Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
A lineáris leképezéseket mátrixokkal fogjuk jellemezni. Ezt az teszi lehetővé, hogy a leképezés megadható V1 báziselemeinek a képével, a képek pedig felírhatók V2 báziselemeinek a segítségével. Kiderül, hogy a mátrixreprezentáció a műveleteket is tartja, ami megmagyarázza, hogy miért hasonlítanak annyira a leképezések és a mátrixok tulajdonságai. Ez a kapcsolat mindkét irányban hasznosnak bizonyul, mert így leképezésekre vonatkozó állításokat mátrixok segítségével igazolhatunk, és viszont. Gyakorlati alkalmazásoknál a leképezések helyett szinte mindig a mátrixukkal dolgozunk.
Legyen a V1 vektortér egy bázisa a V2 vektortér egy bázisa pedig Egy leképezésnek az és bázispár szerinti mátrixán azt a k×n-es mátrixot értjük, amelynek j-edik oszlopában az vektornak a bázis szerinti koordinátái állnak. Ezt a mátrixot -vel jelöljük.
Részletesebben kiírva, legyen
Ekkor
❶
Az mátrix oszlopai tehát tulajdonképpen rendre az báziselemek képei, mégpedig a báziselemek segítségével felírva.
A mátrix természetesen erősen függ attól, hogy milyen bázisokat választottunk a két vektortérben, más bázispár esetén általában a mátrix is egészen más lesz.
Szükségünk lesz egy vektor mátrixára is (ez a fogalom már az 5.1 pont P5 példájában is szerepelt):
Legyen bázis a V vektortérben. Tudjuk, hogy ekkor minden egyértelműen felírható alakban. A vektornak a bázis szerinti (koordináta)mátrixán (vagy koordinátavektorán) a
(oszlop)mátrixot értjük.❶
A vektor mátrixa is bázisfüggő.
Ha a korábbiakból egyértelmű, hogy mely bázis(pár)ról van szó, akkor a vektor, illetve leképezés mátrixának jelölésénél a bázis(pár)ra vonatkozó indexet elhagyhatjuk.
Először megmutatjuk, hogy rögzített bázispár esetén a képvektor mátrixa a leképezés mátrixának és az eredeti vektor mátrixának a szorzata.
Legyen a V1 vektortér egy bázisa a V2 vektortér egy bázisa pedig továbbá és Ekkor
ahol a jobb oldalon a két mátrix szorzata áll.❶
Bizonyítás: Legyen
Ekkor
vagyis együtthatója valóban -edik sorának és (egyetlen) oszlopának a szorzata, amint állítottuk.❷
Most azt igazoljuk, hogy ha rögzített bázispár esetén minden leképezésnek megfeleltetjük a mátrixát, ez egy izomorfizmust létesít a lineáris leképezések és a (megfelelő méretű) mátrixok vektortere között.
Ha dim V1=n, dim V2=k, akkor ❶
Bizonyítás: Legyen a V1 vektortér egy bázisa a V2 vektortér egy bázisa pedig és feleltessük meg minden leképezésnek a(z adott bázispár szerinti) mátrixát:
Megmutatjuk, hogy így egy Hom (V1, V2)→Tk×n vektortérizomorfizmust definiáltunk.
1. Ily módon minden -hez egyértelműen hozzárendeltünk egy k×n-es mátrixot, hiszen bármely lineáris leképezés esetén adott (bázis)elemek képei egyértelműen meghatározottak, és ezek a képek egyértelműen felírhatók egy adott V2-beli bázis segítségével.
2. Bármely mátrixnak pontosan egy ősképe van. Ugyanis a mátrix éppen az báziselemek képét adja meg egyértelműen, és az 5.3.1 Tétel szerint pontosan egy olyan lineáris leképezés létezik, amely az adott báziselemekhez éppen az előírt vektorokat rendeli.
3. Az összegtartás igazolása: és a rögzített bázis miatt az mátrix j-edik oszlopa éppen az és mátrixok j-edik oszlopainak az összege lesz, tehát valóban A skalárszorostartás hasonlóan bizonyítható.❷
Hangsúlyozzuk, hogy a fenti izomorfizmus csak rögzített bázispár esetén érvényes, tehát amikor valamennyi leképezés mátrixát ugyanabban a bázispárban írjuk fel.
Az előző tétel egyszerű következménye:
Véges dimenziós vektorterek esetén
❶
Bizonyítás: Legyen dim V1=n, dim V2=k. Ekkor és a Tk×n vektortér dimenziója kn (ezt már a 4.5–4.6 pontokban beláttuk).❷
Megjegyezzük, hogy a tétel állítását és egy másik bizonyítását az 5.5.6–5.5.7 feladatok is tartalmazzák. Az ott megadott leképezésekből álló bázis az 5.7.4 tétel izomorfizmusánál éppen a mátrixok szokásos bázisába megy át.
Most rátérünk a szorzással kapcsolatos művelettartásra.
Legyen V1 egy bázisa egy bázisa egy bázisa pedig Legyen továbbá Ekkor
❶
Bizonyítás: Legyen
Azt kell igazolnunk, hogy -edik koordinátája megegyezik az mátrix i-edik sorának és a mátrix j-edik oszlopának a szorzatával.
