Ugrás a tartalomhoz

Az Eötvös-versenyek feladatai II. 1989-1997

Radnai Gyula

Typotex

Az 1995. évi verseny

Az 1995. évi verseny


1. feladat. Egy négyzet alakú, l = 3 m széles kísérletező asztal felszíne sík, d = 1 m szélességű középső sávját azonban állandó v = 3 m/s sebességgel mozgó (végtelenített) gumiszalag képezi, amely pontosan illeszkedik az asztallap nyugvó felszínéhez. Az asztal egyik szélének közepére (az 1995.1. ábrán látható A pontra) egy kicsi, lapos korongot fektetünk, és megütjük úgy, hogy u = 4 m/s sebességgel kezdjen csúszni (merőlegesen) a szalag felé. Az asztallap álló része és a korong közötti súrlódás elhanyagolható, a gumiszalag és a korong közötti súrlódási tényező µ = 0,5 .

1995.1. ábra.

Hol esik le a korong az asztalról?

Megoldás. Elvileg többféle lehetőség is elképzelhető, a súrlódástól és a sebességektől függően. Kis súrlódás és nagy kezdősebesség esetén a korong szinte átrepül az asztalon, alig változtatja meg a sebességét. Nagy súrlódás és kis kezdősebesség esetén viszont a korong át se jut a futószalagon, hanem „leragad” rajta, és a mozgó szalag szépen elviszi és leejti a korongot az asztal jobb oldalán. Ez utóbbi lehetőség is sugallhatja azt az ötletet, hogy a jelenséget ne az asztalhoz, hanem a futószalaghoz rögzített koordináta-rendszerben vizsgáljuk. Látni fogjuk, hogy ez mennyire leegyszerűsíti a megoldást.

A futószalaghoz rögzített koordináta-rendszerben a korong ferdén csúszik rá az álló szalagra. A súrlódási erő hatására egyenesvonalú, egyenletesen lassuló mozgást végez a szalagon, és ha még marad energiája, le is csúszik róla. Ezt az esetet mutatja az 1995.2. ábra.

1995.2. ábra.

A szalagon végigcsúszó korong 1,25 m utat tesz meg, amíg átér rajta. Kezdősebessége 5 m / s , lassulása µ g ? 5 m / s 2 . Végsebessége (a szalag szélén)

v t = v 0 2 - 2 µ g s ? 5 2 2 m / s .

Hol hagyja el a korong a szalagot? Ennek meghatározásához számítsuk ki, mennyi ideig volt a korong a szalagon:

t 1 = 2 s v 0 + v t ? 1 2 + 2 s .

Így már kiszámíthatjuk, hogy mennyit mozdult el a szalag, amíg a korong rajta volt:

? x 1 = v szalag · t 1 ? 3 2 + 2 m .

Továbbra is a g ? 10 m / s 2 közelítést alkalmazva a szalagról lecsúszó korong sebességére a futószalag illetve az asztal koordináta-rendszerében az 1995.3. ábrán látható értékeket kapjuk. Az 1 m széles, súrlódásmentes sávon való átcsúszáshoz szükséges idő:

t 2 = 1 m 2 2 m / s = 1 2 2 s .

Eközben a korong elmozdulása jobbra:

? x 2 = 3 - 3 2 1 2 2 m .

Így a korong összes elmozdulása jobbra:

? x = ? x 1 - 3 5 1,25 m + ? x 2 = 3 2 ( 2 + 2 ) m ? 44 cm .

Ha g = 9,81 m / s 2 -tel számolunk, ? x = 42,6 cm adódik.

1995.3. ábra.

A korong tehát az asztal szemközti oldalának közepétől 42,6 cm -rel jobbra esik le az asztalról.

Megjegyzés. Ha nem „kicsi” korongról van szó, a feladat meglehetősen bonyolulttá válik, mivel a gumiszalagra való rácsúszáskor görbevonalú pályán forogva mozog a test. Hasonló komplikációk adódnak akkor is, amikor a korong lecsúszik a szalagról.

