Ugrás a tartalomhoz

Az Eötvös-versenyek feladatai II. 1989-1997

Radnai Gyula

Typotex

Az 1990. évi verseny

Az 1990. évi verseny


1. feladat. Lemezjátszó korongjának közepére helyezett tálban víz van. A vízen egy pingponglabda úszik. Mi történik a pingponglabdával, miután megindítottuk a lemezjátszót?

Megoldás. Miután megindítottuk a lemezjátszót, a tálban a víz a koronggal együtt forog. A közel azonos szögsebességet a víz belső súrlódása biztosítja.

1990.1. ábra.

A viszonylag alacsony fordulatszám miatt turbulencia nem lép fel. A felület közelítőleg forgásparaboloid alakú, amint az - inerciarendszerből nézve - az alábbi módon látható:

F = m · a ,

s ezt az összefüggést egy kicsiny, ? A alapterületű, ? r „magasságú” folyadékdarabkára alkalmazva

? g ( h + ? h ) - ? g h ? A = ? A · ? r · ? · ? 2 r .

Egyszerűsítések után:

g · ? h = ? 2 r · ? r , ? h ? r = ? 2 r g .

1990.2. ábra.

A bal oldalon - határátmenetben - az érintő meredeksége áll; a vízszintessel bezárt hajlásszöggel kifejezve

tg ? = ? 2 r g .

Ezt az összefüggést közvetlenül is megkaphatjuk, ha gyorsuló ( ? szögsebességgel forgó) koordinátarendszerből írjuk le a jelenséget. Felhasználva, hogy a folyadék szabad felülete minden pontjában merőleges az ott ható külső erők eredőjére:

tg ? = ? 2 r g .

A görbe meredekségét ismerve integrálással kaphatjuk meg a görbe egyenletét.

Ha y ' = ? 2 g x , akkor y = ? 2 2 g x 2 ,

amennyiben az origó a görbe legalsó pontja. A parabola y = c x 2 egyenletét kaptuk, tehát a felület valóban forgásparaboloid.

1990.3. ábra.

Vizsgáljuk meg a vízen úszó pingponglabdára ható erőket! A jelenséget a továbbiakban végig az ? szögsebességgel forgó koordinátarendszerben írjuk le, de megkülönböztetünk egymástól két esetet aszerint, hogy figyelembe vesszük-e a levegő közegellenállását, vagy sem.

Először tekintsünk el a levegő közegellenállásától. Ekkor a pingponglabdára háromféle erő hat:

1. A nehézségi erő ( m g ); koncentrálható a pingponglabda tömegközéppontjába.

2. A centrifugális erő ( F cf ) ugyancsak a pingponglabda középpontjába koncentrálható (ezt az állítást azonban még be kell bizonyítanunk).

3. A felhajtóerő ( F f ) a kiszorított víz volt tömegközéppontjába koncentrálható.

A pingponglabdára ható erők eredőjének meghatározásához bontsuk fel a felhajtóerőt is függőleges és vízszintes összetevőkre. Mekkora a vízszintes összetevő? Amekkora a kiszorított vízre ható centrifugális erő volt. A kiszorított víz tömege jó közelítéssel megegyezik a pingponglabda tömegével. (egyensúly esetén egyezne meg vele pontosan.) Írhatjuk tehát:

F f vízsz = m ? 2 r 1 ,

ahol r 1 jelenti a kiszorított víz volt tömegközéppontjának távolságát a forgástengelytől.

1990.4. ábra.

A pingponglabdára ható centrifugális erő nagysága:

F cf = m ? 2 r 2 ,

ahol r 2 a labda középpontjának távolsága a forgástengelytől (1990.4. ábra).

Igen ám, de r 2 ///</// r 1 , hiszen a labda kiemelkedik a ferde vízfelületből, s ezért középpontja közelebb van a forgástengelyhez, mint a vízbe merülő részé!

A pingponglabdára tehát egy „befelé” mutató eredő erő hat mindaddig, amíg csak a labda be nem úszik középre. Ezután ott marad, egyensúlyi helyzete stabilis lesz.

Hátra van még annak bizonyítása, hogy a labdára ható centrifugális erő a labda középpontjába koncentrálható, pontosabban a centrifugális erő nagysága és iránya ugyanakkora, mintha a labda teljes tömege a tömegközéppontban volna.

A bizonyítást Bodor András versenynyertes dolgozatából idézzük, aki egy szellemes ötlettel egyszerűsítette le ezt az első pillanatban bonyolultnak látszó problémát.

1990.5. ábra.

„Vágjuk fel a labdát a forgástengelyre merőleges síkokkal vékony körgyűrűkre. Elég belátnunk, hogy akármelyik gyűrűre ható centrifugális erő nagysága

R ? 2 m gyűrű ,

ahol R a gyűrű középpontjának és a forgástengelynek a távolsága. Osszuk fel a gyűrűt n darab kis ? l hosszú részre; legyen az egységnyi hosszú kerületdarab tömege ? . Ekkor a gyűrűre ható centrifugális erő:

F cf = ? ? l ? r ? 2 .

Az nyilvánvaló, hogy ez az összeg a középpontot a forgástengellyel összekötő egyenessel ( OF ) párhuzamos lesz, ezért elég az összegzéskor csak az OF egyenessel párhuzamos komponensek összegét venni:

F cf = ? ? f ? r cos ? · ? 2 .

Vegyünk most egy kis ? l szakaszt, és ennek a gyűrű középpontjára vett tükörképét, ? l ' -t. Ezek hossza egyenlő. A kettejükre ható centrifugális erők összege:

F cf 1,2 = ? l ? ? 2 ( r 1 cos ? 1 + r 2 cos ? 2 ) .

Mivel r 1 cos ? 1 + r 2 cos ? 2 = 2 OF = 2 R , így párosával véve a kis ? l szakaszokat

F cf = o n ? l ? ? 2 r cos ? = ? n / 2 l ? ? 2 · 2 R = R ? 2 ? ? n / 2 2 ? l = R ? 2 · m .

Tehát a pingponglabdára ható centrifugális erő valóban R ? 2 m .”

Megjegyezzük, hogy a centrifugális erő nagysága akármilyen alakú test esetében az össztömeg és a tömegközéppont helyzetének megfelelő R ? 2 gyorsulás szorzata; ez következik az inerciarendszerben megfigyelhető mozgásra felírható tömegközéppont-tételből. A centrifugális erő hatásvonala azonban általában nem megy át a tömegközépponton.

Végül vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor nem tekinthetünk el a levegő közegellenállásától. A levegő nem forog együtt a rendszerrel, ezért fékezi a labdát. A labda szögsebessége kisebb, mint a kiszorított víz szögsebessége volt. Ezáltal a centrifugális erő még kisebb, mint a közegellenállás nélküli esetben, s a labdára ható Coriolis erő (mivel a labda most mozog a forgó vízhez képest) ugyancsak befelé mutat. Még hamarabb, még gyorsabban úszik be középre a pingponglabda.

2. feladat. Vízszintes helyzetű körlemezekből álló síkkondenzátort feltöltünk. A kondenzátor közelében a lemezek közti távolságot felező vízszintes síkban kis iránytűt helyezünk el. Ezután a kondenzátort a függőleges szimmetriatengely körüli forgásba hozzuk. Megmozdul-e az iránytű, s ha igen, merre?

Megoldás. A kondenzátoron lévő töltéseket körmozgásra kényszerítjük azáltal, hogy a kondenzátort megforgatjuk. Lehet, hogy a töltéssűrűség kifelé haladva kissé nőni fog, ez azonban semmit sem változtat azon a tényen, hogy lényegében szimmetrikus köráramok (1990.6. ábra) mágneses terének eredőjét kell meghatároznunk.

1990.6. ábra.

1990.7. ábra.

Az 1990.7. ábrán két ilyen szimmetrikus köráram eredő mágneses terének B-vonalait ábrázoltuk egy, a forgástengelyen átmenő, függőleges síkban. Minden B-vonal benne van egy-egy, a forgástengelyen is átmenő függőleges síkban. Ezen síkok közül választottunk ki egyet az ábrán.

A lemezek közötti távolságot felező vízszintes síkban, a kondenzátor közelében helyezkedik el az iránytű. Szimmetriaokok miatt az áramokból származó B vektor ezen a helyen pontosan a forgástengely felé mutat (ez látható az ábrán megrajzolt esetben), vagy ezzel az iránnyal éppen ellentétes, ha akár a töltések előjele, akár a forgásirány az ábrán felrajzolthoz képest ellentétes.

A kondenzátor mozgó töltéseinek fenti mágneses tere a földi mágneses térre szuperponálódik, azt elvileg módosítja. (Gyakorlatilag csak kevéssé, ezért a jelenséget iskolai körülmények között nem lehet megfigyelhetővé tenni.)

Az iránytű, amely a földi mágneses térnek megfelelően állt be, biztosan nem mozdul meg a kondenzátor megforgatásakor, ha a mozgó töltésektől származó B az iránytű helyén a földi B -vel pontosan megegyező vagy ellentétes irányú. Minden más esetben az eredő B a földi B -től némileg eltérő irányú, ezért az iránytűnek elvileg el kell fordulnia, hogy beállhasson az eredő B irányába.