Itt együtthatója β1jαi1+…+βkjαik, ami valóban az mátrix i-edik sorának és a mátrix j-edik oszlopának a szorzata.❷
A következőkben lineáris transzformációk mátrixát vizsgáljuk. Ebben az esetben kikötjük, hogy a bázispár mindkét bázisa azonos legyen. Erre egyrészt a szorzás művelettartása miatt van szükség (lásd a következő tételt), másrészt pedig ekkor mutatja a mátrix „természetes” módon, „hogyan transzformálta, miképp változtatta a vektorteret” az lineáris transzformáció (azaz a bázisvektorok önmagukhoz mérve hogyan változtak).
Legyen rögzített bázis a V vektortérben. Ekkor az megfeleltetés izomorfizmus a Hom V és Tn×nalgebrák között.❶
Bizonyítás: Az 5.7.4 Tételben láttuk, hogy a fenti megfeleltetés bijektív, összeg- és skalárszorostartó, az 5.7.6 Tétel pedig biztosítja a szorzásra vonatkozó művelettartást is.❷
Az 5.7.7 Tétel alapján új bizonyítást adhatunk pl. az 5.6.7 Tételre (lásd az 5.7.10 feladatot), és véges dimenziós esetben a transzformációk szorzásának tetszőleges tulajdonságát visszavezethetjük a négyzetes mátrixok szorzásának megfelelő tulajdonságára. Okoskodhatunk természetesen fordítva is, pl. ily módon kaphatunk egy „természetes” magyarázatot a mátrixszorzás asszociativitására, vagy akár magának a mátrixszorzásnak a definíciójára is, amely annak idején ugyancsak mesterkéltnek tűn(hetet)t.
Feladatok
5.7.1 Legyen V a legfeljebb 6-odfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektortere és az a lineáris transzformáció, amely minden polinomnak megfelelteti a deriváltját.
a) Írjuk fel mátrixát a szokásos bázisban.
b) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben minden eleme 0 vagy 1?
*c) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben minden eleme nullától különböző?
d) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben utolsó két oszlopa csupa 0?
e) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben utolsó két sora csupa 0?
5.7.2 Írjuk fel a sík nevezetes lineáris transzformációinak mátrixát többféle bázisban.
5.7.3 Legyen V1 a legfeljebb 5-ödfokú, V2 pedig a legfeljebb 2-odfokú komplex együtthatós polinomok szokásos vektortere. Egy általános polinomot f-fel jelölünk, polinom és polinomfüggvény között nem teszünk különbséget. Írjuk fel az alábbi lineáris leképezések mátrixát alkalmas bázispárban.
a)
b) f-nek feleltessük meg az x3+1 polinommal vett osztási maradékát;
c) f-nek feleltessük meg azt a legfeljebb 2-odfokú polinomot, amely a 0, 1 és 2 helyen ugyanazt az értéket veszi fel, mint f.
5.7.4 Legyen a V1 vektortér egy bázisa a V2 vektortér egy bázisa pedig Hogyan változik egy leképezés mátrixa, ha a megfelelő bázisban
a) -et és -t felcseréljük;
b) -et és -t felcseréljük;
c) helyett -at veszünk;
d) helyett -at veszünk;
e) helyett -t veszünk;
f) helyett -t veszünk?
5.7.5 Legyen V kétdimenziós vektortér R felett. Döntsük el, van-e olyan amelynek két különböző bázisban felírt mátrixa
a) és
b) és
c) és
d) és
e) és
f) és
5.7.6 Legyen V1≠V2 és tetszőleges leképezés. Bizonyítsuk be, hogy van olyan bázispár, hogy „fődiagonálisában” minden elem 1 vagy 0, a mátrix többi eleme pedig 0.
5.7.7 Legyen V1≠V2. Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor izomorfizmus, ha alkalmas bázispárban mátrixa az egységmátrix.
5.7.8 Legyen dim V=2 és Bizonyítsuk be, hogy ha de akkor V alkalmas bázisában
5.7.9 Melyek azok az lineáris transzformációk, amelyeknek bármely bázisban ugyanaz a mátrixa?
5.7.10 Az 5.7.7 Tétel felhasználásával adjunk új bizonyítást az 5.6.7 Tételre.
5.7.11 Bizonyítsuk be, hogy egy lineáris leképezés mátrixát bármely bázispárban felírva, a kapott mátrix rangja megegyezik dimenziójával. (Ezt az egyértelműen meghatározott számot az leképezés rangjának nevezzük.)
5.7.12 Bizonyítsuk be, hogy ha az A és B mátrixok AB szorzata létezik, akkor AB rangja sem A, sem pedig B rangjánál nem lehet nagyobb.
5.7.13 Igaz-e, hogy ha egy 2×2-es A valós mátrixra A100=A–1, akkor A az egységmátrix?
5.7.14 Nevezzük egy adott transzformáció valamely mátrixát bázismeghatározónak, ha egyértelműen megállapítható, hogy a mátrixot mely bázis szerint írtuk fel.
a) Bizonyítsuk be, hogy ha T nem a modulo 2 test, akkor egyáltalán nem létezik bázismeghatározó mátrix.
b) A modulo 2 test felett van olyan transzformáció, amelynek minden mátrixa bázismeghatározó.