Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Tartalom
A valós bilineáris függvények és kvadratikus alakok vizsgálata a geometriából, a másodrendű görbék és felületek általánosításaként alakult ki. Jellemzésüknél központi szerephez jut az általánosított merőlegességfogalom, az ortogonalitás. A „legszebb” bilineáris függvény a skalárszorzat, amely az euklideszi tereket „hozza létre” (lásd a következő fejezetet). Röviden arra is rámutatunk, hogyan kell módosítani a bilineáris függvény definícióját a komplex test esetén, hogy a valósban megismert „jó tulajdonságokat” át lehessen menteni.
Legyen V vektortér R felett. Az A:V×V→R leképezést (valós) bilineáris függvénynek nevezzük, ha mindkét változójában lineáris, azaz az egyik változó bármely rögzített értéke esetén a másik változójában lineáris.
Ez részletesen kiírva a következőket jelenti
(i) A minden vektorpárhoz egyértelműen hozzárendel egy valós számot;
(ii)
(iii)
(iv)
(v) ❶
A bilineáris függvényeket vastag latin nagybetűvel fogjuk jelölni. A definícióból és a lineáris leképezések tulajdonságaiból azonnal következnek az alábbi azonosságok:
(vi) (vii) (viii)
Példák bilineáris függvényre
P1. Legyen V az origóból kiinduló sík-, illetve térvektorok szokásos vektortere és A a (geometriából ismert) skalárszorzat: két vektorhoz a hosszaiknak és a közbezárt szög koszinuszának a szorzatát rendeljük. (Ha az egyik vagy mindkét vektor nullvektor, akkor a skalárszorzat nulla, és ez összhangba hozható a fentiekkel, mert a közbezárt szöggel ugyan probléma van, azonban a nulla hosszat bármivel szorozva ismét nullát kapunk.) A skalárszorzat megadható a vektorok szokásos (derékszögű egységvektorok szerinti) koordinátáival is: a megfelelő koordináták szorzatösszegét kell képezni.
P2. A skalárszorzat második jellemzését tetszőleges Rk-ra általánosíthatjuk: a két vektorhoz a megfelelő koordináták szorzatösszegét rendeljük, azaz ha akkor
Ennek alapján a valós test feletti tetszőleges k-dimenziós vektortéren is értelmezhetünk skalárszorzatot: rögzítünk egy bázist, és utána ugyanígy a megfelelő koordináták szorzatösszegét vesszük.
Itt jegyezzük meg, hogy ebben és a következő fejezetben az eddigiektől eltérően a vektorok komponenseit, illetve koordinátáit nem görög betűkkel, hanem — az általános szokásnak megfelelően — aláhúzatlan latin kisbetűkkel fogjuk jelölni.
P3. Az előző példa jelöléseit megtartva bilineáris függvény Rk-n például u1v2+2u2v1 vagy u1v1–3u2v2 stb.
P4. Minden vektorpárhoz a nulla valós számot rendelve kapjuk a(z azonosan nulla) 0 bilineáris függvényt.
P5. Végül nézzünk néhány végtelen dimenziós példát. Legyen V a valós együtthatós polinomok szokásos vektortere, és két polinomhoz rendeljük hozzá a szorzatuknak egy adott helyen vett helyettesítési értékét. Ugyanezt polinomok helyett (pl.) folytonos függvényekre is megtehetjük. Egy másik lehetséges hozzárendelés a szorzatfüggvény integrálja egy adott intervallumon.
A fejezet további részében csak véges dimenziós vektorterekkel foglalkozunk. Legyen dim V=n, és rögzítsünk le egy bázist.
Belátjuk, hogy a lineáris leképezésekhez hasonlóan a bilineáris függvények is jellemezhetők a báziselemek képével, és ez lehetővé teszi a mátrixos megadást.
Legyen bázis a V vektortérben és αij, i,j=1,2,…,n tetszőleges valós számok. Ekkor pontosan egy olyan A bilineáris függvény létezik, amelyre
❶
Bizonyítás: Az 5.3.1 Tétel bizonyításának a gondolatmenetét követjük.
Vegyünk V-ből tetszőleges és vektorokat, ezek egyértelműen felírhatók illetve alakban. Ha létezik a mondott tulajdonságú A bilineáris függvény, akkor a (viii) tulajdonság alapján szükségképpen
teljesül. Ez azt mutatja, hogy egyértelműen meg van határozva, tehát legfeljebb egy ilyen A létezhet. Sőt, az is kiderült, hogy csak az képlettel definiált függvény jöhet szóba. Erről kell tehát megmutatni, hogy valóban bilineáris, ami a (ii)–(v) tulajdonságok ellenőrzését jelenti. Ennek végigszámolását az Olvasóra bízzuk.❷
Az A bilineáris függvénynek a bázis szerinti mátrixán azt az n×n-es mátrixot értjük, amelyben az i-ik sor j-ik eleme Ezt a mátrixot [A]b-vel jelöljük.❶
Ne felejtsük el, hogy a lineáris leképezésekhez hasonlóan a bilineáris függvény mátrixa is erősen bázisfüggő, más bázist választva általában a mátrix is egészen más lesz.
Rögzített bázis mellett kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn a V-n értelmezett bilineáris függvények és az n×n-es (valós) mátrixok között. Ha az illetve vektor koordinátái az adott bázisban u1, …, un, illetve v1, …, vn, akkor
(1)
vagy mátrixos felírásban
(2)❶
Bizonyítás: A kölcsönös egyértelműséget a 7.1.2 Tétel biztosítja. Az (1) előállítást a 7.1.2 Tétel bizonyítása során igazoltuk. Az (1) és (2) képletek ekvivalenciája a (2)-beli mátrixszorzások elvégzésével adódik.❷
A mátrixos jellemzés, illetve (1) és (2) az összes bilineáris függvény kényelmes áttekintését teszi lehetővé
Feladatok
V végig a valós test feletti véges dimenziós vektorteret jelent.
7.1.1 Legyen V a legfeljebb 4-edfokú valós együtthatós polinomok (beleértve a 0 polinomot is) szokásos vektortere. Válasszuk ki az alábbi leképezések közül a bilineáris függvényeket, és írjuk fel a mátrixukat a szokásos bázisban. Legyen f,g képe
a) fg; b) f(1)+g(1); c) f(1)g(2); d) f’(1)g(2); e) fg-ben x2 együtthatója.
7.1.2 Írjuk fel a P2, P3 és P4 példákban szereplő bilineáris függvények mátrixát (alkalmas bázisban).
7.1.3 Mi lehet egy valós bilineáris függvény értékkészlete (azaz a felvett értékeinek az összessége)?
7.1.4 Hogyan módosul a 7.1.2 Tétel állítása, ha bázis helyett a) generátorrendszeren; b) lineárisan független rendszeren írjuk elő a bilineáris függvény értékét?
7.1.5 Definiáljunk a V-n értelmezett bilineáris függvények körében természetes módon összeadást és skalárszorost, és mutassuk meg, hogy így egy vektorteret kapunk. Hány dimenziós ez a vektortér?
7.1.6 Legyen V egy bázisa Hogyan változik egy A bilineáris függvény mátrixa, ha
a) -et és -t felcseréljük;
b) helyett -at veszünk (λ≠0);
c) helyett -t veszünk?
7.1.7 Adjuk meg az összes olyan bilineáris függvényt, amelynek bármely bázisban ugyanaz a mátrixa.
7.1.8 Legyen rögzített bázis V-ben, és tekintsük a P2 példában értelmezett (a bázis szerinti) skalárszorzatot. Jelöljük és skalárszorzatát -vel.
a) Legyen egy tetszőleges lineáris transzformáció. Lássuk be, hogy bilineáris függvényt határoz meg.
b) Mutassuk meg, hogy az a)-beli lineáris transzformációnak és A bilineáris függvénynek a bázisban felírt mátrixa ugyanaz:
c) Bizonyítsuk be, hogy minden bilineáris függvény előáll az a)-beli alakban alkalmas -vel.
7.1.9 A V→R lineáris leképezéseket, azaz Hom (V, R) elemeit lineáris függvényeknek nevezzük.
a) Legyen Φ és Ψ két lineáris függvény. Mutassuk meg, hogy bilineáris függvényt definiál. Mennyi lesz A mátrixának a rangja?
M*b) Lássuk be, hogy tetszőleges A bilineáris függvény előáll alakban, ahol Φm, Ψm lineáris függvények (m=1,2,…,r). Mi az r lehető legkisebb értéke?