3. feladat. Vízben szuszpendált, d = 0,5 µ m átmérőjű, gömb alakú részecskék termikus egyensúlyi eloszlását vizsgáljuk mikroszkópon keresztül. A mikroszkóp tubusa függőleges. A részecskék anyagának sűrűsége 1040 kg / m 3 , a hőmérséklet 23 ? . A mikroszkóp mélységélessége kicsi, mindig csak egy igen vékony vízrétegben lévő részecskék láthatóak élesen. Mennyivel kell lejjebb süllyeszteni a mikroszkóp tubusát, hogy kétszer annyi részecskét lássunk? A víz törésmutatója n = 1,33 .

Megoldás. Mivel a részecskék átmérője a látható fény hullámhosszával azonos nagyságrendű, ezért egy-egy részecske éles képe a mikroszkóp sötét látóterében egy-egy világító pont.

A részecskék magasság szerinti eloszlása az állandó hőmérsékletű vízben Boltzmann-eloszlás lesz. Ennek megfelelően a h 1 és h 2 magasságban elhelyezkedő részecskék átlagos számának aránya:

N 2 N 1 = e - E ( h 2 ) - E ( h 1 ) / ( k T ) .

Hogyan lehet meghatározni a h magasságban lévő részecske E ( h ) potenciális (magassági) energiáját? Vegyük figyelembe, hogy a részecskére nemcsak a nehézségi erő, hanem a felhajtóerő is hat. Ekkor

E ( h ) = ( ? - ? víz ) V g h , V = 4 3 r 3 ? = 1 6 d 3 ? .

A fenti egyenletekből a ? h = h 1 - h 2 magasságkülönbség:

? h = 6 k T · ln ( N 2 / N 1 ) ( ? - ? víz ) · d 3 ? g .

A mikroszkóp tubusát azonban nem kell ennyivel lejjebb süllyeszteni, mivel vízbe kell nézni. (A vízben lévő tárgyak „felemelkedve” látszanak.)

A helyes válasz: ? h ' = ? h n .

Adatok: N 2 / N 1 = 2 , ? = 1040 kg / m 3 , d = 5 · 10 - 7 m , g = 9,81 m / s 2 , k = 1,38 · 10 - 23 J/K , T = 296 K , n = 1,33 .

A víz sűrűsége 23 ?-on a középiskolai fizikai táblázatokban lévő adatokból interpolációval kapható: ? víz = 997,5 kg / m 3 , de elfogadható volt az is, ha valaki a szokásos 1000 kg / m 3 -rel számolt.

A helyes végeredmény (5% pontossággal):

? h ' = 0,08 mm .

A mikroszkóp tubusát tehát 0,08 milliméterrel kell lejjebb süllyeszteni.

A verseny eredménye

Összesen 242 versenyző adott be dolgozatot. A beadott dolgozatok terjedelme széles skálán mozog: az alig fél oldalas bátortalan próbálkozástól a 10-15 oldalas diszkusszióig mindenre akad példa. Hozzávetőleges tájékozódást nyújt a verseny iránti érdeklődésről az a táblázat, amely az összes beadott dolgozathoz viszonyított százalékos arányban adja meg a versenyzők életkor szerinti és iskolatípusonkénti eloszlását Budapesten és vidéken. Az 1990. évi Eötvös versenyen e táblázat a következőképpen alakult:

BUDAPESTEN

érettségizett

IV. osztályos

fiatalabb

gimn.

szakközép.

gimn.

szakközép.

gimn.

szakközép.

3%

0%

9,5%

0,5%

14%

0%

VIDÉKEN

érettségizett

IV. osztályos

fiatalabb

gimn.

szakközép.

gimn.

szakközép.

gimn.

szakközép.

6%

2%

32%

12%

10%

11%

Feltűnő, hogy milyen kevés az érettségizettek száma: az összes versenyzőknek csupán 11%-a. Tegyük hozzá, hogy az Eötvös versenyen eredetileg csak érettségizettek indulhattak! A középiskolások száma a 70-es években nőtt meg ugrásszerűen, tekintettel a felvételi kedvezményekre. A versenybe benevező érettségizettek száma viszont a 80-as években érte el a csúcsot, amikor ez az előfelvett és katonai szolgálatra behívott hallgatóknak jelentett szabadságot, a hazamenetel lehetőségét. 1988 óta az előfelvett hallgatók száma rohamosan csökkent, így az Eötvös versenyen most már tényleg azok indulhatnak, akiket a fizika szeretete s a szellemi erőpróba lehetősége sarkall.

