Legyen a V₁ vektortér egy-egy bázisa (a „régi”) ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ illetve (az „új”) ${\underset{\_}{a}}_1^{\text{'}},\dots ,{\underset{\_}{a}}_n^{\text{'}}$ és hasonlóképpen a V₂ vektortér egy-egy bázisa ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ illetve ${\underset{\_}{b}}_1^{\text{'}},\dots ,{\underset{\_}{b}}_k^{\text{'}}$ Legyen $S\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V_1$ az a(z egyértelműen meghatározott) lineáris transzformáció, amelyre $S\left({\underset{\_}{a}}_j\right)={\underset{\_}{a}}_j^{\text{'}},j=1,\dots ,n$ és hasonlóan $\mathcal{T}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V_2$ amelyre $\mathcal{T}\left({\underset{\_}{b}}_i\right)={\underset{\_}{b}}_i^{\text{'}}, i=1,\dots k$ Legyen továbbá $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(V_1,V_2\right)$ Ekkor

❶

A T, illetve S transzformációkat az új bázisra történő áttérés kísérő transzformációinak nevezzük. Az $\mathcal{A}$ leképezés új mátrixát a fenti tétel szerint úgy kapjuk meg, hogy $\mathcal{A}$ régi mátrixát megszorozzuk jobbról a V₁-beli S kísérő transzformáció mátrixával, balról pedig a V₂-beli T kísérő transzformáció mátrixának az inverzével.

Megjegyezzük, hogy a kísérő transzformációk mátrixa azonos, akár a régi, akár az új bázis szerint írjuk fel (lásd az 5.8.3 feladatot).

Ha V₁=V₂, azaz $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció, akkor csak egy új és egy régi bázis van, és az áttérést értelemszerűen az 5.8.1 Tétel alábbi speciális esete írja le:

Legyen a V vektortér egy-egy bázisa (a „régi”) ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ illetve (az „új”) ${\underset{\_}{a}}_1^{\text{'}},\dots ,{\underset{\_}{a}}_n^{\text{'}}$ és $S\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ az a(z egyértelműen meghatározott) lineáris transzformáció, amelyre $S\left({\underset{\_}{a}}_j\right)={\underset{\_}{a}}_j^{\text{'}}, j=1,\dots ,n$ Legyen továbbá $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ Ekkor

❶

Most rátérünk az 5.8.1 Tétel bizonyítására.

Bizonyítás: Az (új) $A^{\text{'}}=[\mathcal{A}{]}_{a^{\text{'}},b^{\text{'}}}$ mátrix elemeit jelöljük α’_ij-vel. Ekkor az A’ mátrix j-edik oszlopa definíció szerint az alábbi egyenlőségből adódik:

Az $\left(\mathcal{A}S\right)\left({\underset{\_}{a}}_j\right)=\mathcal{A}\left(S{\underset{\_}{a}}_j\right), S{\underset{\_}{a}}_j={\underset{\_}{a}}_j^{\text{'}}$ és ${\underset{\_}{b}}_i^{\text{'}}=\mathcal{T}{\underset{\_}{b}}_i$ összefüggések, valamint $\mathcal{T}$ linearitása alapján ez a következőképpen írható át:

Azaz $\left(\mathcal{A}S\right)\left({\underset{\_}{a}}_j\right)=\mathcal{T}\left({\alpha }_{1j}^{\text{'}}{\underset{\_}{b}}_1+\dots +{\alpha }_{kj}^{\text{'}}{\underset{\_}{b}}_k\right).$ Ezt balról ${\mathcal{T}}^{-1}$-gyel megszorozva 

adódik. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy a ${\mathcal{T}}^{-1}\mathcal{A}S$ leképezésnek a régi (azaz a „vesszőtlen”) bázispárban felírt mátrixa megegyezik ${\mathcal{A}}^{\text{'}}=[\mathcal{A}{]}_{a^{\text{'}},b^{\text{'}}}$-vel. Vagyis $[\mathcal{A}{]}_{a^{\text{'}},b^{\text{'}}}=[{\mathcal{T}}^{-1}\mathcal{A}S{]}_{a,b}$ ami az 5.7.6 Tétel alapján átírható a kívánt $[\mathcal{T}{]}_b^{-1}[\mathcal{A}{]}_{a,b}[S{]}_a$ alakba.❷

Egy másik bizonyítási lehetőségre nézve lásd az 5.8.6 feladatot.

