Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

1. fejezet - Ábrázolási gyakorlatok

1. fejezet - Ábrázolási gyakorlatok

1.1. A számítógépes ábrázolás: előnyök és veszélyek

Mindenekelőtt egyszerű példákon keresztül mutatjuk be a számítógépes ábrázolás legfontosabb lehetőségeit és buktatóit. Megvizsgáljuk, hogy a kísérletezés, az ábrázolás, az esetleges hibaüzenetek hogyan használhatók fel az adott függvény tulajdonságainak (mint például a növekedés mértéke, szélsőértékek) becslésére. Ugyanakkor tudnunk kell, hogy a számítógéppel készített grafikon gyakran képtelen megmutatni szingularitásokat. A rosszul megválasztott rajzoló opciók pedig a valóságnak teljesen ellentmondó ábrát eredményezhetnek.

A problémák érzékeltetésére egyszerű, ismert függvényeket tekintünk. Ezek azonnal érthetővé válnak, ha tudjuk, hogy a számítógépes rendszerek bizonyos helyeken kiszámítják a függvényt, és a grafikon így kapott pontjait valamilyen módon összekötik.

A Mathematica legfontosabb grafikus parancsait az elektronikus melléklet 2D grafika és 3D grafika című fejezeteiben tekintjük át részletesebben.

Tanulságos példák

1.1.1. Példa. Globális és lokális ábrák

Tekintsük az alábbi negyedfokú polinomot:

f[x_]:=x^4–3x^2+1

f [ x_ ] := x 4 - 3 ? x 2 + 1

  • Egyszerű grafikon: globális és lokális viselkedés

A Mathematica az aranymetszés alapján automatikusan állapítja meg a tengelyek hosszát, a túl nagy értékeket levágja. Nagy léptékeltérés esetén

  • következtethetünk a függvény nagy növekedési mértékére;

  • ugyanakkor láthatatlanná válnak a kicsi változások.

Ezért, kiválasztva valamilyen intervallumot, ismeretlen függvény esetén érdemes az ábrázolást az alábbi alakú utasítással kezdeni:

Plot[f[x],{x,–6,6}];

Plot [ f [ x ] , { x , - 6 , 6 } ] ;

Előzetes észrevételeink hasznosak lehetnek, amikor egy függvény globális vagy lokális viselkedésére vagyunk kíváncsiak. A fenti ábrán a lokális tulajdonságok nem látszanak, de a függvény aszimptotikus viselkedése szépen követhető. A lokális tulajdonságok egy kisebb intervallumon való ábrázolással („zoom in” technika) tanulmányozhatók.

Plot[f[x],{x,–2,2}];

Plot [ f [ x ] , { x , - 2 , 2 } ] ;

  • Egyenlő lépték a tengelyeken

Plot[f[x],{x,–6,6},AspectRatio›Automatic];

Plot [ f [ x ] , { x , - 6 , 6 } , AspectRatio Automatic ] ;

Az ábra élvezhetetlen, de hasznos. Nagyon gyors változást jelez. De egészen más értelme is lehet, amint azt a következőkben látjuk.

1.1.2. Példa. Gyors változás avagy szingularitás

Ábrázoljuk a tg(x)

tg ? ( x ) (a Mathematica-ban tan(x) tan ? ( x ) ) függvényt:

f[x_]:=Tan[x];x0=–2?;x1=2?;

f [ x_ ] := Tan [ x ] ; x0 = - 2 ? ? ; x1 = 2 ? ? ;

  • Egyszerű grafikon

A tg(x)

tg ? ( x ) tulajdonságai ismertek. Ábrázoljuk a grafikont a legegyszerűbb módon.

Plot[f[x],{x,x0,x1}];

Plot [ f [ x ] , { x , x0 , x1 } ] ;

A fenti ábrából a gyors változásra és a lényeges szingularitásokra jól következtethetünk. Vegyük észre, hogy a –?/2

- ? / 2 -ben és ?/2 ? / 2 -ben nem kaptunk hibaüzenetet. Ezek nem szerepelnek a mintapontok között.

  • A szokásos grafikon: egyenlő léptékek

Mivel a fenti ábrán az ábrázolt y-tartomány nagy, ezért ha azonos tengelyléptékekkel szeretnénk a függvényt ábrázolni, akkor célszerű az ábrázolt tartományt megadni (mint láttuk, enélkül az ábra élvezhetetlen lenne).

Plot[f[x],{x,x0,x1},AspectRatio›Automatic,PlotRange›{–4,4}];

Plot [ f [ x ] , { x , x0 , x1 } , AspectRatio Automatic , PlotRange { - 4 , 4 } ] ;

  • A mintapontok száma: minőség, vagy sebesség?

Ha megnöveljük a mintapontok számát, akkor a grafikon élethűsége javulhat, de a művelet nagyobb erőforrásigényű (memória, számolás).

Plot[f[x],{x,x0,x1},PlotPoints›100,AspectRatio›Automatic,PlotRange›{–4,4}];

Plot [ f [ x ] , { x , x0 , x1 } , PlotPoints 100 , AspectRatio Automatic , PlotRange { - 4 , 4 } ] ;

A mintapontok számának csökkentése esetén a végrehajtás gyorsabb, de teljesen valószerűtlen grafikont kaphatunk.

Plot[f[x],{x,x0,x1},PlotPoints›10,PlotDivision›1,AspectRatio›Automatic,PlotRange›{–6,6}];

Plot [ f [ x ] , { x , x0 , x1 } , PlotPoints 10 , PlotDivision 1 , AspectRatio Automatic , PlotRange { - 6 , 6 } ] ;

1.1.3. Példa. Viselkedés szinguláris helyen

Láttuk, hogy nem mindig kapunk hibaüzenetet, ha a rajzolási tartomány egy pontja nem eleme a függvény értelmezési tartományának. A számítógépes ábrában teljesen eltűnhetnek a megszüntethető szingularitások. Ezek meghatározásához nem elegendő a grafikus vizsgálat.

Plot[(x/x),{x,–1,1},PlotRange›{0,2}];

Plot [ x x , { x , - 1 , 1 } , PlotRange { 0 , 2 } ] ;

Ehhez hasonló a helyzet a Dirac-féle ? függvény esetén is, amellyel a 3.2. fejezetben részletesen foglalkozunk.

Elsőfajú szingularitású függvények esetén, mint például a lépcsős függvények, a grafikus ábrázolás segítségével következtethetünk a szakadási helyeken a jobb és bal oldali határértékekre (ezeket meg is határozhatjuk a Mathematica-val). A függvény értékének meghatározásához azonban formális műveletek szükségesek. Erre az esetre triviális példa a sign(x)

sign ? ( x ) függvény.

Plot[Sign[x],{x,–1,1}];

Plot [ Sign [ x ] , { x , - 1 , 1 } ] ;