Az ünnepélyes eredményhirdetésre 1990 november 30-án került sor az Eötvös Loránd Tudományegyetemen. A megoldásokat először a legjobb versenyzők mutatták be, majd a Versenybizottság jelenlévő tagjai egészítették ki az elmondottakat. Az első feladat megoldását Zóka Gábor és Bodor András ismertette, a másodikét Maróti Miklós, a harmadikét Egyedi Péter. A hallgatóság élénk figyelemmel s nagy vitatkozó kedvvel vett részt a diszkusszióban.

A második feladattal kapcsolatban Boros János [1] versenybizottsági tag írásban küldte el észrevételeit, kiegészítéseit a feladat megoldásához, ezt a bizottság elnöke felolvasta.

Ezután került sor a díjkiosztásra.

Első díjat kapott:

Bodor András, az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnáziumának IV. osztályos tanulója, Zsigri Ferenc tanítványa.

Második díjat kapott:

Horváth Tibor, a kecskeméti Katona József Gimnázium IV. osztályos tanulója, Kocsisné Domján Erzsébet tanítványa; valamint

Zóka Gábor, A BME I. éves villamosmérnök hallgatója, aki Nagyatádon az Ady Endre Gimnáziumban érettségizett mint Knapp Ottó tanítványa.

Harmadik díjat kapott

Egyedi Péter, a pécsi Leőwey Klára Gimnázium IV. osztályos tanulója, Csikós Istvánné tanítványa;

Maróti Miklós, a szegedi Radnóti Miklós Gimnázium IV. osztályos tanulója, Dudás Zoltánné tanítványa;valamint

Tokodi Tamás, a JATE I. éves fizikus hallgatója, aki Szegeden, a JATE Ságvári Endre Gyakorló Gimnáziumban érettségizett mint Kocsis Vilmos és Győri István tanítványa.

Dicséretet kaptak a verseny 7-13.helyezettjei:

7. helyezett: Hegedűs Pál, a soproni Berzsenyi Dániel Gimnázium IV. osztályos tanulója, Lang Jánosné tanítványa.

8. helyezett: Kiss Gyula, a zalaegerszegi Zrínyi Miklós Gimnázium IV. osztályos tanulója, Pálovics Róbert tanítványa.

9. helyezett: Falus Péter, az ELTE Ságvári Endre Gyakorló Gimnáziumának IV. osztályos tanulója, Honyek Gyula tanítványa.

10. helyezett: Gulyás Ferenc, a pécsi Zipernovszky Károly Ipari Szakközépiskola V. osztályos tanulója, Kiss Jenő tanítványa.

11. helyezett: Csilling Ákos, az ELTE I. éves fizikus hallgatója, aki Budapesten, a Fazekas Mihály Gyakorló Gimnáziumban érettségizett mint Horváth Gábor tanítványa.

12. helyezett: Földvári Zoltán, a veszprémi Lovassy László Gimnázium IV. osztályos tanulója, Farkas István tanítványa.

13. helyezett: Bilics Péter, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth Gábor tanítványa.

A díjakat a Versenybizottság elnöke adta át.

Az Eötvös verseny eredményhirdetése után került sor a KöMaL 1989-90. évi fizika pontversenyének eredményhirdetésére, majd az egyetemisták számára meghirdetett Ortvay verseny díjainak kiosztására. A KöMaL pontverseny nyerteseit Gnädig Péter köszöntötte, és mutatta be egymásnak és a hallgatóságnak, az Ortvay verseny nyerteseinek pedig Czakó Ferenc adta át azok leveleket és a jutalmakat.

Idén is feltűnt, hogy az Ortvay verseny nyertesei közül milyen sokan voltak az Eötvös verseny díjazottjai, illetve a KöMaL pontverseny helyezettjei. Úgy látszik, hogy a tehetségesek kiválasztásában jó úton járunk.



[1] Boros János (1912-1991) harminckét éven át vett részt a Versenybizottság munkájában, Kísérleti fizikus volt, Gyulai Zoltán tanítványa és munkatársa. Az említett kiegészítésben is azt vizsgálta, mérhető-e a feladat megoldása során kikövetkeztetett effektus… Idős ember volt már, 1991 januári halálhíre mégis váratlanul ért bennünket. Emlékszem, néhány évvel ezelőtt, amikor Szegeden volt a középiskolai tanári ankét, elment az egyetemre, megkérte a kollégákat, engedjék be a szertárba. „Meg akarom simogatni azokat a régi eszközöket.” - mondta. Ahogy neki hiányoztak a régi eszközök, úgy hiányzik ő is nekünk.