2. feladat. Két vékony, koncentrikus, szupravezető gyűrű a síkjukra merőleges, homogén mágneses térben helyezkedik el. A mágneses indukció vektorának nagysága B 0 , iránya az ábrán a papír síkjába befelé mutat. A belső gyűrű sugara sokkal kisebb a külsőénél ( R 1 « R 2 ) . Az egyes gyűrűk induktivitása L 1 illetve L 2 , és a kölcsönös indukció sem hanyagolható el.

1995.4. ábra.

Mekkora és milyen irányú áramok indukálódnak az egyes gyűrűkben, ha a külső mágneses teret megszüntetjük?

Megoldás. A megoldás alapgondolata az, hogy a szupravezető gyűrűkben nem indukálódhat eredő feszültség, mert az végtelen nagy áramot eredményezne. Ez azt jelenti, hogy a külső mágneses tér leépülésével egyidejűleg olyan áramoknak kell indukálódniuk, hogy az áramváltozás miatti önindukciós és kölcsönös indukciós feszültségek éppen kioltsák a külső mágneses tér változása miatt indukálódó körfeszültséget. Másképp fogalmazva: a szupravezető gyűrű által körülölelt mágneses fluxus nem változhat meg. Ha megszűnik a külső tér fluxusa, fellép helyette az indukált áramok fluxusa.

Felírhatjuk tehát az alábbi egyenlőségeket:

B 0 R 1 2 ? = L 1 I 1 + M I 2 és B 0 R 2 2 ? = L 2 I 2 + M I 1 ,

ahol M a két gyűrű közti kölcsönös indukciós együttható. A fenti két egyenletből I 1 és I 2 kifejezhető:

I 1 = B 0 ( R 1 2 ? L 2 - R 2 2 ? M ) L 1 L 2 - M 2 , illetve I 2 = B 0 ( R 2 2 ? L 1 - R 1 2 ? M ) L 1 L 2 - M 2 .

Ezekben a kifejezésekben B 0 , R 1 , R 2 , L 1 és L 2 megadott értékek, M -et azonban meg kell még határoznunk.

Hogyan számíthatjuk ki a két gyűrű közötti kölcsönös indukciót? Használjuk ki, hogy R 1 « R 2 ! Feltételezhetjük, hogy az R 1 sugarú, kicsi belső gyűrű belsejében az I 2 áram által átjárt nagy külső gyűrűből származó mágneses mező jó közelítéssel homogénnek tekinthető. Így a külső gyűrűtől származó fluxus

M I 2 = B · R 1 2 ? ,

ahol B -t a nagy gyűrűben folyó áram hozza létre a gyűrű közepén, nagysága a Biot-Savart-törvény alapján:

B = µ 0 I 2 2 R 2 .

Behelyettesítés után M -re a következőt kapjuk:

M = µ 0 ? 2 R 1 R 1 R 2 .

Hasonló megfontolással kaphatunk nagyságrendi becslést az L 1 és L 2 önindukciós együtthatókra is. Egy R sugarú körvezetőben folyó áram által létrehozott B átlag nagyságrendileg közelíthető a középpontban mérhető B értékkel. Ennek megfelelően a fluxus B R 2 ? , s ezt az árammal osztva az önindukciós együtthatóra L ? u 0 R ? / 2 adódik.

Megjegyzés. Nem tartozik a megoldáshoz, de az érdekesség kedvéért megemlítjük, hogy a körgyűrű induktivitására jó közelítéssel igaz az alábbi formula:

L ? µ 0 R ln R r ,

ahol R a körgyűrű sugara, r pedig a kör keresztmetszetűnek képzelt drót vastagságának a fele. Mivel a logaritmus lassan változó függvény, a gyűrű önindukciós együtthatóját durva közelítésben µ 0 R -rel arányosnak vehetjük.

R 1 « R 2 miatt M « L 1 « L 2 , ezért az áramokra kapott kifejezéseket tovább egyszerűsíthetjük. A nevezőben M 2 elhanyagolható L 1 L 2 -höz képest, de elhanyagolható az I 2 számlálójában szereplő második tag is az elsőhöz képest. Így kapjuk:

I 2 = B 0 R 2 2 ? L 2 , illetve I 1 = B 0 R 1 2 ? L 1 1 - µ 0 ? 2 R 2 L 2 .

