Egy G nemüres halmazt csoportnak nevezünk, ha értelmezve van G-n egy asszociatív művelet, létezik egységelem és minden elemnek van inverze.❶

Ugyanehhez a fogalomhoz jutunk, ha — a testnél és gyűrűnél látottakhoz hasonlóan, az A.1.7 Tétel alapján — az egységelemre és inverzre vonatkozó kikötés helyett a művelet (mindkét oldali) invertálhatóságát írjuk elő.

A csoport egységelemét általában e-vel, egy g csoportelem inverzét g^-1-gyel jelöljük. Ha a művelet kommutatív, akkor kommutatív csoportról vagy Abel-csoportról beszélünk.

Példák csoportra

P1. Bármely gyűrű (így speciálisan bármely test is) az összeadásra nézve kommutatív csoportot alkot. Ennek megfelelően Abel-csoportot alkotnak a szokásos összeadásra az egész, a páros, a racionális, a valós vagy a komplex számok, a (megfelelő) mátrixok, polinomok, függvények, a modulo m maradékosztályok stb.

P2. Bármely (akár nemkommutatív) test nemnulla elemei a szorzásra csoportot alkotnak. Ennek megfelelően a nemnulla(!)racionális, valós vagy komplex számok, a nemnulla maradékosztályok modulo p(ahol p prím) stb. a szokásos szorzásra csoportot alkotnak.

P3. Egységelemes gyűrű esetén csoportot alkotnak a szorzásra azok az elemek, amelyeknek létezik inverze. Ennek a testre vonatkozó speciális esete éppen a P2 példa. Két másik fontos speciális esetet kapunk a négyzetes mátrixok, illetve a modulo m maradékosztályok gyűrűjéből: csoportot alkotnak a szorzásra egy T test feletti n×n-es invertálható mátrixok, illetve a modulo m redukált maradékosztályok.

P4. A komplex számoknak sok olyan részhalmaza van, amely a szorzásra nézve csoport, tekintsük pl.az n-edik egységgyököket, az összes egységgyököt, illetve az 1 abszolút értékű komplex számokat.

P5. Az {1,2,…,n} halmaz önmagára történő kölcsönösen egyértelmű leképezései (azaz bijekciói) csoportot alkotnak a kompozícióra (összetételre, egymás után alkalmazásra) nézve. Ezt a csoportot n-edfokú szimmetrikus csoportnak nevezzük és S_n-nel jelöljük. Az S_n csoport tehát az 1,2,…,n elemek permutációiból áll,|S_n|=n!.

P6. A sík vagy a tér összes egybevágóságai, illetve hasonlóságai (azaz a távolságtartó, illetve aránytartó transzformációk) a kompozícióra nézve csoportot alkotnak. Szintén csoportot kapunk, ha csak speciális egybevágóságokat tekintünk, pl.a síkban az összes eltolást, egy adott pont körüli összes forgatást stb. (a művelet továbbra is a kompozíció).

P7. Egy sík-, illetve térbeli alakzat szimmetriacsoportját azok a sík-, illetve téregybevágóságok alkotják, amelyek az adott alakzatot önmagába viszik át, a művelet pedig a kompozíció. Például egy szabályos n-szög szimmetriacsoportja az n darab szimmetriatengelyre történő tükrözésből és a középpont körüli 2kπ/n szögű elforgatásokból áll, ahol k=0,1,…,n–1. A 0 szögű elforgatás a helybenhagyás vagy identikus leképezés, ami a csoport egységeleme. Ezt a csoportot D_n-nel jelöljük és diédercsoportnak nevezzük,|D_n|=2n. Ha a 2π/n szögű forgatást f-fel és az egyik szimmetriatengelyre történő tükrözést t-vel jelöljük, akkor D_n elemei egyértelműen felírhatók tⁱf^j0≤i≤1,0≤j≤n–1 alakban és a szorzást a t²=fⁿ=e és ft=tf^n-1 szabályok szerint kell végezni.

Egy csoportban bármely elem tetszőleges egészkitevőjűhatványait a szokásos módon definiáljuk: ha n pozitív egész, akkor gⁿ egy olyan n-tényezős szorzat, amelynek minden tényezője g, továbbá g⁰=e és g^-n=(gⁿ)^-1. (A racionális, valós stb. kitevőjű hatványozásnak egy csoportban általában nincs értelme.) Az a^ma^k=a^m+k és (a^m)^k=a^mk hatványazonosságok csoportban is érvényesek (ahol a a csoport tetszőleges eleme, a k és m kitevők pedig tetszőleges egész számok, negatívak és nullák is lehetnek), azonban(ab)^m=a^mb^m már nem mindig teljesül, hiszen a szorzás nem feltétlenül kommutatív.

Egy G csoportban egy gelem rendje az a legkisebb olyan npozitív egész szám, amelyre gⁿ=e(ahol e a csoport egységeleme), illetve ha nincs ilyen n, akkor g rendje végtelen.❶

A g elem rendjét o(g)-vel jelöljük (ezt „ordo g”-nek olvassuk). Például D_n-ben o(f)=n,o(t)=2, az egész számok additív csoportjában a nullán kívül minden elem rendje végtelen.

A rendfogalom két fontos speciális esetét kapjuk, ha a nemnulla komplex számok, illetve a modulo m redukált maradékosztályok multiplikatív csoportját tekintjük. A második esetben ezzel pontosan a kongruenciáknál tanult rendfogalomhoz jutunk. Az első csoportban a véges rendű elemek éppen az egységgyökök lesznek.

Bármely csoportban érvényes, hogy egy n-edrendű elem két hatványa akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevők kongruensek modulon, egy végtelen rendű elemnek pedig csak az azonos kitevőjű hatványai egyeznek meg. Ebből következik, hogy minden elemnek pontosan annyi különböző hatványa van, mint amennyi a rendje.

Egy csoport ciklikus, ha egyetlen elem (összes egész kitevőjű) hatványaiból áll. Egy ilyen elemet a ciklikus csoport generátorelemének nevezünk.❶

A g által generált ciklikus csoportot $〈g〉$-vel jelöljük. A rendnél elmondottak szerint $\left|〈g〉\right|=o\left(g\right)$. Így ha o(g)=n, akkor $〈g〉=\left\{e,g,g^2,\dots ,g^{n-1}\right\}$(és a felsorolt elemek mind különbözők). Ha o(g)=∞, akkor a g-nek minden hatványa különböző (beleértve a negatív egész kitevőjű hatványokat is).

Ciklikus csoportot alkotnak az egész számok vagy a modulo m maradékosztályok az összeadásra, (az egyik) generátorelem az 1. Ugyancsak ciklikus az n-edik egységgyökök, valamint ha p prím, akkor a modulo p redukált maradékosztályok multiplikatív csoportja. Az előbbi generátorelemei a primitív n-edik egységgyökök, az utóbbié pedig a modulo pprimitív gyökök.

Mivel egy elem hatványai egymással felcserélhetők, ezért egy ciklikus csoport biztosan kommutatív. Így egy nemkommutatív csoport sohasem lehet ciklikus.

A kommutatív csoportok közül nem ciklikus pl.a racionális, a valós vagy a komplex számok additív csoportja, illetve a nemnulla racionális, valós vagy komplex számok multiplikatív csoportja, vagy a véges csoportok körében a téglalap szimmetriacsoportja, az F_p test feletti véges dimenziós vektorterek additív csoportja, a modulo 15 redukált maradékosztályok multiplikatív csoportja stb. Belátható, hogy a modulo m redukált maradékosztályok multiplikatív csoportja akkor és csak akkor ciklikus (azaz akkor és csak akkor létezik primitív gyök modulo m), ha m=2,4,p^k vagy 2p^k, ahol p egy páratlan prím és k≥1.

Egy G csoport részcsoportjának egy olyan $H\subseteq G$ részhalmazt nevezünk, amely maga is csoport a G-beli műveletre (pontosabban annak megszorítására) nézve.❶

Belátható, hogy G-nek egy H nemüres részhalmaza akkor és csak akkor részcsoport, ha zárt a G-beli műveletre és inverzképzésre nézve (azaz $r,sH\Rightarrow rsH,r^{-1}H$).

Példák: A valós együtthatós polinomok additív csoportjában részcsoportot alkotnak az egész együtthatós polinomok, a legfeljebb ötödfokú polinomok (ideértve a 0 polinomot is), az x²+1-gyel osztható polinomok stb. Bármely G csoportban részcsoport maga a G, valamint a csak az egységelemből álló részhalmaz (ezt a továbbiakban {e} helyett röviden e-vel jelöljük); ezeket triviális részcsoportoknak nevezzük. Bármely elem összes (egész kitevőjű) hatványai is részcsoportot alkotnak, ez az adott elem által generált ciklikus részcsoport.

Legyen H részcsoport G-ben és $gG$ tetszőleges elem. Ekkor a $gH=\{ghhH\}$ halmazt H szerinti bal oldali mellékosztálynak nevezzük.❶

Belátható, hogy két,H szerinti bal oldali mellékosztály vagy diszjunkt, vagy egybeesik, továbbá a bal oldali mellékosztályok egyesítése éppen G. A (különböző) bal oldali mellékosztályok számát a H részcsoport G-beli indexének nevezzük és|G:H|-val jelöljük.

