Legyenek V₁, V₂ és V₃ ugyanazon T test feletti vektorterek, $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_2,V_3\right),\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_1,V_2\right)$ Ekkor az $\mathcal{A}$ és $\mathcal{B}$ lineáris leképezések szorzatán azt az $\mathcal{A}\mathcal{B}$-vel jelölt V₁→V₃ leképezést értjük, amely minden $\underset{\_}{u}{V}_1$ vektorhoz az $\mathcal{A}\left(\mathcal{B}\underset{\_}{u}\right)V_3$ vektort rendeli hozzá. Azaz

❶

Az $\mathcal{A}\mathcal{B}$ szorzatot tehát úgy kapjuk, hogy előbb a második tényezőként szereplő $\mathcal{B}$ leképezést alkalmazzuk, majd ezután az $\mathcal{A}$-t. Ezt a mesterkéltnek tűnő sorrendiséget azonban az $\left(\mathcal{A}\mathcal{B}\right)\underset{\_}{u}=\mathcal{A}\left(\mathcal{B}\underset{\_}{u}\right)$ képlet azonnal megmagyarázza. A „természetes” sorrend akkor adódna, ha a leképezést (mint operátort) a vektor mögé írnánk, ekkor a definíció nyilván $\underset{\_}{u}\left(\mathcal{C}\mathcal{D}\right)=\left(\underset{\_}{u}\mathcal{C}\right)\mathcal{D}$ alakot öltene. Az analízis hagyományos függvényjelölését követve megmaradunk az $\mathcal{A}\underset{\_}{u}$ formánál (és ennek megfelelően egy-két esetben látszólag mesterkélt módon járunk el új fogalmak definiálásánál).

Hangsúlyozzuk, hogy két lineáris leképezés szorzatát csak akkor értelmeztük, ha eleget tettek az 5.6.1 Definíció feltételeinek, vagyis az a vektortér, amelybe a második tényező képez, ugyanaz, mint amelyiken az első tényező hat.

Két lineáris leképezés szorzata is lineáris, azaz ha $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_2,V_3\right)$ és $\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_1,V_2\right)$ akkor $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_1,V_3\right)$❶

Bizonyítás: A szorzás definíciója és $\mathcal{B}$ illetve $\mathcal{A}$ linearitása miatt

Az összegtartás hasonlóan igazolható.❷

A szorzás tulajdonságainak vizsgálatát kezdjük a kommutativitás kérdésével. Ha $\mathcal{A}Hom \left(V_2,V_3\right),\mathcal{ }\mathcal{B}Hom\left(V_1,V_2\right)$ és V₃≠V₁, akkor a $\mathcal{B}\mathcal{A}$ szorzat nincs is értelmezve. Ha V₃=V₁, de V₁≠V₂, akkor $\mathcal{A}\mathcal{B}Hom\left(V_1,V_1\right)$ ugyanakkor $\mathcal{B}\mathcal{A}Hom\left(V_2,V_2\right)$ tehát semmiképpen sem lehetnek egyenlők. Marad az az eset, amikor V₁=V₂=V₃=V, azonban $\mathcal{A}\mathcal{B}$ és $\mathcal{B}\mathcal{A}$ általában ekkor is különbözők (lásd pl. az 5.6.1–5.6.4 feladatokat). Vagyis a lineáris leképezések szorzása (messzemenően) nem kommutatív.

A szorzással (és részben más műveletekkel) kapcsolatos további „szokásos” azonosságok viszont igazak:

Ha $\lambda T$ és $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ tetszőleges olyan lineáris leképezések, amelyekre az alábbi egyenlőségek valamelyik oldala értelmezve van, akkor a másik oldal is értelmes, és az egyenlőség teljesül.

I. $\mathcal{A}\left(\mathcal{B}\mathcal{C}\right)=\left(\mathcal{A}\mathcal{B}\right)\mathcal{C}$ (asszociativitás);

II. $\left(\mathcal{A}+\mathcal{B}\right)\mathcal{C}=\mathcal{A}\mathcal{C}+\mathcal{B}\mathcal{C}$ (disztributivitások );

III. $\lambda \left(\mathcal{A}\mathcal{B}\right)=\left(\lambda \mathcal{A}\right)\mathcal{B}=\mathcal{A}\left(\lambda \mathcal{B}\right)$❶

Mivel a szorzás nem kommutatív, ezért a két disztributivitást külön kell bebizonyítani. Ugyanez az oka annak, hogy III-ban csak a skalárt „emelhetjük át” a leképezéseken, $\mathcal{A}$ és $\mathcal{B}$ sorrendjén nem változtathatunk.

