Ugrás a tartalomhoz

Általános statisztika I.

Dr. Korpás Attiláné, Dr. Havasy György, Dr. Molnár Máténé, Dr. Szunyogh Zsuzsanna, Dr. Tóth Mártonné

Nemzeti Tankönyvkiadó Rt

5.2. Érték-, ár- és volumenindex-számítás

5.2. Érték-, ár- és volumenindex-számítás

Az egyes termékek, szolgáltatások érték-, ár- és volumenváltozását dinamikus viszonyszámokkal elemezhetjük. Az indexszámítás keretében a termékekre számított dinamikus viszonyszámokat egyedi indexeknek hívjuk. A termék egységárát p-vel, a termelt, eladott, fogyasztott stb. mennyiséget q-val, a kettő szorzatát (qp), az értéket v-vel jelöljük. Az összehasonlítandó két időszak jelölése bázisidőszak esetén 0, tárgyidőszak (vagy beszámolási időszak) esetén 1 indexszel történik. Így tehát az egyedi indexek meghatározásának módja:

egyedi értékindex

i v = v 1 v 0 = q 1 p 1 q 0 p 0 ,

egyedi árindex

i p = p 1 p 0 ,

egyedi volumenindex

i q = q 1 q 0 .

A számítások egy konkrét példa kapcsán (5.1. táblázat) a következőképpen végezhetők el:

5.1. táblázat - Jövedelem Egy iparcikkeket forgalmazó fővárosi áruház Videoton teletextes televízióforgalma az 1993–1994-es években

Televíziók

típusa

Eladott

mennyiség (db)

Ár

(Ft)

Eladás értéke (ezer Ft)

(aggregátumok)

1993

q 0

1994

q 1

1993

p 0

1994

p 1

1993

q 0 p 0

1994

q 1 p 1

q 1 p 0

q 0 p 1

TS 3354 TXT

43

39

43 900

49 900

1887,7

1946,1

1712,1

2145,7

TS 3353 TXT

32

29

47 900

52 900

1532,8

1534,1

1389,1

1692,8

TS 5355 TXT

40

37

55 900

62 900

2236,0

2327,3

2068,3

2516,0

TS 6354 TXT

21

16

59 900

74 900

1257,9

1198,4

958,4

1572,9

Összesen

6914,4

7005,9

6127,9

7927,4


(Megjegyezzük, hogy a táblázat utolsó két oszlopában szereplő értékadatokra csak a későbbi számításoknál lesz szükség.)

5.2. táblázat - Az egyes televíziótípusok érték-, ár- és mennyiségváltozását jelző egyedi indexek

 

Egyedi indexek (%)

Televíziók típusa

Értékindex

i v ( q 1 p 1 q 0 p 0 )

Volumenindex

i q ( q 1 q 0 )

Árindex

i p ( p 1 p 0 )

TS 3354 TXT

103,1

90,7

113,7

TS 3353 TXT

100,1

90,6

110,4

TS 5355 TXT

104,1

92,5

112,5

TS 6354 TXT

95,3

76,2

125,0


A fenti indexek tehát azt jelentik, hogy az egyes televíziótípusok forgalmának értéke, árai s az eladott mennyiségek miként alakultak a vizsgált időszakban. Pl. a TS 3354 TXT készülékből az eladás értéke 3,1%-kal emelkedett, ára 13,7%-kal nőtt, értékesített mennyisége pedig 9,3%-kal csökkent 1994-ben 1993-hoz viszonyítva (5.2. táblázat).

Több termékre, termékcsoportra az átlagos érték-, ár- és volumenváltozást az indexszámok mutatják, melyek kiszámítása aggregátumokkal és átlagolással történhet.

5.2.1. Indexszám számítása aggregát formában

Az értékindex (jele: Iv) a termékek vagy termékcsoportok meghatározott körére vonatkozó érték átlagos változását fejezi ki. Kiszámítása a vizsgált termékek két időszakra vonatkozó összesített értékadataiból (aggregátumaiból) képzett hányadossal történhet.

Az értékindex aggregát formája:[14]

I v   =   i = 1 n q 1 i p 1 i i = 1 n q 0 i p 0 i ,   egyszerűbben   I v   =   v 1 v 0 = q 1 p 1 q 0 p 0 ,

I v = 7005,9 6914,4 = 1,013 = 101,3 % .

