Ugrás a tartalomhoz

Általános pszichológia 1-3. – 1. Észlelés és figyelem

Csépe Valéria, Győri Miklós, Ragó Anett

Osiris Kiadó

2. fejezet - 2. FEJEZET – Pszichofizika

2. fejezet - 2. FEJEZET – Pszichofizika

Elmélet

Ebben a fejezetben az érzékelés mérésével, más szóval ingerek és érzékletek viszonyának kísérleti és elméleti problémáival ismerkedünk meg. E területet pszichofizikának is szokás nevezni. A pszichológia-tankönyvek gyakran kezdődnek az érzékelés, illetve észlelés tárgyalásával, több okból. Egyrészt az összetett jelenségek tudományos megismerése a részletek vizsgálatával kezdődik. Hogy az emberi elme hogyan osztható részekre, az bonyolult kérdés, ám a pszichológia nagyjai a 19-20. század fordulóján javarészt egyetértettek abban, hogy az érzékelés és észlelés vizsgálata jó kiindulópont a természettudományos irányultságú pszichológia számára. Az érzékelés és észlelés jelenségei, bár befolyásolja őket a gondolkodás, érzelmi állapot, személyiség és más, összetettebb pszichológiai jelenségek, vizsgálhatóak ezek nélkül is. A pszichológusok többsége ma is úgy gondolja, hogy az észlelés bizonyos mértékig autonóm, szerveződésében és működésében saját törvényeit követi. Ez természetesen nem jelent teljes függetlenséget mondjuk a nyelvhasználattól, a gondolkodás különféle formáitól vagy az érzelmektől, de részleges függetlenséget igen. Ez utóbbi, „magasabb rendű” jelenségek ráépülnek az észlelésre (például a vizuális képzelet és problémamegoldás ráépül a látásra), és e magasabb szintek nem is képesek mindenben hatni az észlelési folyamatra (például számos vizuális illúzió esetén olyasmit látunk, amiről tudjuk, hogy nem úgy van, ahogy látszik, e tudásunk hatására mégsem tűnik el az illúzió). Ezen általános okok miatt az érzékelés és észlelés vizsgálata mind a mai napig jól körülhatárolt terület a pszichológián belül. A pszichofizika keretében egyrészt az érzékelés egyes törvényszerűségeivel, másrészt az alapvető vizsgálati módszerekkel ismerkedünk meg.

Skálatípusok

Az ingerek és érzékletek viszonya, illetve általában a pszichológiai mérés alapfogalmai közé tartoznak a skálák különféle típusai. Általánosságban az osztályozásnak, illetve skálázásnak négy alapvető típusát szokták megkülönböztetni. A skálázás legegyszerűbb fajtája az, amikor az egyes eseteket egymástól különböző, diszkrét kategóriákba sorolással különítjük el. Ilyen mondjuk a telefonszámok esete: az egyes számok pusztán megkülönböztetik egymástól az egyes telefontulajdonosokat, ezenkívül semmilyen más viszonyt – legfőképp nagyságrendi viszonyt – nem fejeznek ki köztük. A skálázásnak ezt a legalapvetőbb esetét nominális skálázásnak nevezzük.

A nominális skálánál többet mond, ha egy adott tulajdonság szempontjából nagyság szerinti sorrendbe tudjuk rendezni a skálázandó elemeket. Mondjuk egy ének- vagy szavalóversenyen a zsűri aszerint rendezi sorba a résztvevőket, hogy milyen szépen énekeltek, illetve szavaltak. A sorrend egyértelmű, azonban semmit nem mond a rangsor tagjai közötti különbségek nagyságáról. Lehet például, hogy az első helyezett sokkal jobb volt a másodiknál, míg a második és a harmadik között olyan kicsi volt a különbség, hogy a zsűrinek nehéz dolga volt a döntésnél. Ezt az információt a rangsor maga nem tartalmazza – bár a zsűritagok természetesen külön elmondhatják erre vonatkozó benyomásukat. Az ilyen típusú skálát – amely tehát egy adott tulajdonság szerinti rangsort állít föl – ordinális skálának hívjuk. Egy érdekesebb példája az ordinális skálának az ásványok keménységét jellemző Mohs-féle skála (e skálát Frederick Mohs osztrák ásványtani szakértő hozta létre 1822-ben).

E skálán aszerint rendezik sorba az ásványokat, hogy melyik karcolja a másikat. A Mohs-féle skála a mai napig használatos – a keménység jellemzésére lényegesen jobb módszert azóta sem sikerült találni.

Az intervallumskála esetében már a skálázott elemek közti különbségek nagysága is kifejezhető, de a skálának nincs természetes nulla pontja. Az idő skálázása az intervallumskála jó példája: dátumok párjai között eltelt időmennyiségek összevethetők egymással nagyság szempontjából, viszont az egyes dátumok, időpontok abszolút nagyságáról nincs értelme beszélni.

Arányskáláról akkor beszélünk, ha a skálaértékek közötti különbségek nagysága értelmezhető, és van természetes nulla pont is. A diszkrét darabszámot vagy folytonos anyagmennyiséget kifejező skálák az arányskálák legjobb példái.

Pszichofizikai, pszichológiai skálázásnál fontos kérdés, hogy egy adott méréssel kapott értékek milyen skálán értelmezhetőek. Pszichológiai változók vizsgálata esetén leginkább az ordinális-, illetve az intervallumskála közötti választás jelent kényes kérdést. Ha például kísérleti személyek egy csoportjával hétfokú skálán megítéltetjük, hogy különböző fajtájú csokikat mennyire találnak finomnak, természetesnek gondolhatnánk, hogy az ítéleteket vagy ezek átlagait, intervallumskálaként kezeljük. Ez azonban félrevezető lehet, mégpedig azért, mert a különböző személyek esetleg eltérően súlyozzák az egyes skálaértékeket. Előfordulhat például, hogy az egyik személy számára az 1. és a 2. skálapontok közötti választás sokkal kisebb szubjektív különbséget jelent, mint a 6. és 7. pontok közti választás, mert a legmagasabb értéket csak nagyon finom csokinak hajlandó adni. Ugyanakkor más személyek számára lehet, hogy a skála középső értékei közötti választásnak nagyobb a jelentősége, s a végeknek kisebb. Ilyen esetben a skála nem tekinthető egyenletesnek – semmi sem biztosítja, hogy két szomszédos skálapont különbsége két másikéval azonos szubjektív különbségnek feleljen meg. Az eredményeket ezért nem lehet intervallumskálaként értelmezni. Annyi azonban bízvást feltételezhető minden személy esetében, hogy amelyik csoki magasabb értéket kapott a skálán, azt finomabbnak tartották, mint azt, amelyiknek alacsonyabb volt a skálaértéke. Ordinális skálaként tehát nyugodtan értelmezhetjük az eredményeket. Ez persze hatással van arra is, hogy milyen statisztikai eljárásokkal elemezhetjük az eredményeinket, tehát a mérési adatok skálák szerinti értelmezésének messze ható következményei vannak.