Feladatok

5.8.1 Legyen V a legfeljebb 2-odfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektortere és $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ az a lineáris transzformáció, amely minden polinomnak megfelelteti a deriváltját. Írjuk fel $\mathcal{A}$ mátrixát az alábbi bázisokban:

a) 1+x, x+x², x²+1;

b) x²+1, –2x²+2x, x²–1;

c) x²+x+1, 2x+1, –x²–x+1.

5.8.2 Adjunk az 5.8.1 Tétel segítségével új megoldást az 5.7.4, 5.7.5 és 5.7.9 feladatokra.

5.8.3 Mutassuk meg, hogy az új bázisra történő áttérésnél a kísérő transzformációk mátrixa ugyanaz, akár a régi, akár az új bázis szerint írjuk fel ezeket.

5.8.4 Lássuk be, hogy egy lineáris transzformáció bármely bázis szerinti mátrixának ugyanaz a determinánsa.

5.8.5 Legyen V vektortér R felett, 2≤dim V<∞. Igaz-e, hogy minden $\mathcal{A}Hom V$ lineáris transzformációnak van olyan mátrixa, amely

a) szimmetrikus;

b) diagonális;

c) nem csupa különböző elemből áll;

d) felsőháromszög (azaz a főátló alatt minden elem nulla)?

5.8.6 Adjunk egy másik bizonyítást az 5.8.1 Tételre az alábbi gondolatmenet alapján: (A) Igazoljuk először azokat a speciális eseteket, amikor a kísérő transzformáció a következő típusú „elemi átalakítások” valamelyike: (i) egy báziselemet egy (nemnulla) skalárszorosára változtatunk; (ii) egy báziselemhez hozzáadjuk egy másik báziselem skalárszorosát; (iii) két báziselemet felcserélünk (lásd az 5.7.4 feladatot). — (B) Mutassuk meg, hogy ha a tétel igaz az $S_1$ és $S_2$ kísérő transzformációkra és bármely $\mathcal{A}$-ra, akkor abban az esetben is igaz marad, ha a kísérő transzformáció az $S_1$ és $S_2$ transzformációk $S_1{S}_2$ szorzata. Bizonyítsuk be az analóg állítást a $\mathcal{T}$-kre is. — (C) A Gauss-kiküszöbölés mintájára lássuk be, hogy bármely kísérő transzformáció előállítható az (A)-ban jelzett elemi átalakítások egymásutánjával.

5.8.7 Legyenek V₁≠V₂, valamint V véges dimenziós vektorterek a T végtelen test felett.

a) Mely $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} \left(V_1,V_2\right)$ leképezéseknek létezik olyan mátrixa, amelynek egyik eleme sem nulla?

*b) Mely $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ transzformációknak létezik olyan mátrixa, amelynek egyik eleme sem nulla?

 Megjegyzés: Az a) részben a V₁≠V₂ kikötés elhagyható, ha kivételesen megengedjük, hogy a mátrixhoz a V₁=V₂ esetben is használhatunk két különböző bázist.

*5.8.8 Legyen V egy véges dimenziós vektortér a T végtelen test felett és $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ tetszőleges lineáris transzformáció. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan bázis van V-ben, amelyek egymásnak nem skalárszorosai, és $\left[\mathcal{A}\right]$-t ezek akármelyike szerint felírva mindig ugyanazt a mátrixot kapjuk.