Egy R nemüres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha

(i) értelmezve van R-en két művelet ― az egyiket összeadásnak, a másikat szorzásnak hívjuk;

(ii) az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem, és minden elemnek létezik ellentettje;

(iii) a szorzás asszociatív;

(iv) bármely $a,b,cR$-re a(b+c)=ab+ac és (b+c)a=ba+ca teljesül.❶

Látjuk tehát, hogy a fenti gyűrűaxiómáknál az (i), (ii) és (iv) kikötések azonosak a testnél előírtakkal, csak (iii)-nál engedtük el a szorzás kommutativitását, valamint az egységelemre, illetve az elemek inverzére vonatkozó feltételeket.

Mivel a szorzás nem (feltétlenül) kommutatív, ezért (iv)-ben mindkét oldali disztributivitást meg kell követelnünk. A két disztributivitás valóban független egymástól, pl.ha az R→R függvények körében az összeadást a szokásos módon, a szorzást pedig a kompozícióként definiáljuk, akkor minden gyűrűaxióma teljesül, kivéve az egyik disztributivitást.

A testnél látottak mintájára most is igaz, hogy a gyűrű definíciójában a nullelemre és az ellentettre vonatkozó előírások helyettesíthetők a kivonás elvégezhetőségével. Ennek megfelelően a gyűrű fogalmát röviden abban a formában is összefoglalhatjuk, hogy „elvégezhető az összeadás, a kivonás és a szorzás, továbbá érvényesek a szokásos műveleti azonosságok (eltekintve esetleg a szorzás kommutativitásától).”

Egy gyűrű kommutatív, ha a szorzás kommutatív,egységelemes, ha a szorzásnak van egységeleme. A kommutatív test ennek megfelelően egy olyan egységelemes, kommutatív gyűrűt jelent, amelyben minden nemnulla elemnek van inverze.

Egy R gyűrűben minden $aR$ elemre 0a=a0=0 (lásd az A.3.4 feladatot), így egy legalább kételemű gyűrűben a nullelem és az egységelem szükségképpen különbözők. Az is adódik, hogy a 0-nak nem lehet (se bal, se jobb oldali) inverze.

Bizonyos gyűrűkben előfordul, hogy egy szorzat úgy is lehet 0, hogy egyik tényező sem 0, ez vezet el a nullosztók fogalmához:

Egy gyűrűben egy a≠0 elemet bal oldali nullosztónak nevezünk, ha van olyan b ≠ 0 elem, amellyel ab=0 teljesül.

Hasonlóan, az a≠0 elem jobb oldali nullosztó, ha létezik olyan c≠0 elem, amelyre ca=0.❶

Ha a gyűrű egységelemes és a-nak létezik bal oldali inverze, akkor a nem lehet bal oldali nullosztó.❶

Az állítás természetesen úgy is igaz marad, ha a „bal” szó helyett (mindkétszer) a „jobb” szerepel.

Bizonyítás: Jelöljük e-vel az egységelemet és d-vel az a elem (egyik) balinverzét. Tegyük fel, hogy valamilyen b-vel ab=0 teljesül. Azt kell igazolnunk, hogy ekkor szükségképpen b=0. A 0=ab egyenlőséget d-vel balról megszorozva 0=d0=d(ab)=(da)b=eb=b adódik.❷

Az A.3.3 Tétel megfordítása nem igaz, pl.az egész számok gyűrűjében nincsenek nullosztók (az ilyen gyűrűt nullosztómentesnek nevezzük), azonban csak az 1-nek és a -1-nek van inverze.

Az A.3.3 Tétel fontos következménye, hogy minden test nullosztómentes.

Példák gyűrűre

P1. Még egyszer megemlítjük, hogy minden test egyben gyűrű is.

P2. Az alábbi halmazok a szokásos összeadásra és szorzásra nézve egy kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűt alkotnak: (A) az egész számok; (B) az $a+b\sqrt{2}$ alakú valós számok, ahol a,b egész; (C) a Gauss-egészek, azaz azok az a+bi komplex számok, ahol a,b egész; (D) a valós együtthatós polinomok; (E) az egész együtthatós polinomok.

P3. Nem egységelemes (de kommutatív és nullosztómentes) gyűrűt alkotnak pl.a páros számok vagy a nulla konstans tagú polinomok (a műveletek a szokásosak).

P4. A valós számsorozatok az elemenkénti összeadásra és szorzásra, valamint az R→R függvények a szokásos függvényösszeadásra és szorzásra olyan kommutatív, egységelemes gyűrűt alkotnak, amelyben vannak nullosztók.

P5. A modulo m maradékosztályok a reprezentánsok segítségével definiált összeadásra és szorzásra nézve egy kommutatív, egységelemes gyűrűt alkotnak. Itt pontosan a redukált maradékosztályoknak van inverze, a többi nemnulla maradékosztály pedig nullosztó. Ez a gyűrű pontosan akkor test, ha m prím.