Abszolút és különbségi küszöbök

Egy adott ingertartományon belül (például hangerő, fényerő, a bőr mechanikai ingerlésének ereje) abszolút küszöbnek nevezzük azt a legkisebb ingerintenzitást, melyet még éppen észlelni tudunk. Különbségi küszöbnek nevezzük viszont azt a még észlelhető legkisebb ingerkülönbséget, amely a két ingert megkülönböztethetővé teszi. A küszöbök mérése a pszichofizika legalapvetőbb módszere, melynek kidolgozása Gustav Theodor Fechner német filozófus és fizikus nevéhez fűződik. Fechnert ugyanakkor a misztika is érdekelte, s úgy gondolta, eljárásai matematikai eszközt hozhatnak létre a szellemi és fizikai világ közötti kapcsolatteremtésre. Bár ma már kissé földhözragadtabban definiáljuk a pszichofizika célját, a mai küszöbmérési módszerek mindegyike tekinthető a Fechner-fé- le eljárások továbbfejlesztett változatának.

A küszöbökkel kapcsolatban néhány alapvető észrevételt kell tennünk. Egyrészt a küszöbök és általában az érzékelés egy személy esetében is időbeli ingadozást mutat, amit számos pszichológiai tényező együtthatása (érzelmi állapot, fáradtság, a figyelem irányultsága, a személy érdeklődése stb.) okoz. Ha egy gyenge ingert – mondjuk egy halk hangot – mutatunk be valakinek, s a személy azt jelzi, hogy érzékelte, még előfordulhat, hogy néhány másodperc múlva, ugyanazt az ingert megismételve arról számol be, hogy nem érzékelt semmit. A küszöb körüli érzékelés tehát valószínűségi esemény: egy küszöb körüli ingert jellegzetesen egy adott valószínűséggel érzékelünk, ami egyénenként is változhat. Míg például egy alacsony hangerővel bemutatott 444 Hz-es normál A hangot egy adott személy mondjuk tíz esetből átlagosan háromszor vesz észre, addig egy másik személy tíz esetből átlagosan hatszor. Vagy: ugyanaz a személy reggelente, kipihenten tízből átlag hatszor, míg este, fáradtan csak kétszer. Küszöbökről tehát csak valamilyen valószínűségi értékhez viszonyítva érdemes beszélni.

A különbségi küszöböknek emellett egy másik alapvető tulajdonsága, hogy arányosak az összehasonlítandó ingerek nagyságával. Ha mondjuk függőleges vonalakról kell eldönteni, hogy azonos hosszúságúak-e vagy sem, akkor egy 1 centiméteres vonalat jó esély- lyel meg tudunk különböztetni egy 11 milliméterestől, ám egy 20 centiméteres vonalat egy 201 milliméterestől már aligha. Egy 20 és egy 22 centiméteres szakasz megkülönböztetése megint csak viszonylag könnyű. Ernst Weber német orvos és fiziológus ismerte föl azt az összefüggést, hogy a különbségi küszöb arányos az inger nagyságával. Ennek hagyományos képletes kifejezése:

ΔI/I = c,

ahol I egy alapinger, I + ΔI az a megnövelt inger, amit I-től éppen meg tudunk különböz- tetni.Ezt az alapvető szabályszerűséget – melyet a következő bekezdésekben részletesebben is kifejtünk – Weber-törvénynek nevezik.

A különbségi küszöb tehát egyszerre arányos az ingerek abszolút értékével, és ugyanakkor valószínűségi jellegű is. E két tulajdonság alapján definiálhatjuk az úgynevezett legkisebb érzékelhető különbséget (LÉK; lásd Mérő 1987). Egy X ingerkontinuum (például fehér fény erőssége, adott vonalak hosszúsága, 100 Hz-es hang erőssége) minden egyes x eleméhez és egy rögzítettp valószínűségi szinthez tartozik egy y ingerkülönbség, melyre igaz, hogy az x ingert és az x + y megnövelt ingert éppenp valószínűséggel vesz- szük észre. Az y különbséget nevezzük ekkor az x-hez és p-hez tartózó legkisebb érzékelhető különbségnek:

y = LÉKp(x).

Általában, konvenció szerint a különbségi küszöbök mérésekor a p = 0,75 valószínűségi szintet használjuk, vagyis egy ingerhez tartozó különbségi küszöb az azy szám lesz, melyre igaz, hogy az x ingert az x + y ingertől átlagosan négy esetből háromszor különböztetik meg a személyek. Ugyanakkor igaz a következő összefüggés is:

LÉK/ x) > LÉK^x).

Általánosságban, ha q > p, akkor

LÉKq(x) > LÉKp(x).

Szavakban kifejezve: nagyobb megkülönböztetési valószínűségekhez nagyobb ingerkülönbségek tartoznak egyazon ingerkontinuumon belül.

Az eddigiekkel persze az érzékelés problémáját egydimenziósra egyszerűsítettük, ami kételyeket ébreszthet az olvasóban afelől, hogy egyáltalán beszélünk-e még valami lényegesről, miután ilyen szűkre szabtuk vizsgálatunk tárgyát. Mint azonban látni fogjuk, már egy ennyire „redukált” jelenségvilágban is igen érdekes összefüggések tárhatók föl. Természetesen ezek áttekintése után több dimenzióval leírható érzékelési-észlelési jelenségeket is megvizsgálhatunk – ezt röviden meg is fogjuk tenni, még ebben a fejezetben.

A Weber-törvényt a fenti egyszerű képlet segítségével is megfogalmazhatjuk. Tartva magunkat a 75 százalékos konvencióhoz, adott X ingerkontinuum minden x elemére fennáll, hogy

LÉK 0,75(x) = cx,

azaz egy x ingert c-szeresére kell növelnünk ahhoz, hogy a megnövelt ingert és az eredetit éppen 75 százalék eséllyel (átlagosan négyből háromszor) tudjuk megkülönböztetni. A c érték minden esetben 0 és 1 között van; általában 10 százalék körüli ingernövekményt a legtöbb ingertartományban már megbízhatóan érzékelni tudunk.

