Tegyük fel, hogy V₁ véges dimenziós és V₂ tetszőleges vektortér a T test felett, továbbá legyen $\mathcal{A}$ tetszőleges lineáris leképezés V₁-ről V₂-be. Ekkor

❶

Bizonyítás: Legyen $\dim V_1=n ,\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}=s$ Tekintsük $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}$-nak egy ${\underset{\_}{b}}_1, . . .,{\underset{\_}{b}}_s$ bázisát, és egészítsük ezt ki a ${\underset{\_}{b}}_{s+1}, . . .,{\underset{\_}{b}}_n$ vektorokkal a V₁ egy bázisává. (Ha $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}=\underset{\_}{0}$ illetve $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}=V_1$ akkor ezt az s=0, illetve s=n esetnek tekintjük, és a bizonyítás további részeinek megfelelő adaptálását, valamint a triviális n=0 eset vizsgálatát az Olvasóra bízzuk.) A tétel igazolásához elég azt belátnunk, hogy az $\mathcal{A}{\underset{\_}{b}}_{s+1},\mathcal{ }.\mathcal{ }.\mathcal{ }.,\mathcal{A}{\underset{\_}{b}}_n$ vektorok $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}$-nak egy bázisát alkotják, hiszen ezek darabszáma éppen n–s.

A generátorrendszerség bizonyításához vegyünk $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}$-ból egy tetszőleges $\mathcal{A}\underset{\_}{u}$ elemet. Mivel ${\underset{\_}{b}}_1, . . .,{\underset{\_}{b}}_n$ generátorrendszer V₁-ben, így $\underset{\_}{u}$ felírható $\underset{\_}{u}={\lambda }_1{\underset{\_}{b}}_1+ . . .+{\lambda }_n{\underset{\_}{b}}_n$ alakban. Ekkor

ahol az utolsó egyenlőség $\mathcal{A}{\underset{\_}{b}}_1=\mathcal{ }.\mathcal{ }.\mathcal{ }.\mathcal{ }=\mathcal{A}{\underset{\_}{b}}_s=\underset{\_}{0}$-ból következik. Ezzel megmutattuk, hogy a szóban forgó vektorok generátorrendszert alkotnak $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}$-ban.

A lineáris függetlenség igazolásához tegyük fel, hogy

Az $\mathcal{A}$ linearitása miatt itt a bal oldal átírható $\mathcal{A}\left({\gamma }_{s+1}{\underset{\_}{b}}_{s+1}+ . . .+{\gamma }_n{\underset{\_}{b}}_n\right)$ alakba, azaz $\underset{\_}{x}={\gamma }_{s+1}{\underset{\_}{b}}_{s+1}+ . . .+{\gamma }_n{\underset{\_}{b}}_n\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{A}\mathcal{ }$ Ekkor azonban $\underset{\_}{x}$ felírható $\underset{\_}{x}={\gamma }_1{\underset{\_}{b}}_1+ . . .+{\gamma }_s{\underset{\_}{b}}_s$ alakban is. A kétféle előállítást összevetve, a ${\underset{\_}{b}}_1, . . .,{\underset{\_}{b}}_n$ vektorok lineáris függetlensége alapján kapjuk, hogy minden γ_i szükségképpen 0.❷

A most bizonyított dimenzió-összefüggésnek egyik fontos következménye az

Legyen V véges dimenziós vektortér és $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció V-n. Ekkor

❶

Bizonyítás: Ha $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}=V$ akkor $\dim \mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}=\dim V$ tehát $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}=0$ vagyis $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}=\underset{\_}{0}$ A megfordítás is hasonlóan igazolható (az utolsó lépésben fel kell használni a 4.6.4/II Tételt).❷

Az 5.4.2 Tétel azt mutatja, hogy véges dimenziós tér lineáris transzformációja esetén az izomorfizmusra az 5.2.2 Tételben adott két feltétel bármelyikéből következik a másik. Végtelen dimenzióra ez nem igaz, lásd pl. az 5.1.4 feladatot.

Feladatok

Az alábbi feladatokban szereplő vektorterekről feltesszük, hogy véges dimenziósak.

5.4.1 Mely vektortereknek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynél a kép- és magtér egybeesik?

5.4.2 Legyenek $\mathcal{A}\mathcal{ }:\mathcal{ }{V}_1\to V_2$ és $\mathcal{B}\mathcal{ }:\mathcal{ }{V}_2\to V_1$ lineáris leképezések. Az alábbi feltételek közül melyekből következik, hogy V₁ és V₂ izomorf?

a) $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}=V_2$ és $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathcal{B}=V_1$

b) $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}=\underset{\_}{0}$ és $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{B}=\underset{\_}{0}$

c) $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}=V_2$ és $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{B}=\underset{\_}{0}$

5.4.3 Legyen $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció V-n és $\mathcal{A}{\underset{\_}{u}}_1\mathcal{ },\mathcal{ }.\mathcal{ }.\mathcal{ }.\mathcal{ },\mathcal{A}{\underset{\_}{u}}_k$ generátorrendszer V-ben. Következik-e ebből, hogy az ${\underset{\_}{u}}_1 , . . . ,{\underset{\_}{u}}_k$ vektorok is generátorrendszert alkotnak V-ben?

5.4.4 Oldjuk meg az 5.2.3 feladatot abban az esetben, ha a két vektortér megegyezik.

5.4.5 Egy $\mathcal{A}\mathcal{ }:\mathcal{ }{V}_1\to V_2$ lineáris leképezésről a következőket tudjuk:

 (i) Bármely 4 elem képe lineárisan összefüggő.

 (ii) Bármely 6 lineárisan független V₁-beli elem között van olyan, amelynek a képe nem a nulla.

 Bizonyítsuk be, hogy dim V₁≤8.

5.4.6 Tegyük fel, hogy az $\mathcal{A},\mathcal{B}\mathcal{ }:V_1\to V_2$ lineáris leképezésekre $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathcal{A}\mathcal{ }\subseteq \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathcal{B}$ és $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathcal{A}\subseteq \mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathcal{B}\mathcal{ }$ Bizonyítsuk be, hogy ekkor $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathcal{A}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathcal{B}$ és $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathcal{A}=\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathcal{B}\mathcal{ }$

5.4.7 Tegyük fel, hogy az $\mathcal{A},\mathcal{B}\mathcal{ }:V_1\to V_2$ lineáris leképezésekre

 $V_1=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathcal{A}\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathcal{B}$ és $V_2=\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathcal{A}\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathcal{B}\mathcal{ }$

 Bizonyítsuk be, hogy ekkor $V_1\cong V_2$