Legyen ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ a V vektortér egy olyan bázisa, hogy $U_1=〈{\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k〉$ és $U_2=〈{\underset{\_}{b}}_{k+1},\dots ,{\underset{\_}{b}}_n〉$ az $\mathcal{A}$ transzformáció invariáns alterei. Ekkor az $[\mathcal{A}{]}_b$ mátrixban a bal felső k×k-as és a jobb alsó (n–k)×(n–k)-as négyzet kivételével minden elem nulla. Azaz a mátrix $\left(\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right)$ alakú, ahol A₁ egy k×k-as, A₂ egy (n–k)×(n–k)-as mátrix, a bal alsó (n–k)×k-as és a jobb felső k×(n–k)-as rész pedig nullmátrix.❶

A 6.6.1 Tétel azonnal következik abból, hogy U₁ és U₂ invariáns alterek. Megjegyezzük, hogy az A_i mátrix (i=1,2) éppen az $\mathcal{A}$ transzformáció U_i-re történő megszorításának a mátrixa (a megfelelő bázisban). A fenti felbontást a jövőben röviden úgy fogjuk mondani, hogy az A mátrixot az A₁ és A₂blokkokra bontottuk fel, illetve az A mátrix az A₁ és A₂ mátrixok direkt összege.

Tegyük fel, hogy $m_{\mathcal{A}}=g_1{g}_2$ ahol (g₁, g₂)=1. Ekkor $V=U_1\oplus U_2$ ahol az U_i-k az $\mathcal{A}$-nak invariáns alterei, és az $\mathcal{A}$ transzformáció U_i-re történő megszorításának a minimálpolinomja éppen g_i.❶

Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy az $U_i=Ker g_i\left(\mathcal{A}\right)$ választás megfelel.

(a) Ezek az U_i-k a 6.4.9a feladat szerint valóban invariáns alterek.

(b) $V=U_1\oplus U_2$ igazolásához azt kell belátnunk, hogy

(b1) $U_1{U}_2=\underset{\_}{0}$ és (b2) $〈U_1,U_2〉=V$

(b1) Tegyük fel, hogy $\underset{\_}{u}{U}_1{U}_2$ azaz $g_i\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}, i=\mathrm{1,2}$ Ez azt jelenti, hogy $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)|g_i$ tehát $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)|\left(g_1,g_2\right)=1$ azaz $\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}$

(b2) Mivel (g₁, g₂)=1, így alkalmas h₁ és h₂ polinomokkal 1=g₁h₁+g₂h₂. Ezért $\mathcal{E}=g_1\left(\mathcal{A}\right)h_1\left(\mathcal{A}\right)+g_2\left(\mathcal{A}\right)h_2\left(\mathcal{A}\right)$ Ezt tetszőleges $\underset{\_}{v}$ vektorra alkalmazva $\underset{\_}{v}={\underset{\_}{v}}_1+{\underset{\_}{v}}_2$ adódik, ahol ${\underset{\_}{v}}_i=g_i\left(\mathcal{A}\right)h_i\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{v}$ Itt ${\underset{\_}{v}}_1\in U_2$ hiszen

Ugyanígy adódik ${\underset{\_}{v}}_2{U}_1$ is.

(c) Végül legyen az $\mathcal{A}$ transzformáció U_i-re történő megszorításának a minimálpolinomja r_i, be kell látnunk, hogy r_i=g_i. Mivel $U_1=Ker{g}_1\left(\mathcal{A}\right)$ ezért minden $\underset{\_}{u}{U}_1-\mathrm{r}\mathrm{e} g_1\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}$ tehát r₁|g₁.

A másik irányú, g₁|r₁ oszthatóság igazolásához tekintsük egy tetszőleges $\underset{\_}{v}V$ vektorra a (b2) szerinti $\underset{\_}{v}={\underset{\_}{v}}_1+{\underset{\_}{v}}_2$ felbontást, ahol ${\underset{\_}{v}}_1{U}_2, {\underset{\_}{v}}_2{U}_1$ Láttuk, hogy $g_2\left(\mathcal{A}\right){\underset{\_}{v}}_1=\underset{\_}{0}$ továbbá r₁ definíciója alapján $r_1\left(\mathcal{A}\right){\underset{\_}{v}}_2=\underset{\_}{0}$ Így az s=r₁g₂ polinomra $s\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{v}=s\left(\mathcal{A}\right){\underset{\_}{v}}_1+s\left(\mathcal{A}\right){\underset{\_}{v}}_2=\underset{\_}{0}$ minden $\underset{\_}{v}V$-re. Ez azt jelenti, hogy $m_{\mathcal{A}}=g_1{g}_2|s=r_1{g}_2$ azaz g₁|r₁.

