Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
A lineáris leképezések szorzása (egymás után alkalmazása, kompozíciója) különösen a (V→V) transzformációk esetén játszik fontos szerepet, amelyek erre a szorzásra, valamint az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve egy algebrának nevezett speciális struktúrát alkotnak. A leképezések szorzása nagyon hasonló tulajdonságokat mutat, mint amilyeneket a mátrixszorzásnál tapasztaltunk. Ennek igazi oka a következő pontban derül majd ki.
Legyenek V1, V2 és V3 ugyanazon T test feletti vektorterek, Ekkor az és lineáris leképezések szorzatán azt az -vel jelölt V1→V3 leképezést értjük, amely minden vektorhoz az vektort rendeli hozzá. Azaz
❶
Az szorzatot tehát úgy kapjuk, hogy előbb a második tényezőként szereplő leképezést alkalmazzuk, majd ezután az -t. Ezt a mesterkéltnek tűnő sorrendiséget azonban az képlet azonnal megmagyarázza. A „természetes” sorrend akkor adódna, ha a leképezést (mint operátort) a vektor mögé írnánk, ekkor a definíció nyilván alakot öltene. Az analízis hagyományos függvényjelölését követve megmaradunk az formánál (és ennek megfelelően egy-két esetben látszólag mesterkélt módon járunk el új fogalmak definiálásánál).
Hangsúlyozzuk, hogy két lineáris leképezés szorzatát csak akkor értelmeztük, ha eleget tettek az 5.6.1 Definíció feltételeinek, vagyis az a vektortér, amelybe a második tényező képez, ugyanaz, mint amelyiken az első tényező hat.
Két lineáris leképezés szorzata is lineáris, azaz ha és akkor ❶
Bizonyítás: A szorzás definíciója és illetve linearitása miatt
Az összegtartás hasonlóan igazolható.❷
A szorzás tulajdonságainak vizsgálatát kezdjük a kommutativitás kérdésével. Ha és V3≠V1, akkor a szorzat nincs is értelmezve. Ha V3=V1, de V1≠V2, akkor ugyanakkor tehát semmiképpen sem lehetnek egyenlők. Marad az az eset, amikor V1=V2=V3=V, azonban és általában ekkor is különbözők (lásd pl. az 5.6.1–5.6.4 feladatokat). Vagyis a lineáris leképezések szorzása (messzemenően) nem kommutatív.
A szorzással (és részben más műveletekkel) kapcsolatos további „szokásos” azonosságok viszont igazak:
Ha és tetszőleges olyan lineáris leképezések, amelyekre az alábbi egyenlőségek valamelyik oldala értelmezve van, akkor a másik oldal is értelmes, és az egyenlőség teljesül.
I. (asszociativitás);
II. (disztributivitások );
III. ❶
Mivel a szorzás nem kommutatív, ezért a két disztributivitást külön kell bebizonyítani. Ugyanez az oka annak, hogy III-ban csak a skalárt „emelhetjük át” a leképezéseken, és sorrendjén nem változtathatunk.
Bizonyítás: I-ben bármelyik oldal pontosan akkor értelmes, ha és ekkor minden
illetve
tehát I-ben az egyenlőség két oldalán valóban ugyanaz a leképezés áll. [Itt tulajdonképpen arról van szó, hogy függvények kompozíciója (egymás után alkalmazása) mindig asszociatív, hiszen akármelyik zárójelezést felbontva a függvényeket végül is a megfelelő sorrendben egymás után kell alkalmazni.]
II. és III. igazolása hasonló módon történik, csak ott a szorzás definícióján kívül a leképezések linearitását is fel kell használni (lásd az 5.6.6 feladatot).❷
A továbbiakban egy adott V vektortér lineáris transzformációival foglalkozunk. Az összes ilyen transzformációk halmazát (Hom (V, V) helyett röviden) Hom V-vel jelöljük.
