Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Gyakran előfordulnak az alábbi speciális típusú determinánsok:
Legyen γ1,γ2,…,γn tetszőleges. A γ1,γ2,…,γn elemek által generált Vandermonde-determináns
A Vandermonde-determináns i-edik sorában tehát rendre γi-nek 0,1,…,n–1-edik hatványa áll. Ha két generáló elem azonos, akkor két egyforma sor van, és így a determináns 0. Az alábbi szorzatalakból kiderül, hogy ennek a megfordítása is igaz.
❶
Bizonyítás: Vonjuk ki jobbról bal felé haladva minden oszlopból az őt megelőző oszlop γ1-szeresét:
Most vonjuk le minden sorból az első sort, ezzel az első oszlop utolsó n–1 eleme is 0 lesz, a többi elem pedig nem változott. A második, harmadik stb. sorból rendre γ2–γ1-et, γ3–γ1-et stb. kiemelhetünk. Ezzel a
alakra jutottunk. Így a feladatot egy eggyel kisebb rendű Vandermonde-determinánsra vezettük vissza. A fenti eljárást megismételve (vagy teljes indukcióval) adódik a tétel.❷
Feladatok
1.5.1 Fejezzük ki V=V(γ1,…,γn) segítségével az alábbi szorzatokat:
a) b)
1.5.2 Legyenek γ2,…,γn rögzített komplex számok. Hány megoldása van a V(x,γ2,…,γn)=0 egyenletnek? Előfordulhat-e, hogy valamely δ komplex számra a V(x,γ2,…,γn)=δ egyenletnek ennél a) több; b) kevesebb megoldása van?
1.5.3 Egy determináns minden sora mértani sorozat (0 elemet nem engedünk meg). Számítsuk ki a determinánst.
1.5.4 Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, ahol az i-edik sor j-edik eleme ij.
1.5.5
a) Legyenek f0,…,fn–1 valós együtthatós polinomok, ahol deg fk=k, továbbá γ1,…,γn tetszőleges valós számok. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme fi–1(γj).
b) Mennyi a determináns értéke, ha a polinomok fokszámára vonatkozó kikötést a deg fk≤n–2 feltételre cseréljük ki?
M1.5.6 Legyenek α1,…,αn, β1,…,βn valós számok, ahol αiβj≠1. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme
1.5.7 Legyenek α1,…,αn, β1,…,βn valós számok. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme (αi+βj)n–1.
1.5.8 Legyenek ϕ1,…,ϕn olyan valós számok, amelyek koszinuszai páronként különbözők. Legyen D1=V(cosϕ1,…,cosϕn), D2 pedig az a determináns, ahol az i-edik sor j-edik eleme cos[(j–1)ϕi]. Bizonyítsuk be, hogy a D2/D1 hányados nem függ a ϕi számok választásától.
1.5.9 Legyenek γ1,…,γn különböző valós számok.
a) Hogyan változik a Vandermonde-determináns, ha γi-t és γj-t felcseréljük?
b) Melyek azok a σ permutációk, amelyekre
1.5.10 Egy n×n-es D determináns i-edik sorának j-edik eleme 2ij. A 2-nek hányadik hatványával osztható D?
1.5.11 Legyenek a1,…,an tetszőleges egész számok. Bizonyítsuk be, hogy V(a1,…,an) osztható
a) az 1,2,…,n–1 számok legkisebb közös többszörösével;
*b) V(1,2,…,n)-nel.
*1.5.12 Legyen p>2 prím, és Vp=V(1,2,…,p). Milyen maradékot ad p-vel osztva ?
*1.5.13 Számítsuk ki azt a determinánst, amely V(γ1,…,γn)-től annyiban tér el, hogy az utolsó oszlopban rendre ( helyett) áll.