Bizonyítás: I-ben bármelyik oldal pontosan akkor értelmes, ha $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} \left(V_3,V_4\right),\mathcal{ }\mathcal{ }\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_2,V_3\right),\mathcal{ }\mathcal{ }\mathcal{ }\mathcal{C}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_1,V_2\right)$ és ekkor minden $\underset{\_}{x}{V}_1$

illetve

tehát I-ben az egyenlőség két oldalán valóban ugyanaz a leképezés áll. [Itt tulajdonképpen arról van szó, hogy függvények kompozíciója (egymás után alkalmazása) mindig asszociatív, hiszen akármelyik zárójelezést felbontva a függvényeket végül is a megfelelő sorrendben egymás után kell alkalmazni.]

II. és III. igazolása hasonló módon történik, csak ott a szorzás definícióján kívül a leképezések linearitását is fel kell használni (lásd az 5.6.6 feladatot).❷

A továbbiakban egy adott V vektortér lineáris transzformációival foglalkozunk. Az összes ilyen transzformációk halmazát (Hom (V, V) helyett röviden) Hom V-vel jelöljük.

Hom V a leképezések közötti összeadásra és skalárral való szorzásra nézve vektortér, az összeadásra és a szorzásra nézve gyűrű, továbbá teljesül a

azonosság.❶

Bizonyítás: A vektortérre vonatkozó állítás az 5.5.3 Tétel speciális esete. Az, hogy a szorzás valóban művelet Hom V-ben, az 5.6.2 Tételből következik. A gyűrűben a szorzásra vonatkozó azonosságok, valamint a szorzást és a skalárral való szorzást összekapcsoló azonosság az 5.6.3 Tételből adódik.❷

Az alábbiakban általánosan összefoglaljuk az 5.6.4 Tételben kimondott tulajdonságokat.

Egy A nemüres halmaz algebra (vagy hiperkomplex rendszer) a T kommutatív test felett, ha

(i) értelmezve van A-n egy összeadás, egy szorzás és egy T elemeivel való szorzás;

(ii) A az összeadásra és a szorzásra nézve gyűrű;

(iii) A az összeadásra és a T elemeivel való szorzásra nézve vektortér;

(iv) érvényes a szorzást és a T elemeivel való szorzást összekapcsoló

 azonosság.❶

Példák algebrára

P1. Hom V a megadott műveletekre (T felett).

P2. Adott méretű négyzetes mátrixok (T^n×n) a szokásos műveletekre (T felett).

P3. Polinomok (T[x]) a szokásos műveletekre (T felett).

P4. A komplex számok a valós test felett a szokásos műveletekre. Általánosabban: ha T₁résztesteT₂-nek (tehát T₁ nemcsak részhalmaza T₂-nek, hanem a T₁-beli műveletek éppen a T₂-beli műveletek megszorításai), akkor T₂ algebra T₁ felett.

P5. A komplex számok általánosítása a kvaterniók. Ezek α₀+α₁i+α₂j+α₃k alakú kifejezések, ahol ${\alpha }_{i}R$ Az összeadást és a valós számmal való szorzást „komponensenként” értelmezzük. A szorzást úgy definiáljuk, hogy „minden tagot minden taggal meg kell szorozni”, az együttható valósok „átemelendők” i-n, j-n és k-n, és végül az „alapvektorokat” a következő szabály szerint kell összeszorozni:

 Megmutatható, hogy így a valós test felett egy 4-dimenziós algebrát kapunk, amely nemkommutatív test.

 A kvaterniók alapján szokták az algebrákra néha a hiperkomplex (komplexen túli) rendszer elnevezést is használni.

 A kvaterniók Frobenius alábbi nevezetes tétele szerint a számfogalom lezárásának tekinthetők:

 Legyen A egy olyan véges dimenziós algebra R felett, amely egyúttal (nem feltétlenül kommutatív) test. Ekkor A mint algebra vagy a valós számokkal, vagy a komplex számokkal, vagy pedig a kvaterniókkal izomorf.

