Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Legyen egy véges dimenziós vektortér a T test felett,
Értelmezni fogjuk az f polinomnak az „helyen” felvett „helyettesítési értékét”, -t, ami maga is egy V→V lineáris transzformáció lesz.
Először definiáljuk az nulladik hatványát a kézenfekvő egyenlőséggel (ahol az identikus transzformáció). Ezután már természetes módon adódik az definíció. Nyilván
Könnyen ellenőrizhető, hogy két polinom összegének, illetve szorzatának a helyettesítési értéke a helyettesítési értékek összege, illetve szorzata, azaz
A gyököt is a „szokásos” módon értelmezzük: az transzformáció gyöke az f polinomnak, ha
Az f polinom az transzformáció minimálpolinomja, ha f a(z egyik) legkisebb fokú olyan (nemnulla) polinom, amelynek az gyöke. Az minimálpolinomját -val jelöljük.❶
Példák: A nulla transzformáció (egyik) minimálpolinomja x, a síkban egy tengelyes tükrözésé x2–1, a 90 fokos elforgatásé x2+1, egy egyenesre történő vetítésé x2–x.
Minden -nak létezik minimálpolinomja, és ez konstans szorzó erejéig egyértelmű.❶
Ennek alapján nem okoz problémát, hogy az jelölés az akármelyik minimálpolinomját jelentheti, hiszen ezek a polinomok egymástól csak egy konstans szorzóban különböznek. Ennek megfelelően a továbbiakban mindig (határozott névelővel) „a” minimálpolinomról fogunk beszélni (de ezen akármelyik „példányt” érthetjük). Ha valaki (nagyon) egyértelműsíteni akar, akkor választhatja mondjuk azt az alakot, amelynek a főegyütthatója 1.
Bizonyítás: Először az egyértelműséget igazoljuk. Tegyük fel, hogy f=α0+α1x+…+αkxk és g=β0+β1x+…+βkxk is minimálpolinomja -nak, αk, βk≠0. Ekkor a h=αkg–βkf polinomra
ugyanakkor h foka kisebb k-nál. A minimálpolinom definíciója miatt így csak h=0 lehetséges, azaz valóban f=γg, ahol γ=αk/βk.
Most a minimálpolinom létezését bizonyítjuk. Ehhez elég megmutatnunk, hogy egyáltalán létezik olyan nemnulla polinom, amelynek az gyöke, ugyanis az ilyen tulajdonságú polinomok között kell lennie minimális fokúnak, és az megfelel minimálpolinomnak.
Tekintsük Hom V-ben az
transzformációkat. Mivel dim Hom V=n2, ezért ezek lineárisan összefüggők. Így létezik olyan ahol nem minden γi nulla és
Ez azt jelenti, hogy gyöke a
nemnulla polinomnak.❷
A bizonyításból az is kiderült, hogy a minimálpolinom foka Ennél több is igaz: Ez következik az alábbi, bizonyítás nélkül közölt tételből, valamint a 6.5.6 Tételből is.
A minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak.❶
A minimálpolinom segítségével könnyen áttekinthetjük azokat a polinomokat, amelyeknek az gyöke; ezek éppen a minimálpolinom többszörösei (polinomszorosai):
❶
Bizonyítás: Ha azaz akkor
tehát valóban gyöke g-nek.
Megfordítva, tegyük fel, hogy Osszuk el g-t maradékosan -val: ahol vagy r=0. Ekkor
A minimálpolinom definíciója miatt nem lehet, ezért r=0, azaz valóban ❷
A 6.3.4 Tétel alapján pl. a Cayley-Hamilton-tétel úgy is fogalmazható, hogy minden transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. A 6.3.4 Tétel a minimálpolinom megkereséséhez is segítséget nyújthat: ha már találtunk egy olyan (nemnulla) polinomot, amelynek a transzformáció gyöke, akkor a minimálpolinom csak ennek osztói közül kerülhet ki.
