Karsai János
Typotex
Az előző pontban áttekintettük a Dirac-féle ? függvény alapvető tulajdonságait és klasszikus függvényekkel való közelítésének lehetőségeit. Most néhány ismert példán keresztül bemutatjuk a ? függvény jelentőségét differenciálegyenletekben.
A kezdetiérték-probléma
Lineáris eset
Tekintsük az
lineáris kezdetiérték-problémát, ahol x ?
[D]
[D]
[D]
integrálegyenletnek, amelyet az alábbi alakban is írhatunk:
Ez utóbbi pedig ekvivalens az
kezdetiérték-problémával.
Általánosabb egyenletek
Az előző egyszerű példában láttuk, hogy az
[D]
[D]
differenciálegyenletet (f folytonos,
[D]
Könnyen látható, hogy az f folytonossága és a ? definíciója miatt
Így ez a differenciálegyenlet az
alakban, közvetlenül ugrásokkal is megadható. Amennyiben végtelen sok pillanatnyi hatás következik be, akkor a differenciálegyenlet alakja
amely megadható
alakban is.
A megkülönböztetésnek és az impulzusokkal való felírásnak több oka van. A legfontosabbak:
Az impulzív rendszerben szereplő függvények klasszikus értelemben léteznek, míg a differenciálegyenletet integrálegyenletté kell átírni, mivel ? nem függvény.
A Dirac ?-val felírt differenciálegyenlet szerencsés esetben formálisan megoldható. A numerikus megoldáshoz a ? függvényt valódi függvényekkel kell közelíteni, amint az már tettük a ?(x) és a Heaviside-függvény leírásánál az előző pontban. Jól közelítő függvény tartójának kicsinek kell lennie, amit a megoldó rutinnak figyelembe kell venni (a lépéshossz elegendően kicsi legyen). A megoldás ekkor időigényes lehet.
Az impulzív rendszer megoldása klasszikus kezdetiérték-problémák egymás utáni megoldását jelenti.
A folytonos változás (a differenciálegyenlet) és az ugrásszerű változás szétválasztása az elméleti és gyakorlati vizsgálatok szempontjából előnyös lehet.
Léteznek ugrások, amelyek nem vagy csak nehezen lennének általánosított differenciálegyenletként megadhatók.
Oszcillátor impulzív gerjesztéssel
Most egy impulzívan gerjesztett oszcillátor példáján mutatjuk meg, hogy hogyan oldhatók meg a Mathematica rendszerben a Dirac-féle ? függvényt tartalmazó differenciálegyenletek. Ehhez a korábban megadott ?-közelítéseket használjuk. A megoldások időigényét a Timing
függvénnyel számoljuk. Végül, a rendszert impulzív rendszerként is megoldjuk. Ábrázoljuk a különböző módszerekkel kapott megoldásokat és különbségüket. Az egyenlet alakja:
a jobb oldal Mathematica formátumban:
[D]
Az elméleti megoldás
[D]
[D]
[D]
[D]
A megoldás grafikonja:
[D]
A derivált grafikonja:
[D]
Mivel a ? függvény az x''-ben jelenik meg, ezért x'-nek ugrásai vannak, és x folytonos.
Közelítő megoldás lépcsős függvénnyel való közelítéssel
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Az elméleti és a közelítő megoldás különbsége:
[D]
Közelítő megoldás háromszög-függvénnyel való közelítéssel
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Az elméleti és a közelítő megoldás különbsége:
[D]
A két különböző közelítés eltérése:
[D]
A megfelelő impulzív rendszer megoldása
Az egyenletet ugrásokkal, impulzusokkal felírva az alábbi rendszert kapjuk:
Az impulzív rendszer megoldásának technikai elemeivel később részletesen foglalkozunk (4.2.fejezet). A rendszer megoldását a későbbi fejezetek ismeretében az olvasóra bízzuk. A megoldás és deriváltja:
Az elméleti és a közelítő megoldás különbsége: