Ugrás a tartalomhoz

Az Eötvös-versenyek feladatai II. 1989-1997

Radnai Gyula

Typotex

Az 1996. évi verseny

Az 1996. évi verseny


1. feladat. A földön vízszintes helyzetében egy 20 cm átmérőjű fatörzs fekszik. Legalább mekkora sebességgel kell elugorjon egy szöcske a földről, hogy át tudja ugrani a fatörzset? (A légellenállást hanyagoljuk el!)

Megoldás. A légellenállást elhanyagolva állíthatjuk, hogy a szöcske pályája parabolaív lesz. Első gondolatunk az, hogy egy olyan parabola adja a kívánt megoldást, amely a hengert legfelül, egyetlen pontban érinti. (Éppen átcsúszik a szöcske a fatörzs felett.) Ezt a sejtést azonban még be kell bizonyítani, mint ahogy az is kiderülhet, hogy nem is igaz. Ezért csak annyit tételezünk fel, hogy a kívánt pálya a fatörzs két oldalán, ugyanolyan magasságban érinti a fatörzset (1996.1. ábra).

1996.1. ábra.

Az ábrán C és C * jelöli az érintési pontokat. A szöcske az A pontból ugrik el, v 1 kezdősebességgel, a vízszintessel ? szöget bezáró irányban. A fatörzs tengelyével azonos magasságban lévő B (és B * ) pontban a szöcske sebessége v 2 , a vízszintessel bezárt szög ß . Az érintési pontokban a sebesség v 3 , a vízszintessel bezárt szög ? . A parabolapálya legfelső ( D ) pontjában a sebesség vízszintes irányú, nagysága v 4 .

A feladatban v 1 minimális értékét kell meghatározni. ( v 1 ismeretében v 2 , v 3 , v 4 az energiatétel felhasználásával kapható meg, azonban ezek kiszámítása nem volt feladat.)

Mi legyen a független változó, aminek függvényében v 1 szélsőértékét keressük? Lehetne az elugrás helye, vagyis például az A G távolság. Lehetne az elugrás szöge, amit az ábrán ? -val jelöltünk. De lehetne akár a ß , akár a ? szög is: akármelyik szög meghatározza a másik kettőt. A független változó szerencsés megválasztása lerövidítheti a számításokat.

Válasszuk független változónak a ? szöget! Ezzel ugyanis v 3 kifejezhető, v 3 segítségével pedig felírható v 1 . Lássuk először v 3 és ? kapcsolatát.

A C D hajítási pályán t 3 -mal jelölve az emelkedés idejét, a függőleges sebességkomponens a C pontban

v 3 · sin ? = g t 3 ,

a vízszintes irányú C F elmozdulás pedig

v 3 · cos ? · t 3 = R · sin ? .

E két egyenlet összevetéséből kapjuk:

v 3 2 = g R cos ? .

Most írjuk fel az energiatételt az A és a C pont között:

1 2 m v 1 2 = 1 2 m v 3 2 + m g ( R + R cos ? )

Ebből

v 1 2 = v 3 2 + 2 g R ( 1 + cos ? ) , v 1 2 = g R cos ? + 2 g R ( 1 + cos ? ) , v 1 2 = 2 g R 1 + cos ? + 1 2 cos ? .

Mekkora ? szögnél lesz v 1 a legkisebb? (Első sejtésünk szerint ? = 0 esetben, amikor épp átcsúszik a szöcske a fatörzs tetején. Ekkor cos 0 + 1 2 cos 0 = 1,5 . A kérdés az, hogy lehet-e cos ? + 1 2 cos ? ///</// 1,5 .)

Írjuk fel a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget cos ? és 1 2 cos ? esetén! (Feltéve, hogy egyik sem negatív, ami azért igaz, mert cos ? nem negatív, ami viszont 0 ? ? ? 90 ° -ból következik.)

cos ? + 1 2 cos ? 2 cos ? 1 2 cos ? = 2 2 .

cos ? + 1 2 cos ? legkisebb értéke tehát 2 , ezt ? = 45 ° -nál veszi fel. Azt a meglepő eredményt kaptuk, hogy az optimális pálya a legfelső pontjában nem érinti a fatörzset, hanem fölé emelkedik. A szöcske helyzeti energiája a legmagasabb pontban nagyobb ugyan, mint az „éppen átcsúszik” esetben, de a mozgási energiája - s az összenergiája is - kisebb! Az eredeti kérdésre a helyes válasz tehát:

v 1 min = 2 g R 1 + 2 ? 2,2 m s .

