Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Ebben a pontban visszatérünk a négyzetes mátrixok invertálhatóságával kapcsolatos kérdésekre és jelentősen kiegészítjük a 2.2 pontban tanultakat az egyenletrendszerek és a mátrixrang segítségével.
Egy négyzetes mátrixot szingulárisnak (vagy elfajulónak) nevezünk, ha a determinánsa nulla, és regulárisnak (vagy nemszingulárisnak, nemelfajulónak), ha a determinánsa nem nulla.❶
Számos ekvivalens feltételt bizonyítottunk egy mátrix regularitására, illetve szingularitására, először ezeket foglaljuk össze.
Egy tetszőleges mátrixra az alábbi feltételek ekvivalensek (A ekkor reguláris):
(D) det A≠0;
(I) A-nak létezik (kétoldali) inverze;
(bI) A-nak létezik balinverze;
(jI) A-nak létezik jobbinverze;
(nbN) A nem nulla és nem bal oldali nullosztó;
(njN) A nem nulla és nem jobb oldali nullosztó;
(T) az homogén egyenletrendszernek csak triviális megoldása van;
(VE) van olyan amelyre az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van;
(ME) bármely -re az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van;
(R) r(A)=n;
(OF) A oszlopai lineárisan függetlenek;
(SF) A sorai lineárisan függetlenek.❶
Bizonyítás: A (D) feltétel éppen a regularitás definíciója. A többi feltételnek az ezzel való ekvivalenciáját az alábbi tételek biztosítják:
(I), (bI), (jI): 2.2.2 Tétel.
(nbN), (njN): 2.2.5 Tétel.
(T): 3.2.3 Tétel.
(VE), (ME): 3.2.2 Tétel és az utána tett megjegyzés.
(R), (OF), (SF): 3.4.2 Tétel.❷
A komplementer feltételek természetesen a szingularitás ekvivalens alakjait adják (érdemes ezeket is megfogalmazni).
Az alábbiakban megmutatjuk, hogy egy mátrix inverze közvetlenül is kapcsolódik az egyenletrendszerekhez. Ezzel egyrészt új bizonyítást nyerünk a 2.2.2 Tételre, másrészt lehetővé válik, hogy egy mátrix inverzét a Gauss-eliminációval számoljuk ki, ami általában lényegesen gyorsabban célhoz vezet, mint a 2.2.2 Tétel bizonyításában kapott képlet alkalmazása.
Az mátrix jobbinverzének a meghatározása az AX=E mátrixegyenlet megoldását jelenti. Jelölje az X mátrix oszlopait az E mátrix oszlopait pedig Ekkor AX=E alakba. Így A–1 meghatározása ennek az n egyenletrendszernek a megoldását jelenti. Itt mind az n együtthatómátrix A.
Ha det A≠0, akkor a 3.2.2 Tétel utáni megjegyzés szerint mindegyik egyenletrendszer (egyértelműen) megoldható, tehát A-nak létezik jobbinverze. (Azért nem a 3.2.1 Tételre hivatkoztunk, mert annak a bizonyítása felhasználta a 2.2.2 Tételt.)
Ha det A=0, akkor megmutatjuk, hogy legalább az egyik egyenletrendszer nem oldható meg, tehát nem létezik A-nak jobbinverze. A 3.2.2 Tétel bizonyításában láttuk, hogy det A=0 esetén a Gauss-kiküszöböléssel (sorelhagyás nélkül) kapott RLA bal oldalának a determinánsa is nulla. Ez csak úgy lehet, ha az RLA-ban (legalább) az utolsó sor nulla, és így biztos létezik olyan amelyre az egyenletrendszer nem oldható meg. Tegyük most fel indirekt, hogy mindegyik megoldható lenne. Ekkor a megoldásoknak a megfelelő komponenseivel vett lineáris kombinációja az egy megoldását adná, ami ellentmondás.
A balinverzre vonatkozó eredmény azonnal adódik, ha az YA=E mátrixegyenlet transzponálásával kapott, vele ekvivalens ATYT=E egyenletre alkalmazzuk az imént igazoltakat. Ezzel befejeztük a 2.2.2 Tétel egy új bizonyítását.
Nézzük most a fentiek alapján egy mátrix inverzének a számolását a gyakorlatban. Az egyenletrendszereket egyszerre is tudjuk kezelni, mivel közös az együtthatómátrixuk. Írjuk le az A-t (csak egy példányban), majd mellé a vonal után sorban az vektorokat, azaz az A mellé tulajdonképpen az E egységmátrix kerül: Alkalmazzuk a Gauss-kiküszöbölést. Ha det A≠0, akkor az A-ból kialakuló RLA az egységmátrix lesz, és ekkor a jobb oldalakból kapott rész éppen A–1-et adja. Ha det A=0, akkor az A-ból képződő RLA utolsó sora csupa nulla lesz (és ez az n egyenletrendszer közül legalább az egyiknél tilos sort ad), ekkor nem létezik inverz. Azt, hogy det A nulla vagy nem nulla, NEM kellett külön előre kiszámítani, a Gauss-kiküszöbölés során automatikusan kiderült. Az eljárást az alábbi tételben foglaljuk össze:
Az mátrix mellé írjuk le az n×n-es E egységmátrixot, azaz tekintsük A|E-t. Az A-nak akkor és csak akkor létezik inverze, ha A|E-ből a Gauss-kiküszöböléssel E|B alakú mátrixhoz jutunk, és ekkor B=A–1.❶
A fentiekhez hasonlóan a nullosztók vizsgálatát is közvetlenül összekapcsolhatjuk az egyenletrendszerekkel. Az A pontosan akkor bal oldali nullosztó, ha A≠0 és az AX=0 mátrixegyenletnek van X≠0 megoldása. Jelöljük most is az X mátrix oszlopait -nel. Ekkor AX=0 átírható alakba. Itt most az homogén egyenletrendszer n (teljesen azonos) példányáról van szó és így az A≠0 mátrix pontosan akkor bal oldali nullosztó, ha -nak van nemtriviális megoldása. A 3.2.3 Tétel szerint ez pontosan akkor teljesül, ha det A=0. A másik oldali nullosztó esetét ugyanide vezethetjük vissza az inverznél látott transzponálási trükkel. Ezzel a 2.2.5 Tételre új bizonyítást adtunk.
Természetesen most sem kell magát a determinánst kiszámolni. Az, hogy -nak van-e nemtriviális megoldása, (sima) Gauss-kiküszöböléssel eldönthető. A (triviális és esetleges nemtriviális) megoldásokat egymástól függetlenül az X mátrix oszlopaiba beírva, megkapjuk az AX=0 mátrixegyenlet összes megoldását (azaz X=0-t mindenképpen, valamint ha A bal oldali nullosztó, akkor A összes jobb oldali nullosztó „párját”).
A 2.2.5 Tételre még egy bizonyítást leolvashatunk a mátrix rangja segítségével. Az előbbiekből ismét felhasználjuk, hogy A≠0 akkor és csak akkor bal oldali nullosztó, ha -nak van nemtriviális megoldása. Ez azzal ekvivalens, hogy A oszlopai lineárisan összefüggők, azaz (oszloprangot nézve) r(A)<n. Ugyanezt determinánsrangként tekintve kapjuk a det A=0 feltételt.
Feladatok
3.5.1 Számítsuk ki az alábbi (valós) mátrixok inverzét.
a) b)
3.5.2 Határozzuk meg az alábbi n×n-es (valós) mátrixok inverzét:
azaz αij=2, ha i=j≥2, és 1 egyébként; βij=j–i+1, ha i≤j, és 0 egyébként; γij=min(i,j).
3.5.3 Keressük meg az alábbi valós A mátrixok összes jobb és bal oldali nullosztó párját, azaz az összes olyan 4×4-es X és Y (nemnulla) mátrixot, amelyre AX=0, illetve YA=0.
a) b)
3.5.4 Egy n×n-es A≠0 mátrix minden sorában az elemek összege nulla. Bizonyítsuk be, hogy A nullosztó, és adjunk meg olyan B≠0 mátrixot, amelyre AB=0.
3.5.5 Döntsük el, hogy az alábbi n×n-es valós mátrix milyen n-re invertálható, illetve milyen n-re nullosztó. Írjuk is fel az inverzét, illetve adjuk meg hozzá az összes „nullosztópárt”, azaz olyan nemnulla mátrixot, amellyel megszorozva a nullmátrixot kapjuk.
(A mátrixban α11=…=αnn=α12=…=αn–1,n=αn1=1, minden más elem pedig nulla.)
3.5.6
a) Legyen és jelölje az n×n-es egységmátrix j-edik oszlopát. Bizonyítsuk be, hogy ha az n darab egyenletrendszer közül pontosan m oldható meg, akkor r(A)≥m.
b) Lássuk be, hogy a)-ban általában nem igaz az egyenlőség: mutassunk példát olyan A-ra, amelynek a rangja n–1, ugyanakkor az egyenletrendszerek közül egyetlenegy sem oldható meg.
3.5.7 Legyen és tegyük fel hogy az és egyenletrendszereknek ugyanazok a megoldásai. Következik-e ebből, hogy A szimmetrikus mátrix, azaz AT=A?
3.5.8 Legyen A≠0 és det A=0.
a) Mutassuk meg, hogy az A-hoz tartozó bal és jobb oldali nullosztópárok általában nem esnek egybe, azaz (B is n×n-es mátrix.)
*b) Igazoljuk, hogy mindig van olyan B≠0, amelyre AB=BA=0.
M*c) Adjuk meg az összes olyan A-t, amelyre