Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

3.3. A Dirac-féle ? függvény differenciálegyenletekben

Az előző pontban áttekintettük a Dirac-féle ? függvény alapvető tulajdonságait és klasszikus függvényekkel való közelítésének lehetőségeit. Most néhány ismert példán keresztül bemutatjuk a ? függvény jelentőségét differenciálegyenletekben.

A kezdetiérték-probléma

Lineáris eset

Tekintsük az

[D]

x ' = A ? ( t ) ? x , x ? ( 0 ) = x 0

lineáris kezdetiérték-problémát, ahol x ?

[D]

R n és

[D]

A ? ( t ) folytonos mátrix függvény. Ismert, hogy

[D]

x ? ( t ) akkor és csakis akkor megoldás, ha megoldása az

[D]

x ? ( t ) = x 0 + ? 0 t A ? ( s ) ? x ? ( s ) ? ? s

integrálegyenletnek, amelyet az alábbi alakban is írhatunk:

[D]

x ? ( t ) = ? - ? t ( x 0 ? ? ? ( s ) + A ? ( s ) ? x ? ( s ) ) ? ? s , x ? ( t ) = 0 , ha ? t ///</// 0.

Ez utóbbi pedig ekvivalens az

[D]

x ' = A ? ( t ) ? x + x 0 ? ? ? ( t ) , x ? ( 0 - 0 ) = 0

kezdetiérték-problémával.

Általánosabb egyenletek

Az előző egyszerű példában láttuk, hogy az

[D]

x 0 ? ? ? ( t ) tag megadása a differenciálegyenlet megoldásánál a nulla értékről az
[D]
x 0 értékre való ugrást jelenti. Ez általánosan is igaz. Formálisan tekinthetjük az

[D]

x ' = f ? ( t , x ) + I ? ( x ) ? ? ? ( t - t 0 )

differenciálegyenletet (f folytonos,

[D]

t 0 ///>/// 0 ), amely valójában integrálegyenletként értelmezhető:

[D]

x ? ( t ) = x ? ( 0 ) + ? 0 t ( I ? ( x ? ( s ) ) ? ? ? ( s - t 0 ) + f ? ( s , x ? ( s ) ) ) ? ? s .

Könnyen látható, hogy az f folytonossága és a ? definíciója miatt

x(t_0+0)=lim_(?›0)(x(t_0–?)+?_(t_0–?)^(t_0+?)(I(x(s)) ?(s–t_0)+f(s,x(s)))ds) =x(t_0–0)+I(x(t_0))

[D]

x ( t 0 + 0 ) = lim ? › 0 ? ( x ? ( t 0 - ? ) + ? t 0 - ? t 0 + ? ( I ? ( x ? ( s ) ) ? ? ( s - t 0 ) + f ? ( s , x ? ( s ) ) ) ? ? s ) = x ( t 0 - 0 ) + I ( x ( t 0 ) )

Így ez a differenciálegyenlet az

[D]

x ' = f ? ( t , x ) , t ? t 0 , x ( t 0 + 0 ) = x ( t 0 - 0 ) + I ( x ( t 0 ) )

alakban, közvetlenül ugrásokkal is megadható. Amennyiben végtelen sok pillanatnyi hatás következik be, akkor a differenciálegyenlet alakja

[D]

x ' = f ? ( t , x ) + ? i = 1 ? I i ( x ) ? ? ? ( t - t i ) ,

amely megadható

[D]

x ' = f ? ( t , x ) , t ? t i , x ( t i + 0 ) = x ( t i - 0 ) + I i ( x ( t i ) )

alakban is.

A megkülönböztetésnek és az impulzusokkal való felírásnak több oka van. A legfontosabbak:

Az impulzív rendszerben szereplő függvények klasszikus értelemben léteznek, míg a differenciálegyenletet integrálegyenletté kell átírni, mivel ? nem függvény.
A Dirac ?-val felírt differenciálegyenlet szerencsés esetben formálisan megoldható. A numerikus megoldáshoz a ? függvényt valódi függvényekkel kell közelíteni, amint az már tettük a ?(x) és a Heaviside-függvény leírásánál az előző pontban. Jól közelítő függvény tartójának kicsinek kell lennie, amit a megoldó rutinnak figyelembe kell venni (a lépéshossz elegendően kicsi legyen). A megoldás ekkor időigényes lehet.
Az impulzív rendszer megoldása klasszikus kezdetiérték-problémák egymás utáni megoldását jelenti.
A folytonos változás (a differenciálegyenlet) és az ugrásszerű változás szétválasztása az elméleti és gyakorlati vizsgálatok szempontjából előnyös lehet.
Léteznek ugrások, amelyek nem vagy csak nehezen lennének általánosított differenciálegyenletként megadhatók.