Az érdekesség kedvéért kiszámíthatjuk ? és ß megfelelő értékeit is ebben az esetben:

? = 67 , 5 ° = 3 ? 8 , ß = 60 ° = ? 3 ;

az elugrási A G távolság pedig R 1 + 2 2 ? 17 cm . Az ábrán jelölt F pont a parabola fókuszpontja lesz.

2. feladat. Egy 3 dm magas, hengeres, zárt edényben 300 K hőmérsékletű, 10 5 Pa nyomású levegő van. Kívülről történő hűtéssel, illetve fűtéssel az alaplap hőmérsékletét 270 K -re csökkentjük, a fedőlapét 330 K -re növeljük, és a továbbiakban folyamatosan ezen a hőmérsékleten tartjuk. (Az edény oldalfala hőszigetelő.)

a) Megváltozik-e a gáz nyomása az eredeti állapothoz képest?

b) Becsüljük meg, hogy mennyivel tolódik el a bezárt gáz tömegközéppontja!

Megoldás. A gáz az edényben kezdetben egyensúlyi állapotban van. Hőmérséklete és nyomása is az edényben mindenütt ugyanannyi. (A nehézségi erőtérben szükségképpen fellépő függőleges nyomásgradienstől eltekinthetünk: erre utal, hogy a feladat szövegében szerepel a mindenütt egyenlő nyomás konkrét értéke.)

A végállapot már nem egyensúlyi állapot. A nyomás ugyan most is ugyanannyi mindenütt az edényben, a hőmérséklet azonban nem: lentről felfelé 270 K -től 330 K -ig nő. A beállt végállapotban szerencsére a hőmérséklet bármely helyen időben már nem változik. Az ilyen - nem egyensúlyi - állapotot nevezik stacionárius állapotnak, amelyre azonban még fennáll az egyensúlyi állapotra bevezetett

E = f 2 p V

összefüggés. Elveszti értelmét azonban a gáz egészére vonatkozólag a

p V = N k T

összefüggés, mivel nincs a gáznak egyetlen, jól meghatározott hőmérséklete.

Feltételezhetjük, hogy a stacionárius végállapot is mintegy egyensúlyi állapotban lévő vízszintes rétegekből tevődik össze. Egy-egy ilyen rétegen belül a hőmérséklet állandó; a magasabban lévő réteg hőmérséklete feladatunk esetében mindig nagyobb lesz.

Elfogadható („plauzibilis”) feltevésnek látszik, hogy a rétegek hőmérséklete a magasság lineáris függvénye. (Ez akkor igaz, ha a gáz hővezetőképessége nem függ a hőmérséklettől. A tapasztalat szerint a vizsgált hőmérséklettartományban ez jó közelítéssel teljesül.) Ezt felhasználva válaszolhatunk az a) kérdésre.

Hasonlítsunk össze két olyan ( ? x vastagságú) réteget, amelyek az alap- és a fedőlaptól egyenlő ( x ? h 2 ) távolságra vannak! A felső rétegben a hőmérséklet nagyobb, mint az alsóban, ezért itt kevesebb részecske hozza létre ugyanazt a nyomást, mint alul.

? N fent = p A ? x k T fent ? N lent = p A ? x k T lent T fent ///>/// T lent ? ? N fent ///</// ? N lent

Az edény fele magasságában egyezik meg a hőmérséklet a kiindulási, egyensúlyi állapotbeli hőmérséklettel. Azt mondhatjuk, hogy az edény felső felében a gáz felmelegedett, az alsóban lehűlt. De az előbb beláttuk, hogy a felső rétegekben mindig kevesebb gázmolekula van, mint a megfelelő alsó rétegekben - így azt is mondhatjuk, hogy több gáz hűlt le, mint amennyi felmelegedett!

Így arra a következtetésre jutottunk, hogy az egész gáz belső energiája csökkent. Mivel E = f 2 p V a stacionárius végállapotban is fennáll, a kisebb E -hez kisebb p -nek kell tartoznia ( f és V változatlanok). Tehát a gáz nyomása is csökkent.

b) Becsüljük meg, mennyivel tolódott el a gáz tömegközéppontja!

A becslést úgy végezzük, hogy a gázt egyenlő vastagságú, vízszintes rétegekre osztjuk fel. Feltesszük, hogy egy-egy rétegen belül egyensúly van, a réteg hőmérséklete állandó. A felosztást finomítva kaphatunk egyre pontosabb becsléseket.

