Egy T test feletti V vektortér egy nemüres $W\subseteq V$ részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T felett ugyanazokra a V-beli vektortérműveletekre (pontosabban ezeknek a műveleteknek a W-re történő megszorításaira) nézve.❶

Azt, hogy W altér V-ben, szokás W≤V módon jelölni.

Vegyük észre, hogy az altér nem egyszerűen olyan részhalmaz, amely egyben vektortér is, hanem ennél jóval több: W részstruktúrája a V vektortérnek; a W szempontjából a T test és a műveletek eleve adottak. Ily módon pl. a 4.1.5 feladatban szereplő vektortér nem altere a valós számok önmaga feletti szokásos vektorterének.

Egy $W\subseteq V$ részhalmaz tehát akkor lesz altér, ha kielégíti az összes vektortéraxiómát. Lehet, hogy már magával (Ö)-vel és/vagy (S)-sel, vagyis a műveletek értelmezésével baj van, mert W nem zárt a V-beli műveletekre vagy ezek valamelyikére, más szóval (legalább) az egyik V-beli művelet kivezet W-ből. Az alábbi tétel mutatja, hogy a műveleti zártság viszont már biztosítja az altérséget, azaz, ha a műveletek nem vezetnek ki, akkor a többi axiómával sem lehet baj.

Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(i) $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}W\Rightarrow \underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W$

(ii) $\underset{\_}{v}W, \lambda T\Rightarrow \lambda \underset{\_}{v}W$❶

Bizonyítás: Ha W altér, akkor (i) és (ii) nyilván teljesülnek, hiszen — mint láttuk — ezek csak azt fejezik ki, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek.

A megfordításhoz be kell látnunk, hogy (i) és (ii) fennállása esetén a vektortéraxiómák mind teljesülnek. Az „azonosság típusú” axiómák, tehát (Ö1), (Ö2), (S1)–(S4) mindentől függetlenül V valamennyi elemére, így W elemeire is igazak. Azt kell tehát csak belátni, hogy W-ben van nullelem, és minden elemnek van ellentettje. Legyen $\underset{\_}{v}W$ tetszőleges (ilyen $\underset{\_}{v}$ elem létezik, hiszen $W\ne$ ekkor (ii) miatt $\underset{\_}{0}=0\underset{\_}{v}W$ és ez nyilván megfelel nullelemnek W-ben is. Ezután tetszőleges $\underset{\_}{v}W-\mathrm{r}\mathrm{e}-\underset{\_}{v}=\left(-1\right)\underset{\_}{v}W$ eleget tesz az ellentett követelményének.❷

Megjegyezzük, hogy a 4.2.1 Definícióban a $W\ne$ feltételt nem kellett volna külön előírni, hiszen egy vektortér eleve nem lehet az üres halmaz, azonban a 4.2.2 Tételnél nem hagyható el ez a kikötés, ugyanis az (i) és (ii) feltételeket az üres halmaz is teljesíti.

A tétel alapján így annak eldöntéséhez, hogy egy vektortér adott részhalmaza altér-e, nem kell valamennyi axiómát végignézni, hanem elég csupán a műveleti zártságot ellenőrizni. Egy másik jól használható kritériumot ad a 4.2.5 feladat a) része.

A tétel bizonyításából azt is kaptuk, hogy a W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével, és hasonló a helyzet az ellentettel. Ez magából a nullelem fogalmából, sőt egyértelműségéből sem következik (lásd a 4.2.14 és 4.2.15 feladatokat).

Példák altérre

P1. Bármely vektortérben az egész tér, illetve a csak a $\underset{\_}{0}$ vektorból álló részhalmaz mindig altér. Ezeket triviális altereknek nevezzük. (A csak $\underset{\_}{0}$-ból álló alteret $\left\{\underset{\_}{0}\right\}$ helyett röviden $\underset{\_}{0}$-val fogjuk jelölni, tehát ezt az alteret és magát a $\underset{\_}{0}$ vektort jelölésben nem fogjuk megkülönböztetni egymástól.)