Oszcillátor impulzív gerjesztéssel

Most egy impulzívan gerjesztett oszcillátor példáján mutatjuk meg, hogy hogyan oldhatók meg a Mathematica rendszerben a Dirac-féle ? függvényt tartalmazó differenciálegyenletek. Ehhez a korábban megadott ?-közelítéseket használjuk. A megoldások időigényét a Timing függvénnyel számoljuk. Végül, a rendszert impulzív rendszerként is megoldjuk. Ábrázoljuk a különböző módszerekkel kapott megoldásokat és különbségüket. Az egyenlet alakja:

[D]

x '' + x = ? i = 1 5 ? ? ( t - 2 ? i ) ,

a jobb oldal Mathematica formátumban:

[D]

rhs = ? i = 1. 5. DiracDelta [ t - 2 ? i ] ; t0 = 0 ; t1 = 11 ;

Az elméleti megoldás

[D]

Clear [ thsol ]

$sol=Timing[DSolve[{(x^')^'[t]+x[t]==rhs,x[0]==0,x^'[0]==1},x[t],t]]$

[D]

sol = Timing [ DSolve [ { ( x ' ) ' [ t ] + x [ t ] == rhs , x [ 0 ] == 0 , x ' [ 0 ] == 1 } , x [ t ] , t ] ]

[D]

thsol = x [ t ] /. ? sol [ 2 ] ;

[D]

{ 0.521 Second , { { x [ t ] › 0. Cos [ t ] + 1. Sin [ t ] + ( 0.544021 ? + 0. ? ) ? Cos [ t ] ? UnitStep [ - 10. + t ] - ( 0.839072 ? + 0. ? ) ? Sin [ t ] ? UnitStep [ - 10. + t ] - ( 0.989358 ? + 0. ? ) ? Cos [ t ] ? UnitStep [ - 8. + t ] - ( 0.1455 ? + 0. ? ) ? Sin [ t ] ? UnitStep [ - 8. + t ] + ( 0.279415 ? + 0. ? ) ? Cos [ t ] ? UnitStep [ - 6. + t ] + ( 0.96017 ? + 0. ? ) ? Sin [ t ] ? UnitStep [ - 6. + t ] + ( 0.756802 ? + 0. ? ) ? Cos [ t ] ? UnitStep [ - 4. + t ] - ( 0.653644 ? + 0. ? ) ? Sin [ t ] ? UnitStep [ - 4. + t ] - ( 0.909297 ? + 0. ? ) ? Cos [ t ] ? UnitStep [ - 2. + t ] - ( 0.416147 ? + 0. ? ) ? Sin [ t ] ? UnitStep [ - 2. + t ] } } }

A megoldás grafikonja:

[D]

Plot [ thsol , { t , t0 , t1 } ] ;

A derivált grafikonja:

$Plot[Evaluate[?_tthsol],{t,t0,t1}];$

[D]

Plot [ Evaluate [ ? t thsol ] , { t , t0 , t1 } ] ;

Mivel a ? függvény az x''-ben jelenik meg, ezért x'-nek ugrásai vannak, és x folytonos.

Közelítő megoldás lépcsős függvénnyel való közelítéssel

[D]

d = 0.01 ; rhsstep = ? i = 1 5 DiracStep [ t - 2 ? i , d ] ;

$sol=Timing[NDSolve[{(x^')^'[t]+x[t]==rhsstep,x[0]==0,x^'[0]==1},x[t],{t,t0,t1},MaxStepSize›0.001,MaxSteps›15000]]$

[D]

sol = Timing [ NDSolve [ { ( x ' ) ' [ t ] + x [ t ] ? rhsstep , x [ 0 ] == 0 , x ' [ 0 ] == 1 } , x [ t ] , { t , t0 , t1 } , MaxStepSize › 0.001 , MaxSteps › 15000 ] ]

[D]

stepsol = x [ t ] /. ? sol [ 2 ] ;

[D]

{ 0.191 Second , { { x [ t ] › InterpolatingFunction [ { { 0. , 11. } } , ///<//////>/// ] [ t ] } } }

[D]

Plot [ stepsol , { t , t0 , t1 } ] ;

Az elméleti és a közelítő megoldás különbsége:

[D]

Plot [ stepsol - thsol , { t , t0 , t1 } ] ;

Közelítő megoldás háromszög-függvénnyel való közelítéssel

[D]

d = 0.01 ;

[D]

rhstr = ? i = 1 5 DiracTr [ t - 2 ? i , d ] ;

$sol=Timing[NDSolve[{(x^')^'[t]+x[t]==rhstr,x[0]==0,x^'[0]==1},x[t],{t,t0,t1},MaxStepSize›0.001,MaxSteps›15000]]$

[D]

sol = Timing [ NDSolve [ { ( x ' ) ' [ t ] + x [ t ] ? rhstr , x [ 0 ] == 0 , x ' [ 0 ] == 1 } , x [ t ] , { t , t0 , t1 } , MaxStepSize › 0.001 , MaxSteps › 15000 ] ]

[D]

trsol = x [ t ] /. ? sol [ 2 ] ;

[D]

{ 2.163 Second , { { x [ t ] › InterpolatingFunction [ { { 0. , 11. } } , ///<//////>/// ] [ t ] } } }

[D]

Plot [ trsol , { t , t0 , t1 } ] ;

Az elméleti és a közelítő megoldás különbsége:

[D]

Plot [ trsol - thsol , { t , t0 , t1 } ] ;

A két különböző közelítés eltérése:

[D]

Plot [ trsol - stepsol , { t , t0 , t1 } ] ;

A megfelelő impulzív rendszer megoldása

Az egyenletet ugrásokkal, impulzusokkal felírva az alábbi rendszert kapjuk:

[D]

x '' + x = ? 0 , t ? t i , y ? ( t i + 0 ) = y ? ( t i - 0 ) + 1 , t i = 2 ? i ? ( i = 1 , 2 , ... , 5 ) .

Az impulzív rendszer megoldásának technikai elemeivel később részletesen foglalkozunk (4.2.fejezet). A rendszer megoldását a későbbi fejezetek ismeretében az olvasóra bízzuk. A megoldás és deriváltja: