Egy V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk a T test felett, ha az alábbi kikötések (az ún. vektortéraxiómák) teljesülnek.

(Ö) A V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet: $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}V$ elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}$-vel jelölünk.

(Ö1) Az összeadás asszociatív, azaz bármely $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v},\underset{\_}{w}V$ elemekre

(Ö2) Az összeadás kommutatív, azaz bármely $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v},V$ elemekre

(Ö3) Létezik nullelem, azaz van olyan $\underset{\_}{0}V$ amellyel bármely $\underset{\_}{v}V$ elemre

(Ö4) Minden elemnek létezik ellentettje, azaz bármely $\underset{\_}{v}V$ elemhez létezik olyan $-\underset{\_}{v}V$ amelyre

(S) A T test és a V halmaz között értelmezve van egy skalárral való szorzásnak nevezett művelet az alábbi módon: bármely $\lambda T$ és $\underset{\_}{u}V$ elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet $\lambda \underset{\_}{u}$-val jelölünk.

(S1) Bármely $\lambda ,\mu T$ és $\underset{\_}{v}V$ esetén

(S2) Bármely $\lambda T$ és $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}V$ esetén

(S3) Bármely $\lambda ,\mu T$ és $\underset{\_}{v}V$ esetén

(S4) Bármely $\underset{\_}{v}V$-re

 ahol 1 a T test egységeleme (azaz amellyel minden $\lambda T$-re 1λ=λ1=λ).❶

A V halmaz elemeit vektoroknak, a T test elemeit pedig skalároknak nevezzük. A vektorokat általában aláhúzott latin kisbetűkkel, a skalárokat pedig legtöbbször (aláhúzatlan) görög kisbetűkkel fogjuk jelölni.

A fentiek szerint egy vektortér megadásához meg kell mondanunk a vektorok V halmazát, a T testet és értelmeznünk kell a két műveletet, az összeadást és a skalárral való szorzást. Ezután ellenőriznünk kell, hogy az (Ö1)–(Ö4) és az (S1)–(S4) axiómák teljesülnek-e.

Megjegyzések a vektortéraxiómákhoz

Az összeadás egy szokásos művelet, vagyis egy V×V→V függvény. A skalárral való szorzás azonban az eddig megszokottaktól eltérően egy „öszvér” művelet; egy T×V→V függvény.

Az összeadás tulajdonságait úgy foglalhatjuk össze, hogy V erre az összeadásra nézve egy kommutatív csoportot alkot.

Az (S1) axióma formailag a disztributivitásra emlékeztet, azonban a két + különböző műveleteket jelöl: a bal oldali a T-beli, a jobb oldali pedig a V-beli összeadást. Hasonló problémát takar az (S3) axióma is.

A skalárral való szorzással kapcsolatban $\underset{\_}{v}\lambda$-ról nem beszélünk, csak $\lambda \underset{\_}{v}$-ről, a másikra nincs semmi szükség. Ha valakit ez (nagyon) zavar, akkor vagy úgy tekinti, hogy $\underset{\_}{v}\lambda \mathrm{a} \lambda \underset{\_}{v}$ egy alternatív jelölése, vagy pedig egy újabb műveletként vezeti be, és akkor az axiómák közé $\lambda \underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}\lambda$-t is be kell venni.

A V-ről nem lett volna szükséges külön kikötni, hogy nem az üres halmaz, mert ezt a tulajdonságot az (Ö3) axióma biztosítja. Hasonló esetekben azonban a jövőben is inkább kitesszük a nemüres jelzőt, ezzel is hangsúlyozva, hogy általában egy algebrai struktúrán eleve nemüres halmazt értünk.

A vektortéraxiómák fenti rendszere a hagyományos megadást követi. Az axiómák közül (Ö2) elhagyható, mert levezethető a többi axiómából (lásd a 4.1.13 feladatot). Ettől eltekintve azonban a többi axióma független egymástól (lásd a 4.1.14 feladatot).

FONTOS! A vektortér keretében a vektorok között szorzást általában nem értelmezünk. Később azonban szerepelni fognak olyan speciális vektorterek, amelyeken valamilyen szorzást is bevezetünk: ilyenek lesznek egyfelől az algebrák (lásd az 5.6 pontot), másfelől az ún. skalárszorzattal ellátott euklideszi terek (lásd a 8. fejezetet).