P6. Fontos gyűrű az n×n-es (pl.) valós elemű mátrixok gyűrűje, lásd részletesen a 2.2 pontban. Ez egységelemes, de n>1 esetén nem kommutatív. Inverze pontosan azoknak a mátrixoknak van, amelyeknek a determinánsa nem nulla, a többi mátrix a nullmátrix kivételével bal és jobb oldali nullosztó.

P7. Tekintsük egy H halmaz összes részhalmazait, és legyen az összeadás a szimmetrikus differencia, a szorzás pedig a metszet, azaz $AB=\left(A\backslash B\right)\left(B\backslash A\right)$ és $A⨀B=A\bigcap B$. Így egy kommutatív, egységelemes gyűrűt kapunk. Inverze csak az egységelemnek van, az összes többi nemnulla elem nullosztó.

Feladatok

A.3.1 Ellenőrizzük, hogy a P1-P7 példákban valóban a mondott tulajdonságú gyűrűket definiáltunk.

A.3.2

a) Mely elemeknek van inverze a P2 példában felsorolt gyűrűkben?

b) Mely elemeknek van inverze és mely elemek nullosztók a P4 példában felsorolt gyűrűkben?

c) Mi lesz a modulo 100 maradékosztályok gyűrűjében a 37 által reprezentált maradékosztály inverze?

A.3.3 Válasszuk ki az A.2.1-A.2.3 feladatok példái közül azokat a gyűrűket, amelyek nem alkotnak testet. Mindegyikben határozzuk meg a (bal, illetve jobb oldali) nullosztókat. Az egységelemes gyűrűknél keressük meg, mely elemeknek van inverze.

A.3.4 Bizonyítsuk be, hogy egy gyűrűben minden a elemre 0a=a0=0 teljesül.

A.3.5

a) Ellenőrizzük, hogy a P7 példa gyűrűje kommutatív, továbbá bármely elem ellentettje és négyzete önmaga.

b) Van-e valamilyen kapcsolat általában is gyűrűkben az a)-ban felsorolt három tulajdonság között?

A.3.6 Egy gyűrűben hogyan jellemezhetők azok a c elemek, amelyekkel lehet balról egyszerűsíteni (azaz, amelyekre ca=cb-ből szükségképpen a=b következik)?

Mit jelent ez speciálisan egy testben, továbbá az egész számok, illetve a modulo m maradékosztályok gyűrűjében?

A.3.7 Legyenek c és d egy gyűrű elemei. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha c jobb oldali nullosztó, akkor cd=0 vagy cd is jobb oldali nullosztó.

b) Ha cd jobb oldali nullosztó, akkor c is jobb oldali nullosztó.

**c) Ha c és d közül legalább az egyik jobb oldali nullosztó, akkor cd=0 vagy cd is jobb oldali nullosztó.

d) Ha cd jobb oldali nullosztó, akkor c és d közül legalább az egyik jobb oldali nullosztó.

e) Ha c és d jobb oldali nullosztó, akkor c+d=0 vagy c+d is jobb oldali nullosztó.

f) Ha c+d jobb oldali nullosztó, akkor c és d közül legalább az egyik jobb oldali nullosztó.

A.3.8 Bizonyítsuk be, hogy egy legalább kételemű, véges, nullosztómentes gyűrű szükségképpen test.

Megjegyzés: Belátható, hogy minden véges test kommutatív (Wedderburn tétele), tehát mindenképpen kommutatív testet kapunk.

*A.3.9 Mutassuk meg, hogy ha egy gyűrűben pontosan egy bal oldali egységelem létezik, akkor az (kétoldali) egységelem.

A.3.10 Egy R gyűrű részgyűrűjének egy olyan $S\subseteq R$ részhalmazt nevezünk, amely maga is gyűrű az R-beli összeadásra és szorzásra (pontosabban azok megszorítására) nézve. Pl. a páros számok részgyűrűt alkotnak az egész számok gyűrűjében.

Mutassuk meg, hogy egy részgyűrű nulleleme szükségképpen megegyezik az eredeti gyűrű nullelemével.

A.3.11 Legyen R egy egységelemes gyűrű és S részgyűrű R-ben, ahol S(és így R is) nem csak a nullelemből áll. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) S szükségképpen egységelemes.

b) Ha S egységelemes, akkor S egységeleme szükségképpen megegyezik R egységelemével.

c) Ha R nullosztómentes és S egységelemes, akkor S egységeleme szükségképpen megegyezik R egységelemével.

*A.3.12 Bizonyítsuk be, hogy ha egy legalább kételemű (nem feltétlenül kommutatív) gyűrűben az xb=a egyenlet bármely b≠0 és a esetén megoldható, akkor a gyűrű egy nem feltétlenül kommutatív test.