Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Tegyük fel, hogy V1 véges dimenziós és V2 tetszőleges vektortér a T test felett, továbbá legyen tetszőleges lineáris leképezés V1-ről V2-be. Ekkor
❶
Bizonyítás: Legyen Tekintsük -nak egy bázisát, és egészítsük ezt ki a vektorokkal a V1 egy bázisává. (Ha illetve akkor ezt az s=0, illetve s=n esetnek tekintjük, és a bizonyítás további részeinek megfelelő adaptálását, valamint a triviális n=0 eset vizsgálatát az Olvasóra bízzuk.) A tétel igazolásához elég azt belátnunk, hogy az vektorok -nak egy bázisát alkotják, hiszen ezek darabszáma éppen n–s.
A generátorrendszerség bizonyításához vegyünk -ból egy tetszőleges elemet. Mivel generátorrendszer V1-ben, így felírható alakban. Ekkor
ahol az utolsó egyenlőség -ból következik. Ezzel megmutattuk, hogy a szóban forgó vektorok generátorrendszert alkotnak -ban.
A lineáris függetlenség igazolásához tegyük fel, hogy
Az linearitása miatt itt a bal oldal átírható alakba, azaz Ekkor azonban felírható alakban is. A kétféle előállítást összevetve, a vektorok lineáris függetlensége alapján kapjuk, hogy minden γi szükségképpen 0.❷
A most bizonyított dimenzió-összefüggésnek egyik fontos következménye az
Legyen V véges dimenziós vektortér és lineáris transzformáció V-n. Ekkor
❶
Bizonyítás: Ha akkor tehát vagyis A megfordítás is hasonlóan igazolható (az utolsó lépésben fel kell használni a 4.6.4/II Tételt).❷
Az 5.4.2 Tétel azt mutatja, hogy véges dimenziós tér lineáris transzformációja esetén az izomorfizmusra az 5.2.2 Tételben adott két feltétel bármelyikéből következik a másik. Végtelen dimenzióra ez nem igaz, lásd pl. az 5.1.4 feladatot.
Feladatok
Az alábbi feladatokban szereplő vektorterekről feltesszük, hogy véges dimenziósak.
5.4.1 Mely vektortereknek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynél a kép- és magtér egybeesik?
5.4.2 Legyenek és lineáris leképezések. Az alábbi feltételek közül melyekből következik, hogy V1 és V2 izomorf?
a) és
b) és
c) és
5.4.3 Legyen lineáris transzformáció V-n és generátorrendszer V-ben. Következik-e ebből, hogy az vektorok is generátorrendszert alkotnak V-ben?
5.4.4 Oldjuk meg az 5.2.3 feladatot abban az esetben, ha a két vektortér megegyezik.
5.4.5 Egy lineáris leképezésről a következőket tudjuk:
(i) Bármely 4 elem képe lineárisan összefüggő.
(ii) Bármely 6 lineárisan független V1-beli elem között van olyan, amelynek a képe nem a nulla.
Bizonyítsuk be, hogy dim V1≤8.
5.4.6 Tegyük fel, hogy az lineáris leképezésekre és Bizonyítsuk be, hogy ekkor és
5.4.7 Tegyük fel, hogy az lineáris leképezésekre
és
Bizonyítsuk be, hogy ekkor