Hasonló módon definiálhatók a H szerinti jobb oldali mellékosztályok is. Ezek általában nem esnek egybe a bal oldali mellékosztályokkal, azonban megmutatható, hogy a számuk ugyanannyi, azaz|G:H|.

Legyen a továbbiakban G véges csoport. Mivel minden (pl.bal oldali) mellékosztály elemszáma|H|, az előzőekből következik, hogy|G|=|H|·|G:H|.

Innen azonnal adódik:

Egy véges csoport bármely részcsoportjának elemszáma osztója a csoport elemszámának.❶

Egy csoport elemszámát a csoport rendjének is szokás nevezni.

Mivel egy elem rendje megegyezik az általa generált ciklikus részcsoportnak az elemszámával, ezért a Lagrange-tétel alapján bármely g-re o(g) │|G|is teljesül. Ez a rend tulajdonságai alapján g^|G| =e-vel ekvivalens. Ha speciálisan G a modulo m redukált maradékosztályok multiplikatív csoportja, akkor így éppen az Euler-Fermat-tételt kapjuk.

Végül megemlítjük, hogy más algebrai struktúrákhoz hasonlóan két csoportot akkor nevezünk izomorfnak, ha létezik közöttük művelettartó(!) bijekció. Például a valós számok additív és a pozitív valós számok multiplikatív csoportja izomorf, ugyanis az $x\mapsto 2^x$ megfeleltetés bijektív és művelettartó. Két ciklikus csoport pontosan akkor izomorf, ha azonos az elemszámuk.

Feladatok

G végig csoportot jelöl.

*A.5.1 Hány eleműek a szabályos testek szimmetriacsoportjai?

A.5.2 Bizonyítsuk be, hogy G akkor és csak akkor kommutatív, ha minden $a,bG$ esetén (ab)²=a²b². Igaz-e hasonló állítás, ha a négyzetek helyett (ab)⁴=a⁴b⁴ teljesül (minden $a,bG-\mathrm{r}\mathrm{e}$-re)?

A.5.3 Bizonyítsuk be, hogy kommutatív csoportban o(ab)ǀ[o(a),o(b)].

A.5.4 Lehet-e két véges rendű elem szorzata végtelen rendű?

A.5.5 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha │G|<∞, akkor G minden eleme véges rendű.

b) Ha G minden eleme véges rendű, akkor|G|<∞.

c) Ha 2||G|, akkor G-ben van másodrendű elem.

d) Ha 4||G|, akkor G-ben van negyedrendű elem.

A.5.6 Lássuk be, hogy bármely k,s>1 egész számokra s|ϕ(k^s-1), ahol ϕ(n)az Euler-féle ϕ-függvény.

*A.5.7 Mivel egyenlő egy véges kommutatív csoport elemeinek a szorzata? Melyik nevezetes kongruenciatételt általánosítja ez a feladat?

A.5.8 Melyek izomorfak az alábbi csoportok közül?

a) A modulo 15 redukált maradékosztályok a szorzásra;

b) a modulo 16 redukált maradékosztályok a szorzásra;

c) a modulo 24 redukált maradékosztályok a szorzásra;

d) a modulo 16 nem redukált maradékosztályok az összeadásra;

e) a nyolcadik komplex egységgyökök a szorzásra;

f) a ±1,±i,±j,±k kvaterniók a szorzásra (lásd az 5.6 pont P5 példáját);

g) a modulo 4 maradékosztályok feletti $\left(\begin{array}{cc}1& c\\ 0& \pm 1\end{array}\right)$ alakú mátrixok a szorzásra;

h) T³ az összeadásra, ahol T az F² test;

i) a négyzet szimmetriacsoportja;

j) a(z általános) téglatest szimmetriacsoportja.

*A.5.9

a) Bizonyítsuk be, hogy ha|G₁|=|G₂|és mindkét csoportban az egységelemen kívül minden elem rendje 2, akkor G₁ és G₂ izomorf.

b) Az előző állítás nem marad igaz, ha az elemek rendje 3.

M A.5.10

a) Melyek azok a csoportok, amelyeknek csak triviális részcsoportjaik vannak?

b) Melyek azok a csoportok, amelyeknek csak véges sok részcsoportjuk van?

A.5.11 Mutassunk példát olyan csoportra, amely előáll három valódi részcsoportjának az egyesítéseként. Van-e ilyen tulajdonságú páratlan elemszámú csoport is?

*A.5.12 Hány részcsoportja van a) egy n elemű ciklikus csoportnak; b) D_n-nek?

*A.5.13 Lássuk be, hogy egy csoportban egy M nemüres részhalmaz akkor és csak akkor lesz valamely részcsoport szerinti bal oldali mellékosztály, ha $a,b,cM\Rightarrow a{b}^{-1}cM$.