P2. Jellemezzük az origóból kiinduló vektorokat a végpontjukkal. Ekkor a(z origóból induló) síkvektorok szokásos vektorterében pontosan az origón átmenő egyenesek a nemtriviális alterek, a térvektorok esetében pedig az origón átmenő egyenesek és síkok.

P3. Bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak.

P4. Legyen $A{T}^{k\times n}$ egy tetszőleges, de rögzített k×n-es mátrix. Ekkor $\mathrm{Ker}A=\left\{\underset{\_}{x}{T}^n | A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}\right\}$ altér Tⁿ-ben és $\mathrm{I}\mathrm{m} A=\left\{A\underset{\_}{x} | \underset{\_}{x{T}^n}\right\}=\left\{\underset{\_}{y}{T}^k | \underset{\_}{x}{T}^n A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{y}\right\}$ altér T^k-ban. Ezt a két alteret az A mátrix magterének, illetve képterének hívjuk.

Feladatok

4.2.1 Mi köze van az altér fogalmához a 4.1.1–4.1.3 feladatoknak?

4.2.2 Legyen V a T test feletti 100×100-as mátrixok szokásos T^100×100 vektortere. Az alábbi részhalmazok közül melyek alterek V-ben?

a) $\left\{AV | AB=BA\right\}$ ahol $B{T}^{100\times 100}$ egy rögzített mátrix;

b) $\left\{AV | AB=0\right\}$ ahol $B{T}^{100\times 100}$ egy rögzített mátrix;

c) $\left\{AV | A^2=0\right\}$

d) a nilpotens mátrixok (van olyan hatványuk, amelyik a 0 mátrix);

e) a szinguláris mátrixok (beleértve a 0 mátrixot is);

f) a 3 rangú mátrixok és a 0 mátrix;

g) a legfeljebb 3 rangú mátrixok;

h) a diagonális mátrixok (a főátlón kívül minden elem 0);

i) a felsőháromszög-mátrixok (a főátló alatt minden elem 0);

j) a szimmetrikus mátrixok (minden i,j-re α_ij=α_ji).

4.2.3 Milyen módszerrel lehet általában egy adott mátrix magterét és képterét meghatározni? Mi lesz Ker A és Im A az $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\end{array}\right)$ mátrix esetén?

4.2.4 Adjunk példát olyan vektortérre és abban olyan részhalmazra, amely

 a) az összeadásra zárt, de a skalárral való szorzásra nem;

 b) a skalárral való szorzásra zárt, de az összeadásra nem;

 c) sem az összeadásra, sem a skalárral való szorzásra nem zárt.

 Bármilyen test felett tudunk mindhárom esetre példát mutatni?

4.2.5 Legyen V vektortér a T test felett és W a V egy nemüres részhalmaza. Az alábbi feltételek közül melyekből következik, hogy W altér V-ben?

a) $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}W, \lambda , \mu T\Rightarrow \lambda \underset{\_}{u}+\mu \underset{\_}{v}W$

b) $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}W, \lambda T\Rightarrow \lambda \underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W$

c) $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}W, \lambda T\Rightarrow \lambda \underset{\_}{u}W$ és $\underset{\_}{u}-\underset{\_}{v}W$

d) $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}W, \lambda T\Rightarrow \lambda \underset{\_}{u}W$ valamint $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W$ és $\underset{\_}{u}-\underset{\_}{v}W$ közül legalább az egyik teljesül;

e) $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W\Rightarrow \underset{\_}{u}W$ és $\underset{\_}{v}W$

f) $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W\Rightarrow \underset{\_}{u}W$ és $\underset{\_}{v}W$ közül legalább az egyik teljesül.