Hom V a leképezések közötti összeadásra és skalárral való szorzásra nézve vektortér, az összeadásra és a szorzásra nézve gyűrű, továbbá teljesül a
azonosság.❶
Bizonyítás: A vektortérre vonatkozó állítás az 5.5.3 Tétel speciális esete. Az, hogy a szorzás valóban művelet Hom V-ben, az 5.6.2 Tételből következik. A gyűrűben a szorzásra vonatkozó azonosságok, valamint a szorzást és a skalárral való szorzást összekapcsoló azonosság az 5.6.3 Tételből adódik.❷
Az alábbiakban általánosan összefoglaljuk az 5.6.4 Tételben kimondott tulajdonságokat.
Egy A nemüres halmaz algebra (vagy hiperkomplex rendszer) a T kommutatív test felett, ha
(i) értelmezve van A-n egy összeadás, egy szorzás és egy T elemeivel való szorzás;
(ii) A az összeadásra és a szorzásra nézve gyűrű;
(iii) A az összeadásra és a T elemeivel való szorzásra nézve vektortér;
(iv) érvényes a szorzást és a T elemeivel való szorzást összekapcsoló
azonosság.❶
Példák algebrára
P1. Hom V a megadott műveletekre (T felett).
P2. Adott méretű négyzetes mátrixok (Tn×n) a szokásos műveletekre (T felett).
P3. Polinomok (T[x]) a szokásos műveletekre (T felett).
P4. A komplex számok a valós test felett a szokásos műveletekre. Általánosabban: ha T1résztesteT2-nek (tehát T1 nemcsak részhalmaza T2-nek, hanem a T1-beli műveletek éppen a T2-beli műveletek megszorításai), akkor T2 algebra T1 felett.
P5. A komplex számok általánosítása a kvaterniók. Ezek α0+α1i+α2j+α3k alakú kifejezések, ahol Az összeadást és a valós számmal való szorzást „komponensenként” értelmezzük. A szorzást úgy definiáljuk, hogy „minden tagot minden taggal meg kell szorozni”, az együttható valósok „átemelendők” i-n, j-n és k-n, és végül az „alapvektorokat” a következő szabály szerint kell összeszorozni:
Megmutatható, hogy így a valós test felett egy 4-dimenziós algebrát kapunk, amely nemkommutatív test.
A kvaterniók alapján szokták az algebrákra néha a hiperkomplex (komplexen túli) rendszer elnevezést is használni.
A kvaterniók Frobenius alábbi nevezetes tétele szerint a számfogalom lezárásának tekinthetők:
Legyen A egy olyan véges dimenziós algebra R felett, amely egyúttal (nem feltétlenül kommutatív) test. Ekkor A mint algebra vagy a valós számokkal, vagy a komplex számokkal, vagy pedig a kvaterniókkal izomorf.
További példák: lásd az 5.6.19 feladatot.
A szorzás tulajdonságai Hom V -ben
Korábban már jeleztük, hogy Hom V-ben a szorzás nem kommutatív.
Könnyen látható, hogy az identikus leképezés kétoldali egységelem.
A következőkben az invertálhatóságra és a nullosztókra fogalmazunk meg tételeket.
Egy lineáris transzformációnak akkor és csak akkor létezik (kétoldali) inverze, ha izomorfizmus.❶
Bizonyítás: Ha izomorfizmus, akkor az 5.2.3 Tétel bizonyításánál láttuk, hogy az bijekció inverze, is lineáris leképezés, tehát eleme Hom V-nek. Megfordítva, legyen az transzformáció inverze: Ekkor egyrészt minden -re tehát vagyis Másrészt, ha akkor vagyis különböző vektorok szerinti képe is különböző. Így valóban izomorfizmus.❷
Eredményünket az 5.2.2 Tétellel egybevetve adódik, hogy -nek akkor és csak akkor létezik inverze, ha és Az 5.4.2 Tételből azt is tudjuk, hogy véges dimenziós V esetén ezen két feltétel bármelyike maga után vonja a másikat.
Az 5.6.6 Tétel bizonyításából az is leolvasható, hogy ha -nak létezik jobbinverze, akkor szükségképpen illetve ha -nak létezik balinverze, akkor szükségképpen Mindezt a fentiekkel egybevetve kapjuk, hogy véges dimenzió esetén az egyik oldali inverz létezése maga után vonja a másik oldali inverz létezését. Végtelen dimenzió esetén ez nem igaz, annyi azonban megmutatható, hogy illetve a megfelelő oldali inverz létezésének nemcsak szükséges, hanem egyben elégséges feltétele is.
