Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

2. fejezet - Közönséges differenciálegyenletek számítógépes vizsgálatának elemei

2. fejezet - Közönséges differenciálegyenletek számítógépes vizsgálatának elemei

2.1. Fogalmak áttekintése

Az impulzív rendszerek tanulmányozása feltételezi a differenciálegyenletekkel kapcsolatos legfontosabb fogalmak és eredmények ismeretét. Ebben a fejezetben a teljesség kedvéért áttekintjük a legfontosabb definíciókat, fogalmakat és tulajdonságokat. A számítógépes alapeszközöket a következő fejezetben foglaljuk össze. Kvalitatív módszereket az impulzív rendszerekkel együtt a későbbi fejezetekben tárgyalunk.

Definíciók

Az

F(t,x,x',...,x^((m)))=0
F ? ( t , x , x ' , ... , x ( m ) ) = 0

függvényegyenletet (F:R×R^n×...×R^n›R^n),

( F : R × R n × ... × R n R n ) , amely kapcsolatot teremt egy ismeretlen x:R›R^n x : R R n függvény, annak x',...,x^((m)) x ( m ) deriváltjai és a t független változó között, m-ed rendű közönséges differenciálegyenletnek nevezzük. Ha innen x^((m)) x ( m ) kifejezhető, akkor az

x^((m))=f(t,x,x',...,x^((m–1))) x ( m ) = f ? ( t , x , x ' , ... , x ( m - 1 ) ) (2.1.1)

explicit differenciálegyenletet kapjuk. Ha a rendszerben csak x'

x ' szerepel, akkor elsőrendű egyenletről beszélünk:

x'=f(t,x) x ' = f ? ( t , x ) (2.1.2)

A magasabb rendű egyenleteket gyakran írjuk át elsőrendű rendszerré az

x_1=x, x_2=x', ..., x_k=x^((k–1)), ...
x 1 = x , x 2 = x ' , ... , x k = x ( k - 1 ) , ...

transzformáció segítségével. Ekkor a (2.1.1) egyenletből az

x'_1=x_2, x_2'=x_3, ..., x'_(m–1)=f(t,x_1,x_2,...,x_(m–1)) x ' 1 = x 2 , x 2 ' = x 3 , ... , x ' m - 1 = f ? ( t , x 1 , x 2 , ... , x m - 1 ) (2.1.3)

rendszert kapjuk. Egy differenciálegyenlet megoldásakor feladatunk ugyanaz, mint integrálás esetén. Az egyenletből meghatározzuk az ismeretlen x(t)

x ? ( t ) függvényt. Ezért nevezzük gyakran a differenciálegyenlet megoldásának folyamatát az egyenlet integrálásának.

A (2.1.2) differenciálegyenlet megoldásának nevezünk minden olyan, az egyenlettől függően elegendően sokszor differenciálható függvényt, amely kielégíti az egyenletet.

Geometriai jelentés

Tekintsük a (2.1.2) elsőrendű egyenletet. Ha az x(t)

x ? ( t ) függvény az egyenlet egy x(t_0)=x_0 x ? ( t 0 ) = x 0 ponton átmenő megoldása, akkor x'(t_0)=f(t_0,x_0) x ' ? ( t 0 ) = f ? ( t 0 , x 0 ) , ezért x(t) x ? ( t ) grafikonja érintőjének irányvektora {1,f(t_0,x_0)}?R^(n+1). { 1 , f ? ( t 0 , x 0 ) } ? R n + 1 . Ezeknek az irányvektoroknak a halmazát a differenciálegyenlethez tartozó iránymezőnek nevezzük. Vegyük észre, hogy az iránymező megrajzolásához nem kell az egyenletet megoldanunk. Az egyenlet bármely x(t) x ? ( t ) megoldásának {t,x(t)} { t , x ? ( t ) } pontbeli érintője az iránymező innen induló vektora. Azt mondhatjuk, hogy egy differenciálegyenlet megoldása az iránymezőhöz illeszkedő függvények keresését jelenti. A megoldások grafikonjait R^(n+1) R n + 1 -ben integrálgörbéknek is nevezzük.

