Ugrás a tartalomhoz

Biostatisztika

Fidy Judit dr., Makara Gábor dr. (2005)

InforMed 2002 Kft.

9. fejezet - Kettőnél több csoport összehasonlítása folytonos adatok esetén

9. fejezet - Kettőnél több csoport összehasonlítása folytonos adatok esetén

Boda Krisztina dr.

Több csoport összehasonlításakor automatikusan adódik az az ötlet, hogy alkalmazzuk a két csoport összehasonlítására már megismert módszereket, mindig két-két csoportot hasonlítva össze, pl. végezzünk több t-próbát páronként. Ez az eljárás helytelen – bár sajnos elég gyakori az orvosi irodalomban. Ha ugyanis olyan eljárásokat használnánk párosával, egyenként = 0,05 szinten, amelyeket két csoportra (vagy változóra) fejlesztettek ki, akkor az első fajta hiba valószínűsége halmazódhat, azaz, a megengedhetőnél nagyobb valószínűséggel ítélhetünk – tévesen – különbözőnek valójában azonos populációkat. Emiatt hibás pl. több csoport esetén az átlagok összehasonlítására páronként kétmintás t-próbákat végezni. Nem tudhatjuk ugyanis, hogy a szignifikáns eredmények közül melyek tulajdoníthatók a véletlennek, és melyek tükröznek valódi különbséget.

Ezt a hibanövekedést könnyen megérthetjük, ha belegondolunk az első fajta hiba jelentésébe: az = 0,05 szint azt jelenti, hogy ha a nullhipotézis igaz, (pl. az összehasonlítandó populációk között nincs különbség), az első fajta hiba elkövetésének valószínűsége 0,05 = 1/20. Ha több, azonos populációból vett mintát páronként hasonlítunk össze, 20 közül átlagosan 1 összehasonlítás szignifikáns eredményre vezet, pusztán a véletlen műveként.

Az első fajta hibanövekedést speciális esetekben ki is lehet számítani. Több csoport összehasonlítása esetén nem egy, hanem több hipotézist tesztelünk, adott, mondjuk 0,05 szinten. Mindegyik tesztnél elkövethetjük az első fajta hibát, aminek a valószínűsége 0,05 – egyetlen hipotézisre. Ez azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy elvetjük az igaz nullhipotézist = 0,05. Ebből annak valószínűsége, hogy elfogadjuk az igaz nullhipozézist: 1-0,05 = 0,95. Ha még azt is feltesszük, hogy a hipotézisek függetlenek, akkor annak valószínűsége, hogy két teszt esetén mindkettőt elfogadjuk, 0,950,95 = 0,9025, három teszt esetén ugyanez 0,953 = 0,8574. Annak valószínűsége, hogy a vizsgált 3 hipotézis közül legalább egyet tévesen elutasítunk: 1-0,8574 = 0,1426, ez lényegesen nagyobb, mint 0,05. Általában k számú független hipotézis összehasonlítása esetén 1-(1-)k annak valószínűsége, hogy az egész döntésnél elkövetjük az első fajta hibát, vagyis valamelyik összehasonlításnál tévesen szignifikáns különbséget állapítunk meg. Ezt a valószínűséget a kísérletre vonatkozó szignifikanciaszintnek nevezzük, szemben -val, ami az összehasonlításonkénti szignifikanciaszint. Ha a hipotézisek nem függetlenek, akkor a kísérletenkénti szignifikanciaszintre felső határt adhatunk: ez a határ k.

Ha nem helyes a csoportok páronkénti összehasonlítása, akkor mit lehet tenni? Speciális módszerek léteznek erre az esetre is. Normális eloszlás és csoportonként azonos szórás esetén a csoportok összehasonlítása az átlagok összehasonlítását jelenti – mivel a normális eloszlást az átlaga és szórása egyértelműen meghatározza. Ebben az esetben tehát azt vizsgáljuk, hogy a mintaátlagok közötti ingadozás csupán a véletlennek tulajdonítható-e, vagy a véletlenen kívül valamely más hatás is szerepet játszik az átlagok nagyságában. A kérdés megválaszolására alkalmas módszer a varianciaanalízis. Ennek legegyszerűbb esetét, az ún. egyszempontos varianciaanalízist tárgyaljuk részletesen.

