2.1. Fogalmak áttekintése
Az impulzív rendszerek tanulmányozása feltételezi a differenciálegyenletekkel kapcsolatos legfontosabb fogalmak és eredmények ismeretét. Ebben a fejezetben a teljesség kedvéért áttekintjük a legfontosabb definíciókat, fogalmakat és tulajdonságokat. A számítógépes alapeszközöket a következő fejezetben foglaljuk össze. Kvalitatív módszereket az impulzív rendszerekkel együtt a későbbi fejezetekben tárgyalunk.
Definíciók
Az
függvényegyenletet 
(
F
:
R
×
R
n
×
...
×
R
n
›
R
n
)
,
amely kapcsolatot teremt egy ismeretlen 
x
:
R
›
R
n
függvény, annak x',...,
x
(
m
)
deriváltjai és a t független változó között, m-ed rendű közönséges differenciálegyenletnek nevezzük. Ha innen 
x
(
m
)
kifejezhető, akkor az
explicit differenciálegyenletet kapjuk. Ha a rendszerben csak 
x
'
szerepel, akkor elsőrendű egyenletről beszélünk:
A magasabb rendű egyenleteket gyakran írjuk át elsőrendű rendszerré az
transzformáció segítségével. Ekkor a (2.1.1) egyenletből az
rendszert kapjuk. Egy differenciálegyenlet megoldásakor feladatunk ugyanaz, mint integrálás esetén. Az egyenletből meghatározzuk az ismeretlen 
x
?
(
t
)
függvényt. Ezért nevezzük gyakran a differenciálegyenlet megoldásának folyamatát az egyenlet integrálásának.
A (2.1.2) differenciálegyenlet megoldásának nevezünk minden olyan, az egyenlettől függően elegendően sokszor differenciálható függvényt, amely kielégíti az egyenletet.
Geometriai jelentés
Tekintsük a (2.1.2) elsőrendű egyenletet. Ha az 
x
?
(
t
)
függvény az egyenlet egy 
x
?
(
t
0
)
=
x
0
ponton átmenő megoldása, akkor 
x
'
?
(
t
0
)
=
f
?
(
t
0
,
x
0
)
, ezért 
x
?
(
t
)
grafikonja érintőjének irányvektora 
{
1
,
f
?
(
t
0
,
x
0
)
}
?
R
n
+
1
.
Ezeknek az irányvektoroknak a halmazát a differenciálegyenlethez tartozó iránymezőnek nevezzük. Vegyük észre, hogy az iránymező megrajzolásához nem kell az egyenletet megoldanunk. Az egyenlet bármely 
x
?
(
t
)
megoldásának 
{
t
,
x
?
(
t
)
}
pontbeli érintője az iránymező innen induló vektora. Azt mondhatjuk, hogy egy differenciálegyenlet megoldása az iránymezőhöz illeszkedő függvények keresését jelenti. A megoldások grafikonjait 
R
n
+
1
-ben integrálgörbéknek is nevezzük.
2.1.1. Példa.
Skaláris (1D) eset
Az alábbi ábra az 
x
'
=
sin
?
(
t
)
?
x
egyenlet iránymezőjét mutatja:
2.1.2. Példa.
Síkbeli (2D) eset
2D rendszerek esetén az iránymező háromdimenziós. Magasabb dimenziók esetén az ábrázolás csak speciális esetekben lehetséges (lásd később az autonóm rendszereket). Az 
x
'
=
y
, 
y
'
=
-
x
-
y
differenciálegyenlet-rendszer iránymezője:
Autonóm differenciálegyenletek
Az olyan differenciálegyenleteket, amelyek jobb oldala nem függ explicit módon t-től, autonóm egyenleteknek nevezzük. Zárt, a külvilág hatásától független rendszerek viselkedését írják le ilyen egyenletek. Az autonóm egyenletek alakja:
Az autonóm rendszerek alaptulajdonságai könnyen adódnak az időfüggetlenségből. Ha 
x
?
(
t
)
megoldása a (2.1.4) egyenletnek, akkor 
x
?
(
t
-
?
)
is megoldás lesz. Innen adódik, hogy elegendő a kezdetiérték-probléma megoldását a 
t
0
=
0
esetben vizsgálni. Az iránymező 
{
1
,
f
?
(
x
)
}
elemei szintén eltolhatók a t-tengely mentén, ezért elegendő az 
R
n
+
1
-beli iránymező helyett annak 
R
n
-beli vetületét, az 
f
?
(
x
)
vektormezőt ábrázolni. Ez a vektormező a megoldások 
R
n
-beli képének, trajektóriáinak érintővektoraiból álló mező. Az autonóm egyenletek esetén elegendő tehát a trajektóriák és az 
f
?
(
x
)
vektormező vizsgálata. Nyilvánvaló, hogy ha a kezdetiérték-problémának a megoldása egyértelmű az 
x
0
pontban, akkor itt két trajektória nem metszheti egymást.
2.1.3. Példa.
Az 
x
'
=
2
?
x
?
(
1
-
x
)
egyenlet iránymezőjét és néhány megoldását tartalmazza az alábbi ábra. Jól látható a vektorok és a megoldások t-tengely mentén való eltolhatósága.
2.1.4. Példa.
Az 
x
'
=
y
,
y
'
=
-
x
-
0.5
y
síkbeli rendszerhez tartozó 
{
y
,
-
x
-
0.5
y
}
vektormező és a megoldások trajektóriái láthatók az alábbi ábrán.
Az utóbbi példából is látható, hogy a trajektóriák csak a koordináták egymáshoz viszonyított változását fejezik ki, az időbeli változást nem. Ezért az autonóm rendszerek esetén is szükség van az egyes koordináták ábrázolására. A trajektóriák esetén ezen a problémán a számítógépes ábrázolás módszereivel segíthetünk (lásd az 1.3. fejezetet a mozgás pályájáról).
A kezdetiérték-probléma
A geometriai értelmezés alapján világos, az egyenlet megoldása nem egyetlen függvény, hanem egy függvénysereg. Az egyenlet megoldásaként kapott függvények seregét a differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük. Speciálisan, az 
x
'
=
f
?
(
t
)
egyenlet általános megoldása az 
f
?
(
t
)
függvény határozatlan integrálja. Ha a keresett megoldás értékét rögzítjük valamely 
t
0
pillanatban, az
kezdetiérték-problémát kapjuk. Ennek megoldását a kezdetiérték-probléma megoldásának vagy partikuláris megoldásnak nevezzük. A differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy előfordulhat, hogy a kezdetiérték-problémának nincs, vagy nem egyetlen megoldása van. Ezeket a szélső eseteket zárja ki az 
x
?
(
t
0
)
=
x
0
kezdeti feltételt kielégítő megoldás létezését és a létezés egyértelműségét biztosító alábbi tétel.
2.1.1. Tétel.
Ha a (2.1.5)-beli differenciálegyenlet jobb oldala folytonos mindkét változója szerint valamely, az 
{
t
0
,
x
0
}
pont körüli környezet belsejében, akkor a (2.1.5) kezdetiérték-problémának legalább egy megoldása létezik. Ha a folytonosság mellett a 
?
f
?
(
t
,
x
)
?
x
parciális derivált létezik és folytonos valamely, a 
{
t
0
,
x
0
}
pont körüli környezet belsejében, akkor a (2.1.5) kezdetiérték-problémának pontosan egy megoldása létezik.
Az ábrán a 2.1.3. példa egyenletének 
x
?
(
0.5
)
=
0.1
kezdeti értékhez tartozó megoldását láthatjuk.
Megjegyezzük, hogy bár nemautonóm rendszerek esetén az 
f
?
(
t
,
x
)
vektormező ábrázolásának a fázistérben klasszikus tekintetben nincs értelme, a t szerinti animáció informatív lehet, és a trajektóriákat ekkor is gyakran ábrázoljuk. Figyelembe kell azonban vennünk, hogy a trajektóriák ekkor metszhetik egymást a kezdetiérték-probléma megoldása egyértelműségének megsértése nélkül.
Egyensúlyi helyzetek
Legyen az 
x
0
érték olyan, hogy minden t-re 
x
'
=
f
?
(
t
,
x
0
)
=
0
. Ekkor az 
x
?
(
t
)
=
x
0
konstans függvény megoldása a (2.1.2) differenciálegyenletnek. Fordítva, ha az 
x
?
(
t
)
=
x
0
függvény megoldás, akkor 
f
?
(
t
,
x
0
)
=
0
minden t-re. Ezekről az értékekről a megoldás nem mozdul el, egyensúlyban van. A differenciálegyenlet konstans megoldásait a (2.1.2) egyenlet egyensúlyi helyzeteinek nevezzük. Az egyensúlyi helyzetek az 
f
?
(
t
,
x
)
függvény t-től független zéróhelyei.
A megoldások egyensúlyi helyzetek közelében való viselkedése igen fontos probléma. Ezzel kapcsolatosan az egyensúlyi helyzetek stabilitási tulajdonságai alapvetőek. Most csak a legfontosabb definíciókat fogalmazzuk meg, az elmélettel általánosabban az impulzív rendszerek keretében foglalkozunk.
2.1.2. Definíció.
A (2.1.2) egyenlet 
x
_
egyensúlyi helyzete stabilis, ha minden 
t
0
és ? ///>/// 0 esetén létezik ? ///>/// 0, úgy hogy az egyenlet 
x
?
(
t
)
megoldásaira 
|
x
?
(
t
0
)
-
x
_
|
///<///
?
maga után vonja 
|
x
?
(
t
)
-
x
_
|
///<///
?
teljesülését minden 
t
?
t
0
esetén.
Az 
x
_
egyensúlyi helyzet aszimptotikusan stabilis, ha stabilis, és minden 
t
0
esetén van olyan 
?
///>///
0
, hogy 
|
x
?
(
t
0
)
-
x
_
|
///<///
?
maga után vonja 
lim
t
›
?
|
x
?
(
t
)
|
=
x
_
teljesülését.
Az 
x
_
egyensúlyi helyzet instabilis, ha nem stabilis, vagyis van olyan 
t
0
és 
?
0
///>/// 0 hogy minden 
?
///>///
0
és 
T
///>///
0
esetén található olyan 
x
?
(
t
)
megoldás, amelyre 
|
x
?
(
t
0
)
-
x
_
|
///<///
?
és 
|
x
?
(
T
)
-
x
_
|
///>///
?
0
.
A 2.1.3. példában az egyenlet egyensúlyi helyzetei 
x
1
=
0
(instabilis) és 
x
2
=
1
(aszimptotikusan stabilis). A 2.1.4. példában az origó aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzet.
2.1.5. Példa.
Az 
x
'
=
-
x
+
t
egyenletnek nincs egyensúlyi helyzete, mert a 
-
x
+
t
=
0
egyenlet megoldása 
x
?
(
t
)
=
t
nem konstans (nem is megoldása az egyenletnek).
