• 6.3.15 Jelölje egy tetszőleges r polinom esetén r^* azt a polinomot, amelyet úgy kapunk, hogy r-ben x helyére x²-et helyettesítünk, azaz r^*(x)=r(x²). Nyilván $r\left({\mathcal{A}}^2\right)=r^{*}\left(\mathcal{A}\right)$ Többször fel fogjuk használni az innen adódó

összefüggést. Szükségünk lesz még az alábbi állításra:

Lemma: Ha λ≠0, akkor az r polinomnak a λ² pontosan ugyanannyiszoros gyöke, mint ahányszoros gyöke az r^* polinomnak a λ.

A lemma bizonyítása: Legyen az r-ben a λ² multiplicitása j, azaz r=(x-λ²)j h, ahol h(λ²)≠0. Ekkor r^*=(x²-λ²)^jh^*=(x-λ)^j (x+λ)^jh^*, tehát r^*-ban a λ multiplicitása (pontosan) j, hiszen -λ≠λ és h^*(λ)=h(λ²)≠0.

További előkészületként emeljük ki $m_{\mathcal{A}}$ -ból a lehető legnagyobb x-hatványt, azaz írjuk fel $m_{\mathcal{A}}$ -t a következő alakban:

Rátérve a szükségesség igazolására, feltesszük, hogy az $\mathcal{A}$ és ${\mathcal{A}}^2$ transzformációk minimálpolinomja megegyezik, és megmutatjuk (i), (ii) és (iii) teljesülését.

(i) Ha $m_{\mathcal{A}}\left(\lambda \right)=0$ akkor λ sajátértéke $\mathcal{A}$ -nak. A két minimálpolinom egyezéséből a sajátértékek egyezése is adódik, tehát λ sajátértéke ${\mathcal{A}}^2$ -nek is. Ezért λ egyik négyzetgyöke, λ₁ sajátértéke $\mathcal{A}$ -nak (6.1.4c feladat), vagyis $m_{\mathcal{A}}\left({\lambda }_1\right)=0$ Ezt folytatva kapjuk, hogy λ₂, λ₃,… is gyöke $m_{\mathcal{A}}$-nak, ahol ${\lambda }_{i+1}=\sqrt{{\lambda }_i}$ egyik értéke.

Mivel $\left.x^2\right|m_{\mathcal{A}}$ gyökeinek a száma véges, így van olyan i>j, hogy λ_i=λ_j . Ezt 2ⁱ-ik hatványra emelve λ=λ^2i-j, azaz λ (1-λ^2i-j-1)=0 adódik. Ennélfogva λ valóban csak 0 vagy páratlan rendű egységgyök lehet.

(ii) Tegyük fel indirekt, hogy $m_{\mathcal{A}}$ azaz (2)-ben k≥2. Megmutatjuk, hogy ekkor ${\mathcal{A}}^2$ gyöke lesz $t=m_{\mathcal{A}}/x=x^{k-1}g$ polinomnak, ami ellentmond annak, hogy $m_{{\mathcal{A}}^2}=m_{\mathcal{A}}$

Többször fel fogjuk használni (1)-et és (2)-t. A feltétel szerint ${\mathcal{A}}^2$ gyöke az $m_{\mathcal{A}}$ -nak, továbbá

ahonnan (g,x)=1 miatt g│g^* következik. Mivel

és itt az utolsó oszthatóság g│g^* és k≤2k-2 alapján teljesül, kapjuk, hogy ${\mathcal{A}}^2$ valóban gyöke a t-nek.

(iii) A(z esetleges) 0 gyökre az állítás nyilvánvaló. Legyen λ≠0, és tegyük fel, hogy $m_{\mathcal{A}}$ -ban a λ multiplicitása k, a λ²-é pedig j. Először azt igazoljuk, hogy j≥k.

Egyrészt az $m_{\mathcal{A}}\left({\mathcal{A}}^2\right)=\mathcal{O}$ feltétel miatt $\left.m_{\mathcal{A}}\right|m_{\mathcal{A}}^{*}$ tehát a λ multiplicitása $m_{\mathcal{A}}^{*}$ -ban legalább k. Másrészt a lemma alapján a λ multiplicitása $m_{\mathcal{A}}^{*}$ -ban pontosan j. A kettő összevetéséből valóban j≥k adódik.

Tekintsük most a λ, λ², λ⁴, λ⁸,… sorozatot. Itt az elemek mindegyikének legalább akkora a multiplicitása $m_{\mathcal{A}}$ -ban, mint az őt megelőzőnek. A már bizonyított (i) tulajdonság alapján azonban a sorozat (az elejétől kezdve) periodikus, ezért mindegyik multiplicitás szükségképpen egyenlő.

Az elégségességhez azt kell megmutatnunk, hogy ha az (i), (ii) és (iii) feltételek teljesülnek, akkor

(a) $m_{\mathcal{A}}\left({\mathcal{A}}^2\right)=\mathcal{O}$ és

(b) $s\left({\mathcal{A}}^2\right)=\mathcal{O}\Rightarrow \left.m_{\mathcal{A}} \right| s$

Az (1) összefüggés alapján (a) és (b) ekvivalens

(a1)$\left.m_{\mathcal{A}} \right| m_{\mathcal{A}}^{*}$ és

(b1)$\left.m_{\mathcal{A}} \right| s^{*}\Rightarrow \left.m_{\mathcal{A}} \right| s$

fennállásával.