Ha az eloszlás nem normális, vagy a csoportok varianciái nem azonosak, gyakran célra vezető módszer a mintaadatok transzformálása. Elég gyakori ferde eloszlás a lognormális eloszlás, ebben az esetben az adatok logaritmusát véve, nem csak az eloszlás normalizálható, de a varianciák közötti különbség is megszüntethető. Ha a normalitást nem tudjuk ellenőrizni, vagy az adatok folytonos eloszlásból származnak ugyan, de ordinális skálán mérik (pl. a fájdalmat egy 10 fokozatú skálán mérik), akkor a csoportok eloszlásainak összehasonlítása nemparaméteres módszerekkel történhet. A leggyakrabban alkalmazott nemparaméteres módszerek több független minta esetén a Kruskal-Wallis próba, és több (egy szempont szerint) összetartozó minta esetén a Friedman próba.

Paraméteres eljárások, varianciaanalízis

A varianciaanalízis több, azonos szórású, normális eloszlású populáció átlagának az összehasonlítására szolgáló módszer, amelyet ANOVA néven is emlegetnek az angol elnevezés betűinek rövidítéseként (Analysis of Variance). A varianciaanalízis a t-próbák általánosítása több csoport esetére. Azért hívják varianciaanalízisnek, mert az átlagokat hasonlítja ugyan, de ezt többféle módon definiált varianciák segítségével teszi. A varianciaanalízis a teljes adathalmaz össz-szóródását (pontosabban összvarianciáját) vizsgálja abból a szempontból, hogy azt csupán a véletlen ingadozás okozza-e, vagy ahhoz valamilyen más tényező, pl. a csoportok átlagai közötti különbség is hozzájárul.

Többféle varianciaanalízis van a kísérleti elrendezéstől függően. Amennyiben a csoportok függetlenek, és csak egyetlen szempont szerint különböznek (pl. többféle kezelést vagy többféle betegcsoportot hasonlítunk össze), akkor egyszempontos varianciaanalízis a módszer neve. Ha a csoportok függetlenek, de többféle szempont szerint is vizsgálhatók (pl. nemek szerint és kezelések szerint is), akkor két- vagy többszempontos varianciaanalízissel hasonlítjuk össze az átlagokat. Ha a csoportok összetartozó minták csoportjai, (pl. ugyanazokon az egyedeken több mérést végeznek több időpontban vagy különböző kísérleti körülmények között), akkor az ún. ismételt méréses varianciaanalízist kell alkalmaznunk.

Egyszempontos varianciaanalízis

Példa

Egy kísérletben (Farkas és mtsai, 2003.) lokális iszkémiának alávetett, izolált patkányszívben a szívfrekvencia és a QT-szakasz hosszának változását vizsgálták három antiaritmiás gyógyszer hatására. 5 Mm K+ káliumion koncentráció esetén, 25 perccel a lokális iszkémia után a QT-szakasz hosszára a 9.1. táblázat - 9.1. táblázatban látható értékeket kapták. Vizsgáljuk meg, hogy a 4 csoportban van-e különbség a QT-szakasz átlagos hosszában!

9.1. táblázat -

 KontrollQuinidineLidocaineFlecainide
 61766569
 53845665
 68897673
 66787271
 54816661
  896969
Átlag60,482,867,368,0
SD6,805,496,864,34

Az egyszempontos varianciaanalízis elve

Több csoport összehasonlítása lényegében a csoportok eloszlásának összehasonlítását jelenti. Minden mérés hibával jár, a mintaadatok csoportonként pusztán a véletlen miatt is különböznek. A kérdés éppen ez: annak eldöntése, hogy az egyes minták ugyanabból a sokaságból származnak-e, vagy nem. Az egyszempontos varianciaanalízisben azonos szórású normális eloszlásból származó mintákkal dolgozunk, így a kérdés az átlagok összehasonlítására korlátozódik.

Mielőtt a példafeladatot megoldanánk, gondolkodjunk el a varianciaanalízis elvén. Játsszuk azt, hogy ismerjük a valóságot, vagyis használjunk ún. véletlenszám-generátort. A

Azonos (a) és különböző (b) átlagú, egységnyi szórású normális eloszlású populációkból vett 6 elemű véletlen minták.

9.1.a.,b. ábrán látható, normális eloszlásból származó 6 elemű mintákat az Excel program segítségével készítettük. Az

Azonos (a) és különböző (b) átlagú, egységnyi szórású normális eloszlású populációkból vett 6 elemű véletlen minták.

9.1.a. ábra három, N(2,1) eloszlásból származó 6 elemű mintát ábrázol – ezek átlagai és szórásai tehát csak a véletlen miatt különböznek, az átlagok és a szórások közelítően 2 illetve 1 egységnyiek. A teljes adathalmaz – azaz, az összes adat szóródása lényegében ugyanakkora, mint az egyes csoportoké (azaz, közelítően 1 egységnyi). A

Azonos (a) és különböző (b) átlagú, egységnyi szórású normális eloszlású populációkból vett 6 elemű véletlen minták.

9.1.b. ábrán a második és a harmadik csoportot 2, illetve 1 egységgel feljebb „toltuk”. Az egyes csoportok szórásai nem változtak tehát, de az átlagok közötti különbség mesterséges, nem a véletlen műve. Ettől az eltolástól – az átlagok közötti különbségtől - a teljes adathalmaz össz-szórása megnőtt, sokkal nagyobb lett, mint az egyes csoportok szórása.

Konkrét adatok kiértékelésekor nem ismerjük a valóságot, a mintaadatok alapján azonban megvizsgálhatjuk az adatok szóródását. Többféle szóródást is vizsgálhatunk:

Az összesített adathalmaz szóródását csoporttól függetlenül.
A csoportok szóródását csoportonként külön-külön, az ún. csoportokon belüli szóródást.
Az átlagok közötti különbségből adódó – ún. csoportok közötti szóródást.

Ha igaz az, hogy a sokaság-átlagok azonosak, akkor az átlagok eltérését ugyanaz a véletlen ingadozás okozza, mint a csoportokon belüli ismétlések különbözőségét: a csoportok közötti és a csoportokon belüli variancia ugyanannak a (hiba)varianciának a becslése (

9.1.a. ábra) ábrának megfelelő helyzet). Minél nagyobb a csoportok közötti variancia a csoporton belülihez képest, annál valószínűbb, hogy a ez sokaság-átlagok közötti különbség miatt áll fenn. Az átlagok azonosságának nullhipotézisét tehát a varianciák összehasonlításával ellenőrizhetjük. Ez egy F-próbára vezet, ahol a számlálóban csoportok közötti, a nevezőben a csoportokon belüli variancia áll. Ha az F-próba eredménye nem szignifikáns, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, és azt mondjuk, hogy az átlagok közötti különbség nem szignifikáns az adott szinten. Ezzel az analízist befejeztük, a csoport-átlagok közötti eltérést a véletlennek tulajdonítjuk. Ha az F-próba eredménye szignifikáns, akkor a csoport-átlagok között kell, hogy legyen egy vagy több, a többitől eltérő. Azt, hogy mely csoport vagy csoportok átlagai térnek el melyektől, további speciális próbákkal lehet eldönteni, melyeket többszörös összehasonlításoknak neveznek.

Többszörös összehasonlítások

Ha a variancia-analízis eredménye nem szignifikáns, akkor az analízisnek vége, és azt mondjuk, hogy a csoport-átlagok között nincs szignifikáns különbség. Ha a variancia-analízis eredménye szignifikáns, ez azt jelenti, hogy a populációk átlagai között van különbség. Azt, hogy ez a különbség hol van, mely csoportok átlagai egyformák és melyeké különbözik, az ún. többszörös összehasonlításokkal tudjuk felderíteni. Ezek között leggyakoribb az összes lehetséges páronkénti összehasonlítás elvégzése, de vannak olyan módszerek is, amelyek az átlagokat „hasonló”, „homogén” osztályokba csoportosítják, tehát egy ilyen osztályon belüli csoport szignifikánsan különbözik bármely másik osztálybeli csoporttól. A többszörös összehasonlító módszerek többé-kevésbé az egész kísérletre vonatkozóan „garantálják”, hogy az első fajta hiba valószínűsége -nál ne legyen nagyobb, tehát adott szignifikanciaszinten tartják az első fajta hiba valószínűségét a teljes kísérletre nézve.

Minden lehetséges párt összehasonlító módszerek a kétmintás t-próbá valamilyen módosításai. A statisztikai programok általában több, sőt nagyon sok módszert ajánlanak fel „post-hoc” összehasonlítás céljából, elég nehéz eligazodni ezek között. Egyszerű többszörös összehasonlítás az „LSD – legkisebb szignifikáns differencia”, amely a t-próba képletében az összevont szórás helyébe a variancia-analízisből kapott hibaszórást teszi. Gyakran alkalmazott többszörös összehasonlítási módszer az ún. Bonferroni korrekció, amely az előző képletet alkalmazza, de nem , hanem /c szinten dönt, ahol c nem a csoportok, hanem az összehasonlítások száma. Ha a programrendszerek által kiadott, korrekció nélküli p-értéket használjuk, akkor azokat le kell osztani az összehasonlítások számával. Nyilvánvaló, hogy a Bonferroni a módszer főként kevés számú összehasonlítás esetén alkalmazható, mert nagyon sok összehasonlítás esetén túlságosan konzervatívvá válik: azaz, nem mutat ki valós különbségeket. A Dunnett próba minden csoportot egyetlen csoporthoz (kontroll) hasonlít.

Előfordul, hogy a varianciaanalízis eredménye szignifikáns, mégsem találunk páronként szignifikáns különbséget. Ilyenkor is kell, hogy legyen „valahol” különbség, esetleg a kontroll csoport különbözik az összes többi csoporttól, azokat egy „nagy” csoportnak véve. Az olyan összehasonlításokat, ahol csoport-együttesek átlagait hasonlítjuk más csoportokhoz vagy csoport-együttesekhez, kontraszt-analízisnek nevezzük. Scheffé módszere az átlagok egy vagy több súlyozott kombinációját teszteli az első fajta hiba növekedése nélkül. Ezeket az összehasonlításokat ebben a részben nem tárgyaljuk.

A „post-hoc” összehasonlítás veszélyei.

Ideális esetben a kísérlet előtt már tudnunk kell, hogy mely csoportok közötti különbség érdekel bennünket. A gyakorlatban mégis gyakori, hogy a kísérlet elvégzése után kapott eredmények ismeretében előre nem tervezett összehasonlításokat is elvégezünk. Ha pl. két csoport között nem vártunk eltérést, mégis nagyon különböző átlagokat kaptunk, késztetést érezhetünk arra, hogy ezt a különbséget is teszteljük. Ha csak a legnagyobb eltérést mutató csoportok közötti különbséget hasonlítjuk össze, annak valószínűsége, hogy szignifikáns különbséget kapunk, nagyobb lesz ahhoz képest, mintha két, a vizsgálat megkezdése előtt véletlenszerűen választott különbség-párt tesztelnénk. Ilyen esetben a kísérletre vonatkozó első fajta hiba megnő, nagyobb lesz az előre deklaráltnál. A konzervatívabb többszörös összehasonlítási módszerekkel megkereshetjük, mely átlagok különböznek melyektől, minden lehetséges párt összehasonlítva. Ha a csoportok páronkénti összehasonlítását azután végezzük, miután a kísérletet elvégeztük, ezeket a konzervatív módszereket kell alkalmaznunk. Egyedül Scheffé módszere enged meg ilyen utólagos „kutakodást”.

Az egyszempontos varianciaanalízis feltételei

A varianciaanalízis feltétele, hogy minták normális eloszlású, azonos varianciájú populációból származnak. Az azonos varianciák feltétel azt jelenti, hogy minden minta szóródása körülbelül ugyanakkora, vagyis ugyanannak a (közös) varianciának a becslése. Ez utóbbi feltételt sokan nem figyelik, vagy nem veszik figyelembe, pedig megsértése hibás következtetésekre vezethet.