További példák: lásd az 5.6.19 feladatot.

A szorzás tulajdonságai Hom V -ben

Korábban már jeleztük, hogy Hom V-ben a szorzás nem kommutatív.

Könnyen látható, hogy az $\mathcal{E}$ identikus leképezés kétoldali egységelem.

A következőkben az invertálhatóságra és a nullosztókra fogalmazunk meg tételeket.

Egy $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ lineáris transzformációnak akkor és csak akkor létezik (kétoldali) inverze, ha $\mathcal{A}$ izomorfizmus.❶

Bizonyítás: Ha $\mathcal{A}$ izomorfizmus, akkor az 5.2.3 Tétel bizonyításánál láttuk, hogy az $\mathcal{A}$ bijekció inverze, ${\mathcal{A}}^{-1}$ is lineáris leképezés, tehát eleme Hom V-nek. Megfordítva, legyen $\mathcal{B}$ az $\mathcal{A}$ transzformáció inverze: $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}=\mathcal{E}$ Ekkor egyrészt minden $\underset{\_}{u}V$-re $\underset{\_}{u}=\mathcal{A}\left(\mathcal{B}\underset{\_}{u}\right)$ tehát $\underset{\_}{u}Im \mathcal{A}$ vagyis $Im \mathcal{A}=V$ Másrészt, ha $\mathcal{A}\underset{\_}{u}=\mathcal{A}\underset{\_}{v}$ akkor $\underset{\_}{u}=\mathcal{B}\left(\mathcal{A}\underset{\_}{u}\right)=\mathcal{B}\left(\mathcal{A}\underset{\_}{v}\right)=\underset{\_}{v}$ vagyis különböző vektorok $\mathcal{A}$ szerinti képe is különböző. Így $\mathcal{A}$ valóban izomorfizmus.❷

Eredményünket az 5.2.2 Tétellel egybevetve adódik, hogy $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$-nek akkor és csak akkor létezik inverze, ha $Ker \mathcal{A}=\underset{\_}{0}$ és $Im \mathcal{A}=V$ Az 5.4.2 Tételből azt is tudjuk, hogy véges dimenziós V esetén ezen két feltétel bármelyike maga után vonja a másikat.

Az 5.6.6 Tétel bizonyításából az is leolvasható, hogy ha $\mathcal{A}$-nak létezik jobbinverze, akkor szükségképpen $Im \mathcal{A}=V$ illetve ha $\mathcal{A}$-nak létezik balinverze, akkor szükségképpen $Ker \mathcal{A}=\underset{\_}{0}$ Mindezt a fentiekkel egybevetve kapjuk, hogy véges dimenzió esetén az egyik oldali inverz létezése maga után vonja a másik oldali inverz létezését. Végtelen dimenzió esetén ez nem igaz, annyi azonban megmutatható, hogy $Im \mathcal{A}=V$ illetve $Ker \mathcal{A}=\underset{\_}{0}$ a megfelelő oldali inverz létezésének nemcsak szükséges, hanem egyben elégséges feltétele is.

A nullosztókról szóló tételt csak a véges dimenziós esetre mondjuk ki. Az egyik oldali nullosztókra, illetve a végtelen dimenzióra vonatkozóan hasonló jellegű a helyzet, mint amit az invertálhatóságnál tapasztaltunk. (Mindezekkel kapcsolatban lásd az 5.6.10–5.6.15 feladatokat.)

Legyen V véges dimenziós vektortér. Ha $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ bal vagy jobb oldali nullosztó, akkor $Ker \mathcal{A}\mathcal{ }\ne \underset{\_}{0}$ Megfordítva, ha $Ker \mathcal{A}\mathcal{ }\ne \underset{\_}{0}$ és $\mathcal{A}\ne \mathcal{O}$ akkor $\mathcal{A}$ mind bal, mind pedig jobb oldali nullosztó.❶

Bizonyítás: Többször fel fogjuk használni az alábbi egyszerű észrevételt: $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{O}$ akkor és csak akkor igaz, ha $Ker \mathcal{A}\supseteq \mathcal{ }Im B$ Valóban, $\mathcal{A}\left(\mathcal{B}\underset{\_}{u}\right)=\underset{\_}{0}$ pontosan akkor teljesül minden $\underset{\_}{u}V$-re, ha $Im\mathcal{ }\mathcal{B}$ valamennyi $\mathcal{B}\underset{\_}{u}$ eleme $Ker \mathcal{A}$-ba esik.

Legyen először $\mathcal{A}$ bal oldali nullosztó, azaz valamilyen $\mathcal{C}\ne \mathcal{O}$ lineáris transzformációra $\mathcal{A}\mathcal{C}=\mathcal{O}$ Ekkor az előzőek szerint $Ker \mathcal{A}\supseteq Im \mathcal{C}\ne \underset{\_}{0}$ vagyis valóban $Ker \mathcal{A}\mathcal{ }\ne \underset{\_}{0}$ Ha $\mathcal{A}$ jobb oldali nullosztó, akkor ugyanígy $Ker \mathcal{A}\ne \underset{\_}{0}$ adódik, de ez a dimenzió végessége miatt ekvivalens a $Im \mathcal{A}\ne V$ feltétellel.

Megfordítva, tegyük fel, hogy $\mathcal{A}\ne \mathcal{O}$ és $Ker \mathcal{A}\mathcal{ }\ne \underset{\_}{0}$ Először megmutatjuk, hogy $\mathcal{A}$ bal oldali nullosztó, azaz valamilyen $\mathcal{C}\ne \mathcal{O}$ lineáris transzformációra $\mathcal{A}\mathcal{C}=\mathcal{O}$ A $\mathcal{C}$ transzformációt V egy alkalmas bázisán fogjuk megadni. Legyen $Ker \mathcal{A}$ egy bázisa ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_s$ ezt egészítsük ki a ${\underset{\_}{b}}_{s+1},\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ vektorokkal V egy bázisává. Legyen most $\mathcal{C}$ az a lineáris transzformáció, amelyre

Ekkor nyilván $\mathcal{C}$ és $\mathcal{C}\ne \mathcal{O}$

Hasonlóan okoskodhatunk, amikor azt akarjuk igazolni, hogy $\mathcal{A}\mathcal{C}=\mathcal{O}$ jobb oldali nullosztó. Ekkor az $\mathcal{A}$ feltételből indulunk ki, $Im \mathcal{A}\ne V$ egy bázisát egészítjük ki V bázisává, és így konstruálunk olyan $Im \mathcal{A}$ transzformációt, amelyre $\mathcal{B}\ne \mathcal{O}$ A részletek végiggondolását az Olvasóra bízzuk.❷

Feladatok

5.6.1 Legyen V₁=V₂ a síkvektorok szokásos vektortere. Döntsük el, hogy $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$ teljesül-e, ha

a) $\mathcal{A}$ az x-tengelyre, $\mathcal{B}$ az y=x egyenesre történő tükrözés;

b) $\mathcal{A}$ az x-tengelyre, $\mathcal{B}$ az y=x egyenesre történő merőleges vetítés;

c) $\mathcal{A}$ az origó körüli +60 fokos, $\mathcal{B}$ az origó körüli –90 fokos elforgatás;

d) $\mathcal{A}$ az origóból történő ötszörös nagyítás, $\mathcal{B}$ az origó körüli +90 fokos elforgatás.

5.6.2 Legyen V=C³ és definiáljuk az $\mathcal{A},\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ transzformációkat a következőképpen:

 Adjuk meg az $\mathcal{A}\mathcal{B},\mathcal{ }\mathcal{B}\mathcal{A},\mathcal{ }{\mathcal{A}}^{101},\mathcal{ }(\mathcal{A}\mathcal{B}{)}^{101}$ transzformációkat.

5.6.3 Legyen V véges dimenziós vektortér. Adjuk meg az összes olyan $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$-t, amely V minden lineáris transzformációjával felcserélhető (azaz minden $\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathcal{ }\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$).

5.6.4 Melyek azok a véges dimenziós V vektorterek, amelyekre a Hom V-beli szorzás kommutatív?

5.6.5 Legyen $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} {(V}_2,V_3),\mathcal{ }\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} (V_1,V_2)$ Milyen kapcsolatban áll egymással $Ker \mathcal{A}\mathcal{B}$ és $Ker\mathcal{ }\mathcal{B}$ illetve $Im \mathcal{A}\mathcal{B}$ és $Im \mathcal{A}$?

5.6.6 Bizonyítsuk be az 5.6.3 Tétel II. és III. állítását.

5.6.7 Legyen $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} {(V}_2,V_3),\mathcal{ }\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} (V_1,V_2)$ Bizonyítsuk be, hogy

5.6.8 Legyen V véges dimenziós vektortér, $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ Bizonyítsuk be, hogy

*5.6.9 Legyen A egy 5×5-ös valós mátrix, és tegyük fel, hogy A¹⁰⁰⁰=0. Bizonyítsuk be, hogy ekkor A⁵=0.

5.6.10 Legyen V a valós együtthatós polinomok szokásos vektortere, és definiáljuk az $\mathcal{A},B \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ transzformációkat a következőképpen (egy általános polinomot f(x)-szel, az i-edfokú tag együtthatóját α_i-vel jelöljük):

 Állapítsuk meg $\mathcal{A}$-ról, illetve $B$-ről, hogy hány bal-, illetve jobbinverze van, valamint hogy bal, illetve jobb oldali nullosztó-e.

5.6.11 Legyen ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ bázis a V vektortérben. Az alábbi lineáris transzformációk közül melyeknek van bal-, illetve jobbinverzük, és melyek bal, illetve jobb oldali nullosztók. Invertálhatóság esetén adjuk meg az inverzet, a nullosztókhoz pedig adjunk meg egy-egy hozzájuk tartozó bal, illetve jobb oldali nullosztópárt.

a) $\mathcal{A}:\mathcal{ }{\underset{\_}{b}}_1\mapsto {\underset{\_}{b}}_1-{\underset{\_}{b}}_2,{\underset{\_}{b}}_2\mapsto {\underset{\_}{b}}_2-{\underset{\_}{b}}_3,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n\mapsto {\underset{\_}{b}}_n-{\underset{\_}{b}}_1$

b) $\mathcal{B}:{\underset{\_}{b}}_1\mapsto {\underset{\_}{b}}_1,{\underset{\_}{b}}_2\mapsto {\underset{\_}{b}}_1+{\underset{\_}{b}}_2,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n\mapsto {\underset{\_}{b}}_1+{\underset{\_}{b}}_n$

c) $\mathcal{C}:{\underset{\_}{b}}_1\mapsto {\underset{\_}{b}}_1+{\underset{\_}{b}}_2+\dots +{\underset{\_}{b}}_n,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n\mapsto {\underset{\_}{b}}_1+{\underset{\_}{b}}_2+\dots +{\underset{\_}{b}}_n$

5.6.12 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre minden nemnulla $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ transzformációnak létezik inverze?

5.6.13 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre Hom V nullosztómentes?

5.6.14 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre létezik olyan $\mathcal{A},\mathcal{ }B\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ hogy

 a) $\mathcal{A}B=\mathcal{O}$ de $\mathcal{B}\mathcal{A}\ne \mathcal{O}$ b) $\mathcal{A}B=\mathcal{O}$ de $\mathcal{B}\mathcal{A}=\mathcal{E}$?

5.6.15 Legyen V véges dimenziós vektortér, $\mathcal{A}$ Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha $\mathcal{B}$-nak és $\mathcal{A}B$-nek létezik inverze, akkor $\mathcal{A}B$-nek is létezik inverze.

b) Ha $\mathcal{A}$-nek létezik inverze, akkor $\mathcal{B}$-nak és $\mathcal{A}$-nek is létezik inverze.

c) Ha $\mathcal{B}$ és $\mathcal{A}$ bal oldali nullosztó és $\mathcal{A}\mathcal{B}$ akkor $\mathcal{A}B$ is bal oldali nullosztó.

d) Ha $\mathcal{A}$ bal oldali nullosztó, akkor $\mathcal{B}$ és $\mathcal{A}+B$ is bal oldali nullosztó.

e) Ha $\mathcal{A}$-nek létezik inverze, akkor $\mathcal{B}$ és $\mathcal{A}+B$ közül legalább az egyiknek létezik inverze.

f) Ha $\mathcal{A}$ bal oldali nullosztó, akkor $\mathcal{B}$ és $\mathcal{B}$ közül legalább az egyik bal oldali nullosztó.

5.6.16 Legyen V véges dimenziós vektortér, $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ Tekintsük Hom V alábbi két részhalmazát:

 (azaz „az $\mathcal{A}$-hoz tartozó bal, illetve jobb oldali nullosztók halmazát”). Bizonyítsuk be, hogy B és J alterek Hom V-ben, és számítsuk ki a dimenziójukat.

