3.1. Néhány példa röviden
Általában impulzív rendszerről beszélünk, ha valamely folyamat változását egy differenciálegyenlet írja le, ugyanakkor valamilyen – a függő és a független változóra vonatkozó – feltétel teljesülése esetén a függő változóra impulzus hat. Most csupán néhány egyszerű példát mutatunk be, amelyek jól illusztrálják az impulzív rendszerek természetét. A fogalmakat később pontosan definiáljuk, a tulajdonságokat részletesen tárgyaljuk. Általánosabb jelenségeket leíró rendszerek ezekhez hasonlóan adhatók meg. Impulzív hatások előfordulhatnak funkcionál-differenciálegyenletekkel és parciális differenciálegyenletekkel leírható modellek esetén is. Ezek vizsgálata újabb köteteket töltene meg.
Matematikailag az ugrások legegyszerűbben az egységugrás (Heaviside-féle) függvénnyel 
(
H
?
(
x
)
)
írhatók le, amelyre 
H
?
(
x
)
=
0
,
ha 
x
?
0
és 
H
?
(
x
)
=
1
ha 
x
///>///
0
. Ennek változása nem modellezhető klasszikus differenciálegyenlettel, mivel deriváltja csak általá-nosított értelemben létezik. Ez a Dirac-féle 
?
függvény, amely mindenütt azonosan nulla, kivéve az 
x
=
0
helyet, és
A Dirac-féle ? függvényt tartalmazó differenciálegyenletekkel a 3.2. fejezetben foglalkozunk.
Legyen adott a 
{
t
i
}
monoton növő végtelen sorozat. Legyen 
x
:
R
+
›
R
n
a vizsgált folyamatot leíró függvény. Ha 
t
?
t
i
, akkor 
x
?
(
t
)
változását az 
x
'
=
f
?
(
t
,
x
)
differenciálegyenlet írja le, a 
t
=
t
i
pillanatokban pedig az 
x
?
(
t
i
+
0
)
=
I
i
(
x
?
(
t
i
-
0
)
)
(
i
=
1
,
2
,
3
,
...
)
impulzus hat, ahol 
I
i
:
R
n
›
R
n
. Feltételezzük, hogy az 
x
?
(
t
)
függvény balról folytonos.
3.1.1. Példa.
Legyen 
x
?
(
t
)
valamely gyógyszer mennyisége a szervezetben. Ismert, hogy elsőrendű kinetika szerinti lebomlású gyógyszer esetén a lebomlás az
differenciálegyenlet szerint történik. Kapjon a beteg minden T-edik pillanatban injekcióban 
A
mennyiségű gyógyszert (feltesszük, hogy a gyógyszer egy pillanat alatt szétterjed). Ekkor a folyamatot az
impulzív rendszer írja le (lásd részletesen a 11.2. fejezetben). A megoldások alakját az alábbi ábra mutatja:
3.1.2. Példa.
Abban a speciális esetben, mikor a rendszerben 
x
'
=
0
, 
(
t
?
t
i
)
, akkor a diszkrét változásokat leíró differenciaegyenleteket kapjuk. Tehát, a rögzített idejű impulzusokkal rendelkező impulzív rendszerek a differenciál- és differenciaegyenletek közös általánosításainak tekinthetők.
3.1.3. Példa.
Még nem sikerült szükséges és elégséges feltételeket találni, amely biztosítaná, hogy az
differenciálegyenlet minden megoldása nullához tart, ha 
t
›
?
. Ismert, hogy ha 
a
?
(
t
)
valamilyen módon egyenletesen nagy (például 
1
/
t
///<///
a
?
(
t
)
///<///
t
) akkor a megoldások nullához tartanak. Ha azonban 
a
?
(
t
)
csak bizonyos, egészen rövid időintervallumokon pozitív (szakaszos, ugrásszerű fékezés), akkor ez a tulajdonság függ ezen intervallumok hosszától, eloszlásától az időtengelyen és az 
f
?
(
x
)
függvény tulajdonságaitól. Ez az egyenlet speciális esete bonyolultabb egyenleteknek, amelyek mechanikai, biológiai, elektromos stb. csillapított rezgő rendszereket írnak le. Abban az esetben, ha a csillapítás egy pillanat alatt bekövetkezik, azaz impulzív, akkor az
impulzívan fékezett rendszert (13.2. fejezet) kapjuk.
A két rendszer viselkedése hasonló, de a pillanatnyi hatások miatt lényeges különbség van köztük. Az úgynevezett kis fékezés esetén az impulzusos rendszer egy megoldásának és deriváltjának menetét láthatjuk a fenti ábrán.
Tegyük fel, hogy, az 
x
?
(
t
)
:
R
+
›
R
n
függvény változását az 
x
'
=
f
?
(
t
,
x
)
differenciálegyenlet írja le. Legyen adott valamely 
S
?
R
×
R
n
halmaz (általában hiperfelületek egyesítése) és az 
I
:
R
×
R
n
›
R
n
impulzus függvény. Ekkor impulzív rendszert kapunk az alábbi módon. Ha 
(
t
,
x
?
(
t
)
)
?
S
, akkor a változás a differenciálegyenlet szerint történik, ha azonban 
(
t
,
x
?
(
t
)
)
?
S
, akkor 
x
?
(
t
+
0
)
=
I
?
(
t
,
x
?
(
t
-
0
)
)
. Speciális esetben, mikor 
f
,
S
és 
I
nem függnek 
t
-től, autonóm rendszert kapunk.
3.1.4. Példa.
Utolsó példánkban tekintsünk egy autonóm rendszert, egy nagyon egyszerű vezérlési problémát, a labdapattogtatás esetét (14.2. fejezet). A labda földfelszíntől mért távolsága legyen 
x
?
(
t
)
. A mozgást az 
x
''
=
-
g
egyenlet írja le, ahol 
g
a nehézségi gyorsulás. A felszínhez érve a labda visszapattan (rugalmatlan ütközés), vagyis az 
x
'
?
(
t
+
0
)
=
-
?
?
x
'
?
(
t
-
0
)
impulzus hat, ahol 
0
?
?
///<///
1
, mivel az összenergia csökken. A pattogtatás, a visszaütés az 
x
=
h
magasságban következik be, ekkor a labda energiát kap, mert a pattogtató személy a labdát visszaüti. Ekkor 
x
'
?
(
t
+
0
)
=
-
ß
?
x
'
?
(
t
-
0
)
, ahol 
1
///<///
ß
. Kérdés, hogy kialakulhat-e valamilyen egyenletes, stabilis pattogtatás, vagy ehhez más stratégiát kell követnünk. Látható, hogy nem elégséges a pattogtatás ereje az alábbi ábrán látható esetben, ahol 
h
=
1
,
?
=
0.8
és 
ß
=
1.3
:
