Egy V vektortér dimenzióján egy bázisának elemszámát értjük. Ha a vektortérnek nincs véges generátorrendszere, akkor a dimenziója végtelen. Végül a $\underset{\_}{0}$ tér dimenziója 0.❶

A V vektortér dimenzióját dim V-vel jelöljük.

A 4.6.1 Definícióban felhasználtuk, hogy valamennyi bázisnak ugyanaz az elemszáma (4.5.3 Tétel), és így a dimenzió nem függ a bázis választásától. A végtelen dimenzió fogalmát a Hamel-bázisokra az előző pont végén elmondottak segítségével tovább finomíthatjuk.

Példák: a „közönséges háromdimenziós tér” dimenziója valóban 3, Tⁿ-é n, T^k×n-é kn. A T feletti polinomok szokásos vektortere végtelen dimenziós, ebben a legfeljebb r-edfokú polinomok r+1-dimenziós alteret alkotnak.

A (0-nál nagyobb, de véges) dimenzió a bázis elemszáma helyett több más ekvivalens módon is megadható. Ezek közül a két legfontosabb: a lineárisan független elemek maximális száma, illetve a generátorrendszerek elemszámának a minimuma.

Legyen $V\ne 0$ vektortér és n pozitív egész. Ekkor az alábbi feltételek ekvivalensek:

(i) dim V=n;

(ii) V-ben található n független vektor, de bármely n+1 vektor összefügg;

(iii) V-ben található n elemű generátorrendszer, de n–1 elemű nem.❶

Könnyen adódik, hogy (ii)-ben „n+1” helyett „több, mint n”, (iii)-ban „n–1” helyett „kevesebb, mint n” is írható.

Bizonyítás: $\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow \left(\mathrm{i}\mathrm{i}\right)$ A feltétel szerint V-ben van n elemű bázis. Ez definíció szerint n független vektorból áll, és ennél több független vektor a 4.5.4 Tétel alapján nem fordulhat elő. $-\left(\mathrm{i}\mathrm{i}\right)\Rightarrow \left(\mathrm{i}\right)$ Az n független vektorról megmutatjuk, hogy bázis. A feltétel szerint ezekhez bármely vektort hozzávéve már összefüggő rendszert kapunk. A 4.4.3/IV Tétel alapján ekkor a hozzávett vektor előáll az eredeti n vektor lineáris kombinációjaként. Mivel ez bármely vektorra igaz, ezért az eredeti n vektor generátorrendszert, azaz a függetlenség miatt bázist alkot. — (i) és (iii) ekvivalenciája hasonló módon igazolható.❷

Gyakran jól használható az alábbi egyszerű észrevétel.

Legyen n pozitív egész és dim V=n. Ekkor V-ben bármely n elemű független rendszer bázist alkot. Ugyanez áll bármely n elemű generátorrendszerre is.❶

Bizonyítás: Ha az n elemű független rendszer nem lenne bázis, akkor a 4.5.7 Tétel szerint kibővíthető bázissá. Ennek az új bázisnak azonban n-nél több eleme lenne, a dimenzió tehát nem lehetne n. A generátorrendszerre vonatkozó állítás hasonlóan igazolható.❷

A 4.6.3 Tétel alapján egy n-dimenziós térben n vektor pontosan akkor bázis, ha lineárisan független. Ez megkönnyíti, hogy adott vektorokról eldöntsük, bázist alkotnak-e, hisz a bázis definíciójában szereplő két feltétel közül elég az egyiket ellenőrizni. (Ha pedig a vektorok száma nem egyezik meg a tér dimenziójával, akkor biztosan nem alkotnak bázist.) Ezt az észrevételt az előző pont feladatainál is felhasznál(hat)tuk (volna).

A következő tétel a vektortér és egy benne levő altér dimenziójának a kapcsolatát írja le. Az eredmény a várakozásnak megfelelően összhangban van a szemléletes elképzelésünkkel.

I. Legyen W altér V-ben. Ekkor dim W≤dim V.

II. Ha V véges dimenziós, W altér V-ben és dim W=dim V, akkor W=V.❶

Bizonyítás: I. Ha $W=\underset{\_}{0}$ vagy dim V=∞, akkor az állítás nyilvánvaló. A többi esetben V-nek van bázisa. Egy V-beli bázis elemszámánál több független elem W-ben sem lehet, hiszen azok a vektorok V-ben is függetlenek lennének, és ez ellentmondana a 4.5.4 Tételnek. Így a 4.6.2 Tétel szerint valóban dim W≤dim V.

II. Az állítás $V=\underset{\_}{0}$ esetén nyilvánvaló. Egyébként legyen dim V=dim W=n(≠0), és tekintsük W egy (n elemű) bázisát. Ez V-ben is független rendszer, tehát a 4.6.3 Tétel szerint V-nek is bázisa. Azaz W-nek ez a generátorrendszere V-ben is generátorrendszer, és így V nem lehet bővebb W-nél.❷

A 4.6.4 Tétel II. állítása végtelen dimenzió esetén nem igaz: pl. a polinomok szokásos vektorterében valódi alteret alkotnak az x-szel osztható polinomok, ugyanakkor a két dimenzió megegyezik.

Az ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ vektorrendszer rangja r, ha az ${\underset{\_}{a}}_i$ vektorok között található r lineárisan független, de r+1 már nem.❶

A vektorrendszer rangja tehát a vektorok közül a lineárisan függetlenek maximális száma. Általában több ilyen maximális elemszámú független rendszer is kiválasztható az adott vektorokból.

Ez a rangdefiníció a mátrixnál látottak általánosítása: egy mátrix oszloprangja éppen az oszlopvektoraiból álló vektorrendszer rangja.

A következő tétel a generált altér dimenziójára vonatkozik.

Az ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ vektorok által generált $〈{\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n〉$ altér dimenziója az ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ vektorrendszer rangja.❶

Bizonyítás: Legyen pl. ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_r$ egy maximális elemszámú független rendszer. Belátjuk, hogy ez bázist alkot $W=〈{\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n〉$-ben. A függetlenség teljesül, tehát csak azt kell igazolnunk, hogy W minden eleme felírható ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_r$ lineáris kombinációjaként. Ezt nyilván elég W generátorelemeire megmutatni. Mivel bármely i-re az ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_r$ vektorokhoz ${\underset{\_}{a}}_i$-t hozzávéve ez az r+1 vektor már biztosan összefüggő, így a hozzávett vektor valóban előáll ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_r$ lineáris kombinációjaként.❷

A fentiek felhasználásával újabb bizonyítást nyerhetünk a lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának a mátrixranggal megadott feltételére (lásd a 3.4.3 Tételt):

Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha az együtthatómátrix rangja megegyezik a kibővített mátrix rangjával.❶

Bizonyítás: Írjuk fel az egyenletrendszert

alakban, ahol ${\underset{\_}{a}}_i$ az együtthatómátrix i-edik oszlopa. Az egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha

Ez tovább ekvivalens az

feltétellel, hiszen két altér pontosan akkor egyenlő, ha kölcsönösen tartalmazzák egymás generátorait. Itt a bal oldali altér része a jobb oldalinak, és mindketten véges dimenziósak, ezért a 4.6.4/II Tétel szerint pontosan akkor egyenlők, ha a dimenziójuk megegyezik, azaz

A 4.6.6 Tétel szerint ez azt jelenti, hogy a két vektorrendszer rangja ugyanannyi. Mivel ez a két rang éppen az együtthatómátrix, illetve a kibővített mátrix (oszlop)rangja, ezzel a tételünket bebizonyítottuk.❷

Feladatok

4.6.1 Mennyi az alábbi vektorterek dimenziója? (A műveletek a „szokásosak”.)

a) A komplex számok R felett;

b) a komplex számok Q felett;

c) a szimmetrikus n×n-es mátrixok;

d) az F_p test feletti polinomok;

e) az F_p test feletti polinomfüggvények;

f) az R feletti homogén 6-odfokú 4-változós polinomok (azaz amelyekben minden tag „összfoka” pontosan 6) és a 0;

g) az R feletti legfeljebb 6-odfokú 4-változós polinomok (azaz amelyekben minden tag „összfoka” legfeljebb 6) és a 0;

h) azok a [0,1] intervallumban értelmezett szakaszonként lineáris, folytonos „töröttvonalak”, amelyek legfeljebb a 19 nevezőjű racionális számoknál „törnek meg”;

i) egy k egyenletet és n ismeretlent tartalmazó homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai, ahol az együtthatómátrix rangja r;

j) egy mátrix magtere (lásd a 4.2 pont P4 példáját);

k) egy mátrix képtere.

4.6.2 Bázist alkotnak-e a legfeljebb 12-edfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektorterében az alábbi vektorrendszerek?

a) (x–1)(x–2)…(x–12), (x–2)(x–3)…(x–13), …, (x–13)(x–14)…(x–24);

b) (x–1)¹², (x–2)¹², …, (x–13)¹²;

c) (x–1)¹², (x–1)¹¹(x–2), …, (x–2)¹²;

d) (x²–1)⁶, (x²–2)⁶, …, (x²–8)⁶, (x–1)¹², …, (x–5)¹².

4.6.3 Legyenek 0≤k≤n tetszőleges egészek. Bizonyítsuk be, hogy minden n-dimenziós vektortérben van k-dimenziós altér.

4.6.4 Legyen V a T test feletti n×n-es mátrixok szokásos T^n×n vektortere és $B{T}^{n\times n}$ egy rögzített mátrix. Tekintsük V-ben azokat az A mátrixokat, amelyekre BA=0, ezek egy W alteret alkotnak. Bizonyítsuk be, hogy dim W osztható n-nel.

4.6.5 Legyenek W₁ és W₂ alterek V-ben, dim V=40, dim W₁=23 és dim W₂=18. Bizonyítsuk be, hogy $W_1{W}_2\ne \underset{\_}{0}$

4.6.6 Legyenek W₁ és W₂ alterek V-ben. Bizonyítsuk be, hogy

a) $\dim 〈W_1,W_2〉\le \dim W_1+\dim W_2$

b) $\dim \left(W_1\oplus W_2\right)=\dim W_1+\dim W_2$

c) $\dim 〈W_1,W_2〉=\dim W_1+\dim W_2-\dim \left(W_1{W}_2\right)$

M*4.6.7

a) Legyen V egy 100-dimenziós vektortér a valós test felett. Hány olyan vektor létezik V-ben, amelyek közül bármely 100 bázist alkot?

b) Oldjuk meg ugyanezt a feladatot az F₂, az F₉₇, illetve az F₁₀₁ test feletti vektortérre is.

4.6.8 A Fibonacci-számok sorozatát a

 rekurzióval definiáljuk. Adjunk explicit képletet ϕ_n-re. (Útmutatás: Tekintsük az összes olyan α₀, α₁, … valós számsorozatot, amely kielégíti az α_i+1=α_i+α_i–1, i=1,2,… feltételt. (i) Számítsuk ki az így adódó vektortér dimenzióját. (ii) Ezután keressünk olyan bázist, amelynek elemei „szép” sorozatok, és írjuk fel a Fibonacci-sorozatot ennek a bázisnak a segítségével.)

4.6.9 Adjuk meg paraméteresen az összes 3×3-as bűvös négyzetet (ahol az elemek valós számok, és minden sorösszeg, oszlopösszeg és átlóösszeg egyenlő).

4.6.10 Hány dimenziós alteret generálnak a 4.3.1 feladat a), b), illetve c) részében szereplő vektorrendszerek?

4.6.11 Egy V vektortér ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_k$ elemeiről tudjuk, hogy az ${\underset{\_}{a}}_i+{\underset{\_}{a}}_j, 1\le i\le j\le k$ vektorok bázist alkotnak V-ben. Bizonyítsuk be, hogy dim V=1 vagy 3.

4.6.12 Bizonyítsuk be, hogy egy vektorrendszer rangja nem változik meg, ha

a) valamelyik vektort egy λ≠0 skalárral megszorzunk;

b) az egyik vektorhoz egy másik vektor λ-szorosát hozzáadjuk.

4.6.13 Legyen $A,B{T}^{k\times n}$ és jelöljük r(A)-val az A mátrix rangját. Bizonyítsuk be, hogy r(A+B)≤r(A)+r(B).

*4.6.14 Hány r-dimenziós altér van az F_p test feletti $F_p^n$ vektortérben?

**4.6.15 Hány olyan k×n-es mátrix van, amelynek az elemei az F_p testből valók és a rangja r?

4.6.16

a) Bizonyítsuk be, hogy ha egy mátrix minden eleme 0 vagy 1, akkor az F₂ test feletti rangja legfeljebb annyi, mint a valós test feletti rangja.

b) Adjunk meg olyan 0–1 mátrixot, amelynek az F₂ test feletti rangja 1000-rel kevesebb, mint a valós test feletti rangja.

M**c) Melyik az a legkisebb n, amelyre van olyan n×n-es 0–1 mátrix, amely rendelkezik a b)-beli tulajdonsággal?