Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Tegyük fel, hogy ismerjük egy lineáris leképezésnek egy adott bázispár szerinti mátrixát. Az alábbi tétel megmutatja, hogyan kaphatjuk meg ekkor a leképezésnek valamely másik bázispár szerinti mátrixát.
Legyen a V1 vektortér egy-egy bázisa (a „régi”) illetve (az „új”) és hasonlóképpen a V2 vektortér egy-egy bázisa illetve Legyen az a(z egyértelműen meghatározott) lineáris transzformáció, amelyre és hasonlóan amelyre Legyen továbbá Ekkor
❶
A T, illetve S transzformációkat az új bázisra történő áttérés kísérő transzformációinak nevezzük. Az leképezés új mátrixát a fenti tétel szerint úgy kapjuk meg, hogy régi mátrixát megszorozzuk jobbról a V1-beli S kísérő transzformáció mátrixával, balról pedig a V2-beli T kísérő transzformáció mátrixának az inverzével.
Megjegyezzük, hogy a kísérő transzformációk mátrixa azonos, akár a régi, akár az új bázis szerint írjuk fel (lásd az 5.8.3 feladatot).
Ha V1=V2, azaz lineáris transzformáció, akkor csak egy új és egy régi bázis van, és az áttérést értelemszerűen az 5.8.1 Tétel alábbi speciális esete írja le:
Legyen a V vektortér egy-egy bázisa (a „régi”) illetve (az „új”) és az a(z egyértelműen meghatározott) lineáris transzformáció, amelyre Legyen továbbá Ekkor
❶
Most rátérünk az 5.8.1 Tétel bizonyítására.
Bizonyítás: Az (új) mátrix elemeit jelöljük α’ij-vel. Ekkor az A’ mátrix j-edik oszlopa definíció szerint az alábbi egyenlőségből adódik:
Az és összefüggések, valamint linearitása alapján ez a következőképpen írható át:
Azaz Ezt balról -gyel megszorozva
adódik. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy a leképezésnek a régi (azaz a „vesszőtlen”) bázispárban felírt mátrixa megegyezik -vel. Vagyis ami az 5.7.6 Tétel alapján átírható a kívánt alakba.❷
Egy másik bizonyítási lehetőségre nézve lásd az 5.8.6 feladatot.
Feladatok
5.8.1 Legyen V a legfeljebb 2-odfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektortere és az a lineáris transzformáció, amely minden polinomnak megfelelteti a deriváltját. Írjuk fel mátrixát az alábbi bázisokban:
a) 1+x, x+x2, x2+1;
b) x2+1, –2x2+2x, x2–1;
c) x2+x+1, 2x+1, –x2–x+1.
5.8.2 Adjunk az 5.8.1 Tétel segítségével új megoldást az 5.7.4, 5.7.5 és 5.7.9 feladatokra.
5.8.3 Mutassuk meg, hogy az új bázisra történő áttérésnél a kísérő transzformációk mátrixa ugyanaz, akár a régi, akár az új bázis szerint írjuk fel ezeket.
5.8.4 Lássuk be, hogy egy lineáris transzformáció bármely bázis szerinti mátrixának ugyanaz a determinánsa.
5.8.5 Legyen V vektortér R felett, 2≤dim V<∞. Igaz-e, hogy minden lineáris transzformációnak van olyan mátrixa, amely
a) szimmetrikus;
b) diagonális;
c) nem csupa különböző elemből áll;
d) felsőháromszög (azaz a főátló alatt minden elem nulla)?
5.8.6 Adjunk egy másik bizonyítást az 5.8.1 Tételre az alábbi gondolatmenet alapján: (A) Igazoljuk először azokat a speciális eseteket, amikor a kísérő transzformáció a következő típusú „elemi átalakítások” valamelyike: (i) egy báziselemet egy (nemnulla) skalárszorosára változtatunk; (ii) egy báziselemhez hozzáadjuk egy másik báziselem skalárszorosát; (iii) két báziselemet felcserélünk (lásd az 5.7.4 feladatot). — (B) Mutassuk meg, hogy ha a tétel igaz az és kísérő transzformációkra és bármely -ra, akkor abban az esetben is igaz marad, ha a kísérő transzformáció az és transzformációk szorzata. Bizonyítsuk be az analóg állítást a -kre is. — (C) A Gauss-kiküszöbölés mintájára lássuk be, hogy bármely kísérő transzformáció előállítható az (A)-ban jelzett elemi átalakítások egymásutánjával.
5.8.7 Legyenek V1≠V2, valamint V véges dimenziós vektorterek a T végtelen test felett.
a) Mely leképezéseknek létezik olyan mátrixa, amelynek egyik eleme sem nulla?
*b) Mely transzformációknak létezik olyan mátrixa, amelynek egyik eleme sem nulla?
Megjegyzés: Az a) részben a V1≠V2 kikötés elhagyható, ha kivételesen megengedjük, hogy a mátrixhoz a V1=V2 esetben is használhatunk két különböző bázist.
*5.8.8 Legyen V egy véges dimenziós vektortér a T végtelen test felett és tetszőleges lineáris transzformáció. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan bázis van V-ben, amelyek egymásnak nem skalárszorosai, és -t ezek akármelyike szerint felírva mindig ugyanazt a mátrixot kapjuk.