Legyen a V₁ vektortér egy bázisa ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ a V₂ vektortér egy bázisa pedig ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ Egy $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_1,V_2\right)$ leképezésnek az ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ és ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ bázispár szerinti mátrixán azt a k×n-es mátrixot értjük, amelynek j-edik oszlopában az $\mathcal{A}{\underset{\_}{a}}_j$ vektornak a ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ bázis szerinti koordinátái állnak. Ezt a mátrixot $[\mathcal{A}{]}_{a,b}$-vel jelöljük.

Részletesebben kiírva, legyen

Ekkor

❶

Az $[\mathcal{A}{]}_{a,b}$mátrix oszlopai tehát tulajdonképpen rendre az ${\underset{\_}{a}}_j$ báziselemek képei, mégpedig a ${\underset{\_}{b}}_i$ báziselemek segítségével felírva.

A mátrix természetesen erősen függ attól, hogy milyen bázisokat választottunk a két vektortérben, más bázispár esetén általában a mátrix is egészen más lesz.

Szükségünk lesz egy vektor mátrixára is (ez a fogalom már az 5.1 pont P5 példájában is szerepelt):

Legyen ${\underset{\_}{c}}_1,\dots ,{\underset{\_}{c}}_r$ bázis a V vektortérben. Tudjuk, hogy ekkor minden $\underset{\_}{v}V$ egyértelműen felírható $\underset{\_}{v}={\gamma }_1{\underset{\_}{c}}_1+\dots +{\gamma }_r{\underset{\_}{c}}_r$ alakban. A $\underset{\_}{v}$ vektornak a ${\underset{\_}{c}}_1,\dots ,{\underset{\_}{c}}_r$ bázis szerinti (koordináta)mátrixán (vagy koordinátavektorán) a

(oszlop)mátrixot értjük.❶

A vektor mátrixa is bázisfüggő.

Ha a korábbiakból egyértelmű, hogy mely bázis(pár)ról van szó, akkor a vektor, illetve leképezés mátrixának jelölésénél a bázis(pár)ra vonatkozó indexet elhagyhatjuk.

Először megmutatjuk, hogy rögzített bázispár esetén a képvektor mátrixa a leképezés mátrixának és az eredeti vektor mátrixának a szorzata.

Legyen a V₁ vektortér egy bázisa ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ a V₂ vektortér egy bázisa pedig ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ továbbá $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} \left(V_1,V_2\right)$ és $\underset{\_}{v}{V}_1$ Ekkor

ahol a jobb oldalon a két mátrix szorzata áll.❶

Bizonyítás: Legyen

Ekkor

vagyis ${\underset{\_}{b}}_i$ együtthatója valóban $\left[\mathcal{A}\right]$-edik sorának és $\left[\underset{\_}{v}\right]$ (egyetlen) oszlopának a szorzata, amint állítottuk.❷

Most azt igazoljuk, hogy ha rögzített bázispár esetén minden leképezésnek megfeleltetjük a mátrixát, ez egy izomorfizmust létesít a lineáris leképezések és a (megfelelő méretű) mátrixok vektortere között.

Ha dim V₁=n, dim V₂=k, akkor $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} \left(V_1,V_2\right)\cong T^{k\times n}$❶

Bizonyítás: Legyen a V₁ vektortér egy bázisa ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ a V₂ vektortér egy bázisa pedig ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ és feleltessük meg minden $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_1,V_2\right)$ leképezésnek a(z adott bázispár szerinti) mátrixát:

Megmutatjuk, hogy így egy Hom (V₁, V₂)→T^k×n vektortérizomorfizmust definiáltunk.

1. Ily módon minden $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}{(V}_1,V_2)$-hez egyértelműen hozzárendeltünk egy k×n-es mátrixot, hiszen bármely $\mathcal{A}$ lineáris leképezés esetén adott (bázis)elemek képei egyértelműen meghatározottak, és ezek a képek egyértelműen felírhatók egy adott V₂-beli bázis segítségével.

2. Bármely mátrixnak pontosan egy ősképe van. Ugyanis a mátrix éppen az ${\underset{\_}{a}}_j$ báziselemek képét adja meg egyértelműen, és az 5.3.1 Tétel szerint pontosan egy olyan $\mathcal{A}$ lineáris leképezés létezik, amely az adott báziselemekhez éppen az előírt vektorokat rendeli.

3. Az összegtartás igazolása: $\left(\mathcal{A}+\mathcal{B}\right){\underset{\_}{a}}_j=\mathcal{A}{\underset{\_}{a}}_j+\mathcal{B}{\underset{\_}{a}}_j$ és a rögzített ${\underset{\_}{b}}_i$ bázis miatt az $\left[\mathcal{A}+\mathcal{B}\right]$ mátrix j-edik oszlopa éppen az $\left[\mathcal{A}\right]$ és $\left[\mathcal{B}\right]$ mátrixok j-edik oszlopainak az összege lesz, tehát valóban $\left[\mathcal{A}+\mathcal{B}\right]=\left[\mathcal{A}\right]+\left[\mathcal{B}\right]$ A skalárszorostartás hasonlóan bizonyítható.❷

Hangsúlyozzuk, hogy a fenti izomorfizmus csak rögzített bázispár esetén érvényes, tehát amikor valamennyi leképezés mátrixát ugyanabban a bázispárban írjuk fel.

Az előző tétel egyszerű következménye:

Véges dimenziós vektorterek esetén

❶

Bizonyítás: Legyen dim V₁=n, dim V₂=k. Ekkor $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} \left(V_1,V_2\right)\cong T^{k\times n}$ és a T^k×n vektortér dimenziója kn (ezt már a 4.5–4.6 pontokban beláttuk).❷

Megjegyezzük, hogy a tétel állítását és egy másik bizonyítását az 5.5.6–5.5.7 feladatok is tartalmazzák. Az ott megadott leképezésekből álló bázis az 5.7.4 tétel izomorfizmusánál éppen a mátrixok szokásos bázisába megy át.

Most rátérünk a szorzással kapcsolatos művelettartásra.

Legyen V₁ egy bázisa ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ egy bázisa ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k, V_3$ egy bázisa pedig ${\underset{\_}{c}}_1,\dots ,{\underset{\_}{c}}_r$ Legyen továbbá $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_2,V_3\right),\mathcal{ }\mathcal{ }\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} \left(V_1,V_2\right)$ Ekkor

❶

Bizonyítás: Legyen

Azt kell igazolnunk, hogy $\left(\mathcal{A}\mathcal{B}\right){\underset{\_}{a}}_j$-edik koordinátája megegyezik az $\left[\mathcal{A}\right]$ mátrix i-edik sorának és a $\left[\mathcal{B}\right]$ mátrix j-edik oszlopának a szorzatával.

Itt ${\underset{\_}{c}}_i$ együtthatója β_1jα_i1+…+β_kjα_ik, ami valóban az $\left[\mathcal{A}\right]$ mátrix i-edik sorának és a $\left[\mathcal{B}\right]$ mátrix j-edik oszlopának a szorzata.❷

A következőkben $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ lineáris transzformációk mátrixát vizsgáljuk. Ebben az esetben kikötjük, hogy a bázispár mindkét bázisa azonos legyen. Erre egyrészt a szorzás művelettartása miatt van szükség (lásd a következő tételt), másrészt pedig ekkor mutatja a mátrix „természetes” módon, „hogyan transzformálta, miképp változtatta a vektorteret” az $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció (azaz a bázisvektorok önmagukhoz mérve hogyan változtak).

Legyen ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ rögzített bázis a V vektortérben. Ekkor az $\mathcal{A}\mapsto [\mathcal{A}{]}_a$ megfeleltetés izomorfizmus a Hom V és T^n×nalgebrák között.❶

Bizonyítás: Az 5.7.4 Tételben láttuk, hogy a fenti megfeleltetés bijektív, összeg- és skalárszorostartó, az 5.7.6 Tétel pedig biztosítja a szorzásra vonatkozó művelettartást is.❷

Az 5.7.7 Tétel alapján új bizonyítást adhatunk pl. az 5.6.7 Tételre (lásd az 5.7.10 feladatot), és véges dimenziós esetben a transzformációk szorzásának tetszőleges tulajdonságát visszavezethetjük a négyzetes mátrixok szorzásának megfelelő tulajdonságára. Okoskodhatunk természetesen fordítva is, pl. ily módon kaphatunk egy „természetes” magyarázatot a mátrixszorzás asszociativitására, vagy akár magának a mátrixszorzásnak a definíciójára is, amely annak idején ugyancsak mesterkéltnek tűn(hetet)t.

Feladatok

5.7.1 Legyen V a legfeljebb 6-odfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektortere és $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ az a lineáris transzformáció, amely minden polinomnak megfelelteti a deriváltját.

a) Írjuk fel $\mathcal{A}$ mátrixát a szokásos bázisban.

b) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben $\left[\mathcal{A}\right]$ minden eleme 0 vagy 1?

*c) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben $\left[\mathcal{A}\right]$ minden eleme nullától különböző?

d) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben $\left[\mathcal{A}\right]$ utolsó két oszlopa csupa 0?

e) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben $\left[\mathcal{A}\right]$ utolsó két sora csupa 0?

5.7.2 Írjuk fel a sík nevezetes lineáris transzformációinak mátrixát többféle bázisban.

5.7.3 Legyen V₁ a legfeljebb 5-ödfokú, V₂ pedig a legfeljebb 2-odfokú komplex együtthatós polinomok szokásos vektortere. Egy általános polinomot f-fel jelölünk, polinom és polinomfüggvény között nem teszünk különbséget. Írjuk fel az alábbi lineáris leképezések mátrixát alkalmas bázispárban.

a) $f\mapsto f\left(0\right)+f\left(1\right)x+f\left(2\right)x^2$

b) f-nek feleltessük meg az x³+1 polinommal vett osztási maradékát;

c) f-nek feleltessük meg azt a legfeljebb 2-odfokú polinomot, amely a 0, 1 és 2 helyen ugyanazt az értéket veszi fel, mint f.

5.7.4 Legyen a V₁ vektortér egy bázisa ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ a V₂ vektortér egy bázisa pedig ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ Hogyan változik egy $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} \left(V_1,V_2\right)$ leképezés mátrixa, ha a megfelelő bázisban

a) ${\underset{\_}{a}}_1$-et és ${\underset{\_}{a}}_2$-t felcseréljük;

b) ${\underset{\_}{b}}_1$-et és ${\underset{\_}{b}}_2$-t felcseréljük;

c) ${\underset{\_}{a}}_3$ helyett $\lambda {\underset{\_}{a}}_3$-at veszünk;

d) ${\underset{\_}{b}}_3$ helyett $\lambda {\underset{\_}{b}}_3$-at veszünk;

e) ${\underset{\_}{a}}_3$ helyett ${\underset{\_}{a}}_3+\mu {\underset{\_}{a}}_2$-t veszünk;

f) ${\underset{\_}{b}}_3$ helyett ${\underset{\_}{b}}_3+\mu {\underset{\_}{b}}_2$-t veszünk?

5.7.5 Legyen V kétdimenziós vektortér R felett. Döntsük el, van-e olyan $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ amelynek két különböző bázisban felírt mátrixa

a) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

b) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

c) $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

d) $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

e) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 1& 3\end{array}\right)$

f) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

5.7.6 Legyen V₁≠V₂ és $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} \left(V_1,V_2\right)$ tetszőleges leképezés. Bizonyítsuk be, hogy van olyan bázispár, hogy $\left[\mathcal{A}\right]$ „fődiagonálisában” minden elem 1 vagy 0, a mátrix többi eleme pedig 0.

5.7.7 Legyen V₁≠V₂. Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_1,V_2\right)$ akkor és csak akkor izomorfizmus, ha alkalmas bázispárban $\mathcal{A}$ mátrixa az egységmátrix.

5.7.8 Legyen dim V=2 és $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ Bizonyítsuk be, hogy ha $\mathcal{A}\ne \mathcal{O}$ de ${\mathcal{A}}^2=\mathcal{O}$ akkor V alkalmas bázisában $\left[\mathcal{A}\right]=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

5.7.9 Melyek azok az $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ lineáris transzformációk, amelyeknek bármely bázisban ugyanaz a mátrixa?

5.7.10 Az 5.7.7 Tétel felhasználásával adjunk új bizonyítást az 5.6.7 Tételre.

5.7.11 Bizonyítsuk be, hogy egy $\mathcal{A}$ lineáris leképezés mátrixát bármely bázispárban felírva, a kapott mátrix rangja megegyezik $Im \mathcal{A}$ dimenziójával. (Ezt az egyértelműen meghatározott számot az $\mathcal{A}$ leképezés rangjának nevezzük.)

5.7.12 Bizonyítsuk be, hogy ha az A és B mátrixok AB szorzata létezik, akkor AB rangja sem A, sem pedig B rangjánál nem lehet nagyobb.

5.7.13 Igaz-e, hogy ha egy 2×2-es A valós mátrixra A¹⁰⁰=A^–1, akkor A az egységmátrix?

5.7.14 Nevezzük egy adott transzformáció valamely mátrixát bázismeghatározónak, ha egyértelműen megállapítható, hogy a mátrixot mely bázis szerint írtuk fel.

a) Bizonyítsuk be, hogy ha T nem a modulo 2 test, akkor egyáltalán nem létezik bázismeghatározó mátrix.

b) A modulo 2 test felett van olyan transzformáció, amelynek minden mátrixa bázismeghatározó.