Az f polinom az $\mathcal{A}$ transzformáció minimálpolinomja, ha f a(z egyik) legkisebb fokú olyan (nemnulla) polinom, amelynek az $\mathcal{A}$ gyöke. Az $\mathcal{A}$ minimálpolinomját $m_{\mathcal{A}}$-val jelöljük.❶

Példák: A nulla transzformáció (egyik) minimálpolinomja x, a síkban egy tengelyes tükrözésé x²–1, a 90 fokos elforgatásé x²+1, egy egyenesre történő vetítésé x²–x.

Minden $\mathcal{A}$-nak létezik minimálpolinomja, és ez konstans szorzó erejéig egyértelmű.❶

Ennek alapján nem okoz problémát, hogy az $m_{\mathcal{A}}$ jelölés az $\mathcal{A}$akármelyik minimálpolinomját jelentheti, hiszen ezek a polinomok egymástól csak egy konstans szorzóban különböznek. Ennek megfelelően a továbbiakban mindig (határozott névelővel) „a” minimálpolinomról fogunk beszélni (de ezen akármelyik „példányt” érthetjük). Ha valaki (nagyon) egyértelműsíteni akar, akkor választhatja mondjuk azt az alakot, amelynek a főegyütthatója 1.

Bizonyítás: Először az egyértelműséget igazoljuk. Tegyük fel, hogy f=α₀+α₁x+…+α_kx^k és g=β₀+β₁x+…+β_kx^k is minimálpolinomja $\mathcal{A}$-nak, α_k, β_k≠0. Ekkor a h=α_kg–β_kf polinomra

ugyanakkor h foka kisebb k-nál. A minimálpolinom definíciója miatt így csak h=0 lehetséges, azaz valóban f=γg, ahol γ=α_k/β_k.

Most a minimálpolinom létezését bizonyítjuk. Ehhez elég megmutatnunk, hogy egyáltalán létezik olyan nemnulla polinom, amelynek az $\mathcal{A}$ gyöke, ugyanis az ilyen tulajdonságú polinomok között kell lennie minimális fokúnak, és az megfelel minimálpolinomnak.

Tekintsük Hom V-ben az

transzformációkat. Mivel dim Hom V=n², ezért ezek lineárisan összefüggők. Így létezik olyan ${\gamma }_0,{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_{n^2}T$ ahol nem minden γ_i nulla és

Ez azt jelenti, hogy $\mathcal{A}$ gyöke a

nemnulla polinomnak.❷

A bizonyításból az is kiderült, hogy a minimálpolinom foka $\mathrm{deg}{m}_{\mathcal{A}}\le n^2$ Ennél több is igaz: $\mathrm{deg}{m}_{\mathcal{A}}\le n$ Ez következik az alábbi, bizonyítás nélkül közölt tételből, valamint a 6.5.6 Tételből is.

A minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak.❶

A minimálpolinom segítségével könnyen áttekinthetjük azokat a polinomokat, amelyeknek az $\mathcal{A}$ gyöke; ezek éppen a minimálpolinom többszörösei (polinomszorosai):

❶

Bizonyítás: Ha $m_{\mathcal{A}}|g$ azaz $g=t{m}_{\mathcal{A}}$ akkor

tehát $\mathcal{A}$ valóban gyöke g-nek.

Megfordítva, tegyük fel, hogy $g\left(\mathcal{A}\right)=\mathcal{O}$ Osszuk el g-t maradékosan $m_{\mathcal{A}}$-val: $g=t{m}_{\mathcal{A}}+r$ ahol $\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}{m}_{\mathcal{A}}$ vagy r=0. Ekkor

A minimálpolinom definíciója miatt $\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}{m}_{\mathcal{A}}$ nem lehet, ezért r=0, azaz valóban $m_{\mathcal{A}}|g$❷

A 6.3.4 Tétel alapján pl. a Cayley-Hamilton-tétel úgy is fogalmazható, hogy minden transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. A 6.3.4 Tétel a minimálpolinom megkereséséhez is segítséget nyújthat: ha már találtunk egy olyan (nemnulla) polinomot, amelynek a transzformáció gyöke, akkor a minimálpolinom csak ennek osztói közül kerülhet ki.

A karakterisztikus polinomhoz hasonlóan a minimálpolinom is szoros kapcsolatban áll a sajátértékekkel:

A minimálpolinom (T-beli) gyökei éppen a sajátértékek.❶

Bizonyítás: Először azt igazoljuk, hogy minden sajátérték gyöke a minimálpolinomnak. Legyen $m_{\mathcal{A}}={\alpha }_0+{\alpha }_{1}x+\dots +{\alpha }_k{x}^k$ és tegyük fel, hogy $\lambda T$ sajátértéke $\mathcal{A}$-nak, azaz alkalmas $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ vektorral $\mathcal{A}\underset{\_}{u}=\lambda \underset{\_}{u}$ teljesül. Ekkor

és ugyanígy igazolható (teljes indukcióval), hogy bármely j pozitív egészre ${\mathcal{A}}^j\underset{\_}{u}={\lambda }^j\underset{\_}{u}$

Az $m_{\mathcal{A}}\left(\mathcal{A}\right)=\mathcal{O}$ transzformációt az $\underset{\_}{u}$ vektorra alkalmazva a $\underset{\_}{0}$ vektort kapjuk. Így

azaz $m_{\mathcal{A}}\left(\lambda \right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}$ Mivel $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ ezért innen $m_{\mathcal{A}}\left(\lambda \right)=0$ következik, vagyis λ valóban gyöke a minimálpolinomnak.

