Legyen γ₁,γ₂,…,γ_n tetszőleges. A γ₁,γ₂,…,γ_n elemek által generált Vandermonde-determináns

A Vandermonde-determináns i-edik sorában tehát rendre γ_i-nek 0,1,…,n–1-edik hatványa áll. Ha két generáló elem azonos, akkor két egyforma sor van, és így a determináns 0. Az alábbi szorzatalakból kiderül, hogy ennek a megfordítása is igaz.

❶

Bizonyítás: Vonjuk ki jobbról bal felé haladva minden oszlopból az őt megelőző oszlop γ₁-szeresét:

Most vonjuk le minden sorból az első sort, ezzel az első oszlop utolsó n–1 eleme is 0 lesz, a többi elem pedig nem változott. A második, harmadik stb. sorból rendre γ₂–γ₁-et, γ₃–γ₁-et stb. kiemelhetünk. Ezzel a

alakra jutottunk. Így a feladatot egy eggyel kisebb rendű Vandermonde-determinánsra vezettük vissza. A fenti eljárást megismételve (vagy teljes indukcióval) adódik a tétel.❷

Feladatok

1.5.1 Fejezzük ki V=V(γ₁,…,γ_n) segítségével az alábbi szorzatokat:

 a) $\underset{1\le j<i\le n}{}\left({\gamma }_i-{\gamma }_j\right)$ b) $\underset{1\le j\ne i\le n}{}\left({\gamma }_i-{\gamma }_j\right)$

1.5.2 Legyenek γ₂,…,γ_n rögzített komplex számok. Hány megoldása van a V(x,γ₂,…,γ_n)=0 egyenletnek? Előfordulhat-e, hogy valamely δ komplex számra a V(x,γ₂,…,γ_n)=δ egyenletnek ennél a) több; b) kevesebb megoldása van?

1.5.3 Egy determináns minden sora mértani sorozat (0 elemet nem engedünk meg). Számítsuk ki a determinánst.

1.5.4 Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, ahol az i-edik sor j-edik eleme i^j.

1.5.5

a) Legyenek f₀,…,f_n–1 valós együtthatós polinomok, ahol deg f_k=k, továbbá γ₁,…,γ_n tetszőleges valós számok. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme f_i–1(γ_j).

b) Mennyi a determináns értéke, ha a polinomok fokszámára vonatkozó kikötést a deg f_k≤n–2 feltételre cseréljük ki?

M1.5.6 Legyenek α₁,…,α_n, β₁,…,β_n valós számok, ahol α_iβ_j≠1. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme $\left(1-{\alpha }_i^n{\beta }_j^n\right)/\left(1-{\alpha }_i{\beta }_j\right)$

1.5.7 Legyenek α₁,…,α_n, β₁,…,β_n valós számok. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme (α_i+β_j)n–1.

1.5.8 Legyenek ϕ₁,…,ϕ_n olyan valós számok, amelyek koszinuszai páronként különbözők. Legyen D₁=V(cosϕ₁,…,cosϕ_n), D₂ pedig az a determináns, ahol az i-edik sor j-edik eleme cos[(j–1)ϕ_i]. Bizonyítsuk be, hogy a D₂/D₁ hányados nem függ a ϕ_i számok választásától.

1.5.9 Legyenek γ₁,…,γ_n különböző valós számok.

a) Hogyan változik a Vandermonde-determináns, ha γ_i-t és γ_j-t felcseréljük?

b) Melyek azok a σ permutációk, amelyekre

1.5.10 Egy n×n-es D determináns i-edik sorának j-edik eleme 2^ij. A 2-nek hányadik hatványával osztható D?

1.5.11 Legyenek a₁,…,a_n tetszőleges egész számok. Bizonyítsuk be, hogy V(a₁,…,a_n) osztható

a) az 1,2,…,n–1 számok legkisebb közös többszörösével;

*b) V(1,2,…,n)-nel.

*1.5.12 Legyen p>2 prím, és V_p=V(1,2,…,p). Milyen maradékot ad p-vel osztva $V_p^2$?

*1.5.13 Számítsuk ki azt a determinánst, amely V(γ₁,…,γ_n)-től annyiban tér el, hogy az utolsó oszlopban rendre (${\gamma }_i^{n-1}$ helyett) ${\gamma }_i^n$ áll.