Ugrás a tartalomhoz

Biostatisztika

Fidy Judit dr., Makara Gábor dr. (2005)

InforMed 2002 Kft.

Az eloszlás alakjának tömör jellemzése

Az eloszlás alakjának tömör jellemzése

Az eloszlás alakjának tömör numerikus jellemzésére két statisztika áll rendelkezésünkre.

Ferdeség (angol: skewness): az eloszlás aszimmetriájának mértékét jellemzi. Kiszámításának alapja az, hogy képezzük a mintaelemek átlagtól való, SD-vel normalizált eltérésének harmadik hatványát, és ezt összegezzük minden mintaelemre:
n/(n-1) szorozva(n-2) szorozva ?i=1-től 1-ig szorozva (xi- x felülvonás/SD)3
A pozitív ferdeség azt jelenti, hogy az eloszlásnak a magas értékek felé elnyúló része van, míg a negatív ferdeség esetében az átlagnál alacsonyabb értékek felé nyúlik el az eloszlás. Ha a ferdeség 0, az eloszlás szimmetrikus (
Az eloszlás ferdeségének és csúcsosságának jellemzése. A felső ábrákon egy szimmetrikus (A), illetve egy pozitív (B) és negatív (C) ferdeséggel rendelkező eloszlás alakját tüntettük fel (RGy = relatív gyakoriság). Az alsó ábrákon a vastag vonallal rajzolt eloszlás a normális eloszlást reprezentálja. A D ábrán a vékony vonallal rajzolt eloszlás kurtózisa (csúcsossága) pozitív, de mindkét eloszlásnak ugyanaz az átlaga és SD-je, hiszen a vékony vonallal rajzoltnak nagyobb a terjedelme, de nagyobb a csúcsossága is. Az E ábrán a vastag vonallal jelölt normális eloszlás mellett egy vele megegyező átlagú és SD-jű negatív kurtózissal rendelkező eloszlást mutatunk be.
3.3. ábrán). Az aszimmetria felmérésének egy igen egyszerű módja az, ha összehasonlítjuk a minta átlagát és mediánját. Ha az átlag nagyobb, mint a medián, pozitív ferdeségről beszélünk, ha kisebb, akkor a ferdeség negatív, ha a két statisztika értéke egyenlő, az eloszlás szimmetrikus.
Kurtózis: az eloszlás csúcsosságának mértékét jellemző statisztika:
n(n-1)/(n-1) szorozva(n-2) szorozva (n-3) szorozva ?i=1-től n-ig szorozva (xi- x felülvonás/SD)4 – 3 szorozva (n-1)2 / (n-2) szorozva (n-3)
A kurtózis a vizsgált minta csúcsosságát egy referencia eloszláshoz, a normális eloszláshoz képest jellemzi. (A normális eloszlásról a következő fejezetben lesz szó.) Pozitív kurtózis esetében a vizsgált eloszlás csúcsosabb, mint a referencia eloszlás, tehát a módusz jobban kiemelkedik az eloszlás többi részéből. Negatív kurtózis esetében az eloszlás laposabb.