Egy négyzetes mátrixot szingulárisnak (vagy elfajulónak) nevezünk, ha a determinánsa nulla, és regulárisnak (vagy nemszingulárisnak, nemelfajulónak), ha a determinánsa nem nulla.❶

Számos ekvivalens feltételt bizonyítottunk egy mátrix regularitására, illetve szingularitására, először ezeket foglaljuk össze.

Egy tetszőleges $A{T}^{n\times n}$ mátrixra az alábbi feltételek ekvivalensek (A ekkor reguláris):

(D) det A≠0;

(I) A-nak létezik (kétoldali) inverze;

(bI) A-nak létezik balinverze;

(jI) A-nak létezik jobbinverze;

(nbN) A nem nulla és nem bal oldali nullosztó;

(njN) A nem nulla és nem jobb oldali nullosztó;

(T) az $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$ homogén egyenletrendszernek csak triviális megoldása van;

(VE) van olyan $\underset{\_}{b}\left(T^n\right)$ amelyre az $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van;

(ME) bármely $\underset{\_}{b}\left(T^n\right)$-re az $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van;

(R) r(A)=n;

(OF) A oszlopai lineárisan függetlenek;

(SF) A sorai lineárisan függetlenek.❶

Bizonyítás: A (D) feltétel éppen a regularitás definíciója. A többi feltételnek az ezzel való ekvivalenciáját az alábbi tételek biztosítják:

(I), (bI), (jI): 2.2.2 Tétel.

(nbN), (njN): 2.2.5 Tétel.

(T): 3.2.3 Tétel.

(VE), (ME): 3.2.2 Tétel és az utána tett megjegyzés.

(R), (OF), (SF): 3.4.2 Tétel.❷

A komplementer feltételek természetesen a szingularitás ekvivalens alakjait adják (érdemes ezeket is megfogalmazni).

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy egy mátrix inverze közvetlenül is kapcsolódik az egyenletrendszerekhez. Ezzel egyrészt új bizonyítást nyerünk a 2.2.2 Tételre, másrészt lehetővé válik, hogy egy mátrix inverzét a Gauss-eliminációval számoljuk ki, ami általában lényegesen gyorsabban célhoz vezet, mint a 2.2.2 Tétel bizonyításában kapott képlet alkalmazása.

Az $A{T}^{n\times n}$ mátrix jobbinverzének a meghatározása az AX=E mátrixegyenlet megoldását jelenti. Jelölje az X mátrix oszlopait $x_1,\dots ,x_n$ az E mátrix oszlopait pedig ${\underset{\_}{e}}_1,\dots ,{\underset{\_}{e}}_n$ Ekkor AX=E$A{\underset{\_}{x}}_1={\underset{\_}{e}}_1,\dots ,A{\underset{\_}{x}}_n={\underset{\_}{e}}_n$ alakba. Így A^–1 meghatározása ennek az n egyenletrendszernek a megoldását jelenti. Itt mind az n együtthatómátrix A.

Ha det A≠0, akkor a 3.2.2 Tétel utáni megjegyzés szerint mindegyik egyenletrendszer (egyértelműen) megoldható, tehát A-nak létezik jobbinverze. (Azért nem a 3.2.1 Tételre hivatkoztunk, mert annak a bizonyítása felhasználta a 2.2.2 Tételt.)

Ha det A=0, akkor megmutatjuk, hogy legalább az egyik $A{\underset{\_}{x}}_j={\underset{\_}{e}}_j$ egyenletrendszer nem oldható meg, tehát nem létezik A-nak jobbinverze. A 3.2.2 Tétel bizonyításában láttuk, hogy det A=0 esetén a Gauss-kiküszöböléssel (sorelhagyás nélkül) kapott RLA bal oldalának a determinánsa is nulla. Ez csak úgy lehet, ha az RLA-ban (legalább) az utolsó sor nulla, és így biztos létezik olyan $\underset{\_}{b}{T}^n$ amelyre az $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ egyenletrendszer nem oldható meg. Tegyük most fel indirekt, hogy mindegyik $A{\underset{\_}{x}}_j={\underset{\_}{e}}_j$ megoldható lenne. Ekkor a megoldásoknak a $\underset{\_}{b}$ megfelelő komponenseivel vett lineáris kombinációja az $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ egy megoldását adná, ami ellentmondás.

A balinverzre vonatkozó eredmény azonnal adódik, ha az YA=E mátrixegyenlet transzponálásával kapott, vele ekvivalens A^TY^T=E egyenletre alkalmazzuk az imént igazoltakat. Ezzel befejeztük a 2.2.2 Tétel egy új bizonyítását.

Nézzük most a fentiek alapján egy mátrix inverzének a számolását a gyakorlatban. Az $A{\underset{\_}{x}}_1={\underset{\_}{e}}_1,\dots ,A{\underset{\_}{x}}_n={\underset{\_}{e}}_n$ egyenletrendszereket egyszerre is tudjuk kezelni, mivel közös az együtthatómátrixuk. Írjuk le az A-t (csak egy példányban), majd mellé a vonal után sorban az ${\underset{\_}{e}}_1,\dots ,{\underset{\_}{e}}_n$ vektorokat, azaz az A mellé tulajdonképpen az E egységmátrix kerül: $A|{\underset{\_}{e}}_1,\dots ,{\underset{\_}{e}}_n=A|E$ Alkalmazzuk a Gauss-kiküszöbölést. Ha det A≠0, akkor az A-ból kialakuló RLA az egységmátrix lesz, és ekkor a jobb oldalakból kapott rész éppen A^–1-et adja. Ha det A=0, akkor az A-ból képződő RLA utolsó sora csupa nulla lesz (és ez az n egyenletrendszer közül legalább az egyiknél tilos sort ad), ekkor nem létezik inverz. Azt, hogy det A nulla vagy nem nulla, NEM kellett külön előre kiszámítani, a Gauss-kiküszöbölés során automatikusan kiderült. Az eljárást az alábbi tételben foglaljuk össze:

Az $A{T}^{n\times n}$ mátrix mellé írjuk le az n×n-es E egységmátrixot, azaz tekintsük A|E-t. Az A-nak akkor és csak akkor létezik inverze, ha A|E-ből a Gauss-kiküszöböléssel E|B alakú mátrixhoz jutunk, és ekkor B=A^–1.❶

A fentiekhez hasonlóan a nullosztók vizsgálatát is közvetlenül összekapcsolhatjuk az egyenletrendszerekkel. Az A pontosan akkor bal oldali nullosztó, ha A≠0 és az AX=0 mátrixegyenletnek van X≠0 megoldása. Jelöljük most is az X mátrix oszlopait ${\underset{\_}{x}}_1,\dots ,{\underset{\_}{x}}_n$-nel. Ekkor AX=0 átírható $A{\underset{\_}{x}}_1=\underset{\_}{0},\dots ,A{\underset{\_}{x}}_n=\underset{\_}{0}$ alakba. Itt most az $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$ homogén egyenletrendszer n (teljesen azonos) példányáról van szó és így az A≠0 mátrix pontosan akkor bal oldali nullosztó, ha $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$-nak van nemtriviális megoldása. A 3.2.3 Tétel szerint ez pontosan akkor teljesül, ha det A=0. A másik oldali nullosztó esetét ugyanide vezethetjük vissza az inverznél látott transzponálási trükkel. Ezzel a 2.2.5 Tételre új bizonyítást adtunk.

Természetesen most sem kell magát a determinánst kiszámolni. Az, hogy $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$-nak van-e nemtriviális megoldása, (sima) Gauss-kiküszöböléssel eldönthető. A (triviális és esetleges nemtriviális) megoldásokat egymástól függetlenül az X mátrix oszlopaiba beírva, megkapjuk az AX=0 mátrixegyenlet összes megoldását (azaz X=0-t mindenképpen, valamint ha A bal oldali nullosztó, akkor A összes jobb oldali nullosztó „párját”).

A 2.2.5 Tételre még egy bizonyítást leolvashatunk a mátrix rangja segítségével. Az előbbiekből ismét felhasználjuk, hogy A≠0 akkor és csak akkor bal oldali nullosztó, ha $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$-nak van nemtriviális megoldása. Ez azzal ekvivalens, hogy A oszlopai lineárisan összefüggők, azaz (oszloprangot nézve) r(A)<n. Ugyanezt determinánsrangként tekintve kapjuk a det A=0 feltételt.

Feladatok

3.5.1 Számítsuk ki az alábbi (valós) mátrixok inverzét.

a) $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1\end{array}\right)$ b) $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 6& 10\\ 1& 4& 10& 20\end{array}\right)$

3.5.2 Határozzuk meg az alábbi n×n-es (valós) mátrixok inverzét:

 azaz α_ij=2, ha i=j≥2, és 1 egyébként; β_ij=j–i+1, ha i≤j, és 0 egyébként; γ_ij=min(i,j).

3.5.3 Keressük meg az alábbi valós A mátrixok összes jobb és bal oldali nullosztó párját, azaz az összes olyan 4×4-es X és Y (nemnulla) mátrixot, amelyre AX=0, illetve YA=0.

 a) $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$ b) $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 5& 7\\ 1& 3& 4& 5\end{array}\right)$

3.5.4 Egy n×n-es A≠0 mátrix minden sorában az elemek összege nulla. Bizonyítsuk be, hogy A nullosztó, és adjunk meg olyan B≠0 mátrixot, amelyre AB=0.

3.5.5 Döntsük el, hogy az alábbi n×n-es valós mátrix milyen n-re invertálható, illetve milyen n-re nullosztó. Írjuk is fel az inverzét, illetve adjuk meg hozzá az összes „nullosztópárt”, azaz olyan nemnulla mátrixot, amellyel megszorozva a nullmátrixot kapjuk.

 (A mátrixban α₁₁=…=α_nn=α₁₂=…=α_n–1,n=α_n1=1, minden más elem pedig nulla.)

3.5.6

a) Legyen $A{T}^{n\times n}$ és jelölje ${\underset{\_}{e}}_j$ az n×n-es egységmátrix j-edik oszlopát. Bizonyítsuk be, hogy ha az n darab $A\underset{\_}{x}={\underset{\_}{e}}_j$ egyenletrendszer közül pontosan m oldható meg, akkor r(A)≥m.

b) Lássuk be, hogy a)-ban általában nem igaz az egyenlőség: mutassunk példát olyan A-ra, amelynek a rangja n–1, ugyanakkor az $A\underset{\_}{x}={\underset{\_}{e}}_j$ egyenletrendszerek közül egyetlenegy sem oldható meg.

3.5.7 Legyen $A{T}^{n\times n}, \det A=0$ és tegyük fel hogy az $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$ és $A^T\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$ egyenletrendszereknek ugyanazok a megoldásai. Következik-e ebből, hogy A szimmetrikus mátrix, azaz A^T=A?

3.5.8 Legyen $A{T}^{n\times n}$A≠0 és det A=0.

a) Mutassuk meg, hogy az A-hoz tartozó bal és jobb oldali nullosztópárok általában nem esnek egybe, azaz $AB=0\nRightarrow BA=0$ (B is n×n-es mátrix.)

*b) Igazoljuk, hogy mindig van olyan B≠0, amelyre AB=BA=0.

M*c) Adjuk meg az összes olyan A-t, amelyre $AB=0⟺BA=0$