Először (a1)-et igazoljuk. A (iii) feltétel szerint $m_{\mathcal{A}}$ minden gyökének a négyzete is ugyanannyiszoros gyök. Megmutatjuk, hogy különböző gyökök négyzete is különböző. Ez azzal ekvivalens, hogy ha λ≠0 gyöke $m_{\mathcal{A}}$ -nak, akkor -λ nem lehet gyök. Az (i) feltétel szerint λ egy páratlan rendű egységgyök. Ekkor -λ rendje a λ rendjének a kétszerese, tehát páros. Így ismét (i)-re hivatkozva -λ nem lehet gyöke $m_{\mathcal{A}}$ -nak.

A fentiek alapján, ha $m_{\mathcal{A}}$ gyöktényezős alakjában minden gyök helyett annak a négyzetét írjuk, akkor ugyanazt a polinomot kapjuk. Azaz

ahonnan

tehát valóban $\left.m_{\mathcal{A}} \right| m_{\mathcal{A}}^{*}$

Rátérünk (b1) bizonyítására. Az $\left.m_{\mathcal{A}} \right| s$ oszthatósághoz azt kell megmutatni, hogy $m_{\mathcal{A}}$ minden gyöke legalább akkora multiplicitással szerepel s-ben, $m_{\mathcal{A}}$ -ban.

Ha a 0 gyöke $m_{\mathcal{A}}$ -nak, akkor (ii) szerint csak egyszeres gyök, és így elég azt igazolni, hogy a 0 az s polinomnak is gyöke. Mivel $m_{\mathcal{A}}\left(0\right)=0$ ezért a 0 sajátértéke $\mathcal{A}$ -nak, tehát sajátértéke ${\mathcal{A}}^2$ -nek is. Az $s\left({\mathcal{A}}^2\right)=\mathcal{O}$ feltételből következik, hogy az ${\mathcal{A}}^2$ sajátértékei szükségképpen gyökei s-nek, tehát valóban s(0)=0.

Tekintsük most $m_{\mathcal{A}}$ -nak egy μ≠0 gyökét, és legyen ennek a multiplicitása j. Ekkor az (i) és (iii) feltételből következik, hogy μ valamelyik négyzetgyöke is (pontosan) j-szeres gyöke $m_{\mathcal{A}}$ -nak. Jelöljük μ-nek ezt a négyzetgyökét λ-val, azaz μ=λ² .

Legyen s-ben a μ=λ² multiplicitása j’. Ekkor a lemma szerint s^*-ban a λ multiplicitása j’. Az $\left.m_{\mathcal{A}} \right| s^{*}$ feltétel miatt — a λ multiplicitását összehasonlítva — j≤j’ adódik. Ez azonban egyúttal azt is jelenti, hogy a μ multiplicitása s-ben legalább akkora, mint $m_{\mathcal{A}}$ -ban, és éppen ezt kellett bizonyítani.

• 6.4.10 a) Bármely lineáris leképezés képtere altér, tehát $U=\mathrm{I}\mathrm{m} f\left(\mathcal{A}\right)$ is altér. Megmutatjuk, hogy U invariáns altere $\mathcal{A}$ -nak. Legyen $\underset{\_}{u}U$ azaz valamilyen $\underset{\_}{x}V-\mathrm{r}\mathrm{e} \underset{\_}{u}=f\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{x}$ Ekkor $\mathcal{A}\underset{\_}{u}=\mathcal{A}\left(f\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{x}\right)=\left(\mathcal{A}f\left(\mathcal{A}\right)\right)\underset{\_}{x}=\left(f\left(\mathcal{A}\right)\mathcal{A}\right)\underset{\_}{x}=f\left(\mathcal{A}\right)\left(\mathcal{A}\underset{\_}{x}\right)$ tehát valóban $\mathcal{A}\underset{\_}{u}U$ (Hivatkozhattunk volna a 6.4.6 feladatra is $\mathcal{B}=f\left(\mathcal{A}\right)$-val.)

• b) Először azt igazoljuk, hogy ha $\left(f , m_{\mathcal{A}}\right)=\left(g , m_{\mathcal{A}}\right)$ akkor $\mathrm{I}\mathrm{m} f\left(\mathcal{A}\right)=\mathrm{I}\mathrm{m} g\left(\mathcal{A}\right)$ Legyen $\left(f , m_{\mathcal{A}}\right)=d$ azt kell belátnunk, hogy $\mathrm{I}\mathrm{m} f\left(\mathcal{A}\right)=\mathrm{I}\mathrm{m} d\left(\mathcal{A}\right)$ Az $f\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{x}=d\left(\mathcal{A}\right) \left(\left(f/d\right)\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{x}\right)$ egyenlőségből egyrészt azt kapjuk, hogy $\mathrm{I}\mathrm{m} f\left(\mathcal{A}\right)\subseteq \mathrm{I}\mathrm{m} d\left(\mathcal{A}\right)$ Másrészt a $d=sf+t{m}_{\mathcal{A}}$ felírásból

tehát $\mathrm{I}\mathrm{m} d\left(\mathcal{A}\right)\subseteq \mathrm{I}\mathrm{m} f\left(\mathcal{A}\right)$