Az előző példa alapján kiszámított értékindex tehát azt mutatja, hogy a négyfajta teletextes televízió forgalmának értéke átlagosan 1,3%-kal emelkedett a vizsgált időszakban.

A képletből látható, hogy az értékváltozást két tényező befolyásolja:

– a termékek árváltozása és

– a termékek mennyiségváltozása.

Ezen hatások kimutatására szolgál a másik két index, az árindex és a volumenindex, melyek az értékindexből kiindulva is kiszámíthatóak.

Az árindex (jele:Ip) a különböző termékek, árucikkek, szolgáltatások árainak átlagos változását, az árszínvonal alakulását fejezi ki.

Az árindex is meghatározható két összesített értékadat (aggregátum) hányadosából. Miután azonban csak az árváltozást akarjuk mérni, a mennyiségváltozás hatását ki kell szűrni. Ez oly módon történhet, hogy a két aggregátum csak az árakban tér el, a mennyiség mindkét időszakra azonos, tehát az csak a súlyszám szerepét tölti be. Attól függően, hogy a két vizsgált időszak közül melyik mennyiséget tekintjük állandónak (a bázisidőszaki q0 vagy a tárgyidőszaki q1 adatokat), kétféle árindex számítása lehetséges:

bázisidőszaki súlyozású

I p ( 0 ) = q 0 p 1 q 0 p 0 ,    I p ( 0 ) = 7927,4 6914,4 = 1,146 = 114,6 % ;

tárgyidőszaki súlyozású

I p ( 1 ) = q 1 p 1 q 1 p 0    I p ( 1 ) = 7005,9 6127,9 = 1,143 = 114,3 % .

A képletekben szereplő q0p1, illetve q1p0 szorzatok összegzéseként kapott értékadatokat (ezek a valóságban nem léteznek) fiktív aggregátumoknak nevezzük.

A két árindex általában nem ad azonos eredményt az eltérő súlyszámok miatt. (A kétféle súlyozású index különbözőségének magyarázatára a későbbiekben kerül sor.) Jelen példánkban is bázismennyiségekkel súlyozva 14,6, míg beszámolási súlyokkal számolva 14,3%-os átlagos áremelkedés mutatható ki a vizsgált időszakban.

A volumenindex (jele:Iq) különböző termékek volumenének átlagos változását mutatja meg.

Kiszámítása az árindexhez hasonlóan történhet, csak a hányadosban szereplő aggregátumok jelen esetben a mennyiségi adatokban különböznek egymástól. Az árak mint súlyszámok változatlanok. Attól függően, hogy a bázis- vagy a beszámolási időszak áradatait használjuk fel, a volumenindex is kétféle lehet:

bázisidőszaki súlyozású

I q ( 0 ) = q 1 p 0 q 0 p 0 ,    I q ( 0 ) = 6127,9 6914,4 = 0,886 = 88,6 % ;

tárgyidőszaki súlyozású

I q ( 1 ) = q 1 p 1 q 0 p 1 ,   I p ( 1 ) = 7005,9 7927,4 = 0,884 = 88,4 % .

A vizsgált cikkcsoportban tehát bázisárakkal súlyozva 11,4, beszámolási áradatokkal súlyozva pedig 11,6%-os átlagos volumencsökkenés mutatható ki 1993-ról 1994-re.

A szakirodalom a bázisidőszaki súlyozású ár- és volumenindexet Laspeyres-féle, a tárgyidőszaki súlyozású indexeket pedig Paasche-féle indexeknek nevezi, az alkotók nevéből kiindulva.

(Elvileg bármely más időszak árait is fel lehet használni a volumenindex kiszámításához, mint ahogy az árindex meghatározásához is többféle mennyiségi adat jöhet számításba. Közgazdasági megfontolásból és gyakorlati kivitelezhetőségi okokból azonban az előzőekben ismertetett bázis- és tárgyidőszaki súlyozás terjedt el.)

5.2.2. Az indexek átlagformái

Az előző fejezetben összetett viszonyszámokat súlyozott átlagként már számítottunk. Miután az indexszám összetett viszonyszám is egyben, ezt a módszert itt is alkalmazhatjuk. Az aggregát formát átalakíthatjuk átlagformára. Átlagolandó értékek a megfelelő egyedi indexek, a súlyok pedig az aggregát formában felírt törtek megfelelő értékadatai lesznek.

Az átlagformában való számítás a gyakorlatban azért jelentős, mert bizonyos esetekben nem a q és a p adatsorok, hanem értékadatok és egyedi indexek állnak rendelkezésre.

Az értékindex átlagformái

Az értékindex ilyen formában történő kiszámítására a gyakorlatban ritkán kerül sor, miután a tényleges értékadatok (aggregátumok) többnyire rendelkezésre állnak, tehát az aggregát formában történő számolás általában megoldható. Esetenként azonban szükség lehet az átlagformában történő számításra is, melynek formái a következők:

számtani átlagforma

I v = q 0 p 0 ( q 1 p 1 q 0 p 0 ) q 0 p 0 = q 0 p 0 i v q 0 p 0 ,

I v = 1887,7 1,031 + 1532,8 1,001 + 2236 1,041 + 1257,9 0,953 6914,4 = = 1,013 = 101,3 % .

Az 1,3%-os átlagos értékváltozást oly módon számítottuk ki, hogy az egyes televíziótípusok egyedi értékindexeit az 1993-as, bázisforgalmakkal súlyoztuk.

harmonikus átlagforma

I v = q 1 p 1 q 1 p 1 ( q 1 p 1 q 0 p 0 ) = q 1 p 1 q 1 p 1 i v ,

I v = 7005,9 1946,1 1,031 + 1534,1 1,001 + 2327,3 1,041 + 1198,4 0,953 = 1,013 = 101,3 % .

Ez esetben az átlagos értékváltozás meghatározása az egyedi indexek 1994-es, beszámolási forgalmi adatokkal történő súlyozásával került kiszámításra.

Az árindex átlagformái

Az árindex meghatározása számtani átlaggal:

Laspeyres-féle árindex

I p ( 0 ) = q 0 p 0 ( p 1 p 0 ) q 0 p 0 = q 0 p 0 i p q 0 p 0 ,

I p ( 0 ) = 1887,7 1,137 + 1532,8 1,104 + 2236 1,125 + 1257,9 1,25 6914,4 = = 1,146 = 114,6 % .

Az átlagolandó értékek (egyedi árindexek) súlya a tényleges bázisidőszaki érték, azaz az index nevezőjében szereplő aggregátum (q0p0).

Paasche-féle árindex

I p ( 1 ) = q 1 p 0 ( p 1 p 0 ) q 1 p 0 = q 1 p 0 i p q 1 p 0 ,

I p ( 1 ) = 1712,1 1,137 + 1389,1 1,104 + 2068,3 1,125 + 958,4 1,25 6127,9 = = 1,143 = 114,3 % .

A fentiekben az egyedi árindexek súlya fiktív értékadat (tárgyidőszaki mennyiség bázisárakon).

Az árindex meghatározása harmonikus átlaggal:

Paasche-féle árindex

I p ( 1 ) = q 1 p 1 q 0 p 1 ( p 1 p 0 ) = q 1 p 1 q 1 p 1 i p ,

I p ( 1 ) = 7005,9 1946,1 1,137 + 1534,1 1,104 + 2327,3 1,125 + 1198,4 1,25 = 1,143 = 114, 3% .

Ennél a formulánál a tárgyidőszaki tényleges forgalmi adatokkal történik az egyedi árindexek súlyozása.

Laspeyres-féle árindex

I p ( 0 ) = q 0 p 1 q 0 p 1 ( p 1 p 0 ) = q 0 p 1 q 0 p 1 i p ,

I p ( 0 ) = 7927,4 2145,7 1,137 + 1692,8 1,104 + 2516 1,125 + 1572,9 1,25 = 1,146 = 114,6 % .

Itt a súly szerepét betöltő aggregátum nem valós adat, hanem a bázismennyiség tárgyidőszaki áron számított értéke.

A volumenindex átlagformái

Az árindexhez hasonlóan mindkét típusú volumenindex meghatározható átlagokkal is.

Volumenindex meghatározása számtani átlaggal:

Laspeyres-féle volumenindex

I q ( 0 ) = q 0 p 0 i q q 0 p 0 ,

I q ( 0 ) = 1887,7 0,907 + 1532,8 0,906 + 2236 0,925 + 1257,9 0,762 6914,4 = = 0,886 = 88,6 % .

A számtani átlaggal számolt, bázissúlyozású volumenindexnél ez esetben az egyedi volumenindexek súlyszámai a bázisidőszaki, 1993-as forgalmi adatok.

Paasche-féle volumenindex

I q ( 1 ) = q 0 p 1 i q q 0 p 1 ,

I q ( 1 ) = 2145,7 0,907 + 1692,8 0,906 + 2516 0,925 + 1572,9 0,762 7927,4 = = 0,884 = 88,4 % .

Ez esetben az egyedi volumenindexeket fiktív forgalomadatokkal (bázismennyiség beszámolási árakon) súlyozzuk.

Volumenindex meghatározása harmonikus átlaggal:

Paasche-féle volumenindex

I q ( 1 ) = q 1 p 1 q 1 p 1 i q ,

I q ( 1 ) = 7005,9 1946,1 0,907 + 1534,1 0,906 + 2327,3 0,925 + 1198,4 0,762 = 0,884 = 88,4 % .

Laspeyres-féle volumenindex

I q ( 0 ) = q 1 p 0 q 1 p 0 i q ,

I q ( 0 ) = 6127,9 1712,1 0,907 + 1389,1 0,906 + 2068,3 0,925 + 958,4 0,762 = 0,886 = 88,6 % .

Természetesen az indexek értéke nem függ attól, hogy aggregát vagy átlagformában kerültek kiszámításra, tehát mint példánkból is kiderült, azonos eredményt ad mindkét számítási mód.

Az indexek kiszámításának lehetséges módozatait a következő oldalon, az 5.3. táblázatban foglaljuk össze.

5.3. táblázat - Az indexek kiszámítási képleteinek áttekintő táblázata

  

Átlagformák

Index neve

Definíciója

Egyedi indexek súlyozott számtani átlaga

Egyedi indexek súlyozott harmonikus

átlaga

  

Képlet

Súlyok

Képlet

Súlyok

Értékindex, Iv

q 1 p 1 q 0 p 0

q 0 p 0 ( q 1 p 1 q 0 p 0 ) q 0 p 0 = q 0 p 0 i v q 0 p 0

Bázisidőszak aggregátuma

q 1 p 1 q 1 p 1 ( q 1 p 1 q 0 p 0 ) = q 1 p 1 q 1 p 1 i v

Tárgy- (beszámolási) időszak

aggregátuma

Árindex

Bázisidőszaki súlyozású, Ip0

(Laspeyres-féle)

q 0 p 1 q 0 p 0

q 0 p 0 ( p 1 p 0 ) q 0 p 0 = q 0 p 0 i p q 0 p 0

Bázisidőszak aggregátuma

q 0 p 1 q 0 p 1 ( p 1 p 0 ) = q 0 p 1 q 0 p 1 i p

Fiktív

aggregátum

Árindex

Tárgyidőszaki súlyozású, Ip1

(Paasche-féle)

q 1 p 1 q 1 p 0

q 1 p 0 ( p 1 p 0 ) q 1 p 0 = q 1 p 0 i p q 1 p 0

Fiktív

aggregátum

q 1 p 1 q 1 p 1 ( p 1 p 0 ) = q 1 p 1 q 1 p 1 i p

Tárgy- (beszámolási) időszak

aggregátuma

Volumenindex

Bázisidőszaki súlyozású, Iq0

(Laspeyres-féle)

q 1 p 0 q 0 p 0

q 0 p 0 ( q 1 q 0 ) q 0 p 0 = q 0 p 0 i q q 0 p 0

Bázis-

időszaki

aggregátum

q 1 p 0 q 1 p 0 ( q 1 q 0 ) = q 1 p 0 q 1 p 0 i q

Fiktív

aggregátum

Volumenindex

Tárgyidőszaki súlyozású, Iq1

(Paasche-féle)

q 1 p 1 q 0 p 1

q 0 p 1 ( q 1 q 0 ) q 0 p 1 = q 0 p 1 i q q 0 p 1

Fiktív

aggregátum

q 1 p 1 q 1 p 1 ( q 1 q 0 ) = q 1 p 1 q 1 p 1 i q

Tárgyidőszak

aggregátuma




[14] A továbbiakban már csak az „egyszerű” formát használjuk, tehát az összegzés határainak és az összegzési indexeknek a feltüntetését mellőzzük. Az összegzés mindig az egyidejűleg vizsgált n termékféleségre értendő.