Ugrás a tartalomhoz

Az agroökológia modellezéstechnikája

Huzsvai László (2005)

Debreceni Egyetem Agrártudományi Centrum

A növényfejlődés és növekedés modellezése

A növényfejlődés és növekedés modellezése

Termésszimulációs modellek

A természetes talaj-növény, vagyis ökológiai rendszerekhez képest a mezőgazdasági, kertészeti növénytermesztési rendszerek hasonlóan bonyolult anyag- és energiaforgalmúak, de sok tekintetben eltérő és jellemzően mesterségesen fenntartott formációk. Ennek ellenére a mezőgazdasági táblák növényzete éppúgy, mint a gyümölcsösök, szőlőültetvények, kertészetek, vagy a zöldséges kertek bonyolult rendszert alkotnak. Valamennyi mezőgazdasági növénytermesztő rendszer alapvető célja a növényi produkció létrehozása. A produkció érdekében történik a talaj művelése, a növények vízzel és tápanyagokkal történő ellátása, a nem termeszteni kívánt növények eltávolítása, az állati-, a növényi-, a vírus-, vagy a bakteriális kártevők elpusztítása. Következik ebből, hogy a növénytermesztés annak ellenére energia- és munkaigényes tevékenység, hogy a fotoszintetikus napenergia hasznosítása révén a növényi biomassza képződés energiamegkötést jelent. Amennyiben a növénytermesztés hatékony és jól tervezett, eredménye nettó energiatermelés.

A leírtak alapján belátható, hogy bármelyik mezőgazdasági növénytermesztő rendszer összetett, számos kölcsönhatással rendelkező, és a környezetével anyag- és energiaforgalmat megvalósító, un. agrár-ökológiai (agro-ökológiai) rendszer.

A termésszimuláció modellek kidolgozásának gyakorlati célja éppen a növényi genotípus, a környezeti tényezők és gazdálkodási módok kölcsönhatása lehetséges és valószínű eredményének, a termeszteni kívánt növényfajta fejlődésének, biomassza növekedésének és várható termésmennyiségének a tanulmányozhatósága.

Tekintettel a mezőgazdasági növénytermesztés általában monokultúrás jellegére, vagyis arra, hogy csupán egyetlen növényfaj termesztésére irányul (kukoricatábla, repcetábla, barackos, rizsföld, stb.) a növény jellemzői a biomassza-felhalmozást szimuláló modellek számára a természetes ökorendszerek (rétek, szikes növénytársulások, sztyeppek, erdők, stb.) fajgazdag formációihoz képest egyértelműen definiálhatók. A növények közti vetélkedés, a kompetíció ezekben az agro-ökológiai rendszerekben nem kerül figyelembe vételre, sokkal inkább a talajból történő víz- és tápanyag (többnyire nitrogén) felvehetősége. Ennek modellezhetősége érdekében van szükség a talaj víz-, és tápanyag-szolgáltató képességét meghatározó jellemzők, paraméterek modellbe történő beépítésére. A talaj feltöltését vízzel a csapadék, a talajvízből történő kapilláris vízemelés és az öntözés végzi. A növény által felvehető nitrogén mennyiségének modellben történő szimulációja számos részfolyamat figyelembe vételét teszi szükségessé (szervesanyag lebomlás, vagy mineralizáció, mikrobiális nitrogénkötés, denitrifikáció, nitrogén fixáció, stb.).

A termésszimulációs modellek bonyolultságukat tekintve szintén különbözőek. Az un. működési modellek a leegyszerűsített formát képviselik, míg a mechanisztikus modellek a növény és környezete kölcsönhatását az aktuális ismeretek szintjén tárgyalják.

Annak ellenére, hogy a termésszimulációs modellek a néhány tízparaméteres egyszerűtől a több száz paraméteres bonyolultságúig léteznek, abban megegyeznek, hogy a termést, illetve a biomassza-növekedést a talaj, a növény, az időjárás és a gazdálkodás tényezői együttesen alakítják.

A termésszimulációs modellekben a bonyolultságtól független megoldás, hogy a képződő termés egy un. termésválasz-függvénnyel (yield response function) meghatározott hányada a lehetséges maximális termésnek aszerint, hogy például az aktuális evapotranspiráció (Et) hogyan viszonyul a potenciális Et-hez. A termésválasz-függvényt alkalmazó modellek előnye, hogy nem helyhez kötöttek és meglehetősen eltérő időjárási körülmények között is sikerrel alkalmazhatóak.

A növényi termésképződés folyamatai úgymint a fotoszintézis, a tápanyag és a biomassza-megoszlás szimulációs megoldása lehet empirikus és mechanisztikus. Általánosan az empirikus megoldások az elterjedtek.

A termés-modellekben általában egy vagy két stressztényező szerepel azzal a feltételezéssel, hogy a többi stressztényező nem fordul elő vagy nem hat a termésképződésre. A termés-modellek négy típusát különíthetjük el a hatótényezők szerint:

  1. típus: A növekedési sebesség csak a fejlődési állapottól (fenofázis viszonyok) és az időjárástól (elsősorban a napsugárzástól és hőmérséklettől) függ, a termőhelynek nincs víz- és tápanyaghiánya.

  2. típus: A növekedési sebességet csak a vízellátottság (felvehetőség) limitálja, legalább a növekedési ciklus egy részében, az 1. típus időjárási tényezői és optimális tápanyagellátás mellett.

  3. típus: A növekedési sebességet nitrogénhiány limitálja legalább a növekedési ciklus egy részében, míg a továbbiakban korlátozhatja a vízhiány, illetve a kedvezőtlen időjárás is.

  4. típus: A növekedési sebességet stressztényezők, tápanyaghiány (pl. elégtelen foszforellátottság vagy más tápanyag hiánya), valamint egyéb károsító tényezők is alakítják legalább a növekedési ciklus egy részében.

Az előbbi kategorizálás segít abban, hogy a modellező valóban a legfontosabb limitáló környezeti tényezők dinamikájának és a termésre gyakorolt hatásainak elemzésére fordíthassa figyelmét, és ne az adott feltételek között a termés szempontjából közömbös tényezőket vizsgálja. Szűkíthető ezen a módon a tárgykör és specializálható a modell, egyszerűsíthető a modellszerkezet, rövidíthető a futtatás. Az egyes szintek folyamatainak dinamikája külön is szimulálható, majd egy alkalmas termés-szimuláló modellbe részmodellként kapcsol­va növekedéslimitáló hatásai is megvizsgálhatók. Ilyen módon nagy számban készültek többnyire termés-szimuláló modellhez kapcsolt víz- és hő-, nitrogén-, és egyéb tápanyagforgalmi, valamint tápanyag-felvehetőségi (N, P, K, S, Mn), eróziós és talajdegradációs modellek.

A termésmodellek azonban nemcsak bonyolultságuk és növényi, vagy gazdálkodási variációjuk szerint különbözhetnek, hanem a szerint is, hogy mi volt készítésük célja. Ezen az alapon megkülönböztethetünk kutató termés-szimulációs modellt, aminek használatakor a kutató határozza meg a modelltől várt választ, míg a gyakorlati növénytermesztőt segítő alkalmazói modell esetében a feltehető kérdések előre meghatározottak és a válaszok egyértelműek a felhasználó számára. Konkrét példát jelent az előzőek illusztrálására az a kutató modell, amely öntözés módjának, formájának, mennyiségének a keresését szolgálja, vagy annak felhasználói változata, amely megmutatja a gazdálkodónak, hogy mely öntözési terv a leginkább megfelelő.

Az elmúlt évtizedben jó néhány, a gyökérkörnyezetben folyó tápanyag-feltáródás tanulmányozására alkalmas szimulációs modellt fejlesztettek ki, amelyek alkalmazása és érzékenységi vizsgálata nagymértékben elősegítette e kísérletesen igen nehezen vizsgálható kérdéskör tisztázását. A részfolyamatok modellezése, a statisztikus kölcsönhatások és ezek küszöbértékeinek feltárása és a folyamatok főirányára gyakorolt hatásuk vizsgálata, mindezek alapján mechanisztikus modelleket tartalmazó reprezentációs elméletek kidolgozása. A szimulációs modellek érzékenységvizsgálata is szükséges, és hasznosíthatóak a gyökérkörnyezetben, ill. a gyökér-talaj határfelületen lejátszódó tápanyag-szolgáltatási és felvételi folyamatok megismerésében.

A termés-szimulációs modellek a modellépítő, illetve használó célja szerint alkalmazhatók, pl. a tápanyagellátás megtervezésére, vagy egyéb célokra is. Így például használják őket:

  • eddig nem művelt terület termőképességének becslésére (CERES, MACROS, EUROACCESS);

  • új fajta adaptációjának becslésére (MACROS);

  • a klímaváltozás hatásainak felmérésére (CERES, EUROACCESS, SOILN);

  • gazdasági, vagy egyéb célú termés-előrejelzésre (CERES, EPIC, EUROACCESS, SOILN);

  • új agrotechnikai eljárások (öntözési, műtrágyázási változatok) hatásainak felmérésére (CERES, EPIC, EUROACCESS, MACROS, SOILN);

  • a talaj szerkezetromlás hatásának elemzésére(EPIC, SOILN);

  • az erózió, a rovarkárok, a gyomosodás, a betegségek káros hatásainak becslésére (EPIBLAST, WEEDSIM);

  • energiaerdők hozamfelmérésére (SOIL; SOILN);

  • nemesítési programokban;

  • profit optimalizáló modellel kapcsolva gazdaságossági analízisekben.

Trágyázási terv készítése érdekében lefuttatott szimulációban minimálisan a következőket kell figyelembe venni:

  • a termeszteni kívánt növény (genotípus) tenyészideje, állománysűrűsége, termésnagysága, az eladható termés aránya a teljes növényhozamhoz viszonyítva, tápanyagigénye az egyes fenofázisokban.

  • A talaj vízgazdálkodási tulajdonságai, vízkészlete, tápanyagkészlete, a talajvízszint mélysége.

  • A műtrágya típusa (összetétele, oldódási sajátosságai), ára, az alkalmazási technikák meglévő feltételei, a szervestrágyázás minőségi-, mennyiségi- és alkalmazási feltételei.

A futtatás eredményeként megkaphatók a növény tápanyagigény-dinamikájának megfelelő hatóanyag-mennyiség (napi) értékei, illetve szimulálható a tervezett műtrágya-felhasználás.

A termésszimulációs modellek szerkezeti felépítése

A termésszimulációs modellekben a modellekben általában használt fogalmak szerepelnek. Néhány modellezési fogalom termésszimulációs értelmezése azonban célszerű.

Modell bemenetek: azok a modellezett, rendszer környezetét alkotó tényezők, amelyek a rendszer működésére hatnak, pl. az időjárási tényezők. Ezeket általában hajtó változóknak nevezik. Termés-modellekben általában a hőmérséklet és a besugárzás szerepel hajtóváltozóként.

Modell kimenetek: a modellezett, rendszerviselkedést megjelenítő válaszok.

Paraméterek: a modell alkotóelemeinek (talaj, növény) az állandó és jellemző tulajdonságai. Paraméterek határozzák meg például a fotoszintézis fényre adott válaszát, a növényben a vízáramlással szembeni ellenállást, vagy a szövetképződés során keletkező légzési veszteséget.

A paraméterek és a bemenetek közötti különbség gyakran nem egyértelmű. A bemenet általában időponthoz kötött, míg a paraméterek időben állandóak, azaz a rendszer állapotától és nem az időtől függenek.

Állapotváltozók: a modellalkotó elemek állapotát leíró mennyiségek. Az állapotváltozók időben akkor változnak, amikor a modellalkotó elem kölcsönhatásba lép a környezettel. A dinamikus modellek állapotváltozói időben változnak. A termésszimulációs modellekben a talajnedvesség-tartalom és a növényi biomassza a két szokásos állapotváltozó.

Folyamatok: az állapotváltozók és a modell elemek közötti kapcsolatok időbeni változása a különböző folyamatok eredménye. A termésszimulációs modell matematikai függvényekkel leírt összefüggések sorozata. A modell állapotváltozói a különböző folyamatok eredményeként bekövetkező változásokat írják le.

Folyamat-modellek: a termésszimulációs modellek folyamatmodellek, amelyekben az állapotváltozók időben lassan, de folytonosan változnak. A diszkrét modellek állapotváltozói diszkrét, egész értékkel változnak. A termésszimulációs modellek differenciálegyenletek rendszerének tekinthetők, amely rendszer a modell szerkezetét és a rendszert alkotó elemek kapcsolatrendszerét tükrözi.

A modellezett folyamatok három kategóriát, így a transzportot vagy áramlást, a transzformációt vagy átalakulást és a tárolást vagy felhalmozást alkotják. A három folyamat kategóriát két változótípus írja le, egy extenzív és egy intenzív. Az extenzív változók áramlásmennyiségek, mint pl. a tömeg, a térfogat, az elektromos töltés, az erő- és a hőáramok. A rendszerösszetevők intenzív változói pedig energia-intenzitás vagy potenciál dimenziójúak. Az intenzív változók az extenzív változók hajtóerőit képezik, példaként a nyomás, a hőmérséklet, az elektromos feszültség és a sebesség említhető.

A mezőgazdasági és az ökológiai modellezés egyik nehézsége éppen az, hogy nem minden áramlási folyamathoz rendelhető egyértelmű intenzív változó, minthogy a kérdéses áramlási folyamatot több mechanizmus is létrehozhatja. Ilyen esetben az intenzív változó és a mechanisztikus leírás helyett az extenzív változó tapasztalati (empirikus) leírása a szokásos megoldás.

Kompartment vagy részegységekből felépített modellekben koncepcionálisan a rendszerváltozók átalakulására és tárolására helyezik a hangsúlyt. A kompartment-modell típusú termésmodellek rendszer felépítéséhez igazodó elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer képezi a termésszimuláció matematikai modelljét. A részegység változását állapotváltozóinak a változása jelenti. A termésszimulációs modell részegységei közötti anyag- és energiaáramlás szemléletesen a Forrester-ábrázolás segítségével jeleníthető meg (39. ábra). Az ábrázolás előnye, hogy a modell elemek szerkezeti kapcsolatára és a részegységek típusára is közvetlen információ nyerhető.

Matematikai formanyelven az előzőekben szövegesen leírtak a következő formában fejezhetők ki:

7.5. egyenlet - Az előzőekben szövegesen leírtak matematikai formanyelven

dx i dt = s j I ij m s j O ij


ahol: xi : az i-ik változó szintje, dxi/dt : az i-ik változóban bekövetkező változás mértéke, Iij : az áramlás mértéke az i-ik szintre a forrásból, 0ij : az áramlás mértéke az i-ik szintről a j forrás felé

7.6. ábra - Két víztározóból álló vízáram rendszer (a.) és annak Forrester típusú modell ábrázolása (b.)

Két víztározóból álló vízáram rendszer (a.) és annak Forrester típusú modell ábrázolása (b.)


A vízáramlást tekintve (lásd a 40. ábra) a víztárolókban aktuálisan jelen lévő víz mennyisége mint extenzív változó jelenik meg.

7.7. ábra - A talajszelvénybeli vízmozgás leírására alkalmazott rétegfelosztás

A talajszelvénybeli vízmozgás leírására alkalmazott rétegfelosztás


A 40. ábrán szereplő rétegfelosztás matematikai leírása:

7.6. egyenlet - A 40. ábrán szereplő rétegfelosztás matematikai leírása

dV 1 dt = i ( t ) m f 1 , 2 ( t ) . . . dV 2 dt = f 1 , 2 ( t ) m 0 ( t )


A részegységek közötti áramlás leírásához figyelembe kell venni, hogy a víztárolóból a kifolyás kifolyó nyíláson történik (39. ábra). A kifolyás sebessége a kifolyó fölötti vízszint magassága és a nehézségi erő állandó szorzata kétszeresének négyzetgyöke. Ennek ismeretében:

7.7. egyenlet - A kifolyás sebessége a kifolyó fölötti vízszint magassága és a nehézségi erő állandó szorzata kétszeresének négyzetgyöke.

f 1 , 2 ( t ) = C 1 2 g H 1 O ( t ) = C 2 2 g H 2


Minthogy V és A ismeretében H kifejezhető a (126) és (127) összefüggések együttesen is felírhatók:

7.8. egyenlet - A (126) és (127) összefüggések együttesen

d xV 1 d t = i ( t ) m C 1 2 g V 1 s A 1 d V 2 d t = C 1 2 g V 1 s A 1 m C 2 2 g V 2 s A 2


A folyamat matematikai felírásakor ügyelni kell a dimenzionális és a mértékegység szerinti helyességre. Minden - az összefüggésben szereplő - változó, paraméter vagy adat azonos mértékegység rendszerben kell, hogy szerepeljen.

A bemutatott módon elsőrendű differenciálegyenletekből álló modell építhető. A részegység-modell egyik mezőgazdasági példája a növényi növekedés. A növényi növekedés biológiai rendszerében azonban nem teljesen ismertek a részegységek elemei, változói és bemenetei közötti áramok. Általában ezért a modellben először az állapotváltozók szintjeit határozzák meg x1, x2,...xn. A matematikai modell alakja ekkor nemlineáris esetre:

7.9. egyenlet - A matematikai modell alakja nemlineáris esetre

d x 1 d t = f 1 ( x 1 , x 2 , . . . x n ) + b 1 . . . d x n d t = f n ( x 1 , x 2 , . . . x n ) + b n


ahol: f1(x1, x2,..., xn) az x változók hatásának mértékét jeleníti meg.

Amennyiben a modell lineáris az lerövidíthető:

7.10. egyenlet - Amennyiben a modell lineáris, az lerövidíthető

d x m d t = A x m + b m


ahol: x és b vektor, A pedig az együtthatók mátrixa.

Osztott-modellek: azokat a modelleket, amely egységeinek az állapotváltozói és áramlási folyamatai térben és időben változnak, osztott modelleknek nevezik. Az osztott modellek matematikai megfelelője egy parciális differenciálegyenlet. Célszerűen az osztott-modell részegységei már összetett egységek. Példaként vegyük a talajszelvényben végbemenő vízáramlás és állapot modelljét. A talajszelvény minden pontjában a talajnedvesség-tartalom és áramlás időben és a mélység szerint változik. Amennyiben a talajszelvényre összesítünk a rendszer viselkedése egyértelműbbé tehető. Ekkor a talajszelvényt rétegekből felépítettnek definiáljuk, amely rétegek mindegyikében meghatározott mennyiségű víz található. Minden egyes talajréteg vízáram-összeköttetésben van a felette és az alatta levő réteggel. Matematikailag a 40. ábra talajszelvényének nedvességforgalma a következő elsőrendű differenciálegyenletekkel írható fel:

7.11. egyenlet - A 40. ábra talajszelvényének nedvességforgalma

d w 1 d t = i ( t ) m q 1 , 2 ( t ) d w 2 d t = q 1 , 2 ( t ) m q 2 , 3 ( t ) d w n d t = q n m 1 , n ( t ) m O ( t )


A nehézségi erő hatását elhanyagolva a vízáram intenzitása (q) a talaj diffúziós vezetőképességével (D) és a talajnedvesség gradiensével írható fel:

7.12. egyenlet - A vízáram intenzitása

q i m 1 , i = D i m 1 , i ( t 1 m t i m 1 ) dx s A ahol : n t i = w i s V n vagy n w i s ( Adx ) .


Az egyenletek e típusú rendszere szimulálható, ha i(t), O(t) és wi(O) i=1,2,...n-re megadott, minthogy ezek jelentik a kezdeti- és a határfeltételeket. A kezdeti feltétel az állapotváltozó értéke a t=0 időpontban. A kezdeti értékek megadása minden szimuláció szükséges előfeltétele annak érdekében, hogy a modellezett rendszer viselkedése vizsgálható legyen a t g 0 időpontban. A határfeltételek a rendszer változóinak értékei valamely modell részegység (talajszelvény, levélfelület, stb.) határán. Például a vízáram a talajfelszínen, vagy a talajszelvény alsó határrétegén. A kezdeti értékektől eltérően a határfeltételek értékei a szimuláció teljes időtartamára vonatkoznak.

A következőkben bemutatjuk, hogy az (131) és (132) elsőrendű differenciál egyenletek hogyan alakíthatók parciális differenciálegyenletekké. Legyen dx és dt közelítő értéke bx és bt. Minthogy wi=Adxbi

7.13. egyenlet - A (131) és (132) elsőrendű differenciálegyenletek parciális differenciálegyenletekké alakítása I.

d w i d t = Adx d t i d t = A D x ( t i , t m t i , t m D t ) D t


A (132) egyenletet x szerint is felírva kapjuk:

7.14. egyenlet - A (131) és (132) elsőrendű differenciálegyenletek parciális differenciálegyenletekké alakítása II.

A D x ( t i , t m t i , t m D t ) D t = ( m D i m 1 , i t i m t i m 1 D x m ( m D i , i + 1 ( t i + 1 m t i ) D x ) )


A (133) egyenletben D változását feltételezve írható:

7.15. egyenlet - A (131) és (132) elsőrendű differenciálegyenletek parciális differenciálegyenletekké alakítása III.

( t i , t m t i , t m D t ) D t = m 1 Ax ( D i m 1 , i ( t i m t i m 1 ) D x m D i , i + 1 ( t i + 1 m t i ) D x )


A (134) egyenlet átírható a következő egyszerűbb alakba:

7.16. egyenlet - A (131) és (132) elsőrendű differenciálegyenletek parciális differenciálegyenletekké alakítása IV.

D t i D t = m D A D x ( D i D t i D x )


Feltételezve, hogy bt-g0 és bx-g0 a (135) egyenlet parciális differneciálegyenletté alakítható, amelyben b x és t szerint is változik:

7.17. egyenlet - A (131) és (132) elsőrendű differenciálegyenletek parciális differenciálegyenletekké alakítása V.