Példák vektortérre

P1. Az origóból kiinduló sík-, illetve térvektorok a valós test felett a szokásos vektorösszeadásra és a valós számmal való szorzásra nézve.

P2. T^k a T test felett, ha a műveleteket a szokásos módon komponensenként végezzük. (Az előző példa tulajdonképpen a T=R és k=2, illetve k=3 speciális esetnek felel meg.)

P3. T^k×n, azaz a k×n-es mátrixok a T test felett a mátrixok szokásos összeadására és skalárral való szorzására nézve. (Az előző példa az n=1 speciális eset.)

P4. T[x], azaz a T feletti polinomok a T felett a szokásos műveletekre nézve.

P5. Az összes valós számon értelmezett valós értékű függvények a valós test felett a szokásos műveletekre $\left[f+g : \alpha \mapsto f\left(\alpha \right)+g\left(\alpha \right) és \lambda f : \alpha \mapsto \lambda f\left(\alpha \right)\right]$

P6. A valós számsorozatok a valós test felett a szokásos műveletekre.

P7. A komplex számok a valós test felett a komplex számok körében értelmezett műveletekre.

További példák: lásd a 4.1.1–4.1.4 feladatokat.

A vektortéraxiómák következményei

A műveletek általános tulajdonságaiból (lásd az A.1 pontot) azonnal következik, hogy a nullvektor $\left(\underset{\_}{0}\right)$ és minden vektornak az ellentettje egyértelmű, továbbá elvégezhető a kivonás, azaz bármely $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}V$ vektorokhoz egyértelműen létezik olyan $\underset{\_}{w}V$ vektor, amelyre $\underset{\_}{v}+\underset{\_}{w}=\underset{\_}{u}$ ezt $\underset{\_}{w}=\underset{\_}{u}-\underset{\_}{v}$-vel jelöljük; a követelménynek eleget tevő (egyetlen) vektor: $\underset{\_}{w}=\underset{\_}{u}+\left(-\underset{\_}{v}\right)$

Az összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt a többtagú összegek esetén a zárójelek elhagyhatók és a tagok sorrendje is tetszőlegesen átírható.

A formálisan a disztributivitásra, illetve asszociativitásra emlékeztető

(S1)–(S3) axiómák alapján a skalárral való szorzásnál is a megszokott szabályok alkalmazhatók (pl. több tag szorzása több taggal”).

További egyszerű, de fontos következményeket tartalmaz a

(i) Bármely $\lambda T-\mathrm{r}\mathrm{e} \lambda \underset{\_}{0}=\underset{\_}{0}$

(ii) Bármely $vV-\mathrm{r}\mathrm{e} 0\underset{\_}{v}=\underset{\_}{0}$ ahol a 0 a T test nulleleme.

(iii) Bármely $\underset{\_}{v}V-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{ }\left(-1\right)\underset{\_}{v}=-\underset{\_}{v}$ ahol –1 a T test egységelemének az ellentettje (a testben).

(iv) Ha $\lambda \underset{\_}{v}=\underset{\_}{0}$ akkor λ=0 vagy $\underset{\_}{v}=\underset{\_}{0}$❶

Bizonyítás: Az első állítást igazoljuk, a többi hasonló technikával történik (lásd a 4.1.10 feladatot). Legyen $\underset{\_}{v}V$ tetszőleges. Ekkor (Ö3) alapján $\underset{\_}{v}+\underset{\_}{0}=\underset{\_}{v}$ Szorozzuk meg ezt λ-val: $\lambda \left(\underset{\_}{v}+\underset{\_}{0}\right)=\lambda \underset{\_}{v}$ Itt a bal oldalt (S2) alapján átalakítjuk:

Adjuk most hozzá mindkét oldalhoz $\lambda \underset{\_}{v}$ ellentettjét, ekkor a jobb oldal $\underset{\_}{0}$ lesz, a bal oldal pedig

amivel (i)-et bebizonyítottuk.❷

Feladatok

4.1.1 Döntsük el, hogy a valós együtthatós polinomok alábbi részhalmazai vektorteret alkotnak-e a valós test felett, ha a műveleteket a szokásos módon definiáljuk. Egy általános polinomot f-fel, az f fokszámát deg f-fel, az i-edfokú tag együtthatóját α_i-vel, a főegyütthatót α_n-nel jelöljük (tehát α_n≠0, ha f nem a nullpolinom). A jelölésben nem teszünk különbséget polinom és polinomfüggvény között.

a) {f|deg f=100 vagy f=0};

b) {f|deg f≤100 vagy f=0};

c) {f|deg f≥100 vagy f=0};

d) {f|x³+1 osztója az f-nek};

e) {f|x³+1-gyel osztva az f konstans maradékot ad};

f) {f|f(5)=0};

g) {f|f(5)=1};

h) {f|f(3)=2f(4)};

i) {f|f együtthatóinak az összege 0};

j) {f|α₀+α₁=0};

k) {f|α₀+α_n=0};

l) {f|f-nek van valós gyöke};

m) {f|f minden együtthatója racionális}.

4.1.2 Döntsük el, hogy a valós számsorozatok alábbi részhalmazai vektorteret alkotnak-e a valós test felett, ha a műveleteket a szokásos módon definiáljuk. Egy általános sorozatot S=(α₀,α₁,…,α_n,…) formában jelölünk.

a) {S|α₀=2α₃+α₅};

b) {S|α₀=2α₃α₅};

c) {S|α_n+1=α_n+α_n–1, n=1,2,…};

d) a korlátos sorozatok;

e) a konvergens sorozatok;

f) {S|lim_n→∞ α_n=999};

g) a monoton növő sorozatok;

h) a monoton sorozatok;

i) {S|α_i=0 végtelen sok i-re};

j) {S|α_i=0 legfeljebb véges sok i kivételével};

k) {S|α_i=0 legfeljebb 100 darab i kivételével};

l) {S|α_i=0 legfeljebb az első 100 darab i kivételével};

m) a (végtelen) számtani sorozatok;

n) a (végtelen) mértani sorozatok, megengedve a csupa 0 sorozatot is;

o) a periodikus sorozatok.

4.1.3 Döntsük el, hogy az összes valós számon értelmezett valós értékű függvények alábbi részhalmazai vektorteret alkotnak-e a valós test felett, ha a műveleteket a szokásos módon definiáljuk. Egy általános függvényt f-fel jelölünk.

a) A folytonos függvények;

b) a legfeljebb véges sok pontban szakadó függvények;

c) a legfeljebb öt pontban szakadó függvények;

d) {f|f-nek van valós gyöke};

e) {f|f-nek legfeljebb véges sok valós gyöke van };

f) a páros függvények;

g) a polinomfüggvények;

h) a periodikus függvények;

i) a felülről korlátos függvények;

j) {f|f(5)≥0};

k) {f|f(5)=f(8)};

l) $\left\{f | a\ne b f\left(a\right)=f\left(b\right)\right\}$

m) {f|f(π) egész szám}.

4.1.4 Hogyan általánosíthatók a P5, P6 és P7 példákban szereplő vektorterek?

4.1.5 Legyen V a pozitív valós számok halmaza, T=R, és definiáljuk az $\oplus$ összeadást és a $\odot$ skalárral való szorzást a következőképpen:

 ahol az egyenlőségek jobb oldalán a valós számok szokásos szorzása, illetve hatványozása szerepel $\left(u, v V, \lambda T\right)$ Vektorteret kapunk-e így?

4.1.6 Legyen V a komplex számok halmaza, T=Q, és definiáljuk az $\oplus$ összeadást és a $\odot$ skalárral való szorzást a következőképpen:

 ahol az egyenlőségek jobb oldalán a komplex számok szokásos összeadása, illetve szorzása szerepel $\left(u, v V, \lambda T\right)$ Vektorteret kapunk-e így?

4.1.7 Legyen V az egész számok halmaza a szokásos összeadással és T=Q. A $\odot$ skalárral való szorzást a következőképpen értelmezzük:

 ahol az egyenlőség jobb oldalán a racionális számok szokásos szorzása szerepel és $⌊ ⌋$ a szám (alsó) egész részét jelöli $vV, \lambda T$ Vektorteret kapunk-e így?

*4.1.8

a) Legyen V az egész számok halmaza a szokásos összeadással és T=Q. Lehet-e a $\odot$ skalárral való szorzást úgy értelmezni, hogy vektorteret kapjunk?

b) Legyen V az egész számok halmaza a szokásos összeadással. Van-e olyan T test, amely fölött lehet a $\odot$ skalárral való szorzást úgy értelmezni, hogy vektorteret kapjunk?

c) Legyen V az egész számok halmaza és T=Q. Lehet-e az $\oplus$ összeadást és a $\odot$ skalárral való szorzást úgy értelmezni, hogy vektorteret kapjunk?

d) Legyen V az egész számok halmaza és T=C. Lehet-e az $\oplus$ összeadást és a $\odot$ skalárral való szorzást úgy értelmezni, hogy vektorteret kapjunk?

e) Legyen V a valós számsorozatok halmaza a szokásos összeadással és T=C. Lehet-e a $\odot$ skalárral való szorzást úgy értelmezni, hogy vektorteret kapjunk?

**f) Legyen V a valós számok halmaza a szokásos összeadással és T=C. Lehet-e a $\odot$ skalárral való szorzást úgy értelmezni, hogy vektorteret kapjunk?

4.1.9 Legyen V a komplex számsorozatok halmaza a szokásos összeadással és T=C. Vizsgáljuk meg, hogy az alább értelmezett $\odot$ skalárral való szorzások mellett mely vektortéraxiómák teljesülnek és melyek nem. Egy általános sorozatot S=(α₀,α₁,…,α_n,…) formában jelölünk, az egyenlőségek jobb oldalán a komplex számok szokásos szorzása szerepel, Re(λ) a λ valós részét jelenti $SV, \lambda T$

a) $\lambda \odot S=S$

b) $\lambda \odot S=\left(\lambda {\alpha }_0, {\alpha }_1, {\alpha }_2,\dots \right)$

c) $\lambda \odot S=\left(\lambda {\alpha }_0, 0, 0,\dots \right)$

d) $\lambda \odot S=\left(\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\lambda \right){\alpha }_0, \mathrm{R}\mathrm{e}\left(\lambda \right){\alpha }_1, \mathrm{R}\mathrm{e}\left(\lambda \right){\alpha }_2,\dots \right)$

4.1.10 Bizonyítsuk be a 4.1.2 Tétel utolsó három állítását.

4.1.11 Melyek igazak az alábbi állítások közül? (V vektortér a T test felett, $\underset{\_}{u}, \underset{\_}{v} V, \lambda ,\mu T$

a) Ha $\underset{\_}{v}\ne \underset{\_}{0} és \lambda \underset{\_}{v}=\mu \underset{\_}{v}$ akkor λ=μ.

b) Ha λ≠0 és $\lambda \underset{\_}{u}=\lambda \underset{\_}{v}$ akkor $\underset{\_}{u}=\underset{\_}{v}$

c) Ha $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}, \underset{\_}{v}\ne \underset{\_}{0}, \lambda \ne 0, \mu \ne 0$ és $\lambda \underset{\_}{u}=\mu \underset{\_}{v}$ akkor $\underset{\_}{u}=\underset{\_}{v}$ és λ=μ.

4.1.12 Bizonyítsuk be, hogy az (S4) vektortéraxióma helyettesíthető az alábbi két feltétel akármelyikével (vagyis ha az (S4)-et ezek akármelyikével kicseréljük, akkor a többi axiómával együtt pontosan ugyanahhoz a vektortérfogalomhoz jutunk).

a) $\underset{\_}{v}V \lambda T \lambda \underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}$

*b) Ha $\lambda \underset{\_}{v}=\underset{\_}{0}$ akkor λ=0 vagy $\underset{\_}{v}=\underset{\_}{0}$

4.1.13 Bizonyítsuk be, hogy az összeadás kommutativitása következik a többi vektortéraxiómából.

*4.1.14 Bizonyítsuk be, hogy az összeadás kommutativitásától eltekintve a többi vektortéraxióma független egymástól, azaz egyik sem vezethető le az összes többiből. (Ezt úgy igazolhatjuk, ha példát mutatunk arra, amikor az az egy axióma nem teljesül, az összes többi viszont igen.)