Megfordítva, azt kell még megmutatnunk, hogy a minimálpolinom minden gyöke egyben sajátérték is. Legyen $\lambda T$ gyöke $m_{\mathcal{A}}$-nak, ekkor a minimálpolinom $m_{\mathcal{A}}=\left(x-\lambda \right)g$ alakban írható. Az $\mathcal{A}$ transzformációt behelyettesítve

adódik. Ez azt jelenti, hogy $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\left(\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right)\supseteq \mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }g\left(\mathcal{A}\right)$ Mivel $\mathrm{deg}g<\mathrm{deg}{m}_{\mathcal{A}}$ ezért $g\left(\mathcal{A}\right)\ne \mathcal{O}$ tehát $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{ }g\left(\mathcal{A}\right)\ne \underset{\_}{0}$ Így $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\left(\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right)\ne \underset{\_}{0}$ is teljesül. Mivel $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\left(\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right)$ bármely nemnulla eleme a λ-hoz tartozó sajátvektor, tehát λ valóban sajátérték.❷

Feladatok

6.3.1 Írjuk fel a 6.1.1, 6.2.2 és 6.2.7 feladatokban szereplő transzformációk minimálpolinomját.

6.3.2 Jellemezzük azokat a transzformációkat, amelyek minimálpolinomja elsőfokú.

6.3.3 Hogyan olvasható le a minimálpolinomról, hogy a transzformációnak létezik-e inverze?

6.3.4 Bizonyítsuk be, hogy (invertálható $\mathcal{A}$ esetén) ${\mathcal{A}}^{-1}$ felírható $\mathcal{A}$ polinomjaként, azaz van olyan ($\mathcal{A}$-tól függő) $fT\left[x\right]$ amelyre ${\mathcal{A}}^{-1}=f\left(\mathcal{A}\right)$

6.3.5 Invertálható transzformáció esetén hogyan kapjuk meg $\mathcal{A}$ minimálpolinomjából ${\mathcal{A}}^{-1}$ minimálpolinomját?

6.3.6 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) A minimálpolinom mindig irreducibilis (T felett).

b) Ha egy transzformáció gyöke egy (T felett) irreducibilis polinomnak, akkor ez a polinom a transzformáció minimálpolinomja.

c) Ha T=C, és a karakterisztikus polinomnak nincs többszörös gyöke, akkor a minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal.

d) Ha T=C, és a minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal, akkor a karakterisztikus polinomnak nincs többszörös gyöke.

e) Ha a transzformációnak létezik diagonális mátrixa, akkor a minimálpolinomnak nincs többszörös gyöke.

f) Ha egy f polinomnak az $\mathcal{A}$ gyöke, akkor f-nek az $\mathcal{A}$ minden sajátértéke is gyöke.

g) Ha T=C, és egy f polinomnak az $\mathcal{A}$ minden sajátértéke gyöke, akkor f-nek az $\mathcal{A}$ is gyöke.

6.3.7 Adjunk új bizonyítást a 6.2.5 feladatra.

6.3.8 Adjunk új bizonyítást az 5.6.9 feladatra.

6.3.9 Van-e az egységmátrixon kívül olyan 2×2-es

 a) valós elemű; b) racionális elemű

 mátrix, amelynek az ötödik hatványa az egységmátrix?

6.3.10 Mi a kapcsolata $\mathcal{A}\mathcal{B}$ és $\mathcal{B}\mathcal{A}$ minimálpolinomjának?

6.3.11 Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{A}$ és ${\mathcal{B}}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}$ minimálpolinomja ugyanaz.

6.3.12 Legyen $\dim V=n, \mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ és k≥n tetszőleges egész. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan (pontosan) k-adfokú polinom, amelynek az $\mathcal{A}$ gyöke és amelyben a k–1, k–2, …, n-edfokú tagok együtthatója mind 0.

6.3.13 Tekintsük Hom V-ben az ${\mathcal{A}}^i, i=\mathrm{0,1},2,\dots ({\mathcal{A}}^0=\mathrm{ℇ})$ transzformációk által generált alteret. Hány dimenziós ez az altér?

*6.3.14 Legyen $\mathrm{deg}{m}_{\mathcal{A}}=k$ Mik $\mathrm{deg}{m}_{{\mathcal{A}}^2}$ lehetséges értékei?

M**6.3.15 A komplex test feletti vektorterek esetében $c$ és ${\mathcal{A}}^2$ minimálpolinomja akkor és csak akkor egyezik meg, ha $m_{\mathcal{A}}$-nak (i) minden gyöke 0 vagy páratlan rendű egységgyök, (ii) a 0 legfeljebb egyszeres gyök, és (iii) bármely gyöknek a négyzete is gyök és multiplicitásuk is azonos.

6.3.16 Legyen h tetszőleges polinom. Bizonyítsuk be, hogy a $h\left(\mathcal{A}\right)$ transzformációnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha $\left(h, m_{\mathcal{A}}\right)=1$

6.3.17 Legyen $D{T}^{n\times n}$ rögzített mátrix és $\mathcal{A}{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{ }(T}^{n\times n})$ a következő: tetszőleges $B{T}^{n\times n}$ mátrixra $\mathcal{A}\left(B\right)=DB$

 Milyen kapcsolat áll fenn $\mathcal{A}$ és D sajátértékei, illetve minimálpolinomja között? Érvényes-e ugyanez a karakterisztikus polinomra is?

*6.3.18 Bizonyítsuk be, hogy minden legalább elsőfokú polinom minimálpolinomja egy alkalmas lineáris transzformációnak.