P t P t = m 1 A P P x ( D P t P x )


A (137) parciális differenciálegyenlet a talajban egységnyi felületen (A=1) lezajló általános vízáramlás egyenlete. A (137) parciális differenciálegyenlet a (132) elsőrendű differenciálegyenletnél pontosabb megoldást szolgáltat, azonban közelítő megoldásként egyszerűsége és gyors megoldhatósága miatt gyakran alkalmazzák.

A szimuláció során az előzőekben példaként bemutatott rendszeregyenletek megoldása történik, amely a rendszer állapotváltozóinak időben bekövetkező viselkedését, értékeit eredményezi egy meghatározott bemenő adategyüttesre vonatkozóan. A szimuláció történhet kis időlépésenként, vagy a rendszer állapotának egy új időpontra történő számításával.

A dx/dt=ax+b függvény példáján bemutatva ez a következőt jelenti:

Alkalmazva a differenciális formát dxaxt+bt-xt és dtabt a differenciálegyenlet a következő alakban írható fel:

7.18. egyenlet - Alkalmazva a differenciális formát dxaxt+bt-xt és dtabt a differenciálegyenlet alakja

d x d t a x t + D t m x t D t = ax t + b ahol : n x t + D t a x t + ( ax t + b ) D t


ahol:

Amennyiben xt ismert xt+bt, vagy t+bt időre kiszámítható. Előnyös azonban az x állapotváltozó időben történő megváltozásának a mértékét (Ratet) meghatározni. Ekkor:

7.19. egyenlet - Az x állapotváltozó időben történő megváltozásának a mértékét (Ratet) meghatározva

x t + D t = x t + Rate t s D t ahol : n Rate t = ax t + b


A (139) egyenlet az elsőrendű differenciálegyenlet véges differencia (finite difference) alakja. Ezt az alakot az elsőrendű differenciálegyenlet merőleges, vagy az Euler-módszer szerinti integráljaként tartják számon.

Az ismertetett eljárás valamennyi, a modellben szereplő elsőrendű differenciálegyenlet véges differencia módszerű megoldására alkalmazható.

Abban az esetben, ha a modellben másodrendű differenciálegyenlet szerepel a megoldás annak két elsőrendű differenciálegyenletté alakításával lehetséges.

Legyen a másodrendű differenciálegyenlet a következő alakú:

7.20. egyenlet - Ha a modellben másodrendű differenciálegyenlet szerepel a megoldás annak két elsőrendű differenciálegyenletté alakításával lehetséges

d 2 y dt 2 m ady dt + y = u ( t )


A (140) egyenlettel egyenértékű két elsőrendű differenciálegyenlet pedig ekkor a következő:

7.21. egyenlet - A (140) egyenlettel egyenértékű két elsőrendű differenciálegyenlet

dx 1 dt = x 2 dx 2 dt = ax 2 m x 1 + u ( t )


A (141) egyenletek megoldására az ismertetett Euler-integrálási módszeren kívül léteznek más explicit megoldások, például a trapéz-integrálási technika, amelyet részleteiben itt nem ismertetünk. Az integrálási technikák pontossága annak a függvénye, hogy alkalmazásuk során mekkora csonkítási, elhanyagolási hibával terheltek. Ebből a szempontból a trapéz-integrálási technika az Euler-integrálási módszernél pontosabb.

Azokat a modelleket, amelyekben a folyamatok leírása a hangsúlyos, folyamat-modelleknek nevezik. A termés-modellek folyamatos modellek, amelyekben az állapotváltozók időben lassan, folytonosan változnak. A diszkrét modellekben az állapotváltozók diszkrét, egész értékkel változnak. Következik ebből, hogy a termés-modellek differenciálegyenletek rendszerének tekinthetők. Az alkalmazott differenciálegyenlet-rendszer a modell szerkezetét és a rendszert alkotó elemek kapcsolatrendszerét is tükrözi.

A modellezett folyamatok három kategóriát alkotnak, így a transzportot (áramlást), a transzformációt (átalakulást) és a tárolást (felhalmozást). A három folyamatkategóriát két változótípus írja le az extenzív, és az intenzív. Az extenzív változók olyan mennyiségekkel kapcsolatosak, mint pl. a tömeg, a térfogat, az elektromos töltés, az erő- és a hőáramok. A termés-modellek intenzív változói energia-intenzitás vagy potenciál dimenziójúak.