Hátra van még az áramok irányának meghatározása. I 2 nyilván az 1995.4. ábrán látható elrendezésben az óramutató járásával megegyező irányban folyik, hogy a papír síkjába befelé mutató indukcióvektort hozzon létre. I 1 iránya nem ennyire magától értetődő, azt a zárójelben álló kifejezés előjele dönti el. Ennek megállapítására - Tóth Gábor Zsolt ötlete nyomán - használjuk fel, hogy egy körvezetőben folyó áram mágneses tere a kör síkjában fekvő belső pontokat vizsgálva a kör középpontjában a leggyengébb. Felírhatjuk tehát a következő egyenlőtlenséget:

? 2 = L 2 I 2 ///>/// µ 0 I 2 2 R 2 R 2 2 ? = µ 0 ? 2 I 2 R 2 .

Ebből következik, hogy 1 ///>/// µ 0 ? 2 R 2 L 2 , vagyis az I 1 áram is az óramutató járásával megegyező irányban folyik.

3. feladat. Lézerből jövő, keskeny, vízszintes fénynyalábbal világítjuk meg a függőleges, nagyon keskeny rés középső tartományát.

1995.5. ábra.

a) Mit látunk a rés mögötti, a lézersugár irányára merőlegesen elhelyezett ernyőn?

b) Hogyan változik meg az ernyőn látható kép, ha a rést vízszintes középvonala körül ? szöggel elforgatjuk? (Legyen például ? = 45 ° .)

(A rést tekinthetjük egymáshoz nagyon közeli, egymástól egyenlő távolságra levő piciny lyukak sorozatának. Az ernyő elég távol van a réstől.)

Megoldás. Jelöljük a rés szélességét a -val, míg a rés megvilágított, középső tartományának függőleges mérete - a lézerből jövő keskeny nyaláb „átmérője” - legyen b . (Szokásos iskolai kísérleti összeállítás esetén például b ? 2 - 3 mm , míg a „nagyon keskeny” rés szélessége biztosan kisebb 0,1 mm -nél.) Úgy tekinthetjük, hogy egy b magasságú és a szélességű, téglalap alakú nyílás diffrakciós képe jelenik meg a réstől elég távol elhelyezett ernyőn.

Ebben az esetben vízszintes síkban a

sin ? k = k ? a ( k = ± 1 , ± 2 , )

egyenlet által meghatározott ? k irányokban kioltást tapasztalunk. Ha az ernyő l távolságra van a réstől ( l » b » a ) , akkor az ernyőn megjelenő kép leginkább egy vízszintes, szaggatott vonalra emlékeztet, ahol a „szakaszok” (függőleges) vastagsága b , vízszintes hosszuk pedig mintegy ? l / a . (Kivételt képez a középső szakasz, amely kétszeres hosszúságú, mivel ? = 0 irányban is erősítik egymást a hullámok.) Ahogy szűkítjük a rést, a kioltási minimumhelyek egyre távolodnak, és így az ernyőn megfigyelhető szakaszok is egyre hosszabbak lesznek. Előfordulhat, hogy az ernyőn végül már csak egyetlen halvány, összefüggő, vízszintes vonal látható.

Most válaszoljunk a b) kérdésre! Ha a rést elforgatjuk, „előredöntjük” a megadott vízszintes tengely körül, akkor a lézerből jövő fénynyaláb eredeti irányában továbbra is erősítést tapasztalunk. Ez azért van így, mert igaz ugyan, hogy a rés különböző pontjaiba (a lézertől mért távolságok különbözősége miatt) más-más fázissal érkezik a síkhullám, de a résen áthaladva és az eredeti irányban terjedve éppen akkora útkülönbséggel érkeznek az elemi hullámok az ernyőhöz, hogy a teljes fáziskülönbség közöttük nulla. Ennek elképzelését sugallta a feladat szövegében az a zárójelbe tett mondat, hogy „a rést tekinthetjük egymáshoz nagyon közeli, egymástól egyenlő távolságra levő piciny lyukak sorozatának”.

1995.6. ábra.

Most már csak azt kell észrevennünk, hogy ha az elemi hullámok a ? szögben megdöntött réssel ? szöget bezáró irányban ( ? = 90 ° - ? ) erősítik egymást (1995.6. ábra), akkor ez nemcsak az ábra síkjában következik be, hanem a háromdimenziós tér minden olyan irányában, amely a rés irányával ugyancsak ? szöget zár be! (Az eredeti, függőlegesen álló rés esetén ? = 90 ° , ezért kaptunk ott az ernyőn vízszintes vonalat.)

1995.7. ábra.

Általában tehát azt mondhatjuk, hogy az ernyőn megfigyelhető vonal egy kúpnak valamely síkmetszete lesz (1995.7. ábra). A kúp csúcsa a rés közepe, tengelyének iránya a rés iránya, fél nyílásszöge a fenti ? , amely az elforgatás szögének pótszöge. A sík az ernyő síkja.

A megfigyelhető vonal egy kúpszelet, ami - mint tudjuk - ellipszis, parabola vagy hiperbola lehet. Parabolát éppen akkor kapunk, ha az ernyő síkja a kúp valamelyik alkotójával párhuzamos. Esetünkben ez akkor következik be, ha a kúpnak van függőleges alkotója. Vízszintes alkotója az eredeti fénysugár, függőleges tehát csak akkor lehet a másik alkotó, ha a kúp nyílásszöge 90 ° . Ekkor ? = 45 ° , ? = 90 ° - ? = 45 ° , ez az elforgatási szög szerepelt példaként a feladatban.

Ha a rés felső része 45 ° -ban előre dől az ernyő felé, akkor az ernyőn látható parabola ágai fölfelé állnak. A fény intenzitása a csúcspontban a legnagyobb, a szárakon fokozatosan gyengül.

A verseny végeredménye

Összesen 262 versenyző adott be dolgozatot. A legtöbb versenyző ebben az évben is Budapestről, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnáziumból jött: 10 idén érettségizett, 11 negyedikes, 8 harmadikos és 4 másodikos - összesen 33 diák!

Sok versenyző jött Budapesten az Árpád és a Táncsics Gimnáziumból, Debrecenben a Tóth Árpád Gimnáziumból. A gyakorló iskolák közül a debreceni KLTE és a budapesti ELTE Apáczai Csere János gyakorlója tűnt ki. Majdnem mindegyik említett iskolából került ki díjnyertes vagy dicséretes versenyző. Külön érdemes megemlíteni a kecskeméti versenyzőket, jó lenne, ha a Társulat Bács-megyei területi csoportja vállalkozna az Eötvös Verseny kecskeméti megszervezésére.

Három pozsonyi és egyetlen erdélyi versenyző vett részt a szomszéd országokból. Két olyan magyar versenyző volt, akik nem itthon érettségiztek: egyikük Norvégiában, másikuk az USA-ban járt középiskolába.

A magyarországi versenyzők életkor és iskolatípusonkénti megoszlását az alábbi összefoglaló mutatja:

érettségizett

IV. osztályos

fiatalabb

gimnáziumban

14%

42%

28%

szakközépiskolában

3%

12%

1%

Első díjat nyert:

Tóth Gábor Zsolt, a budapesti Árpád Gimnázium IV. osztályos tanulója, Vankó Péter tanítványa.

Második díjat nyertek:

Bárász Mihály, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth Gábor tanítványa;

Lengyel Krisztián, az ELTE fizikus hallgatója, aki Cegléden, a Kossuth Lajos Gimnáziumban érettségizett, mint Tűri László tanítványa;

Lovas Rezső, a KLTE Gyakorló Gimnáziumának IV. osztályos tanulója, Dudics Pál, Kirsch Éva és Szegedi Ervin tanítványa.

Harmadik díjat nyertek:

Fazekas Péter, az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnáziumának IV. osztályos tanulója, Flórik György tanítványa;

Hegyes István, a nyíregyházi Kossuth Lajos Evangélikus Gimnázium IV. osztályos tanulója, Módis Ákos tanítványa;

Szabó János Zoltán, a BME műszaki informatika szakos hallgatója, aki Budapesten, az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnáziumában érettségizett, mint Zsigri Ferenc tanítványa;

Varga Dezső, az ELTE fizikus hallgatója, aki a miskolci Földes Ferenc Gimnáziumban érettségizett, mint id. Szabó Kálmán tanítványa.

Dicséretben részesült a versenyen 9-10. helyezést elért két versenyző: Kurucz Zoltán, a szolnoki Varga Katalin Gimnázium IV. osztályos tanulója, Vincze Gábor tanítványa; Perényi Márton, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth Gábor tanítványa.

