Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Legyen egy rögzített bázis a V vektortérben. Ekkor minden vektor egyértelműen írható fel alakban. Az αi skalárokat a vektornak a bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.❶
Ha a közönséges háromdimenziós térben a szokásos merőleges egységvektorok alkotta bázist vesszük, akkor a koordináták éppen a szokásos koordináták lesznek. Ha Tn-ben azokat a bázisvektorokat tekintjük, amelyek egy komponense 1, a többi 0, akkor egy vektor koordinátái az őt alkotó komponensek lesznek. Más bázisban természetesen általában mások lesznek egy vektor koordinátái.
Ha a bázist rögzítjük, akkor a vektor helyett kényelmesen dolgozhatunk a koordinátáival. Két vektor összegének a koordinátáit éppen a megfelelő koordináták összegeként kapjuk, és hasonló érvényes a skalárszorosra is. Így a koordinátázással egy T feletti n-dimenziós V vektorteret tulajdonképpen Tn-re vezettünk vissza. Más szóval V és Tn algebrai szempontból „ugyanaz”, csak az elemeket és a műveleteket „másképp jelöjük”. Az egymással „ilyen” kapcsolatban álló vektortereket izomorfnak (=azonos alakúnak) nevezzük. Mindezt az 5.2 pontban fogjuk pontosítani.
Feladatok
4.7.1 Hogyan változnak egy vektor koordinátái, ha a bázisban
a) két elemet megcserélünk;
b) az egyik báziselemet λ(≠0)-val megszorozzuk;
c) az egyik báziselemhez egy másik λ-szorosát hozzáadjuk.
4.7.2 Adjuk meg az összes olyan vektort, amelynek a koordinátái bármely bázisban ugyanazok.
4.7.3 Tekintsük C3-ban az bázist. Adjuk meg ebben a bázisban az és vektorok koordinátáit.
4.7.4 Legyen adott vektor egy n-dimenziós vektortérben, és tekintsük az összes olyan bázist, amely szerint első két koordinátája 1. Mik lehetséges értékei?
4.7.5
a) A szultán gondolt R1001-ben egy bázist, amit Seherezádénak 1001 éjszaka alatt ki kell találnia, különben kivégzik. Éjszakánként egyetlen — általa választott — vektorról megkérdezheti, hogy mik a koordinátái. Életben marad-e Seherezádé?
b) Mi a helyzet akkor, ha mindig csak az első koordinátára kérdezhet rá, és a kegyelem feltétele az első bázisvektor kitalálása?