4.2.6 Legyen V vektortér a T test felett és W a V egy nemtriviális altere. Melyek igazak az alábbi állítások közül $\underset{\_}{u}, \underset{\_}{v}V, \lambda T$?

a) $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W\Rightarrow \underset{\_}{u},\underset{\_}{v}W$

b) $\lambda \ne 0, \lambda \underset{\_}{v}W\Rightarrow \underset{\_}{v}W$

c) $\underset{\_}{u}W, \underset{\_}{v}W\Rightarrow \underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W$

d) $\underset{\_}{u}W, \underset{\_}{v}W\Rightarrow \underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W$

e) $\underset{\_}{u}W, \underset{\_}{v}W\Rightarrow \underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W$

4.2.7 Legyen V vektortér R felett, W egy nemtriviális altér V-ben és $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}V$ Az alábbi feltételekből mi következik az $\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}$ vektorok és W viszonyára (tartalmazási szempontból)? Ha több eset is lehetséges, akkor ezek mindegyikére adjunk példát.

a) $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W$

b) $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}W$

c) $2\underset{\_}{u}+3\underset{\_}{v}W, \underset{\_}{u}+7\underset{\_}{v}W$

d) $2\underset{\_}{u}+3\underset{\_}{v}W, \underset{\_}{u}+7\underset{\_}{v}W$

e) $2\underset{\_}{u}+3\underset{\_}{v}W, \underset{\_}{u}+7\underset{\_}{v}W$

 Mennyiben változik a helyzet más test esetén?

4.2.8 Legyen W altér a valós test feletti V vektortérben, $\underset{\_}{u}, \underset{\_}{v},\underset{\_}{w}V$ és tegyük fel, hogy

 Mit állíthatunk az $5\underset{\_}{u}+3\underset{\_}{v}+\underset{\_}{w}$ illetve $6\underset{\_}{u}+3\underset{\_}{v}+\underset{\_}{w}$ vektorok és W kapcsolatáról? (Az illető vektor biztosan eleme-e az altérnek, biztosan nem eleme az altérnek, vagy mindkét eset előfordulhat?)

4.2.9 Jellemezzük azokat a vektortereket, amelyeknek csak triviális alterei vannak.

4.2.10 Bizonyítsuk be, hogy ha egy végtelen test feletti vektortérnek van nemtriviális altere, akkor végtelen sok altere van.

4.2.11 Hány altere van az F₂ test feletti $F_2^2$ vektortérnek? Hát az F_p test feletti $F_p^2$-nek? (A további általánosítást lásd a 4.6.14 feladatnál.)

4.2.12

a) Bizonyítsuk be, hogy egy vektortérben akárhány altér metszete is altér.

b) Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy két altér egyesítése is altér legyen.

c) Lehet-e két altér halmazelméleti különbsége vagy szimmetrikus differenciája altér?

*d) Lehet-e három egymást páronként nem tartalmazó altér egyesítése altér?

M**e) Legyen T végtelen test. Bizonyítsuk be, hogy egy T feletti vektortér nem állhat elő véges sok valódi alterének az egyesítéseként.

M**f) Legyen T véges test. Bizonyítsuk be, hogy egy T feletti vektortér nem állhat elő |T|+1-nél kevesebb valódi alterének az egyesítéseként.

M**g) Legyen T véges test. Bizonyítsuk be, hogy ha egy T feletti vektortérnek nem csak triviális alterei vannak, akkor előáll |T|+1 darab valódi alterének az egyesítéseként.

4.2.13 Legyen W altér a V vektortérben és $U\subseteq W$ Bizonyítsuk be, hogy U akkor és csak akkor altér V-ben, ha altér W-ben (vagyis az altérség nem függ attól, hogy „mekkora” az eredeti vektortér).

4.2.14 Legyen $V=\left\{c\mathbf{R}\mathbf{ }|\mathbf{ }c\ge 3\right\}$T=Q, és definiáljuk az $\oplus$ összeadást és a $\odot$ skalárral való szorzást a következőképpen:

 Legyen $W=\left\{c\mathbf{R}\mathbf{ }|\mathbf{ }c\ge 5\right\}$ ekkor W zárt a $\oplus és \odot$ műveletekre. Továbbá V nulleleme a 3, W-é pedig az 5. Hogyan fér ez össze azzal, hogy egy altér nulleleme szükségképpen megegyezik a vektortér nullelemével (lásd a 4.2.2 Tétel bizonyítását)?

4.2.15 Az alábbiakban négy bizonyítást adunk arra, hogy egy altér nulleleme szükségképpen megegyezik a vektortér nullelemével, ezek közül azonban csak az egyik helyes. Melyik a helyes, és mi a hiba a többiben? (A V vektortér nullelemét ${\underset{\_}{0}}_V$ a W altérét pedig ${\underset{\_}{0}}_W$ jelöli.)

a) Mivel ${\underset{\_}{0}}_V+\underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}$ minden $\underset{\_}{v}V$ vektorra, tehát W elemeire is teljesül, ezért ${\underset{\_}{0}}_V$ definíció szerint W-nek is nulleleme. A W-beli nullelem egyértelműsége alapján így ${\underset{\_}{0}}_W={\underset{\_}{0}}_V$

b) Ha ${\underset{\_}{0}}_W\ne {\underset{\_}{0}}_V$ lenne, akkor V-ben két nullelem lenne, ami ellentmond a V-beli nullelem egyértelműségének.

c) Legyen $\underset{\_}{v}W$ tetszőleges. Ekkor ${\underset{\_}{0}}_V+\underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}$ és ${\underset{\_}{0}}_W+\underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}$ egyaránt fennáll, tehát ${\underset{\_}{0}}_V+\underset{\_}{v}={\underset{\_}{0}}_W+\underset{\_}{v}$ Itt mindkét oldalhoz a $\underset{\_}{v}$ vektor W-beli ellentettjét hozzáadva a kívánt ${\underset{\_}{0}}_V={\underset{\_}{0}}_W$ egyenlőséget kapjuk.

d) Legyen $\underset{\_}{v}W$ tetszőleges. Ekkor ${\underset{\_}{0}}_V+\underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}$ és ${\underset{\_}{0}}_W+\underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}$ egyaránt fennáll, tehát ${\underset{\_}{0}}_V+\underset{\_}{v}={\underset{\_}{0}}_W+\underset{\_}{v}$ Itt mindkét oldalhoz a $\underset{\_}{v}$ vektor V-beli ellentettjét hozzáadva a kívánt ${\underset{\_}{0}}_V={\underset{\_}{0}}_W$ egyenlőséget kapjuk.

4.2.16 Legyen W altér a T test feletti V vektortérben és $\underset{\_}{u}W$ tetszőleges rögzített vektor. Az $\underset{\_}{u}+W=\left\{\underset{\_}{u}+\underset{\_}{w} | \underset{\_}{w}W\right\}$ halmazt a W altér eltoltjának vagy lineáris sokaságnak nevezzük.

a) Adjuk meg a síkvektorok, illetve a térvektorok szokásos vektorterében az összes lineáris sokaságot.

b) Bizonyítsuk be, hogy ugyanazon W altér szerint képzett két lineáris sokaság vagy diszjunkt, vagy egybeesik.

*c) Bizonyítsuk be, hogy ha különböző alterek szerint képezünk két lineáris sokaságot, és ezek nem diszjunktak, akkor a metszetük is lineáris sokaság.

*d) Bizonyítsuk be, hogy a nemüres $L\subseteq V$ akkor és csak akkor lineáris sokaság, ha

*4.2.17 Legyen W altér a T test feletti V vektortérben, és tekintsük a W szerint képezett lineáris sokaságok, vagyis W összes (különböző) eltoltjainak az F halmazát. Definiáljuk F-en az $\oplus$ összeadást és a $\odot$ skalárral való szorzást a következőképpen:

 Bizonyítsuk be, hogy ezekre a műveletekre F vektorteret alkot a T test felett. Ezt a teret a V vektortér W altere szerint vett faktortérnek nevezzük, és V/W-vel jelöljük.