Érzetfüggvények

Az érzetfüggvények problémáját szintén Fechner vetette föl. A kérdés tehát az, hogy hogyan állapíthatunk meg matematikai összefüggést a külső fizikai ingerek és érzékleteink között? Míg az ingereket mérhetjük közvetlenül, addig az érzékletekhez nincs közvetlen hozzáférésünk. Pontosabban szólva, közvetlen mérésre lehetőséget adó hozzáférésünk nincs az érzékletekhez. Saját érzékleteinkhez van ugyan egy egyes szám első személyre korlátozott, szubjektív hozzáférésünk, ezt azonban nem nagyon lehet mérésnek alávetni. Mint láthattuk, ha mást nem is, a LÉK-eket mérhetjük (ennek mikéntjéről a Módszerek alfejezetben szólunk), és már ez is mond valamit ingerek és érzékletek matematikai összefüggéséről. Fechner e problémán gondolkodva úgy érezte, hogy a LÉK-ek az ember érzékelőrendszere számára is a legtermészetesebb skálázási egységet képezik. Azaz a LÉK-ek mérése eszerint nemcsak egy, a közvetlen érzékletmérést helyettesítő, „ha ló nincs, jó a szamár is” módszer, hanem érzékelőrendszereink működésének lényegére tapint rá. Természetesen a LÉK-ek mérése akkor is igen hasznos, ha nem gondoljuk úgy, hogy az érzékelés természetes skálaegysége a LÉK. Sőt, mint hamarosan látni fogjuk, érzetfüggvényeket lehet úgy is konstruálni, hogy nem a LÉK-ek méréséből indulunk ki.

Mivel az érzékelést oly sok egyéb pszichológiai tényező befolyásolja, felvethető a kérdés, lehetséges-e egyáltalán precíz matematikai összefüggést találni ingerek és érzékletek között, azaz van-e értelme érzetfüggvényről beszélni. Erre a kérdésre azt válaszolhatjuk, hogy bár az érzékelés sok pszichológiai tényezőtől függ, egy adott ingerre kialakuló érzékleteknek mégiscsak van egy várható értékük. Egy adott ingerre kialakuló érzéklet tehát egy olyan, úgynevezett valószínűségi változó, mely bizonyos fokú véletlen ingadozást mutat: különböző értékeket vesz föl. Minél több ilyen értékét átlagoljuk, annál pontosabb képet kapunk arról az értékről, amely körül az egyes értékek változnak. E szóródás mértékéről a szórás (nagyjából: az egyes értékek átlagtól való átlagos eltérése) informál bennünket, mely a valószínűségi változók másik alapvető jellemzője. E fogalmak alaposabb magyarázatát a statisztikakurzusokra hagyjuk. Nekünk most csak annyi fontos, hogy egyetlen adott ingerhez tartozó különböző érzékletek is valószínűségi változóként jelle- mezhetőek, és így van várható értékük. S ha van, akkor az érzetfüggvény értékét (az adott ingerhez rendelhető érzéklet nagyságát) célszerű éppen e várható értékben meghatározni. Az érzetfüggvényt pedig ezek után úgy definiálhatjuk, hogy egy X ingerkontinuum minden x elemére, mint értelmezési tartományra, az x-hez tartozó (adott érzékleti modalitáson belüli) érzékletek várható értékei jelentik a függvény értékkészletét. A továbbiakban az x ingerhez tartozó érzetfüggvényértéket érzet(x)--szel jelöljük.

Végül még egy fontos összefüggést kell megjegyeznünk: a klasszikus érzetfüggvények elmélete feltételezi azt, hogy egy X ingerosztály által kiváltott érzékleteket legalább intervallumskálával mérhetjük. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor a várható érték nincs értelmezve, és nem is tudjuk becsülni a fent említett átlagolási technikával. Sőt, ha az ingerosztály maga nem tekinthető kontinuumnak, akkor sem nagyon tudjuk a kiváltott érzékleteket kontinuumként kezelni. Például, ha egy televíziós játék nyerteseként három nyeremény közül választhatunk: egy gépkocsi, egy világ körüli utazás vagy egy magán-nyugdíjpénztári befizetés, akkor, bár elvi akadálya nincs annak, hogy az egyes választási alternatívák vonzerejét mint intervallumskálával mérhető egydimenziós változót gondoljuk el, az biztos, hogy küszöbmérési módszerekre nem támaszkodhatunk e skála számszerűsítésében (mi lehetne a különbségi küszöb egy gépkocsi és egy világ körüli utazás között?). Az ilyen esetekre másféle matematikai modellek léteznek, ezeket azonban itt nem ismertetjük. (Az érdeklődő olvasó számára kiindulópontként szolgálhat Mérő László [1987] egyetemi jegyzete, amelynek gondolatmenetét egyszerűsített formában a jelen alfejezetben is követjük.)

A Fechner-elv és a Weber-Fechner-féle érzetfüggvények

Fechner fent ismertetett elgondolását kissé pontosabban a következőképpen is megfogalmazhatjuk. Az érzékelőrendszerek LÉK-ekben skáláznak, azaz, ha egy x ingert egy különbségi küszöbnyivel növelünk, akkor a hozzá tartozó érzet mindig egységnyivel növekszik. Mivel a Weber-elvet továbbra is érvényesnek tartjuk, ebből tehát az következik, hogy intenzívebb ingerek esetén, ahol a különbségi küszöb abszolút értéke nagyobb, nagyobb fizikai változáshoz tartozik egyegységnyi érzetnövekmény, mint alacsonyabb ingerintenzitások esetén. Annyi tehát rögtön látszik, hogy az érzetfüggvény nem lesz lineáris.

A fechneri feltevéseket már csak egy kicsit kell pontosítani ahhoz, hogy azok alapján az érzetfüggvény alakját is megadhassuk. Az első pontosítás, hogy a különböző valószínűségi szintű LÉK-ekhez különböző érzetnövekmények tartoznak, de ha rögzítjük a LÉK-ek valószínűségi szintjét egy adott értéken, akkor ezután minden LÉK-hez ugyanakkora érzetkülönbség fog tartozni. Ez az érzetkülönbség tehát csak a LÉK-ek valószínűségi szintjétől függ – magasabb valószínűségi szintű LÉK-hez nagyobb érzetkülönbség tartozik. Ez utóbbi összefüggés az általánosított Fechner-elv:

érzet[x + LÉKp(x)] – érzet(x) = a(p).