Ezzel igazoltuk, hogy r₁=g₁, és ugyanígy kapjuk az r₂=g₂ egyenlőséget is.❷

A 6.6.2 Tételből teljes indukcióval kapjuk, hogy ha a minimálpolinomot (páronként nem-egységszeres) irreducibilis tényezők hatványainak a szorzatára bontjuk, $m_{\mathcal{A}}=p_1^{k_1}\dots p_t^{k_t}$ akkor a V vektortér olyan U_i invariáns alterek direkt összege, ahol az $\mathcal{A}$ transzformáció U_i-ra történő ${\mathcal{A}}_i$ megszorításának a minimálpolinomja éppen $p_i^{k_i}$ A 6.6.1 Tétel szerint így $\mathcal{A}$-nak az U_i alterek szerinti bázisban vett mátrixa olyan A_i blokkokra bomlik, ahol ${\mathcal{A}}_i=\left[{\mathcal{A}}_i\right]$

Mindezek alapján elég olyan transzformációk „szép” mátrixát keresni, amelyek minimálpolinomja egy irreducibilis polinom hatványa. Ez általában igen nehéz feladat. Speciálisan a komplex test felett egyszerűbb a helyzet, hiszen itt egy irreducibilis polinom csak elsőfokú lehet. Erre vonatkozik az alábbi tétel, amelyet bizonyítás nélkül közlünk.

Legyen $\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V, m_{\mathcal{B}}=(x-\lambda {)}^k$ Ekkor alkalmas bázisban $\mathcal{B}$ mátrixa olyan B_j blokkokból áll (lehet, hogy csak egyből), ahol

(i) a B_j-k méretének a maximuma k×k, azaz mindegyik B_j legfeljebb k×k-as, de van közöttük pontosan k×k-as is,

és

(ii) mindegyik B_j-ben a főátló minden eleme λ, közvetlenül a főátló alatt minden elem 1, az összes többi elem pedig 0.

(Egy blokk 1×1-es is lehet, ilyenkor egyetlen λ-ból áll.)

Azaz

ahol a B_j mérete $q_j\times q_j,{}_{j=1}^r{q}_j=\dim V$ és max_1≤j≤rq_j=k.❶

A fentiekből most már azonnal adódik a komplex test felett egy tetszőleges transzformáció „legszebb” mátrixa:

Legyen V a komplex test feletti véges dimenziós vektortér, $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V,m_{\mathcal{A}}=(x-{\lambda }_1{)}^{k_1}\dots (x-{\lambda }_t{)}^{k_t}$ Ekkor alkalmas bázisban $\mathcal{A}$ mátrixa a 6.6.2 Tétel szerinti A_i blokkokból áll, i=1,2,…,t, egy-egy A_i blokk pedig a 6.6.3 Tételből adódó A_ij alblokkokból. Az A_ij alblokkok méretének (rögzített i melletti) maximuma k_i, és az A_ij alblokkok főátlójában minden elem λ_i, közvetlenül a főátló alatt minden elem 1, az összes többi elem pedig 0.❶

A 6.6.4 Tételben leírt $\left[\mathcal{A}\right]$ mátrixot az $\mathcal{A}$ transzformációhoz tartozó Jordan-féle normálalaknak vagy röviden Jordan-alaknak hívjuk. Ha a transzformáció egy (tetszőleges bázis szerinti) mátrixát tekintjük, akkor ennek a mátrixnak a Jordan-alakján a transzformációhoz tartozó Jordan-alakot értjük.

A tételt azzal is kiegészíthetjük, hogy egy transzformáció (illetve mátrix) Jordan-alakja lényegében egyértelmű (eltekintve az egyes blokkok, illetve azokon belül az egyes alblokkok permutációjától).