A nullosztókról szóló tételt csak a véges dimenziós esetre mondjuk ki. Az egyik oldali nullosztókra, illetve a végtelen dimenzióra vonatkozóan hasonló jellegű a helyzet, mint amit az invertálhatóságnál tapasztaltunk. (Mindezekkel kapcsolatban lásd az 5.6.10–5.6.15 feladatokat.)
Legyen V véges dimenziós vektortér. Ha bal vagy jobb oldali nullosztó, akkor Megfordítva, ha és akkor mind bal, mind pedig jobb oldali nullosztó.❶
Bizonyítás: Többször fel fogjuk használni az alábbi egyszerű észrevételt: akkor és csak akkor igaz, ha Valóban, pontosan akkor teljesül minden -re, ha valamennyi eleme -ba esik.
Legyen először bal oldali nullosztó, azaz valamilyen lineáris transzformációra Ekkor az előzőek szerint vagyis valóban Ha jobb oldali nullosztó, akkor ugyanígy adódik, de ez a dimenzió végessége miatt ekvivalens a feltétellel.
Megfordítva, tegyük fel, hogy és Először megmutatjuk, hogy bal oldali nullosztó, azaz valamilyen lineáris transzformációra A transzformációt V egy alkalmas bázisán fogjuk megadni. Legyen egy bázisa ezt egészítsük ki a vektorokkal V egy bázisává. Legyen most az a lineáris transzformáció, amelyre
Ekkor nyilván és
Hasonlóan okoskodhatunk, amikor azt akarjuk igazolni, hogy jobb oldali nullosztó. Ekkor az feltételből indulunk ki, egy bázisát egészítjük ki V bázisává, és így konstruálunk olyan transzformációt, amelyre A részletek végiggondolását az Olvasóra bízzuk.❷
Feladatok
5.6.1 Legyen V1=V2 a síkvektorok szokásos vektortere. Döntsük el, hogy teljesül-e, ha
a) az x-tengelyre, az y=x egyenesre történő tükrözés;
b) az x-tengelyre, az y=x egyenesre történő merőleges vetítés;
c) az origó körüli +60 fokos, az origó körüli –90 fokos elforgatás;
d) az origóból történő ötszörös nagyítás, az origó körüli +90 fokos elforgatás.
5.6.2 Legyen V=C3 és definiáljuk az transzformációkat a következőképpen:
Adjuk meg az transzformációkat.
5.6.3 Legyen V véges dimenziós vektortér. Adjuk meg az összes olyan -t, amely V minden lineáris transzformációjával felcserélhető (azaz minden ).
5.6.4 Melyek azok a véges dimenziós V vektorterek, amelyekre a Hom V-beli szorzás kommutatív?
5.6.5 Legyen Milyen kapcsolatban áll egymással és illetve és ?
5.6.6 Bizonyítsuk be az 5.6.3 Tétel II. és III. állítását.
5.6.7 Legyen Bizonyítsuk be, hogy
5.6.8 Legyen V véges dimenziós vektortér, Bizonyítsuk be, hogy
*5.6.9 Legyen A egy 5×5-ös valós mátrix, és tegyük fel, hogy A1000=0. Bizonyítsuk be, hogy ekkor A5=0.
5.6.10 Legyen V a valós együtthatós polinomok szokásos vektortere, és definiáljuk az transzformációkat a következőképpen (egy általános polinomot f(x)-szel, az i-edfokú tag együtthatóját αi-vel jelöljük):
Állapítsuk meg -ról, illetve -ről, hogy hány bal-, illetve jobbinverze van, valamint hogy bal, illetve jobb oldali nullosztó-e.
5.6.11 Legyen bázis a V vektortérben. Az alábbi lineáris transzformációk közül melyeknek van bal-, illetve jobbinverzük, és melyek bal, illetve jobb oldali nullosztók. Invertálhatóság esetén adjuk meg az inverzet, a nullosztókhoz pedig adjunk meg egy-egy hozzájuk tartozó bal, illetve jobb oldali nullosztópárt.
a)
b)
c)
5.6.12 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre minden nemnulla transzformációnak létezik inverze?
5.6.13 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre Hom V nullosztómentes?
5.6.14 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre létezik olyan hogy
a) de b) de ?
5.6.15 Legyen V véges dimenziós vektortér, Melyek igazak az alábbi állítások közül?
a) Ha -nak és -nek létezik inverze, akkor -nek is létezik inverze.
b) Ha -nek létezik inverze, akkor -nak és -nek is létezik inverze.
c) Ha és bal oldali nullosztó és akkor is bal oldali nullosztó.
d) Ha bal oldali nullosztó, akkor és is bal oldali nullosztó.
e) Ha -nek létezik inverze, akkor és közül legalább az egyiknek létezik inverze.
f) Ha bal oldali nullosztó, akkor és közül legalább az egyik bal oldali nullosztó.
5.6.16 Legyen V véges dimenziós vektortér, Tekintsük Hom V alábbi két részhalmazát:
(azaz „az -hoz tartozó bal, illetve jobb oldali nullosztók halmazát”). Bizonyítsuk be, hogy B és J alterek Hom V-ben, és számítsuk ki a dimenziójukat.
5.6.17 Legyen V véges dimenziós vektortér. Egy lineáris transzformációt projekciónak nevezünk, ha
a) Létezik-e -n és -n kívül más projekció is?
b) Vajon miért nevezik az ilyen transzformációkat projekciónak?
c) Mely projekcióknak létezik (bal és/vagy jobb oldali) inverze?
d) Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor projekció, ha projekció.
e) Legyen T=R. Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor projekció, ha önmagának az inverze. Mutassuk meg, hogy van olyan test, amely felett ez az állítás nem igaz.
f) Bizonyítsuk be, hogy ha projekció és λ≠0, –1, akkor -nek létezik inverze.
*g) Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor projekció, ha V felbontható alakban, ahol az U1 altér elemeit helyben hagyja, U2 elemeit pedig -ba viszi.
*5.6.18 Legyen V véges dimenziós vektortér. Bizonyítsuk be, hogy minden -hez található olyan amellyel
5.6.19 Az alábbi struktúrák közül melyek alkotnak algebrát?
a) Tetszőleges vektortér, ha a szorzást úgy értelmezzük, hogy bármely két vektor szorzata a nullvektor.
b) A (közönséges 3-dimenziós) tér vektorai a szokásos összeadásra, skalárral való szorzásra, valamint a vektoriális szorzatra nézve.
c) A valós számsorozatok a szokásos (komponensenkénti) műveletekre.
d) Tn, ha a szorzást is komponensenként értelmezzük.
e) Az összes valós számon értelmezett valós értékű függvények a szokásos műveletekre.
f) Az előző példa, ha a szorzást a függvényösszetétellel (kompozícióval, egymás után alkalmazással) értelmezzük.
g) Az alakú számok a racionális test felett a szokásos műveletekre.
h) Bármely gyűrű a modulo 2 test felett, ha a skalárral való szorzást módon definiáljuk.
i) A alakú 2×2-es komplex elemű mátrixok a valós test felett a szokásos műveletekre.
j) Az előző mátrixok, de a komplex test felett.
5.6.20 Végezzük el az alábbi kvaternió-műveleteket:
a) (1+i)(1+j)–(1+j)(1+k);
b) (i+j+k)100;
c) (1+i–j–k)(1–i+j–k)(1–i–j+k).
5.6.21 A v=α0+α1i+α2j+α3k kvaternió konjugáltján a kvaterniót értjük. Számítsuk ki a szorzatot. Hogyan lehet ennek segítségével egy kvaternió (multiplikatív) inverzét meghatározni?
5.6.22 Hány megoldása van a kvaterniók körében az x2+1=0 egyenletnek? Hogyan fér ez össze azzal a tétellel, hogy „egy polinomnak legfeljebb annyi gyöke lehet, mint amennyi a foka”?
M*5.6.23 Legyen n>1 és v tetszőleges olyan kvaternió, amely nem egy valós szám. Hány n-edik gyöke van v-nek a kvaterniók körében?
5.6.24 Bizonyítsuk be, hogy egy legalább kételemű, véges dimenziós algebra akkor és csak akkor (nem feltétlenül kommutatív) test, ha nullosztómentes.