Legyen ${\underset{\_}{b}}_1, . . .,{\underset{\_}{b}}_n$ bázis a V₁ vektortérben, és legyenek ${\underset{\_}{c}}_1, . . .,{\underset{\_}{c}}_n$tetszőleges elemek a(z ugyanazon test feletti) V₂ vektortérben. Ekkor pontosan egy olyan $\mathcal{A}\mathcal{ }:V_1\to V_2$ lineáris leképezés létezik, amelyre

azaz, amely a ${\underset{\_}{b}}_i$ báziselemeket rendre éppen a kijelölt ${\underset{\_}{c}}_i$ elemekbe viszi.❶

Bizonyítás: Vegyünk V₁-ből egy tetszőleges $\underset{\_}{u}$ vektort, ez egyértelműen felírható $\underset{\_}{u}={\beta }_1{\underset{\_}{b}}_1+ . . . +{\beta }_n{\underset{\_}{b}}_n$ alakban. Ha létezik a mondott tulajdonságú $\mathcal{A}$ lineáris leképezés, akkor a feltételek és a művelettartás miatt szükségképpen

teljesül. Ez azt mutatja, hogy $\mathcal{A}\underset{\_}{u}$ egyértelműen meg van határozva, tehát legfeljebb egy ilyen $\mathcal{A}$ létezhet. Sőt, az is kiderült, hogy csak az

képlettel definiált leképezés jöhet szóba. Erről kell tehát megmutatni, hogy valóban lineáris leképezés. Először is vegyük észre, hogy a β_i együtthatók a $\underset{\_}{b}$-k bázis volta miatt léteznek és egyértelműek, tehát $\mathcal{A}\underset{\_}{u}$ tényleg egyértelműen definiálva van. Az összegtartás igazolásához legyen $\underset{\_}{v}={\gamma }_1{\underset{\_}{b}}_1+ . . . +{\gamma }_n{\underset{\_}{b}}_n$ ekkor $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}=\left({\beta }_1+{\gamma }_1\right){\underset{\_}{b}}_1+ . . . +\left({\beta }_n+{\gamma }_n\right){\underset{\_}{b}}_n$ Az $\mathcal{A}$ leképezés definíciója alapján

A skalárszorostartás ugyanígy igazolható.❷

Ennek a tételnek az alapján a lineáris leképezéseket általában úgy fogjuk megadni, hogy a báziselemek képeit választjuk meg. Ezen múlik majd a lineáris leképezések mátrixok segítségével történő jellemzése is (lásd az 5.7 pontot).

Feladatok

5.3.1 Legyen W a V véges dimenziós vektortér egy nemtriviális altere. Bizonyítsuk be, hogy V-nek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynek W a magtere, illetve a képtere (vö. az 5.1.5 feladattal).

5.3.2 Melyek azok a V₁→V₂ lineáris leképezések, amelyeket már a magterük, illetve a képterük teljesen meghatároz (azaz semelyik másik V₁→V₂ lineáris leképezésnek nem lehet ugyanez a mag-, illetve képtere)?

5.3.3

a) Legyen ${\underset{\_}{u}}_1 , . . . , {\underset{\_}{u}}_n$ generátorrendszer V₁-ben, és legyenek ${\underset{\_}{c}}_1 , . . . , {\underset{\_}{c}}_n$tetszőleges elemek a(z ugyanazon test feletti) V₂-ben. Hány olyan $\mathcal{A}\mathcal{ }:\mathcal{ }{V}_1\to V_2$ lineáris leképezés létezik, amelyre $\mathcal{A}{\underset{\_}{u}}_i={\underset{\_}{c}}_i$i=1,2,…,n?

b) Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést, ha az ${\underset{\_}{u}}_i$-kről csak annyit tudunk, hogy lineárisan függetlenek.

5.3.4 Hány olyan $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció van az R² vektortéren, amelyre

a) $\mathcal{A}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ és $\mathcal{A}\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

b) $\mathcal{A}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ és $\mathcal{A}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

c) $\mathcal{A}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ és $\mathcal{A}\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 10\end{array}\right)$

5.3.5 Legyenek k és n pozitív egészek és T a modulo p maradékosztályok teste. Hány $\mathcal{A}\mathcal{ }:\mathcal{ }{T}^n\to T^k$ lineáris leképezés létezik?

5.3.6 Legyenek V₁ és V₂ tetszőleges véges dimenziós vektorterek egy T test felett. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $\mathcal{A}\mathcal{ }:\mathcal{ }{V}_1\to V_2$ lineáris leképezés, amelyre $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}=\underset{\_}{0}$ és $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}=V_2$ közül legalább az egyik teljesül.