Az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{m}V$ vektorok lineárisan összefüggők, ha léteznek olyan ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m T$ skalárok, amelyek nem mind 0-k, és ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$❶

Az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{m}V$ vektorok lineárisan függetlenek, ha ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$CSAK úgy valósulhat meg, ha mindegyik λ_i=0. Azaz

❶

Egy ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{m}V$ vektorrendszerre tehát a lineáris függetlenség és a lineáris összefüggés közül pontosan az egyik teljesül. A „lineáris” jelzőt a rövidség kedvéért gyakran elhagyjuk.

Ismét megemlítjük, hogy a „vektorrendszer” kifejezésben a „rendszer” szó arra utal, hogy (a halmazzal ellentétben) ugyanaz a vektor többször is előfordulhat az ${\underset{\_}{u}}_i$-k között. Ez a körülmény lényegesen befolyásol(hat)ja a függetlenség kérdését: ha az ${\underset{\_}{u}}_i$-k között szerepelnek azonos vektorok, akkor a vektorrendszer biztosan összefüggő.

Azonnal adódnak az alábbi egyszerű észrevételek. Egyetlen vektor egyedül akkor és csak akkor független, ha nem a nullvektor. Két vektor akkor és csak akkor lineárisan független, ha egyik sem skalárszorosa a másiknak. Több vektor esetén ez már nem igaz: például a síkban tetszőleges három vektor összefüggő.

FONTOS! A lineáris függetlenség fogalma számos „csapdát” rejt, ezért — főleg az elején — célszerű ezzel kapcsolatban mindent nagyon alaposan végiggondolni, nehogy egy hibás „szemlélet” alapján téves elképzelések alakuljanak ki.

A 3.3.5 Tétel tetszőleges vektortérben ugyanúgy érvényes:

I. Ha egy (legalább kételemű) lineárisan független rendszerből egy tetszőleges elemet elhagyunk, akkor a maradék vektorok is lineárisan független rendszert alkotnak.

II. Ha egy lineárisan összefüggő rendszerhez egy tetszőleges vektort hozzáveszünk, akkor az így kapott vektorrendszer is lineárisan összefüggő.

III. Egy legalább kételemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha van benne (legalább egy) olyan vektor, amely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.

IV. Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ lineárisan független, de az ${\underset{\_}{u}}_{m+1}$ vektor hozzávételével kapott rendszer lineárisan összefüggő, akkor ${\underset{\_}{u}}_{m+1}$ előáll az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineáris kombinációjaként.

V. Tegyük fel, hogy valamely $\underset{\_}{v}$ vektor előáll az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineáris kombinációjaként. Ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ lineárisan független.❶

Bizonyítás: Lásd a 3.3.5 Tételnél.❷

Egy $\underset{\_}{v}$ vektor lineárisan függ az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektoroktól, ha $\underset{\_}{v}$ előáll az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineáris kombinációjaként.❶

Ha $\underset{\_}{v}$ lineárisan függ az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektoroktól, akkor a ${\underset{\_}{v},\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineárisan összefüggők, de megfordítva ez nem igaz! A 4.4.3 Tétel III. állítása szerint az összefüggőség azzal ekvivalens, hogy a vektorok között van olyan, amelyik lineárisan függ a többitől. (Egy összefüggő rendszerben egyébként általában több ilyen vektor van, és természetesen az is előfordulhat, hogy az összes vektor ilyen. Lásd a 4.4.4–4.4.6 feladatokat.)

A generált altér fogalmának felhasználásával azonnal adódik, hogy $\underset{\_}{v}$ pontosan akkor függ ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$-től lineárisan, ha $\underset{\_}{v}〈{\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m〉$

Végül megemlítjük, hogy végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független. (A problémát – a generált altérnél látottakhoz hasonlóan – most is az okozza, hogy végtelen sok vektor lineáris kombinációjának nincs értelme.)

Feladatok (Lásd a 3.3 pont feladatait is.)

4.4.1 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ lineárisan független és ${\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{v}}_{100}$ is lineárisan független, akkor ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}, {\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{v}}_{100}$ is lineárisan független.

b) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}, {\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{v}}_{100}$ lineárisan független, akkor ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100} \mathrm{é}\mathrm{s} {\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{v}}_{100}$ is lineárisan független.

c) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ lineárisan független és ${\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{v}}_{100}$ is lineárisan független, akkor ${\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}+{\underset{\_}{v}}_{100}$ is lineárisan független.

d) Ha ${\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}+{\underset{\_}{v}}_{100}$ lineárisan független, akkor ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100} \mathrm{é}\mathrm{s} {\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{v}}_{100}$ is lineárisan független.

e) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ között szerepel olyan vektor, amelyik valamelyik másik ${\underset{\_}{u}}_i$-nek skalárszorosa, akkor ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ lineárisan összefüggő.

f) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ közül bármelyik 99 vektor lineárisan független, akkor ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ is lineárisan független.

g) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ lineárisan független, akkor ${\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_3,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ is lineárisan független.

h) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ lineárisan összefüggő, akkor ${\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_3,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ is lineárisan összefüggő.

i) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ lineárisan független, akkor ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2+{\underset{\_}{u}}_2,\dots ,{\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2+...+{\underset{\_}{u}}_{100}$ is lineárisan független.

j) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{100}$ lineárisan összefüggő, akkor ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2,\dots ,{\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2+...+{\underset{\_}{u}}_{100}$ is lineárisan összefüggő.

4.4.2 Tegyük fel, hogy $\underset{\_}{a}, \underset{\_}{b}$ és $\underset{\_}{c}$ egyike sem a nullvektor. Mit állíthatunk $\underset{\_}{a}$ és $\underset{\_}{c}$ viszonyáról lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából, ha tudjuk, hogy

a) $\underset{\_}{a}, \underset{\_}{b}$ lineárisan összefüggő, $\underset{\_}{b}, \underset{\_}{c}$ lineárisan összefüggő;

b) $\underset{\_}{a}, \underset{\_}{b}$ lineárisan független, $\underset{\_}{b}, \underset{\_}{c}$ lineárisan összefüggő;

c) $\underset{\_}{a}, \underset{\_}{b}$ lineárisan független, $\underset{\_}{b}, \underset{\_}{c}$ lineárisan független?

4.4.3 Tegyük fel, hogy egy végtelen test feletti vektortérben az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektoroknak csak véges sok lineáris kombinációja állítja elő a nullvektort. Következik-e ebből, hogy ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ lineárisan független?

4.4.4 Tegyük fel, hogy az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok között pontosan egy olyan van, amely lineárisan függ a többi m–1 vektortól. Bizonyítsuk be, hogy ekkor ez szükségképpen a nullvektor.

4.4.5 Legyen m≥2 és 0≤s≤m. Adjunk meg m különböző vektort úgy valamely alkalmas vektortérben, hogy közöttük pontosan s darab olyan legyen, amely(ek mindegyike) lineárisan függ a többi m–1 vektortól.

4.4.6 Tegyük fel, hogy az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineárisan összefüggők. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha az ${\underset{\_}{u}}_i$-k közül bármelyik m–1 lineárisan független, akkor mindegyik ${\underset{\_}{u}}_i$ lineárisan függ a többi m–1-től.

b) Ha mindegyik ${\underset{\_}{u}}_i$ lineárisan függ a többi m–1-től, akkor az ${\underset{\_}{u}}_i$-k közül bármelyik m–1 lineárisan független.

c) Ha egy ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$ nemtriviális lineáris kombinációban λ_t≠0, akkor ${\underset{\_}{u}}_t$ lineárisan függ a többi m–1 vektortól.

d) Ha egy ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$ nemtriviális lineáris kombinációban λ_t=0, akkor ${\underset{\_}{u}}_t$ nem függ lineárisan a többi m–1 vektortól.

4.4.7 Tegyük fel, hogy $\underset{\_}{a},\underset{\_}{b},\underset{\_}{c},\underset{\_}{d}$ lineárisan független, $\underset{\_}{a},\underset{\_}{b},\underset{\_}{c},\underset{\_}{e}$ lineárisan összefüggő $\underset{\_}{c},\underset{\_}{d},\underset{\_}{e}$ lineárisan összefüggő és $\underset{\_}{e}\ne \underset{\_}{0}$ Mit állíthatunk az $\underset{\_}{a},\underset{\_}{b},\underset{\_}{d},\underset{\_}{e}$ vektorokról lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából?

4.4.8 Tegyük fel, hogy $\underset{\_}{a},\underset{\_}{b},\underset{\_}{c}$ lineárisan független, de $\underset{\_}{a},\underset{\_}{b},\underset{\_}{d}$ is, $\underset{\_}{a},\underset{\_}{c},\underset{\_}{d}$ is és $\underset{\_}{b},\underset{\_}{c},\underset{\_}{d}$ is lineárisan összefüggő. Határozzuk meg a $\underset{\_}{d}$ vektort.

4.4.9 Tekintsük a komplex együtthatós polinomok szokásos vektorterét a komplex test felett. Vizsgáljuk meg az alábbi vektorrendszereket lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából.

a) (x+1)(x+2), (x+2)(x+3), (x+3)(x+1);

b) (x+1)(x+2), (x+2)(x+3), (x+3)(x+4), (x+4)(x+1);

c) x³+ix²–x–i, –ix³–x²+x+i, –x³–ix²+ix+1, ix³+x²–ix–1;

d) 1000 darab olyan polinom, amelyek mind különböző fokúak;

e) 1000 darab olyan polinom, amelyek mind azonos fokúak;

f) 1000 darab olyan valós együtthatós polinom, amelyek irreducibilisek a valós test felett;

g) 1000 darab olyan racionális együtthatós polinom, amelyek irreducibilisek a racionális test felett.

4.4.10 Legyen V a valós test feletti vektortér, m≥2, 1≤k<m, és tegyük fel, hogy az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineárisan függetlenek. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy

a) ${\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_2+{\underset{\_}{u}}_3,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m+{\underset{\_}{u}}_1$ illetve

b) ${\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2+...+{\underset{\_}{u}}_k,{\underset{\_}{u}}_2+{\underset{\_}{u}}_3+...+{\underset{\_}{u}}_{k+1},\dots ,{\underset{\_}{u}}_m+{\underset{\_}{u}}_1+...+{\underset{\_}{u}}_{k-1}$

 lineárisan független legyen?

M4.4.11 Jelöljük V_T-vel a T^k vektorteret a T test felett a szokásos műveletekre. Legyenek ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ olyan k hosszúságú sorozatok, amelyek minden eleme 0 vagy 1. Ezeket T=Q, T=R és T=F_p-re is tekinthetjük V_T elemeinek. Így mást és mást jelent(het) ezeknek a 0–1 vektoroknak a különböző testek „feletti” lineáris függetlensége. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

 Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ lineárisan független

a) T=R felett, akkor független T=Q felett is;

b) T=Q felett, akkor független T=R felett is;

c) T=Q felett, akkor független T=F₂ felett is;

d) T=F₂ felett, akkor független T=Q felett is;

e) T=Q felett, akkor független véges sok p kivételével minden T=F_p felett is.

4.4.12 Tekintsük a valós számokat a racionális test feletti vektortérként a szokásos műveletekre. Bizonyítsuk be, hogy

a) különböző prímszámok rögzített alapú logaritmusai mindig lineárisan függetlenek;

b) egy valós szám összes pozitív egész kitevős hatványai akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a szám transzcendens. (A transzcendens szám definícióját lásd az A.7 pontban az A.7.6 Definíció után.)

4.4.13 Bizonyítsuk be, hogy az $〈\underset{\_}{u}〉\oplus 〈\underset{\_}{v}〉$ direkt összeg akkor és csak akkor létezik, ha $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ lineárisan független, vagy $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ közül legalább az egyik $\underset{\_}{0}$