Legyen V vektortér R felett. Az A:V×V→R leképezést (valós) bilineáris függvénynek nevezzük, ha mindkét változójában lineáris, azaz az egyik változó bármely rögzített értéke esetén a másik változójában lineáris.

Ez részletesen kiírva a következőket jelenti $\left(\underset{\_}{u},{\underset{\_}{u}}^{\text{'}},\underset{\_}{v},{\underset{\_}{v}}^{\text{'}}V,\lambda \mathbf{R}\right):$

(i) A minden $\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)$ vektorpárhoz egyértelműen hozzárendel egy valós számot;

(ii) $\mathbf{A}\left(\underset{\_}{u}+{\underset{\_}{u}}^{\text{'}},\underset{\_}{v}\right)=\mathbf{A}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)+\mathbf{A}\left({\underset{\_}{u}}^{\text{'}},\underset{\_}{v}\right)$

(iii) $\mathbf{{\rm A}}\left(\lambda \underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)=\lambda \mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)$

(iv) $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}+{\underset{\_}{v}}^{\text{'}}\right)=\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)+\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},{\underset{\_}{v}}^{\text{'}}\right)$

(v) $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\lambda \underset{\_}{v}\right)=\lambda \mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)$❶

A bilineáris függvényeket vastag latin nagybetűvel fogjuk jelölni. A definícióból és a lineáris leképezések tulajdonságaiból azonnal következnek az alábbi azonosságok:

(vi) $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{0}\right)=\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{0},\underset{\_}{v}\right)=0;$ (vii) $\mathbf{{\rm A}}\left(-\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)=\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},-\underset{\_}{v}\right)=-\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right);$ (viii) $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{i=1}{\overset{k}{}}{\lambda }_i{\underset{\_}{u}}_i,\underset{j=1}{\overset{m}{}}{\mu }_j{\underset{\_}{v}}_j\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{}}\underset{j=1}{\overset{m}{}}{\lambda }_i{\mu }_j\mathbf{{\rm A}}\left({\underset{\_}{u}}_i,{\underset{\_}{v}}_j\right)$

Példák bilineáris függvényre

P1. Legyen V az origóból kiinduló sík-, illetve térvektorok szokásos vektortere és A a (geometriából ismert) skalárszorzat: két vektorhoz a hosszaiknak és a közbezárt szög koszinuszának a szorzatát rendeljük. (Ha az egyik vagy mindkét vektor nullvektor, akkor a skalárszorzat nulla, és ez összhangba hozható a fentiekkel, mert a közbezárt szöggel ugyan probléma van, azonban a nulla hosszat bármivel szorozva ismét nullát kapunk.) A skalárszorzat megadható a vektorok szokásos (derékszögű egységvektorok szerinti) koordinátáival is: a megfelelő koordináták szorzatösszegét kell képezni.

P2. A skalárszorzat második jellemzését tetszőleges R^k-ra általánosíthatjuk: a két vektorhoz a megfelelő koordináták szorzatösszegét rendeljük, azaz ha $\underset{\_}{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ ⋮\\ u_k\end{array}\right), \underset{\_}{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_k\end{array}\right)$ akkor $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)={}_{i=1}^k{u}_i{v}_i$

 Ennek alapján a valós test feletti tetszőleges k-dimenziós vektortéren is értelmezhetünk skalárszorzatot: rögzítünk egy bázist, és utána ugyanígy a megfelelő koordináták szorzatösszegét vesszük.

Itt jegyezzük meg, hogy ebben és a következő fejezetben az eddigiektől eltérően a vektorok komponenseit, illetve koordinátáit nem görög betűkkel, hanem — az általános szokásnak megfelelően — aláhúzatlan latin kisbetűkkel fogjuk jelölni.

P3. Az előző példa jelöléseit megtartva bilineáris függvény R^k-n például u₁v₂+2u₂v₁ vagy u₁v₁–3u₂v₂ stb.

P4. Minden vektorpárhoz a nulla valós számot rendelve kapjuk a(z azonosan nulla) 0 bilineáris függvényt.

P5. Végül nézzünk néhány végtelen dimenziós példát. Legyen V a valós együtthatós polinomok szokásos vektortere, és két polinomhoz rendeljük hozzá a szorzatuknak egy adott helyen vett helyettesítési értékét. Ugyanezt polinomok helyett (pl.) folytonos függvényekre is megtehetjük. Egy másik lehetséges hozzárendelés a szorzatfüggvény integrálja egy adott intervallumon.

A fejezet további részében csak véges dimenziós vektorterekkel foglalkozunk. Legyen dim V=n, és rögzítsünk le egy ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ bázist.

Belátjuk, hogy a lineáris leképezésekhez hasonlóan a bilineáris függvények is jellemezhetők a báziselemek képével, és ez lehetővé teszi a mátrixos megadást.

Legyen ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ bázis a V vektortérben és α_ij, i,j=1,2,…,n tetszőleges valós számok. Ekkor pontosan egy olyan A bilineáris függvény létezik, amelyre

❶

Bizonyítás: Az 5.3.1 Tétel bizonyításának a gondolatmenetét követjük.

