• 5.5.9 Írjuk fel, hogyan fogalmazható át az, hogy néhány ${\mathcal{A}}_{ij}$ lineáris kombinációja a $\mathcal{O}$ leképezés. A

egyenlőség azt jelenti, hogy tetszőleges ${\alpha }_{i_r}, {\alpha }_{j_r} \left(1\le r\le m\right)$ komplex számokra

azaz

teljesül. Innen látszik, hogy ha pl. az i₁ index értéke az összes többi i_r index értékétől különbözik, akkor szükségképpen λ1 =0: helyettesítsük be ugyanis az ${\alpha }_{i_1}=1, {\alpha }_{i_2}= . . . ={\alpha }_{i_m}=0$ számokat. Természetesen hasonló érvényes a j_r indexekre is.

• a) Alkalmazzuk a fentieket most az m=3 esetre. Mivel az ${\mathcal{A}}_{ij}$ leképezések nyilván nem egymás skalárszorosai, ezért közülük bármelyik kettő független. Emiatt ha három ${\mathcal{A}}_{ij}$ -nek egy lineáris kombinációja a $\mathcal{O}$ leképezés, és kiderül, hogy ebben a kombinációban valamelyik λ_t együttható 0, akkor a másik két együttható is szükségképpen 0. A lineáris függetlenséghez így elég belátni, hogy bármely három (különböző) ( i₁, j₁ ),( i₂ ,j₂ ),( i₃ ,j₃ ) indexpár esetén vagy a három i indexérték, vagy a három j indexérték között van olyan, amely különbözik a másik kettőtől. Ha az i-k nem mind egyformák, akkor legalább az egyikük csak egyszer fordulhat elő. Ha egyformák, akkor pedig a j-k mind különbözők kell, hogy legyenek.

• b) Pl. ${\mathcal{A}}_{11}+{\mathcal{A}}_{22}-{\mathcal{A}}_{12}-{\mathcal{A}}_{21}=\mathcal{O}\mathcal{ }$

• c) Pl. az alábbi hét (ij) indexpárhoz tartozó ${\mathcal{A}}_{ij}$ leképezések lineárisan függetlenek Hom (V₁,V₂)-ben: (11),(12),(13),(14),(24),(34),(44). Ugyanis az i-k között a 2, a 3 és a 4 csak egyszer fordul elő, így az ezeknek megfelelő leképezésekhez tartozó utolsó három együttható λ₅=λ₆=λ₇=0. Ugyanez a helyzet a j-knél az 1, 2, 3-mal, tehát az első három együttható is nulla. Ekkor azonban a maradék középső együttható, λ₄ is csak nulla lehet.

Bebizonyítjuk, hogy bármely nyolc darab ${\mathcal{A}}_{ij}$ leképezés viszont már lineárisan összefüggő. Mivel a Hom (V₁,V₂) vektortér 4·2=8-dimenziós, így elég belátni, hogy az összes A_ij által generált altér nem tartalmazza Hom (V₁,V₂) minden elemét. Megmutatjuk, hogy pl. az $\mathcal{A}\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ \begin{array}{c}{\alpha }_3\\ {\alpha }_4\end{array}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ 0\end{array}\right)$ leképezés nem áll elő $\mathcal{A}={}_{1\le i, j\le 4}{\lambda }_{ij}{\mathcal{A}}_{ij}$ alakban. Alkalmazzuk mindkét oldalt az egységvektorokra. Ha α₁=1, α₂=α₃=α₄=0, akkor a képvektorok két koordinátájában a λ₁₁+λ₁₂+λ₁₃+λ₁₄=1 és a λ₁₁+λ₂₁+λ₃₁+λ₄₁=0 egyenlőségeket kapjuk. Az α₂=1, α₁=α₃=α₄=0 esetben λ₂₁+λ₂₂+λ₂₃+λ₂₄=

=λ₁₂+λ₂₂+λ₃₂+λ₄₂=0 adódik, és a másik két egységvektorra hasonlóan ${}_{j=1}^4{\lambda }_{3j}={}_{i=1}^4{\lambda }_{i3}=0$ illetve ${}_{j=1}^4{\lambda }_{4j}={}_{i=1}^4{\lambda }_{i4}=0$ az eredmény. Az első koordinátákra kapott összes egyenlőséget összeadva ${}_{1\le i, j\le 4}{\lambda }_{ij}=1$ míg ugyanezt a második koordinátákra elvégezve ${}_{1\le i, j\le 4}{\lambda }_{ij}=0$ adódik, ami ellentmondás.

• Megjegyezzük, hogy a feladat kényelmesebben tárgyalható a lineáris leképezések mátrixának segítségével (lásd az 5.7 pontot). Az ${\mathcal{A}}_{ij}$ leképezésnek egy olyan 2×4-es (komplex elemű) mátrix felel meg, amelyben az első sor i-edik és a második sor j-edik eleme 1-es, a többi elem pedig 0. Ekkor az összes ${\mathcal{A}}_{ij}$ mátrixai által generált alteret azok a mátrixok alkotják, amelyekben a két sor elemeinek az összege megegyezik. Ennek alapján a feladat általánosítása is jól kezelhető. Legyen V₁ =Tⁿ,V₂=T^k és

Ekkor az így definiált n^k darab leképezésre az alábbiak igazak.

a) Bármely három (különböző) leképezés lineárisan független Hom (V₁,V₂)-ben (feltéve hogy nk≥3).

b) Megadható négy (különböző) leképezés, amely lineárisan összefüggő (kivéve, ha n és k valamelyike 1).

c) A lineárisan független leképezések maximális száma (n-1)k+1.

• 5.6.23 Jelöljük rögzített u kvaternió esetén az α+βu alakú kvaterniók halmazát, ahol α, β valós, T_u-val. Az útmutatásban jelzett állítás szerint T_v a kvaternióalgebrának egy, a komplex számokkal izomorf részalgebrája. Legyen a w és a z kvaternió a v kvaterniónak egy-egy (feltételezett) n-edik gyöke. Mivel v nem valós szám, ezért nyilván w és z sem az. Ekkor a T_w és T_z részalgebra is 2-dimenziós, továbbá mindkettő tartalmazza a valós számokat és (wⁿ=zⁿ=)v-t, ezért T_w és T_z metszete is kétdimenziós. Ez csak úgy lehet, ha T_w=T_z=T_v. Ez azt jelenti, hogy a v kvaternió n-edik gyökeit T_v-ben kell keresnünk. Mivel T_v izomorf a komplex számokkal, ezért bármely nemnulla elemének, így a v-nek is pontosan n (különböző) n-edik gyöke van T_v-ben. Ennélfogva v-nek az összes kvaterniók körében is pontosan n (különböző) n-edik gyöke van.