A varianciák azonosságát többféle próbával is lehet ellenőrizni. Egyszerű, kézzel is könnyen elvégezhető az ún. maximális F-próba: a legnagyobb varianciát osztjuk a legkisebb varianciával. A mai számítógépek általában a Levene-próbát használják a varianciák azonosságának ellenőrzésére. Ha a Levene-próba p-értéke nagyobb, mint az adott szignifikanciaszint, akkor a varianciák azonosságát elfogadjuk, a varianciaanalízist elvégezhetjük. Ha a Levene-próba p-értéke kisebb, mint az adott szignifikanciaszint, akkor a varianciák között szignifikáns különbség van. Ilyenkor meg kell vizsgálnunk, mi okozza az eltérő varianciákat: gyakran egy-egy kiugró érték is okozhatja, amely akár adatbeviteli hibából származhat. Ha nem találunk ilyen kiugró értéket, és valóban ferde eloszlásról van szó, valamely transzformáció végrehajtása után végezzük el a varianciaanalízist, vagy nemparaméteres módszereket kell alkalmaznunk. A feltétel ellenőrzésekor – mint minden statisztikai próbánál, legyünk óvatosak a döntéssel. Kis elemszám esetén „szemre” nagyon is különböző szórásokat ítélhetünk azonosnak, nagy elemszám esetén pedig fordítva, szinte egyenlő varianciákat ítélhetünk szignifikánsan különbözőnek.

A minták függetlensége alapvető feltétel. Gyakori hiba, hogy orvosi jegyzőkönyvekből, kórlapokból úgy állítanak össze csoportokat, hogy egyes személyek több csoportba is bekerülnek, pl. a betegség előrehaladottsága miatt, vagy mivel többször jelentek meg vizsgálaton. Az ilyen csoportok nem tekinthetők függetlennek.

A varianciaanalízis elvégzéséhez, a számításokhoz szükséges képletek.

Legyen adott: t számú független minta, jelölje ni az i-edik minta elemszámát, xij a i-edik minta j-edik elemét. Az első minta elemei tehát x11, x12, ..x1n1 ; a másodiké x21, x22, ..x2n2 , az utolsóé xt1, xt2, ..xtnt . Feltesszük, hogy mindegyik minta normális eloszlású, azonos szórású populációból származik, azaz az i-edik minta N(i,) eloszlásból. A tesztelendő nullhipotézis az, hogy a vizsgált populációk átlagai megegyeznek, a minták egy és ugyanazon populációból származnak, az alternatív hipotézis szerint legalább egy minta más populációból származik: H0: ?1=?2=…= ?i.

Jelölje N az össz-elemszámot, xi az i-edik minta átlagát, ***

az összes adat átlagát.

A mintákon belüli variancia becslése az egyes mintavarianciák „egyesítése”:

sbelül 2= ? i=1-től t-ig szorozva ?j=1-től n1-ig szorozva (xij-xi felülvonás)2/(n1-1) + (n2-1) + … + (nt-1) = ? i=1-től t-ig szorozva ?j=1-től n1-ig szorozva (xij-xi felülvonás)2/? j nj-t = ? i=1-től t-ig szorozva ?j=1-től n1-ig szorozva (xij-xi felülvonás)2/N-t

A minták közötti variancia becslésének számlálója az egyes minta-átlagok és a teljes adathalmaz átlaga közötti, az elemszámokkal szorzott négyzetösszeg:

sközött 2 = ?i=1-től t-ig szorozva ni szorozva (xi felülvonás – x felülvonás)2/t-1

Az összvariancia becslése pedig

s2 = ? i=1-től t-ig ?j=1 től n1-ig szorozva (xji – x felülvonás)2 / N-1

A nullhipotézis teszteléséhez a két varianciát kell összehasonlítanunk: a minták közötti variancia nagyobb-e, mint a mintákon belüli. (Itt egyoldalas próbát végzünk, ha a minták közötti variancia kisebb, mint a mintákon belüli, máris megtartjuk H0-t). Két varianciát F-próbával hasonlítunk össze. Most

F= sközött 2/sbelül 2

t-1, N-t szabadságfokú F-eloszlású valószínűségi változó. Adott esetén az F-eloszlás táblázatbeli értékét jelölje F,t-1, N-t . Ha Fg F,t-1, N-t , elvetjük H0-t és azt mondjuk, hogy a minták közötti nagy varianciát a mintaátlagok közötti eltérés okozta, van tehát az átlagok között a többitől különböző. Ha Fl F,t-1, N-t, akkor megtartjuk a nullhipotézist .