A Jordan-alak szerint a komplex test felett bármely transzformációnak van „majdnem diagonális mátrixa”: csak a főátlóban és közvetlenül a főátló alatt állhatnak nemnulla elemek, a főátlóban a sajátértékek szerepelnek, közvetlenül a főátló alatt pedig 1-ek (az alblokkokon belül), illetve 0-k (az alblokkok, illetve blokkok határánál).

Feladatok

6.6.1 Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{A}$-nak akkor és csak akkor létezik diagonális mátrixa, ha $m_{\mathcal{A}}$ csupa különböző gyöktényező szorzatára bomlik.

6.6.2 Legyen dim V=n, és tegyük fel, hogy $\mathcal{A}$-nak n különböző sajátértéke van.

a) Bizonyítsuk be, hogy ha $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$ akkor $\mathcal{B}$-nek létezik diagonális mátrixa.

b) Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$ akkor és csak akkor teljesül, ha valamilyen f polinomra $\mathcal{B}=f\left(\mathcal{A}\right)$

6.6.3 Legyen $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ és U invariáns altere $\mathcal{A}$-nak. Milyen kapcsolatban áll az $\mathcal{A}$ transzformáció U-ra történő megszorításának a minimálpolinomja az eredeti minimálpolinommal? Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést a karakterisztikus polinomokra is.

6.6.4 Legyenek U₁ és U₂ invariáns alterei $\mathcal{A}$-nak. Tekintsük az $\mathcal{A}$ transzformációnak a megszorítását az U₁, U₂, U₁∩U₂, illetve $〈U_1,U_2〉$ (invariáns) alterekre, és legyenek a megfelelő minimálpolinomok rendre m₁, m₂, m_∩, illetve $m_{〈〉}$ Bizonyítsuk be, hogy

a) $m_{〈〉}=\left[m_1,m_2\right]$

b) m_∩|(m₁, m₂), de általában nem áll fenn egyenlőség.

6.6.5 Legyenek U₁ és U₂ invariáns alterei $\mathcal{A}$-nak. Tekintsük az $\mathcal{A}$ transzformációnak a megszorítását az U₁, U₂, U₁∩U₂, illetve $〈U_1,U_2〉$ (invariáns) alterekre, és legyenek a megfelelő karakterisztikus polinomok rendre k₁, k₂, k_∩, illetve $k_{〈〉}$ Bizonyítsuk be, hogy

a) $\left[k_1,k_2\right]|k_{〈〉}$ de általában nem áll fenn egyenlőség;

b) k_∩|(k₁, k₂), de általában nem áll fenn egyenlőség;

c) $k_1{k}_2=k_{}\cdot k_{〈〉}$

*6.6.6 Bizonyítsuk be, hogy végtelen test esetén egy transzformációnak akkor és csak akkor van véges sok invariáns altere, ha a minimálpolinom foka megegyezik a tér dimenziójával. Az invariáns alterek száma ekkor a minimálpolinom páronként nem-egységszeres osztóinak a számával egyenlő.

6.6.7 Legyen $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ Bizonyítsuk be, hogy az alábbi feltételek ekvivalensek.

(i) $\mathcal{A}$ minden invariáns altere (alkalmas $fT\left[x\right]$ polinommal) $Ker f\left(\mathcal{A}\right)$ alakú.

(ii) $\mathcal{A}$ minden invariáns altere (alkalmas $gT\left[x\right]$ polinommal) $Im g\left(\mathcal{A}\right)$ alakú.

(iii) $\mathcal{A}$ minden invariáns altere (alkalmas $\underset{\_}{u}V$ vektorral) $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉$ alakú.

(iv) A minimálpolinom foka megegyezik a tér dimenziójával.

(v) A minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal.