Vegyünk V-ből tetszőleges $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ vektorokat, ezek egyértelműen felírhatók $\underset{\_}{u}=u_1{\underset{\_}{b}}_1+\dots +u_n{\underset{\_}{b}}_n$ illetve $\underset{\_}{v}=v_1{\underset{\_}{b}}_1+\dots +v_n{\underset{\_}{b}}_n$ alakban. Ha létezik a mondott tulajdonságú A bilineáris függvény, akkor a (viii) tulajdonság alapján szükségképpen

teljesül. Ez azt mutatja, hogy $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)$ egyértelműen meg van határozva, tehát legfeljebb egy ilyen A létezhet. Sőt, az is kiderült, hogy csak az $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)={}_{i,j=1}^n{u}_i{v}_j{\alpha }_{ij}$ képlettel definiált függvény jöhet szóba. Erről kell tehát megmutatni, hogy valóban bilineáris, ami a (ii)–(v) tulajdonságok ellenőrzését jelenti. Ennek végigszámolását az Olvasóra bízzuk.❷

Az A bilineáris függvénynek a ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ bázis szerinti mátrixán azt az n×n-es mátrixot értjük, amelyben az i-ik sor j-ik eleme ${\alpha }_{ij}=\mathbf{{\rm A}}\left({\underset{\_}{b}}_i,{\underset{\_}{b}}_j\right)$ Ezt a mátrixot [A]_b-vel jelöljük.❶

Ne felejtsük el, hogy a lineáris leképezésekhez hasonlóan a bilineáris függvény mátrixa is erősen bázisfüggő, más bázist választva általában a mátrix is egészen más lesz.

Rögzített bázis mellett kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn a V-n értelmezett bilineáris függvények és az n×n-es (valós) mátrixok között. Ha az $\underset{\_}{u},$ illetve $\underset{\_}{v}$ vektor koordinátái az adott bázisban u₁, …, u_n, illetve v₁, …, v_n, akkor

(1)

vagy mátrixos felírásban

(2)❶

Bizonyítás: A kölcsönös egyértelműséget a 7.1.2 Tétel biztosítja. Az (1) előállítást a 7.1.2 Tétel bizonyítása során igazoltuk. Az (1) és (2) képletek ekvivalenciája a (2)-beli mátrixszorzások elvégzésével adódik.❷

A mátrixos jellemzés, illetve (1) és (2) az összes bilineáris függvény kényelmes áttekintését teszi lehetővé

Feladatok

V végig a valós test feletti véges dimenziós vektorteret jelent.

7.1.1 Legyen V a legfeljebb 4-edfokú valós együtthatós polinomok (beleértve a 0 polinomot is) szokásos vektortere. Válasszuk ki az alábbi leképezések közül a bilineáris függvényeket, és írjuk fel a mátrixukat a szokásos bázisban. Legyen f,g képe

 a) fg; b) f(1)+g(1); c) f(1)g(2); d) f’(1)g(2); e) fg-ben x² együtthatója.

7.1.2 Írjuk fel a P2, P3 és P4 példákban szereplő bilineáris függvények mátrixát (alkalmas bázisban).

7.1.3 Mi lehet egy valós bilineáris függvény értékkészlete (azaz a felvett értékeinek az összessége)?

7.1.4 Hogyan módosul a 7.1.2 Tétel állítása, ha bázis helyett a) generátorrendszeren; b) lineárisan független rendszeren írjuk elő a bilineáris függvény értékét?

7.1.5 Definiáljunk a V-n értelmezett bilineáris függvények körében természetes módon összeadást és skalárszorost, és mutassuk meg, hogy így egy vektorteret kapunk. Hány dimenziós ez a vektortér?

7.1.6 Legyen V egy bázisa ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ Hogyan változik egy A bilineáris függvény mátrixa, ha

a) ${\underset{\_}{b}}_1$-et és ${\underset{\_}{b}}_2$-t felcseréljük;

b) ${\underset{\_}{b}}_3$ helyett $\lambda {\underset{\_}{b}}_3$-at veszünk (λ≠0);

c) ${\underset{\_}{b}}_3$ helyett ${\underset{\_}{b}}_3+\mu {\underset{\_}{b}}_2$-t veszünk?

7.1.7 Adjuk meg az összes olyan bilineáris függvényt, amelynek bármely bázisban ugyanaz a mátrixa.

7.1.8 Legyen ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ rögzített bázis V-ben, és tekintsük a P2 példában értelmezett (a ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ bázis szerinti) skalárszorzatot. Jelöljük $\underset{\_}{c}$ és $\underset{\_}{d}$ skalárszorzatát $\underset{\_}{c}\underset{\_}{d}$-vel.

a) Legyen $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ egy tetszőleges lineáris transzformáció. Lássuk be, hogy $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)=\underset{\_}{u}\mathcal{A}\underset{\_}{v}$ bilineáris függvényt határoz meg.

b) Mutassuk meg, hogy az a)-beli $\mathcal{A}$ lineáris transzformációnak és A bilineáris függvénynek a ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ bázisban felírt mátrixa ugyanaz: $[\mathcal{A}{]}_b=[\mathbf{{\rm A}}{]}_b$

c) Bizonyítsuk be, hogy minden bilineáris függvény előáll az a)-beli alakban alkalmas $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$-vel.

7.1.9 A V→R lineáris leképezéseket, azaz Hom (V, R) elemeit lineáris függvényeknek nevezzük.

a) Legyen Φ és Ψ két lineáris függvény. Mutassuk meg, hogy $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)=\varphi \left(\underset{\_}{u}\right)\left(\underset{\_}{v}\right)$ bilineáris függvényt definiál. Mennyi lesz A mátrixának a rangja?

M*b) Lássuk be, hogy tetszőleges A bilineáris függvény előáll $\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{u},\underset{\_}{v}\right)={}_{m=1}^r{\varphi }_m\left(\underset{\_}{u}\right){}_m\left(\underset{\_}{v}\right)$ alakban, ahol Φ_m, Ψ_m lineáris függvények (m=1,2,…,r). Mi az r lehető legkisebb értéke?