A megfordításhoz tegyük fel, hogy $\mathrm{I}\mathrm{m} f\left(\mathcal{A}\right)\subseteq \mathrm{I}\mathrm{m} g\left(\mathcal{A}\right)$ és azt fogjuk igazolni, hogy ekkor $\left(f , m_{\mathcal{A}}\right)=\left(g , m_{\mathcal{A}}\right)$ Az előzőek alapján elég azt megmutatnunk, hogy ha d₁ és d₂ az $m_{\mathcal{A}}$ minimálpolinom osztói és $\mathrm{I}\mathrm{m} d_1\left(\mathcal{A}\right)=\mathrm{I}\mathrm{m} d_2\left(\mathcal{A}\right)$ akkor d₁ és d₂ egymástól csak konstans szorzóban különböznek. Tegyük fel tehát, hogy $\mathrm{I}\mathrm{m} d_1\left(\mathcal{A}\right)=\mathrm{I}\mathrm{m} d_2\left(\mathcal{A}\right)$ és legyen $m_{\mathcal{A}}=h_1{d}_1=h_2{d}_2$ Mivel $\mathcal{O}=m_{\mathcal{A}}\left(\mathcal{A}\right)=h_1\left(\mathcal{A}\right)d_1\left(\mathcal{A}\right)$ ezért $\mathrm{I}\mathrm{m} d_1\left(\mathcal{A}\right)\subseteq \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }{h}_1\left(\mathcal{A}\right) .$ Azonban $\mathrm{I}\mathrm{m} d_1\left(\mathcal{A}\right)=\mathrm{I}\mathrm{m} d_2\left(\mathcal{A}\right)$ tehát $\mathrm{I}\mathrm{m} d_2\left(\mathcal{A}\right)\subseteq \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }{h}_1\left(\mathcal{A}\right)$ és így $h_1\left(\mathcal{A}\right)d_2\left(\mathcal{A}\right)=\mathcal{O}\mathcal{ }$ Emiatt $h_1{d}_1=\left.m_{\mathcal{A}}\right|h_1{d}_2$ vagyis d₁│d₂ . Ugyanígy kapjuk, hogy d₂│d₁ , tehát d₁ és d₂ valóban egymás konstansszorosai.

• c) Legyenek d_i a minimálpolinom páronként nem-egységszeres osztói. Az előbb beláttuk, hogy ekkor az $\mathrm{I}\mathrm{m} d_i\left(\mathcal{A}\right)$ invariáns alterek mind különbözők.

• d) Belátjuk, hogy $\mathcal{A}$ -nak akkor és csak akkor nincs nemtriviális invariáns altere, ha $m_{\mathcal{A}}$ irreducibilis (T felett) és $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}{ m}_{\mathcal{A}}=\dim V$ (Mint az eredményeknél említettük, ezek a feltételek ekvivalensek k_A irreducibilitásával.) Ha $m_{\mathcal{A}}$ reducibilis, akkor egy nemtriviális $\left.d\right|m_{\mathcal{A}}$ osztóhoz tartozó $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }d\left(\mathcal{A}\right)$ egy nemtriviális invariáns alteret ad. Ha $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}{ m}_{\mathcal{A}}<\dim V$ akkor $\dim 〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}\mathcal{ }〉\le \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}{ m}_{\mathcal{A}}$ miatt bármely $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ esetén $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}\mathcal{ }〉$ nemtriviális invariáns altér. A megfordításhoz tegyük fel, hogy ${ m}_{\mathcal{A}}$ irreducibilis, $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}{ m}_{\mathcal{A}}=\dim V$ és legyen U az $\mathcal{A}$ -nak egy invariáns altere. Azt kell megmutatnunk, hogy ha U tartalmaz egy $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ vektort, akkor szükségképpen U=V. Az $\underset{\_}{u}$ -t tartalmazó legszűkebb invariáns altér $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}\mathcal{ }〉\subseteq U$ tehát elég belátni, hogy $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}\mathcal{ }〉=V$ Ennek az igazolását a legkényelmesebben a 6.5 pontban bevezetett rendfogalom és annak néhány egyszerű tulajdonsága segítségével írhatjuk le (de hangsúlyozzuk, hogy enélkül csak a megfogalmazás lenne nehézkesebb). Mivel az $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)$ rend osztója a minimálpolinomnak, így ( $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ miatt) csak maga a minimálpolinom (vagy annak konstansszorosa) lehet. Ennélfogva $\dim 〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}\mathcal{ }〉=\mathrm{deg}{o}_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}{ m}_{\mathcal{A}}=\dim V$ és így (a véges dimenzió miatt) csak $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}\mathcal{ }〉=V$ lehetséges, amint állítottuk.