6.6.8 Két lineáris transzformációt, $\mathcal{A},\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$-t hasonlónak nevezünk, ha „van közös mátrixuk”, azaz van olyan ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ illetve ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ bázis, hogy $[\mathcal{B}{]}_b=[\mathcal{A}{]}_a$ Ezt $\mathcal{A}~\mathcal{B}$-vel jelöljük.

a) Melyek azok a transzformációk, amelyek csak önmagukhoz hasonlók?

b) Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{A}$ és $\mathcal{B}$ akkor és csak akkor hasonló, ha van olyan invertálható $\mathcal{C}$ amelyre $\mathcal{B}={\mathcal{C}}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{C}$

c) Igazoljuk, hogy a hasonlóság ekvivalenciareláció.

d) Legyen $\mathcal{A}~\mathcal{B}$ Következik-e ebből $\mathcal{A}+\mathcal{D}~\mathcal{B}+\mathcal{D}$ illetve $\mathcal{A}\mathcal{D}~\mathcal{B}\mathcal{D}$?

e) Bizonyítsuk be, hogy ha $\mathcal{A}~\mathcal{B}$ akkor tetszőleges f polinomra $f\left(\mathcal{A}\right)~f\left(\mathcal{B}\right)$

f) Bizonyítsuk be, hogy hasonló transzformációk karakterisztikus polinomja és minimálpolinomja megegyezik. Igaz-e ennek az állításnak a megfordítása?

6.6.9 Adott V esetén melyek azok a transzformációk, amelyeket a minimálpolinomjuk egyértelműen meghatároz?

6.6.10 Írjuk fel az alábbi 3×3-as mátrixok Jordan-alakját:

 a) $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ b) $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ c) $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ d) $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

6.6.11 Írjuk fel az alábbi n×n-es A=(α_ij) mátrixok Jordan-alakját.

a) ${\alpha }_{ij}=\left\{\begin{array}{c}1, \mathrm{h}\mathrm{a} j=i+1;\\ 0, \mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{é}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{é}\mathrm{n}\mathrm{t}.\end{array}\right.$

 (Közvetlenül a főátló felett 1-ek állnak, minden más elem 0.)

b) ${\alpha }_{ij}=\left\{\begin{array}{c}1, \mathrm{h}\mathrm{a} j\equiv i+1 \left(mod n\right);\\ 0, \mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{é}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{é}\mathrm{n}\mathrm{t}.\end{array}\right.$

 (Közvetlenül a főátló felett, valamint a bal alsó sarokban 1-ek állnak, minden más elem 0.)

c) ${\alpha }_{ij}=\left\{\begin{array}{c}1, \mathrm{h}\mathrm{a} j=i-2;\\ 0, \mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{é}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{é}\mathrm{n}\mathrm{t}.\end{array}\right.$

 (A főátló alatti második átlóban 1-ek állnak, minden más elem 0.)

d) ${\alpha }_{ij}=\left\{\begin{array}{c}1, \mathrm{h}\mathrm{a} j<i;\\ 0, \mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{é}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{é}\mathrm{n}\mathrm{t}.\end{array}\right.$

 (A főátló alatt mindenütt 1-ek állnak, a többi elem pedig 0.)

e) α_ij=1. (Minden elem 1.)

f) ${\alpha }_{ij}=\left\{\begin{array}{c}1, \mathrm{h}\mathrm{a} i+j=n+1;\\ 0, \mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{é}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{é}\mathrm{n}\mathrm{t}.\end{array}\right.$

 (A bal alsó és jobb felső sarkot összekötő átlóban 1-ek állnak, a többi elem 0.)

6.6.12 Hogyan kapjuk meg egy Jordan-alakban megadott mátrix (tetszőleges nagy pozitív egész kitevős) hatványait?

6.6.13 Hogyan olvashatjuk le a Jordan-alakból a minimálpolinomot és a karakterisztikus polinomot?

6.6.14 Legyen V a komplex test feletti n-dimenziós vektortér, $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ és 0≤k≤n. Mutassuk meg, hogy $\mathcal{A}$-nak létezik k-dimenziós invariáns altere.

6.6.15 Legyen V a komplex test feletti véges dimenziós vektortér. Melyek azok a transzformációk, amelyeket

 a) a minimálpolinomjuk;

 b) a karakterisztikus polinomjuk;

 c) a minimál- és a karakterisztikus polinomjuk együttesen

 hasonlóság erejéig egyértelműen meghatároz?

6.6.16 Definiáljuk négyzetes mátrixokra is a sajátérték, a sajátvektor, a karakterisztikus polinom, a minimálpolinom és a hasonlóság fogalmát.

*6.6.17 Bizonyítsuk be, hogy bármely komplex elemű négyzetes mátrix hasonló a transzponáltjához.