Legyen ${\underset{\_}{e}}_1,\dots ,{\underset{\_}{e}}_n$rögzített bázis V-ben. Ekkor az adott bázis szerint vett skalárszorzaton az alábbi S:V×V→C függvényt értjük:

❶

A valós esethez képest tehát annyi a változás, hogy az első vektor koordinátáinak a komplex konjugáltját kell venni.

Az így definiált skalárszorzat pozitív definit ermitikus bilineáris függvény, ami részletesen kiírva a következőket jelenti:

A valós esethez képest tehát két helyen van változás: a két tényező felcserélésekor a skalárszorzat a komplex konjugáltjába megy át, valamint az első tényezőt λ-val szorozva a skalárszorzat nem λ-val, hanem annak konjugáltjával, $\overline{\lambda }$-tal szorzódik. Megjegyezzük még, hogy az $\underset{\_}{x}\ne \underset{\_}{0}\Rightarrow \underset{\_}{x}\underset{\_}{x}>0$ feltétel azt is magában foglalja, hogy $\underset{\_}{x}\underset{\_}{x}$ minden $\underset{\_}{x}$-re valós szám (ez egyébként az $\underset{\_}{x}\underset{\_}{z}=\overline{\underset{\_}{z}\underset{\_}{x}}$ tulajdonságból adódik — vö. a 7.4.4 Tétellel).

Az ortogonalizációs tétel komplex változata szerint most is igaz a megfordítás: minden pozitív definit ermitikus bilineáris függvényhez található olyan bázis, hogy a szerinte vett skalárszorzat éppen az adott függvénnyel egyenlő. Így a 8.1.2 Tétel megfelelője érvényben marad:

A (komplex) skalárszorzatot pozitív definit ermitikus bilineáris függvényként is definiálhatjuk.❶

Ezután az euklideszi tér, az ortonormált rendszer, az ortonormált bázis, a merőlegesség, a merőleges kiegészítő értelmezése ugyanaz, mint a valós esetben volt (8.1.3–8.1.6 Definíciók). A 8.1.7 Tétel is változtatás nélkül érvényes.

A vektor hossza komplex euklideszi térben is az önmagával vett skalárszorzat négyzetgyöke (8.2.1 Definíció). Ez (a pozitív definitség miatt) most is (nemnegatív) valós szám. A vektor hosszát egy ortonormált bázis szerinti koordinátákkal úgy írhatjuk fel, hogy a koordináták abszolút értékének négyzetösszegéből vonunk négyzetgyököt:

A hosszra ugyanúgy teljesülnek a 8.2.2 Tétel (N1)–(N3) állításai, tehát egy komplex euklideszi tér egyben (komplex) normált tér is.

A (norma segítségével definiált) távolság fogalma és (M1)–(M3) tulajdonságai (8.2.4 Definíció, 8.2.5 Tétel) azonosak a valós esetben látottakkal, és így most is metrikus teret kapunk.

Szöget nem értelmezünk (csak merőlegességet), hiszen a 8.2.7 Definíció most cosϕ-re általában komplex értéket adna.

A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség (8.2.8 Tétel) azonban továbbra is érvényes, a második bizonyítás minimális változtatással, a harmadik bizonyítás pedig némi trükk alkalmazásával átvihető a komplex esetre is (lásd a 8.3.4 feladatot).

Feladatok

8.3.1 Mutassuk meg, hogy az alábbi feladatok állításai komplex euklideszi térben is érvényben maradnak: 8.1.2, 8.1.3, 8.1.5, 8.1.6, 8.1.8, 8.1.9, 8.1.11, 8.1.14, 8.2.14, 8.2.15.

8.3.2 Legyen V egy komplex euklideszi tér. Bizonyítsuk be, hogy

a) $\underset{\_}{x}-i\underset{\_}{z}$ és $i\underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}$ pontosan akkor merőlegesek, ha $\underset{\_}{x}=i\underset{\_}{z}$

b) $\underset{\_}{x}+i\underset{\_}{z}$ és $i\underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}$ pontosan akkor merőlegesek, ha $‖\underset{\_}{x}‖=‖\underset{\_}{z}‖$ és az $\underset{\_}{x}\underset{\_}{z}$ skalárszorzat tiszta képzetes.

8.3.3 Vizsgáljuk meg a 8.2.3 feladat állításait komplex euklideszi tér esetén.

8.3.4 Bizonyítsuk be a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenséget komplex euklideszi térre.

8.3.5 A Cⁿ szokásos euklideszi térben egy $\underset{\_}{x}$ vektor konjugáltját úgy kapjuk, hogy $\underset{\_}{x}$ minden komponensét konjugáljuk: ha $\underset{\_}{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ akkor $\underset{\_}{\overline{x}}=\left(\begin{array}{c}\overline{x_1}\\ ⋮\\ \overline{x_n}\end{array}\right)$ Egy tetszőleges $H\subseteq {\mathbf{C}}^n$ részhalmazra legyen $\overline{H}$ a H-beli vektorok konjugáltjainak a halmaza. Végül egy vektort nevezzünk valósnak, ha minden komponense valós.

a) Bizonyítsuk be, hogy $\underset{\_}{z}$ és $\overline{\underset{\_}{z}}$ akkor és csak akkor összefüggők, ha $\underset{\_}{z}$ egy valós vektor skalárszorosa.

b) Mutassuk meg, hogy $\overline{H}$ akkor és csak akkor altér, ha H altér.

c) Igazoljuk, hogy bármely U altérre ${\overline{U}}^{\perp }=\overline{U^{\perp }}$

d) Lássuk be, hogy egy $U\ne \underset{\_}{0}$ altérre $\overline{U}=U$ akkor és csak akkor teljesül, ha U-nak létezik valós vektorokból álló bázisa.

e) Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor létezik olyan U altér, amelyre $U^{\perp }=\overline{U}$ ha n páros.