Példaképpen nézzük az első, durva becslést, amikor csupán két „rétegre” osztjuk fel a hengert: legyen az edény alsó felében 270 K , a felső felében 330 K a hőmérséklet. A két rétegben levő tömegek aránya:

m fent m lent = 270 330 = 7,5 cm - ? h 7,5 cm + ? h , ahonnan ? h = 0,75 cm .

Második közelítésben osszuk három egyenlő részre a hengert; a középső réteg hőmérséklete legyen 300 K , a felsőé 330 K , az alsóé 270 K . Az előzőhöz hasonló gondolatmenettel a tömegközéppont süllyedésére ? h = 0,67 cm adódik.

Harmadik közelítésben osszuk öt egyenlő vastag rétegre a hengert; az egyes rétegek hőmérséklete fentről lefelé legyen: 330 K , 315 K , 300 K , 285 K , 270 K . Ebben az esetben valamivel hosszabb számolás után ? h = 0,60 cm -t kapunk.

Meddig folytassuk ezt? Becslésnek már az elsőnek kapott 0,75 cm is elfogadható. A pontos eredmény (amelynek meghatározását nem kérte a feladat!) integrálszámítással kapható, értéke ? h = 0,5 cm .

3. feladat. Szigetelő fonálon függő, 1 cm átmérőjű műanyag golyó felszínén 10 - 8 C töltés helyezkedik el egyenletesen. A golyót egy széles, nagy tálban lévő sós víz fölé engedjük úgy, hogy az alja 1 cm -re legyen a víztől. A víz felszíne a golyó alatt egy picit megemelkedik. Mekkora ez az emelkedés? (A felületi feszültség szerepét elhanyagolhatjuk, a sós víz sűrűségét vehetjük 1000 kg / m 3 -nek.)

Megoldás. A sós víz elektromosan jól vezető folyadék (elektrolit). Mind a pozitív, mind a negatív töltéshordozók (ionok) könnyen elmozdulnak benne. A közeledő, feltöltött golyó hatására az általa vonzott, vele ellentétes töltésű ionok igyekeznek a golyó felé elmozdulni, míg a golyóval azonos töltésű ionok a taszító erő hatására ellenkező irányban mozdulnak el. Ezáltal megszűnik a folyadék „térfogati semlegessége”, megkezdődik a töltésátrendeződés. A folyamat addig tart, amíg ki nem alakul a folyadék felszínén egy egyensúlyi töltéseloszlás, egy „felületi töltéssűrűség” úgy, hogy

1. az eredő elektromos tér erővonalai a golyó és a folyadék közötti térben merőlegesen futnak be a folyadék felszínére;

2. a folyadék belsejében a felszín alatti tartományokban zérus lesz az eredő térerősség.

Természetesen ekkor a golyó a vele ellentétes töltésű folyadékfelszínt magához akarja vonzani, fel akarja emelni. Fel is emeli egy picit; ezt a hatást akadályozza a folyadék felületi feszültsége, valamint a felemelt folyadék saját súlya. Feladatunkban a felületi feszültség szerepét elhanyagolhatjuk, így a folyadék felszíne a golyó alatt addig emelkedik fel, amíg a felületegységre ható elektrosztatikus emelő erő egyenlő nem lesz a felemelkedett folyadékréteg hidrosztatikai nyomásával.

Nem tudjuk, hogy milyen lesz pontosan a kialakuló folyadékfelület alakja. Biztos, hogy kevéssé tér el a síkfelülettől, erre utal a feladat szövege is („picit” megemelkedik) - tehát a levegőben kialakuló eredő elektromos tér meghatározásához alkalmazhatjuk a (sík) tükörtöltés módszerét. Másrészt elegendő lesz figyelmünket egyetlen pontra, a felemelkedő folyadékfelület legfelső P pontjára koncentrálni; ennek emelkedése az, amit ki kell számítanunk.

1996.2. ábra.

Az 1996.2. ábrán P -vel jelölt pontban a Q töltéstől származó térerősség

E 1 = 1 4 ? ? 0 Q ( 3 r ) 2 .

A folyadék felületén kialakuló töltéseloszlás hatását a felszín alatt 3 r mélységben elképzelt - Q nagyságú tükörtöltés hatásával helyettesítjük (1996.3. ábra). A tükörtöltéstől származó térerősség a P pontban ugyanakkora és ugyanolyan irányú, mint E 1 . Ezért az eredő térerősség:

E = 2 E 1 = 1 2 ? ? 0 Q ( 3 r ) 2 .

1996.3. ábra.

A felületegységre jutó töltés a P pontban Gauss tétele alapján:

? = ? 0 E = 1 2 ? Q ( 3 r ) 2 .

A folyadék felszínén a felületegységre ható erő a ? felületi töltéssűrűség és a golyótól származó E 1 elektromos térerősség szorzata:

F A = ? E 1 .

Ez az a felületegységre jutó, függőlegesen felfelé emelő erő a P pontban, amely egyensúly esetén egyenlő lesz a P pontbeli h emelkedésből származó hidrosztatikai nyomással:

F A = ? g h .

A sós víz felszínének h emelkedését tehát az alábbi egyenletből számíthatjuk ki:

1 4 ? ? 0 Q ( 3 r ) 2 · ? 0 · 2 1 4 ? ? 0 Q ( 3 r ) 2 = ? g h .

A megadott, illetve ismert értékeket behelyettesítve az emelkedés magasságára kapjuk:

h ? 0,29 mm .

Ez az érték valóban „pici” a golyó sugarához, illetve a víztől mért távolságához képest, jogos volt a síktükör-töltés közelítés. (Hasonlóképp jogos volt a golyó töltését a középpontjába helyezett ponttöltéssel helyettesíteni: műanyag golyóról lévén szó, a víz felszínén kialakuló töltéssűrűség vonzása nem tudja átrendezni, megváltoztatni a szigetelőre felvitt egyenletes töltéseloszlást. Azt is be lehet látni, hogy a víz megemelkedéséből adódó görbületi nyomás a hidrosztatikai nyomásnál sokkal kisebb, a felületi feszültség szerepét tehát jogosan hanyagoltuk el.)

A verseny végeredménye

Ebben az évben több érettségizett és kevesebb középiskolás versenyző indult, mint az előző évben. Különösen a Budapesti Műszaki Egyetemről jött több I. éves hallgató. Az összesen 208 hazai versenyző statisztikai eloszlása a következő volt:

érettségizett

IV-es

fiatalabb

Budapest

11%

11%

9%

vidéken

17%

37%

15%

Tíz külföldi versenyző vett részt a versenyen: heten Szlovákiából, hárman Romániából jöttek, s volt egy Németországban érettségizett versenyző is.

Régi gond, hogy nagyon kevés lány indul az Eötvös versenyen, s közülük is a legritkább esetben kerül ki díjazott vagy dicséretet elnyert versenyző. Az 1996-os Eötvös verseny ebből a szempontból rendhagyónak bizonyult: Nagy Szilvia, aki a győri Révai Miklós gimnáziumban érettségizett (tanárai: Székely László, Kolozsváry Ernőné), mint a Budapesti Műszaki Egyetem I. éves mérnök-fizikus hallgatója indult a versenyen és dicséretben részesült.

Az első feladat megoldásával szinte minden versenyző megpróbálkozott | igaz, nem mindenkinek sikerült rátalálni a helyes útra. Típushiba volt, hogy a versenyzők azt a parabolát keresték, amely a kört a legfelső pontban érinti, s amelynek a kör egyben simuló köre.

A legkevesebb jó megoldás a 3. feladatra született. Ennek ellenére itt találkoztunk a legérdekesebb megoldásokkal. A becslési feladatok közismert előnye, hogy valódi fizikus gondolkodást, szemléltet igényelnek. Hátrányuk, hogy megnehezítik a Versenybizottság munkáját: nehéz összevetni, értékelni a sok különböző úton közelítő megoldást, különösen akkor, ha nem is sikerül a jó ötlet tökéletes kivitelezése. Általában ez a helyzet. Bizony fárasztó, időrabló feladat az eltérő megoldások más-más gondolatmenetébe beleélni magunkat, de kárpótol az az öröm, amit az ember egy-egy új gondolat felbukkanásakor (és megértésekor) érez.

1996-ban mégsem volt nehéz eldönteni, hogy ki kapja az első díjat: egyetlen versenyző volt csupán, akinek mind a három feladatot sikerült helyesen megoldania.

Első díjat nyert:

Kurucz Zoltán, az ELTE fizikus hallgatója, aki Szolnokon, a Varga Katalin Gimnáziumban érettségizett, mint Vincze Gábor tanítványa.

Második díjat nyertek egyenlő (2-4.)helyezésben:

Biró Domokos Botond a Kolozsvári Műszaki Egyetem számítástechnika-automatizálás szakos hallgatója, aki Marosvásárhelyen, a Bolyai Farkas Elméleti Líceumban érettségizett, mint Bíró Tibor tanítványa;

Tóth Gábor Zsolt, az ELTE fizikus hallgatója, aki Budapesten, az Árpád Gimnáziumban érettségizett, mint Vankó Péter tanítványa;

Varga Tamás, az ELTE fizikus hallgatója, aki Révkomáromban, a Selye János Gimnáziumban érettségizett, mint Szabó Endre tanítványa.

Harmadik díjat nyertek egyenlő (5-10.)helyezésben:

Gröller Ákos, az ELTE matematikus hallgatója, aki Budapesten, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnáziumban érettségizett, mint Horváth Gábor tanítványa;

Hochsteiger Ákos, a szekszárdi Garay János Gimnázium IV. osztályos tanulója, Pesti Gyula tanítványa;

Kovács András, a BME műszaki informatika szakos hallgatója, aki Budapesten, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnáziumban érettségizett, mint Horváth Gábor tanítványa;

Mátrai Tamás, a budapesti, a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Horváth Gábor tanítványa;

Négyesi Gábor, az egri Szilágyi Erzsébet Gimnázium IV. osztályos tanulója, Flaskay Miklós és Burom Mária tanítványa;

Sexty Dénes, az egri Neumann János Közgazdasági Szakközépiskola és Gimnázium IV. osztályos tanulója, Pecsenye Pálné tanítványa.

Dicséretben részesültek egyenlő (11-15.)helyezésben:

Kálmán Barnabás, a BME műszaki informatika szakos hallgatója, aki Budapesten, az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnáziumában érettségizett, mint Flórik György tanítványa; Nagy Szilvia, a BME mérnök-fizikus hallgatója, aki Győrben, a Révai Miklós Gimnáziumban érettségizett, mint Kolozsváry Ernőné és Székely László tanítványa; Nagy Zoltán, a JATE fizikus hallgatója, aki Szegeden, a JATE Ságvári Endre Gyakorló Gimnáziumában érettségizett, mint Homolya Ernő tanítványa; Nyakas Péter, a zalaegerszegi Zrínyi Miklós Gimnázium IV. osztályos tanulója, Vadvári Tibor tanítványa; Wagner Róbert, a pannonhalmi Bencés Gimnázium IV. osztályos tanulója, Hirka Antal és Rábai László tanítványa.

Az ünnepélyes eredményhirdetésre 1996. november 29-én került sor. Itt nemcsak a feladatok helyes megoldásával ismerkedhettek meg a megjelent diákok és tanárok, de egy lézer fényének felhasználásával megfigyelhették a sós víz felszínének pici felemelkedését is. A közönség soraiban foglalt helyet több meghívott, régebbi Eötvös verseny nyertes vagy helyezett versenyző, így például Holics László (1949), Papp Elemér (1952), Széphalmi Géza (1958), Nagy Dénes Lajos (1962), Tichy Géza (1963), Corrádi Gábor (1964), s a mai Versenybizottság egyik tagja: Gnädig Péter (1965) is. A művelődési Minisztériumot Kovács Béla „versenyfelelős” osztályvezető képviselte.

Megemlékeztünk a 100 évvel korábbi, a millenniumi tanulóverseny nyerteseiről is.

Akkor a „báró Eötvös I. díj” nyertese Visnya Aladár (1878-1959) volt, aki Pécsett, a főreáliskolában érettségizett, mint Maksay Zsigmond (1850-1896) tanítványa. Maksay Zsigmond kiváló tanár volt, még a következő évben is lett egy Eötvös díjas tanítványa: Fejér Lipót. Sajnos korai halála megakadályozta abban, hogy megérje tanítványai sikerét. A díjátadáskor Eötvös Loránd meleg szavakkal emlékezett meg róla.

