Legyen ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ egy rögzített bázis a V vektortérben. Ekkor minden $\underset{\_}{v}V$ vektor egyértelműen írható fel $\underset{\_}{v}={\alpha }_1{\underset{\_}{b}}_1+...+{\alpha }_n{\underset{\_}{b}}_n$ alakban. Az α_i skalárokat a $\underset{\_}{v}$ vektornak a ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.❶

Ha a közönséges háromdimenziós térben a szokásos merőleges egységvektorok alkotta bázist vesszük, akkor a koordináták éppen a szokásos koordináták lesznek. Ha Tⁿ-ben azokat a bázisvektorokat tekintjük, amelyek egy komponense 1, a többi 0, akkor egy vektor koordinátái az őt alkotó komponensek lesznek. Más bázisban természetesen általában mások lesznek egy vektor koordinátái.

Ha a bázist rögzítjük, akkor a vektor helyett kényelmesen dolgozhatunk a koordinátáival. Két vektor összegének a koordinátáit éppen a megfelelő koordináták összegeként kapjuk, és hasonló érvényes a skalárszorosra is. Így a koordinátázással egy T feletti n-dimenziós V vektorteret tulajdonképpen Tⁿ-re vezettünk vissza. Más szóval V és Tⁿ algebrai szempontból „ugyanaz”, csak az elemeket és a műveleteket „másképp jelöjük”. Az egymással „ilyen” kapcsolatban álló vektortereket izomorfnak (=azonos alakúnak) nevezzük. Mindezt az 5.2 pontban fogjuk pontosítani.

Feladatok

4.7.1 Hogyan változnak egy vektor koordinátái, ha a bázisban

a) két elemet megcserélünk;

b) az egyik báziselemet λ(≠0)-val megszorozzuk;

c) az egyik báziselemhez egy másik λ-szorosát hozzáadjuk.

4.7.2 Adjuk meg az összes olyan vektort, amelynek a koordinátái bármely bázisban ugyanazok.

4.7.3 Tekintsük C³-ban az $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ 8\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ bázist. Adjuk meg ebben a bázisban az $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ vektorok koordinátáit.

4.7.4 Legyen $\underset{\_}{v}\ne \underset{\_}{0}$ adott vektor egy n-dimenziós vektortérben, és tekintsük az összes olyan ${\underset{\_}{b}}_1 , . . . , {\underset{\_}{b}}_n$ bázist, amely szerint $\underset{\_}{v}$ első két koordinátája 1. Mik ${\underset{\_}{b}}_1$ lehetséges értékei?

4.7.5

a) A szultán gondolt R¹⁰⁰¹-ben egy bázist, amit Seherezádénak 1001 éjszaka alatt ki kell találnia, különben kivégzik. Éjszakánként egyetlen — általa választott — vektorról megkérdezheti, hogy mik a koordinátái. Életben marad-e Seherezádé?

b) Mi a helyzet akkor, ha mindig csak az első koordinátára kérdezhet rá, és a kegyelem feltétele az első bázisvektor kitalálása?