5.6.17 Legyen V véges dimenziós vektortér. Egy $\mathcal{P}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ lineáris transzformációt projekciónak nevezünk, ha ${\mathcal{P}}^2=\mathcal{P}$

a) Létezik-e $\mathcal{O}$-n és $\mathcal{E}$-n kívül más projekció is?

b) Vajon miért nevezik az ilyen transzformációkat projekciónak?

c) Mely projekcióknak létezik (bal és/vagy jobb oldali) inverze?

d) Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{P}$ akkor és csak akkor projekció, ha $\mathcal{E}-\mathcal{P}$ projekció.

e) Legyen T=R. Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{P}$ akkor és csak akkor projekció, ha $2\mathcal{P}-\mathcal{E}$ önmagának az inverze. Mutassuk meg, hogy van olyan test, amely felett ez az állítás nem igaz.

f) Bizonyítsuk be, hogy ha $\mathcal{P}$ projekció és λ≠0, –1, akkor $\mathcal{P}+\lambda \mathcal{E}$-nek létezik inverze.

*g) Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{P}$ akkor és csak akkor projekció, ha V felbontható $V=U_1{U}_2$ alakban, ahol $\mathcal{P}$ az U₁ altér elemeit helyben hagyja, U₂ elemeit pedig $\underset{\_}{0}$-ba viszi.

*5.6.18 Legyen V véges dimenziós vektortér. Bizonyítsuk be, hogy minden $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$-hez található olyan $\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ amellyel $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}=\mathcal{A}$

5.6.19 Az alábbi struktúrák közül melyek alkotnak algebrát?

a) Tetszőleges vektortér, ha a szorzást úgy értelmezzük, hogy bármely két vektor szorzata a nullvektor.

b) A (közönséges 3-dimenziós) tér vektorai a szokásos összeadásra, skalárral való szorzásra, valamint a vektoriális szorzatra nézve.

c) A valós számsorozatok a szokásos (komponensenkénti) műveletekre.

d) Tⁿ, ha a szorzást is komponensenként értelmezzük.

e) Az összes valós számon értelmezett valós értékű függvények a szokásos műveletekre.

f) Az előző példa, ha a szorzást a függvényösszetétellel (kompozícióval, egymás után alkalmazással) értelmezzük.

g) Az $\alpha +\beta \sqrt{2}, \alpha ,\beta \mathcal{Q}$ alakú számok a racionális test felett a szokásos műveletekre.

h) Bármely gyűrű a modulo 2 test felett, ha a skalárral való szorzást $0\underset{\_}{a}=0, 1\underset{\_}{a}=\underset{\_}{a}$ módon definiáljuk.

i) A $\left(\begin{array}{cc}z& w\\ -\overline{w}& \overline{z}\end{array}\right)$ alakú 2×2-es komplex elemű mátrixok a valós test felett a szokásos műveletekre.

j) Az előző mátrixok, de a komplex test felett.

5.6.20 Végezzük el az alábbi kvaternió-műveleteket:

a) (1+i)(1+j)–(1+j)(1+k);

b) (i+j+k)¹⁰⁰;

c) (1+i–j–k)(1–i+j–k)(1–i–j+k).

5.6.21 A v=α₀+α₁i+α₂j+α₃k kvaternió konjugáltján a $\overline{v}={\alpha }_0-{\alpha }_{1}i-{\alpha }_{2}j-{\alpha }_{3}k$ kvaterniót értjük. Számítsuk ki a $v\overline{v}$ szorzatot. Hogyan lehet ennek segítségével egy kvaternió (multiplikatív) inverzét meghatározni?

5.6.22 Hány megoldása van a kvaterniók körében az x²+1=0 egyenletnek? Hogyan fér ez össze azzal a tétellel, hogy „egy polinomnak legfeljebb annyi gyöke lehet, mint amennyi a foka”?

M*5.6.23 Legyen n>1 és v tetszőleges olyan kvaternió, amely nem egy valós szám. Hány n-edik gyöke van v-nek a kvaterniók körében?

5.6.24 Bizonyítsuk be, hogy egy legalább kételemű, véges dimenziós algebra akkor és csak akkor (nem feltétlenül kommutatív) test, ha nullosztómentes.