2.1.1. Példa. Skaláris (1D) eset

Az alábbi ábra az x'=sin(t)x

x ' = sin ? ( t ) ? x egyenlet iránymezőjét mutatja:

2.1.2. Példa. Síkbeli (2D) eset

2D rendszerek esetén az iránymező háromdimenziós. Magasabb dimenziók esetén az ábrázolás csak speciális esetekben lehetséges (lásd később az autonóm rendszereket). Az x'=y

x ' = y , y'=–x–y y ' = - x - y differenciálegyenlet-rendszer iránymezője:

Autonóm differenciálegyenletek

Az olyan differenciálegyenleteket, amelyek jobb oldala nem függ explicit módon t-től, autonóm egyenleteknek nevezzük. Zárt, a külvilág hatásától független rendszerek viselkedését írják le ilyen egyenletek. Az autonóm egyenletek alakja:

x'=f(x) x ' = f ? ( x ) (2.1.4)

Az autonóm rendszerek alaptulajdonságai könnyen adódnak az időfüggetlenségből. Ha x(t)

x ? ( t ) megoldása a (2.1.4) egyenletnek, akkor x(t–?) x ? ( t - ? ) is megoldás lesz. Innen adódik, hogy elegendő a kezdetiérték-probléma megoldását a t_0=0 t 0 = 0 esetben vizsgálni. Az iránymező {1,f(x)} { 1 , f ? ( x ) } elemei szintén eltolhatók a t-tengely mentén, ezért elegendő az R^(n+1) R n + 1 -beli iránymező helyett annak R^n R n -beli vetületét, az f(x) f ? ( x ) vektormezőt ábrázolni. Ez a vektormező a megoldások R^n R n -beli képének, trajektóriáinak érintővektoraiból álló mező. Az autonóm egyenletek esetén elegendő tehát a trajektóriák és az f(x) f ? ( x ) vektormező vizsgálata. Nyilvánvaló, hogy ha a kezdetiérték-problémának a megoldása egyértelmű az x_0 x 0 pontban, akkor itt két trajektória nem metszheti egymást.

2.1.3. Példa.

Az x'=2x(1–x)

x ' = 2 ? x ? ( 1 - x ) egyenlet iránymezőjét és néhány megoldását tartalmazza az alábbi ábra. Jól látható a vektorok és a megoldások t-tengely mentén való eltolhatósága.

2.1.4. Példa.

Az x^'=y, y^'=–x–0.5 y

x ' = y , y ' = - x - 0.5 y síkbeli rendszerhez tartozó {y,–x–0.5y} { y , - x - 0.5 y } vektormező és a megoldások trajektóriái láthatók az alábbi ábrán.

Az utóbbi példából is látható, hogy a trajektóriák csak a koordináták egymáshoz viszonyított változását fejezik ki, az időbeli változást nem. Ezért az autonóm rendszerek esetén is szükség van az egyes koordináták ábrázolására. A trajektóriák esetén ezen a problémán a számítógépes ábrázolás módszereivel segíthetünk (lásd az 1.3. fejezetet a mozgás pályájáról).

A kezdetiérték-probléma

A geometriai értelmezés alapján világos, az egyenlet megoldása nem egyetlen függvény, hanem egy függvénysereg. Az egyenlet megoldásaként kapott függvények seregét a differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük. Speciálisan, az x'=f(t)

x ' = f ? ( t ) egyenlet általános megoldása az f(t) f ? ( t ) függvény határozatlan integrálja. Ha a keresett megoldás értékét rögzítjük valamely t_0 t 0 pillanatban, az

x'=f(t,x), x(t_0)=x_0 x ' = f ? ( t , x ) , x ( t 0 ) = x 0 (2.1.5)

kezdetiérték-problémát kapjuk. Ennek megoldását a kezdetiérték-probléma megoldásának vagy partikuláris megoldásnak nevezzük. A differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy előfordulhat, hogy a kezdetiérték-problémának nincs, vagy nem egyetlen megoldása van. Ezeket a szélső eseteket zárja ki az x(t_0)=x_0

x ? ( t 0 ) = x 0 kezdeti feltételt kielégítő megoldás létezését és a létezés egyértelműségét biztosító alábbi tétel.

