Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Az, hogy egy leképezés lineáris, az első pillanatban nem tűnik nagyon erős megkötésnek. A látszat azonban csal. Ez rögtön kiderül, ha valamely vektortéren elemenként próbálunk értelmezni egy lineáris leképezést. Hacsak nem valami „szép szabály” szerint dolgozunk, szinte biztos, hogy a leképezésünk nem „sikeredik” lineárissá (lásd pl. az 5.1.5 feladatot). A művelettartás követelménye láthatatlan szálakkal hálózza be a leképezés szerkezetét, amelybe könnyen belegabalyodhatunk. Ugyanez a probléma jelentkezik akkor is, ha egy valóban lineáris leképezést valahogy kezelni akarunk. Reménytelenül el lehet veszni a(z általában) végtelen sok elem és a művelettartásból adódó áttekinthetetlennek tűnő szabályrengeteg útvesztőjében.
Mindezeken a gondokon teljes mértékben segít az alábbi fontos tétel. Ez lényegében azt fejezi ki, hogy a lineáris leképezések egy (rögzített) bázis elemeinek a képeivel jellemezhetők: egyrészt a báziselemek képei tetszőlegesen, minden megkötöttség nélkül megválaszthatók, másrészt viszont ezek már egyértelműen meghatározzák a többi elem képét, azaz a teljes lineáris leképezést.
Legyen bázis a V1 vektortérben, és legyenek tetszőleges elemek a(z ugyanazon test feletti) V2 vektortérben. Ekkor pontosan egy olyan lineáris leképezés létezik, amelyre
azaz, amely a báziselemeket rendre éppen a kijelölt elemekbe viszi.❶
Bizonyítás: Vegyünk V1-ből egy tetszőleges vektort, ez egyértelműen felírható alakban. Ha létezik a mondott tulajdonságú lineáris leképezés, akkor a feltételek és a művelettartás miatt szükségképpen
teljesül. Ez azt mutatja, hogy egyértelműen meg van határozva, tehát legfeljebb egy ilyen létezhet. Sőt, az is kiderült, hogy csak az
képlettel definiált leképezés jöhet szóba. Erről kell tehát megmutatni, hogy valóban lineáris leképezés. Először is vegyük észre, hogy a βi együtthatók a -k bázis volta miatt léteznek és egyértelműek, tehát tényleg egyértelműen definiálva van. Az összegtartás igazolásához legyen ekkor Az leképezés definíciója alapján
A skalárszorostartás ugyanígy igazolható.❷
Ennek a tételnek az alapján a lineáris leképezéseket általában úgy fogjuk megadni, hogy a báziselemek képeit választjuk meg. Ezen múlik majd a lineáris leképezések mátrixok segítségével történő jellemzése is (lásd az 5.7 pontot).
Feladatok
5.3.1 Legyen W a V véges dimenziós vektortér egy nemtriviális altere. Bizonyítsuk be, hogy V-nek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynek W a magtere, illetve a képtere (vö. az 5.1.5 feladattal).
5.3.2 Melyek azok a V1→V2 lineáris leképezések, amelyeket már a magterük, illetve a képterük teljesen meghatároz (azaz semelyik másik V1→V2 lineáris leképezésnek nem lehet ugyanez a mag-, illetve képtere)?
5.3.3
a) Legyen generátorrendszer V1-ben, és legyenek tetszőleges elemek a(z ugyanazon test feletti) V2-ben. Hány olyan lineáris leképezés létezik, amelyre i=1,2,…,n?
b) Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést, ha az -kről csak annyit tudunk, hogy lineárisan függetlenek.
5.3.4 Hány olyan lineáris transzformáció van az R2 vektortéren, amelyre
a) és
b) és
c) és
5.3.5 Legyenek k és n pozitív egészek és T a modulo p maradékosztályok teste. Hány lineáris leképezés létezik?
5.3.6 Legyenek V1 és V2 tetszőleges véges dimenziós vektorterek egy T test felett. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan lineáris leképezés, amelyre és közül legalább az egyik teljesül.