Ugyancsak dicséretet kaptak egyenlő (11-18.) helyezésben: Agod Attila, a debreceni Tóth Árpád Gimnázium IV. osztályos tanulója, Kovács Miklós tanítványa; Biró Domokos Botond, a marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum XII. osztályos tanulója, Bíró Tibor tanítványa; Csonka Szabolcs, a budapesti Árpád Gimnázium IV. osztályos tanulója, Vankó Péter tanítványa; Farkas Illés, az ELTE fizikus hallgatója, aki az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnáziumában érettségizett, mint Pákó Gyula tanítványa; Frenkel Péter, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium III. osztályos tanulója, Horváth Gábor tanítványa; Lohner Roland, az BME műszaki informatika szakos hallgatója, aki az esztergomi Temesvári Pelbárt Ferences Gimnáziumban érettségizett, mint Halmai László tanítványa; Németh Tibor, az BME műszaki informatika szakos hallgatója, aki a győri Révai Miklós Gimnáziumban érettségizett, mint Somogyi Sándor tanítványa; Vörös Zoltán, a tiszavasvári Váci Mihály Gimnázium IV. osztályos tanulója, Víg Csaba tanítványa.

Az eredményhirdetés és a díjak és jutalmak ünnepélyes kiosztása 1995. november 24-én volt. A Versenybizottság mindegyik feladathoz készített demonstrációs kísérleteket a jelenségek bemutatására.

Az 1. feladatban leírt jelenséget kivetítve lehetett megfigyelni. A futószalagot egy, az írásvetítőre illeszkedő, 10 cm széles fóliacsíkból készült hurok képezte, melyet egy alul elhelyezkedő motorral lehetett meghajtani. Ehhez a feladathoz is kapcsolódott egy Ortvay verseny feladat, melyben nem a futószalagon átcsúszó korong, hanem egy vízszintes síkban forgó körlapon átguruló golyó mozgását kellett megvizsgálni. Ezt a jelenséget is bemutattuk: az egyik összeállításban egy forgózsámolyhoz használatos köralakú asztalon gurultak át különböző méretű rugalmas golyók. A meglepő jelenség: a korongot elhagyó golyó ugyanolyan irányban, sőt ugyanazon egyenes mentén gurul tovább, mint ahogyan a koronghoz érkezett. Még aznap láthatta ország-világ a Duna TV Híradójában.

A 2. feladathoz kapcsolódóan egy körülbelül 1 m átmérőjű, néhány menetes lapos tekercs és egy néhány cm átmérőjű kis tekercs kölcsönös indukcióját demonstráltuk hálózati frekvenciájú váltóárammal. Megmutattuk, hogy a mágneses indukció a nagy körvezető közepén a legkisebb.

3. feladat volt a legnehezebb, ezért ennek a bemutatását előzte meg a legnagyobb várakozás. Az 1 mW -os He-Ne lézer fényét egy néhány század milliméterre összeszűkíthető résen vezettük át és mattüveg ernyőre irányítottuk. Az elsötétített teremben jól meg lehetett figyelni a diffrakció eredményeként keletkező vízszintes fénycsíkot mindaddig, amíg a rés függőlegesen állt. Ezután a rés megdöntésekor az egyenes csík szépen elgörbült, miközben halk sóhajok szakadtak fel a padokból, ahol a versenyzők ültek. Ehhez a feladathoz kapcsolódott egy Ortvay verseny feladat: ebben nem rést, hanem optikai rácsot kellett megdönteni és magyarázni a keletkező diffrakciós kép változását. A fényerős „pontokból” álló diffrakciós képet jól meg lehetett figyelni; könnyű volt elképzelni azt a kúpszeletet, amelyet a pontokra lehetne illeszteni.

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat díjait Németh Judit alelnök adta át - bíztató, lelkesítő szavak kíséretében. A Nemzeti Tankönyvkiadó mindegyik helyezett versenyzőnek könyvutalványokat adott, megjelent tanáraik pedig ajándékkönyvek közül választhattak. A könyveket nagyobb részben a Nemzeti Tankönyvkiadó, kisebb részben a TYPOTEX kiadó bocsátotta rendelkezésre.