A második pontosítás az, hogy a Weber-elvet (vagy Weber-törvényt) szintén lehet általánosítani. Adott ingerkontinuumon belül minden valószínűségi szinthez tartozik egy c arányszám, amely kifejezi, hogy egy alapingert hányadrészével kell megnövelnünk ahhoz, hogy az alapingert és a megnövelt ingert éppen p valószínűséggel tudjuk megkülönböztetni. Általánosságban tehát:

LÉKp(x) = c(p)x,

azaz a különbségi küszöb arányszáma csak a p valószínűségi szinttől függ. Vegyük észre, hogy két általános elvünk közül az egyik (a Weber-elv) empirikusan vizsgálható, a különbségi küszöbök mérésével. Az általánosított Fechner-elv ellenben egy elméleti alapfeltevés, amely ebben a formájában közvetlenül nem ellenőrizhető mérésekkel.

Az elméleti szempontból érdekes lépés itt következik. Ha ez a két elv – az általánosított Weber-elv és az általánosított Fechner-elv – igaz egy érzetfüggvényre (Weber-Fechner-fé- le érzetfüggvény), akkor pusztán a matematika eszközeivel bebizonyítható, hogy az érzetfüggvény logaritmusfüggvény. Azaz:

érzet(x) = s log(x) + t

alakú, ahol s és t konstansok (2.1. ábra). [A logaritmus alapja szabadon megválasztható a log(x) = logb(x)/logb(a) általános összefüggés alapján, ez csak az s konstansra van hatással.]

Ezzel felállítottunk egy elméletet az érzetfüggvény általános alakjára. Két dolgunk maradt csak: egyrészt a függvény „paraméterezése”, azaz konkrét ingerkontinuumok esetén az s és t konstansok értékeinek megtalálása, s így a pontos függvényalak megállapítása; másrészt további mérésekkel igazolni azt, hogy az elmélet helytálló, tehát legalábbis bizonyos ingerkontinuumokra az érzetfüggvény tényleg logaritmusfüggvény alakú. Az első probléma megoldása viszonylag egyszerű: választunk egy ingeregységet (mondjuk az SI mértékrendszer szerintit), és az ehhez tartozó érzéklet értékét 1-nek definiáljuk: érzet(1) = 1. Ezután elég kimérni, adott p valószínűségi szintre az 1 + LÉKp(1) ingert. Ekkor persze a Fechner-elv szerint

érzet[1 + LÉKp(1)] = 2.

Ekkor a függvényben szereplő logaritmus alapja az 1 + LÉKp(1) szám lesz, mindkét konstansunk (s és t) értéke pedig 1. Tehát egyetlen küszöbméréssel meghatározható az érzetfüggvény pontos alakja egy ingerkontinuumra.

2.1. ábra. A Weber-Fechner-féle érzetfüggvény alakja

Az utóbbi kérdésre részleges igenlő választ adhatunk: a Weber-Fechner-féle elmélet bizonyos fizikai dimenziókban helyesen írja le az érzetfüggvényt: ilyen például a súlyérzékelés. Érdekes módon néhány teljesen eltérő ingerdimenzióban is jól működik ez az elmélet: úgy tűnik például, hogy a pénz szubjektív értéke is logaritmusával arányos. (Tehát például egy adott összeg, mondjuk 20 000 forint, szubjektív értéke egy személy számára attól függ, hogy egyébként mennyi pénze van – egy milliárdos számára ez sokkal kisebb jelentőségű összeg, mint egy kisnyugdíjas számára.) Ugyanakkor a Fechner-elv a legtöbb ingerdimenzióban nem működik jól, így az elmélet, eleganciája ellenére, csak korlátok között általánosítható.

A küszöbök kiküszöbölése: a Stevens-féle érzetfüggvények

Az érzetfüggvény általános alakjának meghatározásában létezik az eddig leírttól teljesen eltérő kiindulópont is. Ennek legjellegzetesebb példája a Stanley Smith Stevens kísérleti pszichológus, pszichofizikus által kidolgozott módszer és a hozzá tartozó elmélet az érzetfüggvények meghatározására (Stevens 1956, 1960, 1975). Stevens módszerének érdekessége, hogy az érzetfüggvény meghatározásában teljesen nélkülözte a küszöbmérést, mégpedig a következő logika alapján. Tételezzük föl, hogy egy vizsgálatban bemutatunk a személynek egy hangszórón érkező hangot. A személy feladata az, hogy egy másik hangszóró hangját egy szabályozó segítségével állítsa kétszer olyan hangosra, mint amit az első hangszóróból hall. Ezután a beállított hang fizikai erősségét lemérjük, majd ezt a hangot megszólaltatjuk az első hangszórón. A személy feladata ismét ugyanaz: a második hangszórón állítsa be az új hang kétszeresét, s így tovább.

Ezzel a módszerrel rekonstruálható lesz az érzetfüggvény minden egyes pontja. Sőt további köztes pontok is: az első ingerből kiindulva mondjuk másfélszeres vagy háromszoros erősségű beállításokat is kérhetünk. E módszerrel vannak azonban gyakorlati problémák: például a személyek zavarban lennének, ha mondjuk először másfélszeres, majd 1,6-szeres, aztán meg 1,7-szeres hangerő-beállításra kérnék őket: ezeket az instrukciókat igen nehéz lenne értelmezni és végrehajtani. Az is valószínű, hogy a hang, amit a személy állítása szerint kétszer olyan erősnek hall, mint az eredetit, fizikailag nem kétszer olyan erős, mint az eredeti. Ezt persze nem is tételezték föl a módszer kidolgozásakor. Azt azonban ettől függetlenül még föl lehet tételezni, hogy az érzékletek az instrukcióban meghatározott arányban állnak egymással (2.2. ábra). Sajnos azonban még ez utóbbi feltételezésre sem lehet mérget venni. Például, ha egyetlen négyszeres hangosságbeállításra kérjük a személyt, akkor az eredmény jó eséllyel nem ugyanaz lesz, mint ha kétszer egymás után kétszerezést kérnénk. Ebből is látszik, hogy a szubjektív érzékletek nemcsak nem mérhetők az átélő személy vizsgálatával, hanem ha szám- és nagyságfogalmainkat megpróbáljuk alkalmazni érzékleti benyomásaink skálázására, meglehetősen furcsa eredményeket kapunk – annak ellenére, hogy szám- és nagyságfogalmaink más összefüggésben többnyire kitűnően működnek.

2.2. ábra. Az érzetfüggvény kimérése aránybecsléssel

Minden furcsasága ellenére azonban a most leírt módszer nem teljesen reménytelen, sőt. Egy általánosabb összefüggést azonban elég jól igazolnak a laboratóriumi mérések, s ez a következő: egyenlő ingerarányok egyenlő érzetarányokat hoznak létre. Azaz, ha adott egy x erősségű inger, és ennek k-szorosa, tehát a kx ingererősség, akkor, noha a két ingerérték hányadosa k, a hozzájuk tartozó érzetek intenzitásainak aránya már egy ettől eltérő érték:

azaz az érzetek erősségének hányadosa az ingererősségek hányadosának függvénye. Ez a Stevens-elv.

Ennek az elvnek a megfogalmazásával ismét érdekes ponthoz érkeztünk, mivel matematikai úton bebizonyítható, hogy ha egy érzetfüggvényre igaz a stevens-elv, akkor az a függvény általános alakját tekintve hatványfüggvény, vagyis

érzet(x) = cx6

alakú, ahol b konstans.

2.3. ábra. A Stevens-féle érzetfüggvény alakja különböző kitevőkre

a Stevens-féle érzetfüggvény már jóval több ingerdimenzióban írja le az ingerek és érzetek összefüggését, mint a Weber-Fechner-féle. Fő paramétere a b kitevő, mely a konkrét függvényalakot meghatározza (2.3. ábra). A hangerő érzékelése esetén például a kitevő 0,3 körüli, tehát fizikailag megkétszerezett erejű (hangnyomású) hangot kevesebb mint kétszer olyan hangosnak hallunk (ennek okaival a hallásról szóló fejezetekben részletesen foglalkozunk majd). Vonalak hosszúságának megítélésekor például a stevens-függvény kitevője 1-hez közeli, tehát a vonalhosszak érzékelt hosszúságára vonatkozó érzetfüggvény hozzávetőleg

érzet(x) = cx + b

alakú, vagyis lineáris. Általában a lineáris érzetfüggvények ritkák, azonban épp a téri távolságok becslésénél hasznos lehet a linearitás, mégpedig elsősorban az észlelés és a mozgáskoordináció kapcsolata miatt (ezekről bővebben lesz még szó a mozgásészlelésről, illetve a térészlelésről szóló fejezetekben). Ha például két különböző távolságot olyan arányúnak észlelünk, mint amilyen arányban ténylegesen állnak egymással (például egy szakadék szélén állva az állatnak jobbra egy métert, balra másfél métert kellene ugrania, és ezt a 2 : 3 távolságarányt pontosan észlelni is képes), az megkönnyíti az idegrendszeri döntési mechanizmus és a mozgatórendszer dolgát – e rendszereknek nem kell kompenzálniuk az aránytorzítást, amely abból fakad, hogy az észlelés nem lineáris.

Fájdalmat okozó ingerek esetén azonban a Stevens-függvény kitevője igen magas, 3 körüli vagy a fölötti. Ez evolúciós szempontból meglehetősen értelmes választásnak tűnik, hiszen a fájdalmat okozó káros inger kis növekménye is nagymértékben emeli az érzéklet intenzitását – annál gyorsabban, minél magasabb az ingerintenzitás szintje -, erős jelzést adva ezzel a motivációs rendszernek az elkerülésre.

Végül érdemes megjegyeznünk, hogy a két elmélet – a Weber-Fechner-féle és a Ste- vens-féle – nem mond teljesen ellent egymásnak. A két elmélet egységesítése az elméleti pszichofizika egyik fontos kérdése; több javaslat is született erre vonatkozólag (Norwich 1993). Az egyik elgondolás szerint az alapvető különbség a két függvény között, hogy a Weber-Fechner-féle mechanizmushoz akkor folyamodhat az érzékelőrendszer, ha az inger nem mérhető arányskálával, csak intervallumskálával, azaz nincs természetes nulla pontja. Vegyük észre, hogy a Stevens-féle érzetfüggvényhez vezető eljárás alapja az aránybecslés volt – az ingerarányok becslése az érzetek segítségével -, ez pedig feltételezi az ingerkontinuum abszolút nulla pontjának meglétét (például hangerő-becslésnél a csönd a nulla pont). Színek esetén viszont sem az ingereknek, sem az érzeteknek nincs természetes nulla pontja, így itt a direkt aránybecslésen alapuló mechanizmus nem használható – legföljebb a legkisebb érzékelhető különbségek „leszámolgatásán” alapuló Weber-Fechner-féle érzékelési mechanizmus (Mérő 1987).

Szignáldetekció

A szignáldetekciós elméletet eredetileg mérnöki problémák megoldására, például radarok és más elektronikus kommunikációs eszközök működésének leírására fejlesztették ki. Innen került át az észlelés pszichológiájába, ahol a gyenge, küszöb körüli ingerek érzékelésével kapcsolatos olyan jelenségek leírására használták, melyeket az érzékelési küszöbök hagyományos elmélete nem magyarázott megfelelően. Ilyen helyzet az, amikor gyenge ingereket zajos háttér mellett kell észlelnünk (például az ajtócsengő hangját hajszárítás közben), illetve amikor ilyen helyzetben ismételt, sorozatos ítéleteket kell hoznunk. Ilyen esetben az inger megjelenésének megítélése fokozott mértékben igényel tudatosságot (figyelmet, mérlegelést, döntést). Ennek egyik példája a radarképernyő figyelése. A szignál- detekciós elmélet haszna éppen az, hogy az ingerek érzékelésével kapcsolatos feldolgozási mechanizmuson belül szétválasztja az érzékenységgel kapcsolatos, illetve ezektől független, kognitív tényezőket. Ugyanakkor a szignáldetekciós elmélet jól leírja a hagyományos küszöbjelenségeket is, mint az a következő példából látható.

