Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Most a komplex test feletti véges dimenziós vektorterekre adaptáljuk az előző két pontban tárgyalt fogalmakat és eredményeket.
Legyen rögzített bázis V-ben. Ekkor az adott bázis szerint vett skalárszorzaton az alábbi S:V×V→C függvényt értjük:
❶
A valós esethez képest tehát annyi a változás, hogy az első vektor koordinátáinak a komplex konjugáltját kell venni.
Az így definiált skalárszorzat pozitív definit ermitikus bilineáris függvény, ami részletesen kiírva a következőket jelenti:
A valós esethez képest tehát két helyen van változás: a két tényező felcserélésekor a skalárszorzat a komplex konjugáltjába megy át, valamint az első tényezőt λ-val szorozva a skalárszorzat nem λ-val, hanem annak konjugáltjával, -tal szorzódik. Megjegyezzük még, hogy az feltétel azt is magában foglalja, hogy minden -re valós szám (ez egyébként az tulajdonságból adódik — vö. a 7.4.4 Tétellel).
Az ortogonalizációs tétel komplex változata szerint most is igaz a megfordítás: minden pozitív definit ermitikus bilineáris függvényhez található olyan bázis, hogy a szerinte vett skalárszorzat éppen az adott függvénnyel egyenlő. Így a 8.1.2 Tétel megfelelője érvényben marad:
A (komplex) skalárszorzatot pozitív definit ermitikus bilineáris függvényként is definiálhatjuk.❶
Ezután az euklideszi tér, az ortonormált rendszer, az ortonormált bázis, a merőlegesség, a merőleges kiegészítő értelmezése ugyanaz, mint a valós esetben volt (8.1.3–8.1.6 Definíciók). A 8.1.7 Tétel is változtatás nélkül érvényes.
A vektor hossza komplex euklideszi térben is az önmagával vett skalárszorzat négyzetgyöke (8.2.1 Definíció). Ez (a pozitív definitség miatt) most is (nemnegatív) valós szám. A vektor hosszát egy ortonormált bázis szerinti koordinátákkal úgy írhatjuk fel, hogy a koordináták abszolút értékének négyzetösszegéből vonunk négyzetgyököt:
A hosszra ugyanúgy teljesülnek a 8.2.2 Tétel (N1)–(N3) állításai, tehát egy komplex euklideszi tér egyben (komplex) normált tér is.
A (norma segítségével definiált) távolság fogalma és (M1)–(M3) tulajdonságai (8.2.4 Definíció, 8.2.5 Tétel) azonosak a valós esetben látottakkal, és így most is metrikus teret kapunk.
Szöget nem értelmezünk (csak merőlegességet), hiszen a 8.2.7 Definíció most cosϕ-re általában komplex értéket adna.
A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség (8.2.8 Tétel) azonban továbbra is érvényes, a második bizonyítás minimális változtatással, a harmadik bizonyítás pedig némi trükk alkalmazásával átvihető a komplex esetre is (lásd a 8.3.4 feladatot).
Feladatok
8.3.1 Mutassuk meg, hogy az alábbi feladatok állításai komplex euklideszi térben is érvényben maradnak: 8.1.2, 8.1.3, 8.1.5, 8.1.6, 8.1.8, 8.1.9, 8.1.11, 8.1.14, 8.2.14, 8.2.15.
8.3.2 Legyen V egy komplex euklideszi tér. Bizonyítsuk be, hogy
a) és pontosan akkor merőlegesek, ha
b) és pontosan akkor merőlegesek, ha és az skalárszorzat tiszta képzetes.
8.3.3 Vizsgáljuk meg a 8.2.3 feladat állításait komplex euklideszi tér esetén.
8.3.4 Bizonyítsuk be a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenséget komplex euklideszi térre.
8.3.5 A Cn szokásos euklideszi térben egy vektor konjugáltját úgy kapjuk, hogy minden komponensét konjugáljuk: ha akkor Egy tetszőleges részhalmazra legyen a H-beli vektorok konjugáltjainak a halmaza. Végül egy vektort nevezzünk valósnak, ha minden komponense valós.
a) Bizonyítsuk be, hogy és akkor és csak akkor összefüggők, ha egy valós vektor skalárszorosa.
b) Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor altér, ha H altér.
c) Igazoljuk, hogy bármely U altérre
d) Lássuk be, hogy egy altérre akkor és csak akkor teljesül, ha U-nak létezik valós vektorokból álló bázisa.
e) Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor létezik olyan U altér, amelyre ha n páros.