint láttuk, a térnek egy O pontot tartalmazó tengely körüli elforgatása.

Bebizonyítottuk tehát, hogy a tér minden elmozgatása megvalósítható a szabadon választott O ponton áthaladó tengely körüli egyetlen elforgatás és ezt követő egyetlen, az O pontot az előírt O1 helyzetbe vivő eltolás révén.

c) Könnyű most már belátni, hogy a síkra vonatkozó tükrözés nem elmozgatás. Vegyük fel az O pontot a szimmetriasíkon, tehát úgy, hogy saját O1 tükörképével megegyezzék. Előbbi eredményünk ilyen választással azt mondja, hogy ha a síkra vonatkozó tükrözés elmozgatás, akkor egy az O ponton áthaladó tengely körüli elforgatással azonos. Ez azonban lehetetlenség, mert az elforgatás csak a tengely pontjainak a helyzetét nem változtatja meg, hacsak nem el nem forgatásról van szó, a tükrözés viszont a szimmetriasík pontjait hagyja helyben, és a többi pontot nem.

B2 Eredeti, 2.1-ben kimondott VIII. axiómánk bizonyításával véget ért az a kettősség, amelyet 6.5 B5 vezetett be. A következő paragrafustól kezdve ez a kettősség már nem jut szóhoz. Az itt következő megjegyzések a kétféle tárgyalásmódnak, valamint bizonyos módosításaiknak a jellemzésével foglalkoznak. Ebben a megjegyzésben a 6.5 B5-ben kimondott, kevesebbet mondó axiómára épülő tárgyalásról lesz szó. Ebben a tárgyalásban a bevezető fejezet erősen megrövidül, viszont az erre épülő tárgyalásnak még bizonyos kiegészítésére is szükség van.

A bevezető fejezetben az eredeti VIII. axióma helyett csak 6.5 B5 gyengébb axiómájának kimondására kerülhet sor. Ennek következtében el kell hagyni a bevezető fejezetnek mindazokat a részeit, amelyek a térmozgatásra épülnek. Ilyen a teljes 2.4 szakasz, hiszen ott még a sík eltolásának és elforgatásának a definíciója is feltételezi a. tér elmozgatások ismeretét. 6.2-ben a tér egybevágóságai között a térelmozgatásokat nem említhetjük. 6.3-ban nem lehetszó a tér síkra vonatkozó tükrözéséről. 6.4-ben a síkszimmetrikus alakzatok említése marad el. El kell hagyni a teljes 6.5 szakaszt, hiszen még a sík orientációjának a tárgyalását is a síkmozgás fogalmára alapoztuk, ezt viszont az előbb elhagyásra ítéltük.

A bevezető fejezet egyes elhagyásra ítélt részeit mással kell pótolni, hiszen különben még forgásirányról sem lehetne szó, és ez gátat vetne még a szög tárgyalása során is. Szükséges ezért, hogy a bevezető fejezet más definíciókkal ugyan, de mégiscsak tárgyalja a sík eltolását, elforgatását, önmagában való elmozgatását, valamint a sík irányítását. A sík itt említett transzformációi azok közül valók, amelyekről a tárgyalás alapjául szolgáló, kevesebbet mondó axióma szól. Ezek közül eltolásnak azokat nevezzük, amelyek egy egyenest és az általa határolt félsíkokat helyben hagyják, elforgatásnak pedig azokat, amelyeknél a síknak csak egyetlenegy pontja nem változtatja meg a helyzetét. Véges sok eltolás és elforgatás eredményét a sík önmagában való elmozgatásának mondjuk. E fogalom ismeretében a sík orientációja már ugyanúgy vezethető be, ahogyan 6.5-ben a teret illetően eljártunk. Nem térünk ki itt arra, hogy a bevezető fejezetnek a most említett fogalmakra vonatkozó megállapításait bizonyítsuk, hiszen bevezető fejezetünk sem foglalkozott rendszeresen állításainak a bizonyításával. Megemlítjük mindenesetre, hogy a síkmozgások tárgyalásánál szakaszunk térmozgásokra vonatkozó okoskodásai mintául szolgálhatnának.

A bevezető fejezet ilyen módosítása után az elemi geometria eddigi anyaga változatlanul beleillik a most vázolt tárgyalásmód keretei közé. Nem támaszkodtunk ugyanis sehol sem a bevezető fejezetnek olyan megállapításaira, amely ennek a fejezetnek most vázolt átalakítása után hiányoznék. Hangsúlyoznunk kell viszont, hogy a kevesebbet mondó axióma alapul vétele esetén a szabatos tárgyalás ennek a szakasznak teljes anyagát igényli, beleértve még a B1 megjegyzést is. Az elemi geometria eddigi anyagából csak azok a kísérő megjegyzések maradnának el, amelyek az eredeti, VIII. axiómánkra épülő tárgyalás egyszerűsítéseiről szólnak.

Szükség volna azonban ezen a helyen arra, hogy most pótoljuk a bevezető fejezet megrövidítése révén előálló hiányokat. Természetesen csak azokról a hiányokról van szó, amelyeket ebben a paragrafusban eddig nem pótoltunk. Most kellene tehát bevezetnünk a tér orientációjának a fogalmát, és bizonyítanunk a bevezető fejezet rá vonatkozó kijelentéseit. A 6.5 B3 megjegyzés térre vonatkozó részeit itt kellene tehát a rendszeres tárgyalásba beiktatnunk.

Az elmondottak bőven indokolják, hogy e könyv bevezető fejezete miért ölel fel többet. Könyvünk szerkezetének ezt a megválasztását 2.1 B szempontjaival összefonódva az anyag megrövidítése is indokolja.

B3* Az előző megjegyzésben tárgyalt módszer olyan módosításairól szólunk, amelyek némi egyszerűsödéssel kecsegtetnek.

Axiómaszerűen kimondhatnók a bevezető fejezetben a sík térbeli mozgatásáról szóló axióma mellett azt is, hogy a síknak egyetlenegy olyan önmagában való elmozgatása van, amely egy adott félegyenest megadott helyzetbe visz. Más szóval, hogy a sík térbeli mozgatásaiból álló csoportnak van a mondott tulajdonsággal rendelkező alcsoportja, s hogy ennek az alcsoportnak az elemeit nevezzük síkmozgásoknak. Indokolt lehetne ez az eljárás, ha csak a síkgeometria kiépítése volna a cél. A térgeometriát is felölelő tárgyalásban a sík kétféle mozgatásáról szóló kijelentések összhangjának a hiánya a mondott eljárás ellen szól. Ezt megerősíti, hogy ez az eljárás a csak a sík térbeli mozgatásán alapuló tárgyalást alig egyszerűsítené, hiszen csak a bevezető fejezet síkmozgásokat bevezető részének az alátámasztásában jelentene könnyítést.

Egy másik középutat járnánk, ha a bevezető részben az orientációt nem az elmozgatásra támaszkodva vezetnők be. Vázoljuk, hogy milyen definícióra gondolunk. A tér rendezett, nem komplanáris pontnégyeséből egy új pontnégyest kaphatunk azáltal, hogy a négy pont valamelyikét egy másikkal pótoljuk, mégpedig olyannal, amelyet a meghagyott három pont síkja az elhagyott ponttól nem választ el. A sík rendezett, nem kollineáris ponthármasaival hasonlóan járhatunk el, megkövetelve, hogy az elhagyott pontot a két meghagyottnak az egyenese ne válassza el az újonnan választott ponttól. A tér rendezett pontnégyeseiről, valamint a sík rendezett ponthármasairól azt mondjuk, hogy orientációjuk megmarad, illetőleg megváltozik aszerint, amint átvihetők vagy nem vihetők át egymásba véges sok olyan művelettel, amilyenekről az imént szóltunk. Az erre a definícióra épülő tárgyalás annyiban térne el a B2-ben ismertetett tárgyalásmódtól, hogy a bevezető fejezet a tér orientációját is tárgyalhatná ugyan, de arról, hogy a tér elmozgatása az orientációt megtartja, a síkra vonatkozó tükrözés megváltoztatja, csak itt lehetne szó, mégpedig természetesen csakis mindent bizonyító tárgyalás keretében. Ennek a tárgyalásnak a beiktatása nagyjából lerontaná azt az előnyt, amit a B1 megjegyzés elmaradása jelent. A megváltoztatott bevezető fejezetet illetően megjegyezhetjük, hogy alátámasztása nem volna könnyű dolog. A most vázolt eljárás ezek szerint megnehezítené a bevezető fejezetet, viszont aligha könnyítené meg a ráépülő tárgyalást.

Összefoglalva elmondhatjuk, hogy több szempont szól a most ismertetett eljárások követése ellen, mint mellett.

B4 Most arról a tárgyalásmódról szólunk, amelyik nemcsak kimondja eredeti VIII. axiómánkat, hanem azt ki is aknázza. Ez a tárgyalás teljes egészében megtalálható ebben a könyvben.

Ez a tárgyalásmód tette lehetővé, hogy a bevezető fejezet többet nyújthatott. Ezt a többletet nemcsak kimondtuk ott, hanem az alátámasztó okoskodásokat is vázoltuk. A bevezető fejezet alátámasztása ezáltal mindenesetre megnehezedett. Itt elsősorban 6.5B4-re gondolunk.

A többetmondó axióma elfogadása az elemi geometria tárgyalása során csak ebben a paragrafusban okoz eltérést, ez a paragrafus viszont gyökeresen megrövidül és leegyszerűsödik. Erre már a 24.1 B, 24.3 B, 24.4 B, 24.7 B1 megjegyzések is utaltak, az ott említett egyszerűsítéseknél azonban sokkal többet jelent az, hogy a 24.8 szakasz teljes egészében elmarad. Ebben a szakaszban ugyanis javarészt csak olyan fogalmakat vezettünk be és olyan tényeket bizonyítottunk, amelyekről a bevezető fejezetben már szó volt, és ami kevésre ez nem áll, azt meg az imént felsorolt megjegyzések intézték már el.

Az egyszerűség és rövidség ezek szerint igen erősen a tér elmozgatásán alapuló tárgyalásmód mellett szól. Ellene szól természetesen az az axiomatikus szempont, amelyik az axiómarendszer gyöngítését mindig előnyben részesíti. Talán felesleges viszont hangsúlyoznunk, hogy mi itt a térgeometria felépítési módjainak az axiomatika szempontjait is érvényesítő egybevetésével foglalkoztunk, nem pedig az axiomatika finomítására törekedtünk. Egybevetésünk eredménye nemcsak a geometria tudományos tárgyalásának a lehetőségeit érinti, hanem még középiskolai anyagának a megválasztására is hatással lehet.