Tegyük föl, hogy két személy küszöbmérési kísérletre érkezik egy laboratóriumba. Egymás után vizsgálják meg őket, és mindkettőjük feladata az, hogy ha két inger között különbséget látnak, azt „Különböznek” válasszal jelezzék, ha pedig egyformának látják az ingereket, akkor „Egyformák” választ adjanak. Az ingerpárok egy része valójában két azonos ingerből áll, a többi pár pedig két, küszöb körüli szinten különböző ingerből. Azonban két személyünk hozzáállása között jellegzetes különbség van. Egyikük kifejezetten szeretne segíteni a kísérletvezetőnek, és ezért amikor a legkisebb gyanú ébred benne, hogy a bemutatott ingerek nem azonosak, máris szól, hogy különbözőek (nevezzük őt a „lelkes” kísérleti személynek). A másik személy is nagyon szeretne segíteni, ő azonban úgy gondolja, úgy segíthet, ha csakis akkor jelez különbséget, ha teljesen biztos benne, hogy a két inger különbözik (ő a „megfontolt” személy). Ha meggondoljuk, ez a különbség kettejük között nem az érzékelésről szól, hanem valami másról (talán a személyiségükkel van kapcsolatban), s mégis, ez a hozzáállásbeli különbség az érzékelési kísérlet eredményét befolyásolja. Felmerülhet a gyanú, hogy legalábbis részben artefaktum (módszertani műtermék) felelős a kapott eredményekért, s nem tisztán az a jelenség, amit mérni szerettünk volna.

Az úgynevezett szignáldetekciós elmélet (Green-Swets 1966) e problémát oldja föl két tényező, az érzékenység, illetve a döntési kritérium szétválasztásával. Az érzékenységet hagyományosan a d’ szimbólummal szokás jelölni, míg a kritériumot b-val. Az előbb leírt helyzetben lelkes kísérleti személyünk feltehetőleg többször fog hibázni úgy, hogy akkor is különbséget jelez, amikor két egyforma inger jött (téves riasztás). Megfontolt – talán túlzottan is önkritikus – személyünk ellenben inkább úgy fog hibázni, hogy akkor sem jelez különbséget, ha van (kihagyás) – talán mert nem teljesen biztos benne, hogy érzékelt volna bármilyen különbséget. Természetesen az esetek egy részében mindketten helyesen válaszolnak: jelzik a meglévő különbséget (találat), illetve azonosságot jeleznek, amikor nincs különbség (helyes elutasítás). A szignáldetekciós helyzet lehetséges kimeneteit a 2.1. táblázatban foglalhatjuk össze.

2.1. táblázat - 2.1. táblázat. A szignáldetekciós helyzet lehetséges kimenetei

Helyzet

Döntés

Különböző ingerek – jött jel

Azonos ingerek – nem jött jel

Jött jel

Találat

Kihagyás

Nem jött jel

Téves riasztás

Helyes elutasítás


Lelkes kísérleti személyünk döntési kritériuma alacsony, azaz könnyen meghozza a „jött jel” ítéletet. Így sok találata, de ugyanakkor sok téves riasztása is lesz. Megfontolt személyünknek ellenben sok helyes elutasítása, ám sok kihagyása is lesz, azaz az ő döntési kritériuma magas, nem egykönnyen hoz pozitív ítéletet. Előfordulhat azonban, hogy egy harmadik kísérleti személy (a „profi”) sok találatot és sok helyes elutasítást produkál, ellenben kihagyást és téves riasztást alig (2.2. táblázat). E három adateloszlás alapján már levonhatjuk a következtetést, hogy harmadik kísérleti személyünk a számunkra érdekes, azaz érzékelési szempontból jobb a másik kettőnél – vagyis nagyobb az érzékenysége a kérdéses ingerekre. Tehát érzékenység és döntési kritérium az adatok ilyetén elrendezése mellett világosan szétválasztható. Döntési kritériumát természetesen profi kísérleti személyünknek is módjában áll változtatni. Például katonai megfigyelőknél, éles harci helyzetben a kihagyás következménye igen súlyos lehet – ha az őr nem veszi észre a közelgő ellenség jeleit. Hadgyakorlaton ellenben, ahol a kockázat kisebb, ám a téves riasztás igen költséges, a nagy érzékenységű őr is kétszer meggondolja, hogy riasszon-e egy apró, számára sem egyértelmű jelre.

2.2. táblázat - 2.2. táblázat. A szövegben említett három hipotetikus kísérleti személy adateloszlása. Az adatok is hipotetikusak; azt tételezzük föl, hogy 100 ingerbemutatásból 50 esetben volt jel, azaz különbség a bemutatott ingerpár tagjai között

Kísérleti személy

Szignáldetekciós kísérlet eredményei

Találat

Kihagyás

Téves riasztás

Helyes elutasítás

„Lelkes”

46

4

20

30

„Megfontolt”

32

18

6

44

„Profi”

46

4

6

44


Profi személyünk esetében a kétféle hiba (kihagyás és téves riasztás) összege bármilyen kritériumbeállításnál kisebb lesz, mint a másik két személynél. Azonban rá is igaz az, hogy a döntési kritérium beállításával egyszerre rögzítjük mindkétfajta hiba arányát: ha adott az érzékenységi szint, akkor csak a kihagyások növelése árán tudjuk a téves riasztások számát csökkenteni, és viszont. Pontosan ezt az összefüggést – tehát a találatok és téves risztások viszonyát különböző érzékenységi (d’) értékekre – ábrázolhatjuk az úgynevezett ROC (Receiver Operating Characteristic) görbe segítségével (2.4. ábra). A grafikonon minden egyes görbe egy konkrét, adott d’-vel jellemezhető érzékelőrendszert ábrázol. A vízszintes tengelyen a téves riasztások, a függőleges tengelyen a találatok valószínűsége látható. Minden egyes görbe pontjait a b kritériumszint fokozatos változtatásával kapjuk meg. Ha a kritériumszint extrém magas, akkor soha nem válaszolunk úgy, hogy jött jel, így persze téves riasztást sem adunk soha. Ez felel meg a (0;0) pontnak. Ahogy lejjebb engedjük a kritériumszintet, mindkét valószínűség (találat és téves riasztás) is emelkedik, de ha d’ nagyobb 0-nál, akkor a találat valószínűsége gyorsabban nő, mint a téves riasztásé. Extrém alacsony kritériumszint mellett mindig jelez a rendszer, ekkor mindkét valószínűség 1 lesz.

