Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

3. fejezet - Bevezetés

3. fejezet - Bevezetés

3.1. Néhány példa röviden

Általában impulzív rendszerről beszélünk, ha valamely folyamat változását egy differenciálegyenlet írja le, ugyanakkor valamilyen – a függő és a független változóra vonatkozó – feltétel teljesülése esetén a függő változóra impulzus hat. Most csupán néhány egyszerű példát mutatunk be, amelyek jól illusztrálják az impulzív rendszerek természetét. A fogalmakat később pontosan definiáljuk, a tulajdonságokat részletesen tárgyaljuk. Általánosabb jelenségeket leíró rendszerek ezekhez hasonlóan adhatók meg. Impulzív hatások előfordulhatnak funkcionál-differenciálegyenletekkel és parciális differenciálegyenletekkel leírható modellek esetén is. Ezek vizsgálata újabb köteteket töltene meg.

  • A Dirac-féle ? függvény differenciálegyenletekben

Matematikailag az ugrások legegyszerűbben az egységugrás (Heaviside-féle) függvénnyel (H(x))

( H ? ( x ) ) írhatók le, amelyre H(x)=0, H ? ( x ) = 0 , ha x?0 x ? 0 és H(x)=1 H ? ( x ) = 1 ha x///>///0 x ///>/// 0 . Ennek változása nem modellezhető klasszikus differenciálegyenlettel, mivel deriváltja csak általá-nosított értelemben létezik. Ez a Dirac-féle ? ? függvény, amely mindenütt azonosan nulla, kivéve az x=0 x = 0 helyet, és

?_(–?)^??(x)dx=1.
? - ? ? ? ? ( x ) ? ? x = 1 .

A Dirac-féle ? függvényt tartalmazó differenciálegyenletekkel a 3.2. fejezetben foglalkozunk.

  • Impulzusok rögzített időpontban

Legyen adott a {t_i}

{ t i } monoton növő végtelen sorozat. Legyen x:R_+›R^n x : R + R n a vizsgált folyamatot leíró függvény. Ha t?t_i t ? t i , akkor x(t) x ? ( t ) változását az x'=f(t,x) x ' = f ? ( t , x ) differenciálegyenlet írja le, a t=t_i t = t i pillanatokban pedig az x(t_i+0)=I_i(x(t_i–0)) x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) ) (i=1, 2, 3, ...) ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) impulzus hat, ahol I_i: R^n›R^n I i : R n R n . Feltételezzük, hogy az x(t) x ? ( t ) függvény balról folytonos.

3.1.1. Példa.

Legyen x(t)

x ? ( t ) valamely gyógyszer mennyisége a szervezetben. Ismert, hogy elsőrendű kinetika szerinti lebomlású gyógyszer esetén a lebomlás az

x'=–kx
x ' = - k ? x

differenciálegyenlet szerint történik. Kapjon a beteg minden T-edik pillanatban injekcióban A

A mennyiségű gyógyszert (feltesszük, hogy a gyógyszer egy pillanat alatt szétterjed). Ekkor a folyamatot az

x'=–kx, t?iT x(iT+0)=x(iT–0)+A, (i=1, 2, 3, ...)
x ' = - k ? x , t ? i ? T x ? ( i ? T + 0 ) = x ? ( i ? T - 0 ) + A , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

impulzív rendszer írja le (lásd részletesen a 11.2. fejezetben). A megoldások alakját az alábbi ábra mutatja:

3.1.2. Példa.

Abban a speciális esetben, mikor a rendszerben x'=0

x ' = 0 , (t?t_i) ( t ? t i ) , akkor a diszkrét változásokat leíró differenciaegyenleteket kapjuk. Tehát, a rögzített idejű impulzusokkal rendelkező impulzív rendszerek a differenciál- és differenciaegyenletek közös általánosításainak tekinthetők.

3.1.3. Példa.

Még nem sikerült szükséges és elégséges feltételeket találni, amely biztosítaná, hogy az

x''+a(t)x'+f(x)=0 (a(t)?0, xf(x)///>///0 ha x?0)
x '' + a ? ( t ) ? x ' + f ? ( x ) = 0 ? ( a ? ( t ) ? 0 , x ? f ? ( x ) ///>/// 0 ? ha ? x ? 0 )

differenciálegyenlet minden megoldása nullához tart, ha t›?

t ? . Ismert, hogy ha a(t) a ? ( t ) valamilyen módon egyenletesen nagy (például 1/t///<///a(t)///<///t 1 / t ///</// a ? ( t ) ///</// t ) akkor a megoldások nullához tartanak. Ha azonban a(t) a ? ( t ) csak bizonyos, egészen rövid időintervallumokon pozitív (szakaszos, ugrásszerű fékezés), akkor ez a tulajdonság függ ezen intervallumok hosszától, eloszlásától az időtengelyen és az f(x) f ? ( x ) függvény tulajdonságaitól. Ez az egyenlet speciális esete bonyolultabb egyenleteknek, amelyek mechanikai, biológiai, elektromos stb. csillapított rezgő rendszereket írnak le. Abban az esetben, ha a csillapítás egy pillanat alatt bekövetkezik, azaz impulzív, akkor az

x''+f(x)=0, t?t_i, x'(t_i+0)=b_ix'(t_i–0), (i=1, 2, 3, ...)
x '' + f ? ( x ) = 0 , t ? t i , x ' ? ( t i + 0 ) = b i ? x ' ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

impulzívan fékezett rendszert (13.2. fejezet) kapjuk.

A két rendszer viselkedése hasonló, de a pillanatnyi hatások miatt lényeges különbség van köztük. Az úgynevezett kis fékezés esetén az impulzusos rendszer egy megoldásának és deriváltjának menetét láthatjuk a fenti ábrán.

  • Állapotfüggő impulzusok

Tegyük fel, hogy, az x(t): R_+›R^n

x ? ( t ) : R + R n függvény változását az x'=f(t,x) x ' = f ? ( t , x ) differenciálegyenlet írja le. Legyen adott valamely S?R×R^n S ? R × R n halmaz (általában hiperfelületek egyesítése) és az I:R×R^n›R^n I : R × R n R n impulzus függvény. Ekkor impulzív rendszert kapunk az alábbi módon. Ha (t,x(t))?S ( t , x ? ( t ) ) ? S , akkor a változás a differenciálegyenlet szerint történik, ha azonban (t,x(t))?S ( t , x ? ( t ) ) ? S , akkor x(t+0)=I(t,x(t–0)) x ? ( t + 0 ) = I ? ( t , x ? ( t - 0 ) ) . Speciális esetben, mikor f, S f , S és I I nem függnek t t -től, autonóm rendszert kapunk.

3.1.4. Példa.

Utolsó példánkban tekintsünk egy autonóm rendszert, egy nagyon egyszerű vezérlési problémát, a labdapattogtatás esetét (14.2. fejezet). A labda földfelszíntől mért távolsága legyen x(t)

x ? ( t ) . A mozgást az x''=–g x '' = - g egyenlet írja le, ahol g g a nehézségi gyorsulás. A felszínhez érve a labda visszapattan (rugalmatlan ütközés), vagyis az x'(t+0)=–? x'(t–0) x ' ? ( t + 0 ) = - ? ? x ' ? ( t - 0 ) impulzus hat, ahol 0??///<///1 0 ? ? ///</// 1 , mivel az összenergia csökken. A pattogtatás, a visszaütés az x=h x = h magasságban következik be, ekkor a labda energiát kap, mert a pattogtató személy a labdát visszaüti. Ekkor x'(t+0)=–ß x'(t–0) x ' ? ( t + 0 ) = - ß ? x ' ? ( t - 0 ) , ahol 1///<///ß 1 ///</// ß . Kérdés, hogy kialakulhat-e valamilyen egyenletes, stabilis pattogtatás, vagy ehhez más stratégiát kell követnünk. Látható, hogy nem elégséges a pattogtatás ereje az alábbi ábrán látható esetben, ahol h=1, ?=0.8 h = 1 , ? = 0.8 és ß=1.3 ß = 1.3 :