Visnya Aladár ezután a budapesti Tudományegyetemen szerzett matematika-fizika szakos tanári oklevelet, s vált Eötvös-i értelemben igazi tudós-tanárrá. 1903-tól Nagyváradon tanított, 1909-ben Budapestre helyezték. A Mathematikai és Physikai társulatban már a repülőgépekről tartott előadást. 1914 és 1919 között Sopronban tanított a leánygimnáziumban. 1919-ben a Tanácsköztársaság idején Budapestre nevezték ki igazgatónak, ezért s kommün bukása után eltiltották a tanári pályától. Ekkor abbahagyta a matematika és a fizika művelését, helyette botanikával és zoológiával kezdett foglalkozni. 1927-ben Kőszegen megengedték, hogy újra tanítson. Gyűjtőutakat szervezett, megalapította a Jurisich Múzeumot. Tevékeny, kreatív ember maradt egész életében. Hasonló érdeklődésű és kvalitású kutató volt, mint a vele csaknem egyidőben élt O. W. Richardson (1879-1959) angol fizikus, aki Cambridge-ben a Cavendish Laboratóriumban dolgozott J. J. Thomson tanítványaként, s „a termikus emisszió jelensége, és kivált a nevét viselő törvény felfedezéséért” megkapta az 1928. évi fizikai Nobel díjat. Jobb helyre született | ahogy azt ilyenkor mondani szokták. Még egy kísérteties hasonlóság: aktív évei után Richardson is botanikával kezdett foglalkozni. Egy mai Plutarkhosz feldolgozhatná párhuzamos életrajzaikat…

A millenniumi „báró Eötvös II. díj” nyertese Zemplén Győző (1879-1916) lett, aki Fiumében, az állami főgimnáziumban érettségizett, mint az olasz nemzetiségű Rocco Pizetti tanítványa. o is, akárcsak Visnya Aladár, dolgozott a Középiskolai Matematikai Lapokba, megoldásaikat még Arany Dániel értékelte. Zemplén is a budapesti tudományegyetemen folytatta tanulmányait, emellett az elsők között került be az Eötvös Collegiumba. Eötvösnél készítette el diplomamunkáját a gázok belső súrlódásának torziós ingával történő méréséből. Eötvös Loránd támogatta külföldi tanulmányútjait: Göttingában Félix Klein mellett mélyedt el a nem lineáris hidrodinamikában és a matematikai-fizikai reformkísérletekben, Párizsban Curie-ék mellett ismerkedett a fizika akkori legújabb eredményeivel. Az ő fordításában és az elsők között jelent meg magyar nyelven Mme Curie könyve a radioaktivitásról. Itthon megírta „Az elektromosság és gyakorlati alkalmazása” c. könyvét, melyből többek között a 12-13 éves Szilárd Leó sajátította el a fizikát. A műegyetemi elméleti fizika tanszék vezetőjeként, s a Mathematikai és Physikai Társulat fizikus titkáraként vonult be a háborúba 1914-ben és esett el az olasz fronton 1916-ban.

A millecentenáriumi Eötvös verseny díjainak átadására a Versenybizottság két volt Eötvös verseny nyertest kért fel.

A ma (1996-ban) élő legidősebb Eötvös verseny nyertes Bakos Tibor, ma is aktív tagja a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok matematikai szerkesztőbizottságának. Éppen 70 évvel 1996 előtt, 1926-ban ismételte meg Teller Ede előző évi bravúrját: fizikából is és matematikából is megnyerte az I. díjat a Társulat őszi tanulóversenyén.

Ugyanez sikerült 1940-ben Hoffmann Tibornak is, aki szintén tevékeny kutató munkával tölti nyugdíjas éveit: biofizikai problémák megoldásán dolgozik.

Mindketten szívesen emlékeztek vissza egykori középiskolai tanulmányaikra, az akkor Faragó Andor által szerkesztett Matematikai és Fizikai Lapokban kitűzött feladatok megoldására. Már akkor is azok a diákok voltak esélyesek az Eötvös verseny megnyerésére, akik szorgalmas megoldói voltak a Lapoknak.

Megható pillanata volt a díjátadásnak, amikor elhangzott a pannonhalmi gimnáziumból dicséretet nyert versenyző tanárának a neve. - Hirka Antal? Kedves barátaim, az ő édesapjával vívtunk nemes versenyt annak idején a Lapokban! Abban versenyeztünk, hogy kitől közöl több megoldást az újságban Faragó Andor! - ezekkel a szavakkal lépett ki néma díjkiosztó és kezet fogó szerepéből Bakos Tibor, majd elnézést kért a „közbeszólásért”. Mosolyogva, csillogó szemmel tapsolt mindenki a teremben.

Amíg a nyertes diákok díjaikat vették át, tanáraik ajándékkönyveket választhattak a Nemzeti Tankönyvkiadó, a Calibra és a Talentum kiadók legújabb ismeretterjesztő és tankönyvei közül. A Nemzeti Tankönyvkiadó a diákok díjait is kiegészítette könyvutalványokkal úgy, hogy még a dicséretes versenyzőknek is jutott belőlük.

A Duna Televízió esti híradójában tudósította határainkon innen és túli nézőit az ünnepélyes eredményhirdetésről.