2.4. ábra. A szignáldetekciós elmélet ROC görbéje

Természetesen ehhez az eljáráshoz tartozik egy pontos matematikai elmélet is, mellyel a d’ és a b paraméterek is számszerűen (intervallumskálán) jellemezhetőek (ennek részleteit itt mellőzzük, ám az érdeklődő olvasó alapos és jól érthető bemutatást talál Mérő László jegyzetében [1987, 7. fejezet]).

A Thurstone-féle skálázás

A Thurstone-féle skálázás a szignáldetekciós elmélet egyfajta általánosításának tekinthető, kettőnél több ingerre. Gyakorlati szempontból azonban más célra használják, mint a szignáldetekciós elméletet. Képzeljük el, hogy egy vizsgálatban különböző gyümölcsöket ítéltetnek meg velünk aszerint, hogy mennyire találjuk őket finomnak. A vizsgálat tervezői azonban nem bíznak a hét- vagy többfokú skálákban, mivel, mint föntebb láttuk, az ilyen skálákon kapott eredmények nem értelmezhetők intervallumskálaként. Ezért arra kérik a kísérleti személyeket, hogy páros választások során mindig két gyümölcs közül válasszák ki azt, amelyiket jobban szeretik. A párokat véletlen sorrendben adják a személynek, mindegyiket többször egymás után. Ha mondjuk ötféle gyümölcsöt vizsgálunk, akkor ezekből tízféle pár alkotható.

A vizsgálathoz mind a tízféle pár esetében szükségünk van egy valószínűségi értékre, mely azt jellemzi, hogy a pár első tagját mekkora valószínűséggel választjuk finomabbnak a másodiknál. Ha ez a valószínűség 0,7, akkor persze a pár második tagját csak 0,3 valószínűséggel választjuk finomabbnak az elsővel szemben (2.3. táblázat). Ebből a valószínűségi táblázatból a Thurstone-féle módszerrel egy intervallumskálán rendezhetjük el az egyes elemeket, tehát példánkban egy olyan finomsági skálát kapunk, melynek értékeiből különbségeket és átlagokat is lehet számolni. A számolási eljárás a statisztikai normális eloszlás tulajdonságaira alapoz, ezt itt nem részletezzük.

2.3. táblázat - 2.3. táblázat. Thurstone-féle skálázáshoz szükséges, páros választási valószínűségeket tartalmazó táblázat

Cseresznye

Meggy

Eper

Görögdinnye

Sárgabarack

Cseresznye

-

0,61

0,65

0,77

0,82

Meggy

0,39

-

0,53

0,67

0,73

Eper

0,35

0,47

-

0,62

0,70

Görögdinnye

0,23

0,33

0,38

-

0,57

Sárgabarack

0,18

0,27

0,30

0,43

-


Tehát egyrészt a Thurstone-féle skálázással meghaladhatjuk a többfokú szubjektív skálák torzításait, ugyanakkor e módszer a gyakorlatban kissé fáradságosnak tűnik. Ötféle elem, azaz tízféle pár esetén a páros választási valószínűségek becsléséhez minden párt legalább tíz alkalommal, de lehetőleg ennél többször kell bemutatni. Azaz minimálisan száz páros választás szükséges egy durva (minden párra tíz választáson alapuló) valószínűségbecsléshez is. Tíz elem esetén a párok száma 45, s ha kicsit alaposabban (mondjuk páronként 20 választással) becsüljük a valószínűségeket, már 900 páros választáson kell átrágnia magát a kísérleti személynek. Meg lehet persze próbálni a páros választások sorát rövidre zárni mondjuk úgy, hogy egy párt csak egyszer mutatunk be, és a köztük lévő, mondjuk tíz centiméter hosszú szakaszt kell felosztani két részre, annak arányában, hogy mennyivel inkább választanánk a pár egyik tagját, mint a másikat. A szakasz felosztását pedig használhatnánk a páros választási valószínűség becslésére. Ezzel ugyan egyszerűbbé válna az adatgyűjtés, azonban semmi garancia nincs arra, hogy a szakaszjelölgetésből kapott adatok nem torzítják el azt a valószínűségi becslést, amit a páros választásokból kaphatnánk.

Többdimenziós skálázás

A többdimenziós skálázás tekinthető a Thurstone-féle skálázás kiterjesztésének is, mégpedig annyiban, hogy míg a Thurstone-féle skálázás egyetlen, előre meghatározott dimenzión belül számol intervallumskála-értékeket páros hasonlósági ítéletekből, addig a többdimenziós skálázás egy tetszőleges, n dimenziós térben, egymástól való távolságuk alapján helyezi el a hasonlóság szempontjából megítélt elemeket. a hasonlóság azonban csak részleges, mivel a többdimenziós skálázásnak számos altípusa létezik.

A többdimenziós skálázás célja képet adni arról, hogy ingerek egy csoportjának tagjai a személyek számára milyen összetett hasonlósági viszonyban állnak egymással, és a hasonlósági ítéleteket milyen dimenziók határozzák meg. A többdimenziós skálázással kapott dimenziókat pedig már pszichológiai szempontból is lehet értelmezni. így például a színhasonlósági tér (lásd a Színlátás című fejezetet) dimenziói – árnyalat, telítettség, világosság – is feltárhatók többdimenziós skálázással, a személyek hasonlósági ítéletei alapján (Izmailov-Sokolov 1991). Ennél azonban sokkal absztraktabb ingerek is elemezhetők többimenziós skálázással, ilyen például az érzelmi állapotok egymáshoz való hasonlósága (Daly et al. 1983), a foglalkozásnevek jelentése (Burton 1972) vagy a különböző nemzetekről kialakított kép (Wish et al. 1972).

A többdimenziós skálázás jellegzetes eseteiben intervallumskálával jellemezhető ítéleteket kérnek ingerek egy csoportjára páros összehasonlítások alapján. Tegyük föl, hogy a következő színek hasonlósági viszonyaira vagyunk kíváncsiak: piros, lila, narancssárga, zöld és kék. Ezeket vagy színnevek, vagy színes kártyák segítségével mutatjuk be a személyeknek, és ítéleteket a következő formában kérünk:

A személy feladata egy vonással bejelölni a skála két végpontja között azt a pontot, amely az ő hasonlósági ítéletét tükrözi. Ezután mondjuk a skála (a vízszintes vonal) bal szélétől lemérjük a jelölés távolságát, s ez lesz a személy hasonlósági ítéletét jellemző érték (Mérő 1986). A hasonlósági ítéleteket táblázatba (hasonlósági mátrix) rendezzük (2.4. táblázat).

2.4. táblázat - 2.4. táblázat. Többdimenziós skálázás távolságmátrixa

Piros

Lila

Narancs

Zöld

Kék

Piros

0

1,8

1,5

4,0

3,5

Lila

1,8

0

3,0

4,0

2,0

Narancs

1,5

3,0

0

3,8

4,2

Zöld

4,0

4,0

3,8

0

3,7

Kék

3,5

2,0

4,2

3,7

0


A többdimenziós skálázás módszere segítségével ezután megpróbáljuk egy adott dimenziószámú térben elhelyezni az ingereinknek megfelelő pontokat úgy, hogy a közöttük lévő távolság pontosan megfeleljen a hasonlósági mátrix értékeinek, vagy minél jobban közelítse azt. Hogy ez az elhelyezés mennyire sikeres, nagyban függ a választott dimenziószámtól. (Ha mondjuk négy ingerpontunk van, és ezek mindegyike egyenlő távolságra van a másik háromtól, akkor ez a pontkonfiguráció nem ábrázolható kétdimenziós térben, de háromdimenziósban igen.) A 2.4. táblázatban bemutatott hasonlósági mátrix azonban tökéletesen ábrázolható kétdimenziós térben (2.5. ábra). Sőt az is látszik az ábrán, hogy a kialakuló pontkonfiguráció a színhasonlósági tér kétdimenziós metszetének, a színkörnek egy részletét képezi le, persze eléggé durva formában. Több inger alapján kapott nagyobb hasonlósági mátrixok segítségével kifinomultabb képet kaphatunk a színek hasonlósági struktúrájáról. A 2.5. ábra legalábbis nem mond ellent annak a feltételezésnek, hogy a világosság szempontjából egyforma színek hasonlóságának osztályozása két dimenzió (piros-zöld és sárga-kék) mentén megy végbe.

2.5. ábra. Többdimenziós skálázás pontkonfigurációja

Fontos kérdés, hogy a különböző személyek vajon azonos vagy különböző dimenziók mentén osztályozzák-e az egyazon ingerhalmazhoz tartozó elemeket? Ha mondjuk filmrendezők stílusát kell egymással összehasonlítani, akkor elvileg lehetséges, hogy egyik személy a társadalomkritika és a humor, míg egy másik személy a képi világ és a szereplők jellemvonásainak részletes megjelenítése mint dimenziók mentén veti össze egymással a különböző rendezők stílusát. Ekkor persze az e két személy által adott hasonlósági struktúrákat nem lehet összevetni, közös keretben értelmezni. Ha különbözőek az egyéni dimenziók, akkor egyes személyek hasonlósági mátrixainak átlagolásából nem kaphatunk értelmezhető adatokat, hiszen ekkor az átlagolás teljesen összekeveri az egyénenként különböző dimenziókat. Úgy tűnik azonban, hogy igen gyakran az egyes személyek azonos dimenziók mentén ítélik meg egy adott ingerkészlet hasonlósági viszonyait, viszont ugyanazokat a dimenziókat eltérően súlyozzák. Ilyen kérdések – tehát az egyéni különbségek – vizsgálatára és a csoportátlaggal való összevetésükre szintén léteznek módszerek a többdimenziós skálázáson belül (Mérő 1986, Bimler et al. 2000).

Szintén érdemes szem előtt tartani azt, hogy a többdimenziós skálázás eredményeit szemléltetésre, hasonlóságstruktúrák áttekinthető bemutatására használjuk, és ezért, ameny- nyire lehet, szeretnénk alacsonyan tartani a kapott hasonlósági tér dimenziószámát. Kétvagy háromdimenziós hasonlósági teret kitűnően tudunk ábrázolni és áttekinteni, de egy nyolcdimenziós tér már nem igazán használható szemléltetésre. Ezért, ha egy magasabb dimenziószámú (mondjuk ötdimenziós) térben gyakorlatilag tökéletesen sikerül egy ponthalmaz hasonlósági viszonyait ábrázolni, akkor érdemes megvizsgálni, hogy mennyire torzítja el az eredeti hasonlósági mátrixot egy alkalmasan választott alacsonyabb dimenziószámú (mondjuk háromdimenziós) térben való ábrázolás. Gyakran előfordul, hogy az eredeti hasonlósági mátrixhoz képest viszonylag kis hibával ábrázolható a ponthalmaz az alacsonyabb dimenziószámú térben is. Ekkor a kis hibáért sokkal jobb áttekinthetőséget kapunk cserébe, ami ugyanakkor a legfontosabb dimenziókat megőrzi. A dimenzióredukció következtében előálló hiba nagyságára létezik mérőszám, mely jelzi, hogy milyen mértékben értelmezhetők az adatok a redukció után (Mérő 1986).

2.6. ábra. Az eredő pontkonfiguráció meghatározatlansága nem metrikus többdimenziós skálázás és alacsony elemszám (pontok száma) esetén

Többdimenziós skálázást lehet végezni ordinális skálaadatokon is: ennek megint csak akkor van jelentősége, ha nem bízunk a szubjektív skálázás (például vonalszakaszok felosztása hasonlósági intuíciónk kifejezésére) intervallumskálaként való értelmezhetőségében. Ilyenkor az ingerpárok különbségeit nagyság szerint sorba rendezzük, és csak ezt az információt (tehát hogy egy pár különbsége hányadik a rangsorban) használjuk föl egy a hasonlóságokat megjelenítő pontkonfiguráció létrehozásához. Kevés pont esetén ez a módszer nem ad egyértelmű eredményt. Ha mondjuk csak négy pontunk van, melyekről azt tudjuk, hogy bármelyikük a másik háromból kettőtől azonos távolságra van, míg a harmadiktól egy kicsit messzebb (2.6. ábra), akkor a megfelelő pontkonfiguráció egy tetraéder (három dimenzió) és egy átlókkal ellátott négyzet (két dimenzió) között változhat. Ahogy azonban nő a pontok száma, mozgásterük rohamosan szűkül: a köztük lévő távolságok nagysági sorrendje egyre egyértelműbben határozza meg, hogy egymáshoz képest hogyan kell elrendeznünk a pontokat (Shepard 1962). Az, hogy hány pont elég a stabil konfiguráció kialakulásához, függ a dimenziószámtól is: két dimenzió esetén egy 15 pontból álló konfigurációt már meglehetős egyértelműséggel határoz meg a pontok közti távolságok puszta rangsora is, abszolút értékük nélkül.