A varianciaanalízis számításait általában táblázatba szokták foglalni, amint az a 9.2. táblázat - A varianciaanalízis táblázata 9.2. táblázatban is látható:

9.2. táblázat - A varianciaanalízis táblázata

A szóródás okaNégyzetösszegSzabadságfokVarianciaF
Csoportok között 
Qk= ? i=1-től t-ig szorozva ni szorozva (xi felülvonás – x felüvonás)2
t-1
sk 2 = Qk/t-1
F = sk 2/sb 2
Csoportokon belül
Qb = ? i=1-től t-ig ?j=1-től ni-ig szorozva( nij – x felülvonás)2
N-t
sb 2 = Qb/N-t
 
Teljes
Qb = ? i=1-től t-ig ?j=1-től ni-ig szorozva( nij – x felülvonás)2
N-1  
     


A teljes adathalmaz össz-varianciájának számlálója, a teljes eltérés-négyzetösszeg két komponensre, a minták közötti és a mintákon belüli(hiba) eltérés-négyzetösszegekre bonthatók: Q = Qk + Qb. A szabadságfokok hasonló módon összeadódnak: N-1=t-1+N-t. A megfelelő négyzetösszegeket osztva a megfelelő szabadságfokokkal kapjuk a minták közötti és a mintákon belüli varianciákat, melyek a nullhipotézis fennállása esetén ugyanannak a varianciának (a populációk varianciájának) a becslései. Egyenlőségük egyoldalú F-próbával tesztelhető: szignifikáns esetben a minták közötti szóródás nagyobb, mint a mintákon belüli, véletlen hibának tulajdonított szóródás.

A példafeladat megoldása

Vizsgáljuk a nullhipotézist = 0,05 szinten! A tesztelendő nullhipotézis szerint mindegyik minta ugyanolyan átlagú sokaságból származik, vagyis a négy mintaátlag közötti ingadozás csakis a véletlen miatt van. A

A mintapélda adatai

9.2. ábra és az átlagok alapján is elég jól látszik, hogy a második csoport értékei is, átlaga is magasabb a többi csoporthoz képest, ami ellentmondani látszik a nullhipotézisnek.

Mielőtt nekikezdenénk a varianciaanalízisnek, vizsgáljuk meg a feltételeket. A normalitást 6 elemre nem érdemes ellenőrizni, de az adatokból látszik, hogy nincs okunk kételkedni a normalitásban. A szóródásokat „szemre” ellenőrizve azt látjuk, hogy nincs túl nagy különbség az egyes csoportok szóródásaiban. A Levene-próba eredménye F = 0,537, 3 és 19 szabadságfokkal, p = 0,663, azaz jóval nagyobb, mint a 0,05. Tehát a varianciák azonosságát elfogadjuk, a varianciaanalízis feltétele teljesül.

9.3. táblázat - A varianciaanalízis táblázata a mintapélda adataira

A szóródás okaNégyzetösszegSzabadságfokVarianciaFp
Csoportok között1515,5903505,19714,4260,000
Csoportokon belül665,3671935,019  
Teljes2180,95722   

A varianciaanalízis számításainak eredménye a 4.10. táblázatban látható. A számunkra leglényegesebb eredmény a jobboldalon található p-érték, amely olyan kicsi, hogy az első három tizedesjegye is csupa 0, és a számítógép gyakran így írja ki. Tehát p l 0,05, a csoport-átlagok között szignifikáns különbség van.

Vizsgáljuk meg a táblázatot részletesen, hogyan is kaptuk ezt a p-értéket? A p-érték a F = 14,426, 3 és 19 szabadságfokú F-próbához tartozó p-érték. Az F = 14,426 csoportok közötti varianciát (=505,197) és a csoportokon belüli varianciát (=35,019) hasonlítja össze, e kettő hányadosa. A varianciákat pedig úgy kaptuk, hogy a megfelelő négyzetösszegeket osztottuk a megfelelő szabadságfokokkal (505,197 = 1515,59/3 és 35,019 = 665,367/19). A csoportok közötti variancia tehát 14,4-szerese a csoportokon belüli, hibavarianciának. További érdekesség, hogy a varianciák számlálóit és nevezőit külön-külön összeadva megkapjuk a teljes variancia számlálóját (négyzetösszeg) és nevezőjét (szabadságfok).

Mivel a varianciaanalízis eredménye szignifikáns, meg kell vizsgálnunk, mely csoportok között van különbség. A kísérlet célja itt a kontrolltól való eltérés vizsgálata volt, tehát a Dunnett próbát alkalmazzuk. Eszerint csak a Quinidine-nel kezelt csoport átlaga különbözik szignifikánsan a kontrolltól (9.4. táblázat - A Dunnett próba eredménye a mintapélda adataira 9.4. táblázat)

9.4. táblázat - A Dunnett próba eredménye a mintapélda adataira

 Az átlagok különbségep
Kontroll – Quinidine22,4333,000
Kontorll – Lidocaine6,9333,158
Kontroll – flecainide7,6000,113

Vizsgáljuk meg a többszörös összehasonlításokat LSD és Bonferroni módszerrel is! A kontrollhoz képest az LSD próbával a Flecainidine-átlag is szignifikánsnak adódott (9.5. táblázat - Többszörös összehasonlítások LSD módszerrel a mintapélda adataira 9.5. táblázat). Tudnunk kell azonban az LSD módszerről, hogy kissé „engedékeny”, azaz, előfordulhat, hogy növeli a tényleges első fajta hibát. A számítógépes programok a Bonferroni módszert úgy hajtják végre, mintha minden csoportot minden csoporttal össze akarnánk hasonlítani (9.6. táblázat - Többszörös összehasonlítások Bonferroni módszerrel a mintapélda adataira 9.6. táblázat). Mivel 4 csoport esetén 6 lehetséges páronkénti összehasonlítás van, az “LSD” p-értékeihez képest a “Bonferroni” módszer p-értékei éppen 6-szorosak – kivéve az utolsót, ahol már az 1-et is meghaladta volna a 6-szoros szorzó, ott természetesen a maximális 1 érték szerepel. A Dunnett próbával összehasonlítva a p-értékeket, látható, hogy a kontrollhoz képest kisebb p-értékeket kaptunk, mint Bonferroni módszerrel. Ez is mutatja, hogy a Bonferroni módszer sok összehasonlítás esetén túlságosan konzervatív lehet, tehát bizonyos valódi különbségeket nem tud kimutatni.

9.5. táblázat - Többszörös összehasonlítások LSD módszerrel a mintapélda adataira

  Az átlagok különbsége 
LSDKontroll – Quinidine-22,43330,000
 Kontroll – Lidocaine-6,93330,068
 Kontroll – Flecainide-7,60000,047
 Kontroll – Lidocaine15,50000,000
 Kontroll –Flecainide14,83330,000
 Lidocaine– Flecainide-,66670,847

9.6. táblázat - Többszörös összehasonlítások Bonferroni módszerrel a mintapélda adataira

  Az átlagok különbségep
BonferroniKontorll – Quinidine-22,43330,000
 Kontorll – Lidocaine-6,93330,408
 Kontorll – Flecainide-7,60000,284
 Quinidine – Lidocaine15,50000,001
 Quinidine – Flecainide14,83330,002
 Lidocaine – Flecainide-,66671,000

Megjegyzés. A teljes kísérlet a fentinél bonyolultabb volt: a QT-szakasz hosszát 3 Mm K+ és 5 Mm K+ káliumion-koncentráció mellett, az antiarritmiás szerek alacsony és magas koncentrációján, a lokális iszkémia után több időpontban vizsgálták. A teljes kísérletből egy részproblémát emeltünk ki, amely egyszempontos varianciaanalízissel oldható meg. Helytelen lenne azonban az egyszempontos ANOVA-k ismételt alkalmazása minden egyes kálium koncentráció, koncentráció és időpont esetén, mert ezzel ugyanúgy megnövekedhet az első fajta hibavalószínűség a teljes kísérletre nézve. A teljes kísérlet kiértékelése négyszempontos, ismételt méréses varianciaanalízissel lehetséges 3 független szemponttal (gyógyszerhatás, a K+ hatása és a koncentráció hatása) és egy ismételt méréses szemponttal (időhatás).