Ugrás a tartalomhoz

CSILLAGÁSZATI FÖLDRAJZ

Dr. Gábris Gyula, †dr. Marik Miklós, dr. Szabó József

NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ

A GÖMBHÁROMSZÖGTAN ELEMEI (dr. Marik Miklós)

A GÖMBHÁROMSZÖGTAN ELEMEI (dr. Marik Miklós)

A későbbiekben szükségünk lesz a horizontális és egyenlítői koordináta-rendszerek közötti átszámításra. Ehhez ismernünk kell a gömbháromszögtan legfontosabb tételeit. Tekintettel arra, hogy a matematika kereteiben a gömbháromszögtan részletesen tárgyalásra kerül, itt csak a számunkra lényeges megállapításokat foglaljuk össze.

20. ábra - A gömbháromszög szögei és oldalai

kepek/42294_1_IV_020.jpg


21. ábra - Két földfelszíni pont távolságának meghatározásakor a PAB gömbháromszög x oldalát kell kiszámítanunk

kepek/42294_1_IV_021.jpg


A gömb felületén (20. ábra) az A, B és C pontok (amennyiben nincsenek azonos főkörön) egy gömbháromszöget alkotnak. A gömháromszög oldalait szögekben mérjük. Az a oldal „hossza” a BOC szög (ahol O a gömb középpontja). Hasonlóképpen b = AOC és c = AOB . A gömbháromszögnek az A csúcsnál levő α szöge nem más, mint az A, B, O pontok által meghatározott síknak az ACO síkkal bezárt szöge.

A gömbháromszög szögei és oldalai közötti összefüggések közül a gömbháromszögtani szinusztételt és koszinusztételt említjük meg:

sin a sin b = sin α sin β ,

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α.

A gömbháromszögtani koszinusztétel segítségével határozzuk meg a Föld felszínén elhelyezkedő pontok távolságát is. Az A város földrajzi koordinátái legyenek: φA és λA(21. ábra), a B városé φB és λB (Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy mindkét város az északi féltekén helyezkedik el.) A-n és B-n keresztül is húzzuk meg a megfelelő hosszúsági köröket; ezek a TA, illetve a TApontokban metszik az Egyenlítőt. A λ = 0 hosszúsági kör az Egyenlítőt az O ponton metszi. Az ábrára nézve, azonnal látjuk, hogy a PAB gömbháromszögben: PA = 90° – φA, PB = 90° – φB, és APB = λBλA. Írjuk fel erre a gömbháromszögre a koszinusztételt:

cos x = cos (90°– φA) cos (90°– φB) + sin (90°– φA) sin (90°– φB) cos (λBλA).

Vegyük tekintetbe, hogy cos (90°– α) = sin α és sin (90°– α) = cos α; ekkor

cos x = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos (λBλA).

Tekintettel arra, hogy a Föld felszínén 1°-nak átlagosan 111,3 km felel meg, az x fokokban megadott értékét 111,3-del megszorozva, megkapjuk A és B km-ben mért távolságát.

Feladat:

a) Írjuk fel a két város földfelszíni pontjainak távolságára vonatkozó képletet, ha a két város az északi és a déli féltekén van.

b) Földrajzi atlasz segítségével becsüljük meg Budapest és Lima földrajzi koordinátáit, és számítsuk ki távolságukat kilométerben (11 460 km).