2.1.1. Tétel.

Ha a (2.1.5)-beli differenciálegyenlet jobb oldala folytonos mindkét változója szerint valamely, az {t_0,x_0}

{ t 0 , x 0 } pont körüli környezet belsejében, akkor a (2.1.5) kezdetiérték-problémának legalább egy megoldása létezik. Ha a folytonosság mellett a (?f(t,x)/?x) ? f ? ( t , x ) ? x parciális derivált létezik és folytonos valamely, a {t_0,x_0} { t 0 , x 0 } pont körüli környezet belsejében, akkor a (2.1.5) kezdetiérték-problémának pontosan egy megoldása létezik.

Az ábrán a 2.1.3. példa egyenletének x(0.5)=0.1

x ? ( 0.5 ) = 0.1 kezdeti értékhez tartozó megoldását láthatjuk.

  • Megjegyzés

Megjegyezzük, hogy bár nemautonóm rendszerek esetén az f(t,x)

f ? ( t , x ) vektormező ábrázolásának a fázistérben klasszikus tekintetben nincs értelme, a t szerinti animáció informatív lehet, és a trajektóriákat ekkor is gyakran ábrázoljuk. Figyelembe kell azonban vennünk, hogy a trajektóriák ekkor metszhetik egymást a kezdetiérték-probléma megoldása egyértelműségének megsértése nélkül.

Egyensúlyi helyzetek

Legyen az x_0

x 0 érték olyan, hogy minden t-re x'=f(t,x_0)=0 x ' = f ? ( t , x 0 ) = 0 . Ekkor az x(t)=x_0 x ? ( t ) = x 0 konstans függvény megoldása a (2.1.2) differenciálegyenletnek. Fordítva, ha az x(t)=x_0 x ? ( t ) = x 0 függvény megoldás, akkor f(t,x_0)=0 f ? ( t , x 0 ) = 0 minden t-re. Ezekről az értékekről a megoldás nem mozdul el, egyensúlyban van. A differenciálegyenlet konstans megoldásait a (2.1.2) egyenlet egyensúlyi helyzeteinek nevezzük. Az egyensúlyi helyzetek az f(t,x) f ? ( t , x ) függvény t-től független zéróhelyei.

A megoldások egyensúlyi helyzetek közelében való viselkedése igen fontos probléma. Ezzel kapcsolatosan az egyensúlyi helyzetek stabilitási tulajdonságai alapvetőek. Most csak a legfontosabb definíciókat fogalmazzuk meg, az elmélettel általánosabban az impulzív rendszerek keretében foglalkozunk.

2.1.2. Definíció.

A (2.1.2) egyenlet x^_

x _ egyensúlyi helyzete stabilis, ha minden t_0 t 0 és ? ///>/// 0 esetén létezik ? ///>/// 0, úgy hogy az egyenlet x(t) x ? ( t ) megoldásaira |x(t_0)–x^_|///<///? | x ? ( t 0 ) - x _ | ///</// ? maga után vonja |x(t)–x^_|///<///? | x ? ( t ) - x _ | ///</// ? teljesülését minden t?t_0 t ? t 0 esetén.

Az x^_

x _ egyensúlyi helyzet aszimptotikusan stabilis, ha stabilis, és minden t_0 t 0 esetén van olyan ?///>///0 ? ///>/// 0 , hogy |x(t_0)–x^_|///<///? | x ? ( t 0 ) - x _ | ///</// ? maga után vonja lim_(t›?) |x(t)|=x^_ lim t ? | x ? ( t ) | = x _ teljesülését.

Az x^_

x _ egyensúlyi helyzet instabilis, ha nem stabilis, vagyis van olyan t_0 t 0 és ?_0 ? 0 ///>/// 0 hogy minden ?///>///0 ? ///>/// 0 és T///>///0 T ///>/// 0 esetén található olyan x(t) x ? ( t ) megoldás, amelyre |x(t_0)–x^_|///<///? | x ? ( t 0 ) - x _ | ///</// ? és |x(T)–x^_|///>///?_0 | x ? ( T ) - x _ | ///>/// ? 0 .

A 2.1.3. példában az egyenlet egyensúlyi helyzetei x_1=0

x 1 = 0 (instabilis) és x_2=1 x 2 = 1 (aszimptotikusan stabilis). A 2.1.4. példában az origó aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzet.

2.1.5. Példa.

Az x'=–x+t

x ' = - x + t egyenletnek nincs egyensúlyi helyzete, mert a –x+t=0 - x + t = 0 egyenlet megoldása x(t)=t x ? ( t ) = t nem konstans (nem is megoldása az egyenletnek).