Karsai János
Typotex
A műszaki gyakorlatban, az elméleti matematikában, ezen belül az impulzív rendszerek elméletében a Heaviside-féle egységugrás függvénynek és a Dirac-féle
[D]
Definíciók
A Heaviside-féle függvény definíciója:
[D]
Minthogy a 0-ban szakadása van, hagyományos értelemben ott nem deriválható. Általánosított (disztribúció) értelemben azonban létezik deriváltja, ami nem más mint a Dirac-féle
[D]
[D]
A disztribúciók tulajdonságaival kapcsolatosan A. N. Kolmogorov és Sz. V. Fomin [17] könyvében találhatók bevezető fejezetek. A fenti definíció a 0-ban nem határozza meg a függvény értékét, de ez a bizonytalanság a klasszikus függvények között sem rontja használhatóságát. Ábrázolni ugyan nem lehet, de jelentése nagyon szemléletes: egy pontra koncentrált impulzushatást fejez ki. A definíciókból azonnal kapjuk, hogy
ahol
[D]
[D]
Mathematica megvalósítás
A
[D]
[D]Calculus`DiracDelta`
programcsomagban találhatók, amelyet a 3.x verziókban (a 4.x-ben már nem!) felhasználás előtt be kell tölteni.
[D]
Néhány ellenőrzés
[D]
[D]
[D]
[D]
Vigyázat: a számítógépes grafikonok az origóbeli tulajdonságokat, szingularitásokat nem jelzik. Ezek ellenőrzését az olvasóra bízzuk.
[D]
[D]
A Dirac-? közelítése klasszikus függvényekkel
A közelítések alapja az alábbi tétel:
3.2.1. Tétel.
Ha az
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
A tételnek megfelelően több különböző közelítést adhatunk meg, attól függően, hogy a közelítő függvényektől milyen szabályosságot várunk el. Látni fogjuk, hogy számításigényük is lényegesen eltér (Timing
függvény).
Végtelenszer deriválható függvények sorozata
[D]
[D]
[D]
[D]
Lépcsős függvények sorozata
[D]
[D]
[D]
Háromszög-függvények sorozata
[D]
[D]
[D]
Feladatok
3.2.1. Feladat.
A grafikonok alapján sejthetjük, hogy a közelítés a leggyorsabb a végtelenszer differenciálható DiracAppr[x,d]
függvények esetén, ugyanakkor ebben az esetben a leghosszabb a futásidő. Konstruáljunk más, kevéssé számításigényes, de megközelítően gyorsan konvergáló sorozatot.