A karakterisztikus polinomhoz hasonlóan a minimálpolinom is szoros kapcsolatban áll a sajátértékekkel:
A minimálpolinom (T-beli) gyökei éppen a sajátértékek.❶
Bizonyítás: Először azt igazoljuk, hogy minden sajátérték gyöke a minimálpolinomnak. Legyen és tegyük fel, hogy sajátértéke -nak, azaz alkalmas vektorral teljesül. Ekkor
és ugyanígy igazolható (teljes indukcióval), hogy bármely j pozitív egészre
Az transzformációt az vektorra alkalmazva a vektort kapjuk. Így
azaz Mivel ezért innen következik, vagyis λ valóban gyöke a minimálpolinomnak.
Megfordítva, azt kell még megmutatnunk, hogy a minimálpolinom minden gyöke egyben sajátérték is. Legyen gyöke -nak, ekkor a minimálpolinom alakban írható. Az transzformációt behelyettesítve
adódik. Ez azt jelenti, hogy Mivel ezért tehát Így is teljesül. Mivel bármely nemnulla eleme a λ-hoz tartozó sajátvektor, tehát λ valóban sajátérték.❷
Feladatok
6.3.1 Írjuk fel a 6.1.1, 6.2.2 és 6.2.7 feladatokban szereplő transzformációk minimálpolinomját.
6.3.2 Jellemezzük azokat a transzformációkat, amelyek minimálpolinomja elsőfokú.
6.3.3 Hogyan olvasható le a minimálpolinomról, hogy a transzformációnak létezik-e inverze?
6.3.4 Bizonyítsuk be, hogy (invertálható esetén) felírható polinomjaként, azaz van olyan (-tól függő) amelyre
6.3.5 Invertálható transzformáció esetén hogyan kapjuk meg minimálpolinomjából minimálpolinomját?
6.3.6 Melyek igazak az alábbi állítások közül?
a) A minimálpolinom mindig irreducibilis (T felett).
b) Ha egy transzformáció gyöke egy (T felett) irreducibilis polinomnak, akkor ez a polinom a transzformáció minimálpolinomja.
c) Ha T=C, és a karakterisztikus polinomnak nincs többszörös gyöke, akkor a minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal.
d) Ha T=C, és a minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal, akkor a karakterisztikus polinomnak nincs többszörös gyöke.
e) Ha a transzformációnak létezik diagonális mátrixa, akkor a minimálpolinomnak nincs többszörös gyöke.
f) Ha egy f polinomnak az gyöke, akkor f-nek az minden sajátértéke is gyöke.
g) Ha T=C, és egy f polinomnak az minden sajátértéke gyöke, akkor f-nek az is gyöke.
6.3.7 Adjunk új bizonyítást a 6.2.5 feladatra.
6.3.8 Adjunk új bizonyítást az 5.6.9 feladatra.
6.3.9 Van-e az egységmátrixon kívül olyan 2×2-es
a) valós elemű; b) racionális elemű
mátrix, amelynek az ötödik hatványa az egységmátrix?
6.3.10 Mi a kapcsolata és minimálpolinomjának?
6.3.11 Bizonyítsuk be, hogy és minimálpolinomja ugyanaz.
6.3.12 Legyen és k≥n tetszőleges egész. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan (pontosan) k-adfokú polinom, amelynek az gyöke és amelyben a k–1, k–2, …, n-edfokú tagok együtthatója mind 0.
6.3.13 Tekintsük Hom V-ben az transzformációk által generált alteret. Hány dimenziós ez az altér?
*6.3.14 Legyen Mik lehetséges értékei?
M**6.3.15 A komplex test feletti vektorterek esetében és minimálpolinomja akkor és csak akkor egyezik meg, ha -nak (i) minden gyöke 0 vagy páratlan rendű egységgyök, (ii) a 0 legfeljebb egyszeres gyök, és (iii) bármely gyöknek a négyzete is gyök és multiplicitásuk is azonos.
6.3.16 Legyen h tetszőleges polinom. Bizonyítsuk be, hogy a transzformációnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha
6.3.17 Legyen rögzített mátrix és a következő: tetszőleges mátrixra
Milyen kapcsolat áll fenn és D sajátértékei, illetve minimálpolinomja között? Érvényes-e ugyanez a karakterisztikus polinomra is?
*6.3.18 Bizonyítsuk be, hogy minden legalább elsőfokú polinom minimálpolinomja egy alkalmas lineáris transzformációnak.