Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

4. fejezet - Impulzusok rögzített pillanatokban

4. fejezet - Impulzusok rögzített pillanatokban

4.1. Definíciók, alapvető tulajdonságok

A bevezető példák során bemutattunk olyan jelenségeket, amelyeket differenciálegyenletek írnak le, kivéve adott t_i

t i időpillanatokat, amelyekben a függő változóra impulzus hat. Ebben a fejezetben pontosan definiáljuk az ilyen rendszereket, áttekintjük legfontosabb tulajdonságaikat, mint például a kezdetiérték-probléma, a megoldások folytathatósága.

Definíciók, kezdetiérték-probléma, megoldások folytathatósága

Legyen adott a {t_i}

{ t i } monoton növő véges vagy végtelen sorozat. Feltételezzük, hogy a {t_i} { t i } sorozat nem korlátos. Legyen f: R×R^n›R^n f : R × R n R n folytonos, kivéve a t=t_i t = t i értékeket, ahol elsőfajú szakadása van. Továbbá legyenek I_i: R^n›R^n I i : R n R n folytonos függvények. Ekkor az

x'=f(t,x), ha t?t_i x(t_i+0)=I_i(x(t_i–0)), (i=1, 2, 3, ...) x ' = f ? ( t , x ) , ha t ? t i x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (4.1.1)

rendszer egy impulzív rendszer rögzített pillanatokban ható impulzusokkal. Néha kényelmesebb (a kísérletek során a programokban például), ha az impulzusfüggvényekre az I(t_i,x)

I ? ( t i , x ) (ekkor I: {t_i}×R^n›R^n I : { t i } × R n R n ) jelölést használjuk. A differenciálegyenletek iránymezőjéhez, az {1,f(t,x)} { 1 , f ? ( t , x ) } vektormezőhöz hasonlóan definiálhatjuk a {0,I(t_i,x)–x} { 0 , I ? ( t i , x ) - x } impulzusmezőt, amely a kibővített fázistérben az ugrásokat adja meg. Az iránymezővel ellentétben az egyes vektorok nem csak változási irányt jelentenek, hanem a kezdőpontra alkalmazva az impulzust t_i t i -ben pontosan a vektor végpontját kapjuk.

Valamely

x'=f(t,x),ha t?t_i, x(t_i+0)=I_i(x(t_i–0)), (i=1, 2, 3, ...), x(t_0+0)=x_0 x ' = f ? ( t , x ) , ha ? t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) , x ? ( t 0 + 0 ) = x 0 (4.1.2)

kezdetiérték-probléma x(t,t_0+0,x_0)

x ? ( t , t 0 + 0 , x 0 ) megoldását az alábbi módon kapjuk. Legyen t_k?t_0///<///t_(k+1) t k ? t 0 ///</// t k + 1 . Vegyük az

x'=f(t,x), x(t_0+0)=x_0
x ' = f ? ( t , x ) , x ? ( t 0 + 0 ) = x 0

kezdetiérték-probléma nem folytatható x(t)

x ? ( t ) megoldását, amely értelmezve van a [t_0,T) [ t 0 , T ) intervallumon (nem zavaró, hogy most is x-et használunk a megoldás jelölésére). Ha T?t_(k+1) T ? t k + 1 , akkor a feladat megoldott, ha T///>///t_(k+1) T ///>/// t k + 1 , akkor tekintsük a megoldást a [t_0,t_k] [ t 0 , t k ] intervallumon, és folytassuk a

x'=f(t,x), x(t_(k+1)+0)=I_(k+1)(x(t_(k+1)–0))
x ' = f ? ( t , x ) , x ? ( t k + 1 + 0 ) = I k + 1 ( x ? ( t k + 1 - 0 ) )

kezdetiérték-probléma megoldásával. Hangsúlyozzuk, hogy a megoldást mindig a x(t_0+0)=x_0

x ? ( t 0 + 0 ) = x 0 kezdeti feltétellel (a jobb oldali határértékkel!) indítjuk, és mindig a differenciálegyenlet megoldásával kezdjük. Ennek később, általánosabb rendszereknél lesz hangsúlyozott jelentősége. A konstrukció miatt a rendszer megoldásai szakaszonként folytonos függvények, elsőfajú szakadásuk van a t_i t i pillanatokban. Mindenütt balról folytonosak, és folytonosan differenciálhatók értelmezési tartományukon, kivéve a t=t_i t = t i helyeket. Ha t?t_i t ? t i , akkor megoldásai az x'=f(t,x) x ' = f ? ( t , x ) egyenletnek, ha t=t_i, t = t i , akkor eleget tesznek az x(t_i+0)=I_i(x(t_i–0)) x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) ) ugrásfeltételnek.

Látható, hogy a (4.1.2) kezdetiérték-probléma megoldásának létezését, annak egyértelműségét és a lokális előre folytathatóságot a rendszer differenciálegyenlet része határozza meg. Ha a differenciálegyenlet minden megoldása korlátlanul folytatható, akkor a (4.1.1) impulzív rendszer minden megoldása is korlátlanul folytatható, mivel feltételeztük, hogy a {t_i}

{ t i } sorozatnak nincs véges torlódási pontja.

A differenciálegyenletekhez képest új jelenség, hogy ha valamely I_k

I k függvény nem kölcsönösen egyértelmű, akkor a megoldások visszafelé folytathatósága nem egyértelmű, vagy másként megfogalmazva, két különböző megoldás előre folytatva közös megoldásban csatlakozik (de nem ágaznak újra ketté). Ezen megállapítások alapján a differenciálegyenletekre vonatkozó megfelelő tételek ismeretében a kezdetiérték-probléma megoldására vonatkozó tételek könnyen megfogalmazhatók.

A későbbiekben, példáink során általában feltételezzük, hogy a tekintett kezdetiérték-problémáknak egyértelmű megoldása létezik, és a megoldások folytathatók valamely intervallumon, általában a [t_0,?)

[ t 0 , ? ) félegyenesen.

4.1.1. Példa.

Tudjuk, hogy az

x'=x^2, x(0)=x_0
x ' = x 2 , x ? ( 0 ) = x 0

kezdetiérték-probléma megoldásai

x(t)=(x_0/1–tx_0)
x ? ( t ) = x 0 1 - t ? x 0

alakúak, és csak a [0,(1/x_0))

[ 0 , 1 x 0 ) intervallumon léteznek. Megfelelő impulzusok megadásával azonban a kapott impulzív rendszer minden elegendően nagy kezdeti értékből induló megoldásai (amelyek eljutnak a következő impulzus idejéig), korlátlanul folytathatók. Például tekintsük az

x'=x^2, ha t?i, x(i+0)=0.5 x(i–0), (i=1, 2, 3, ...)
x ' = x 2 , ha t ? i , x ? ( i + 0 ) = 0.5 x ? ( i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

impulzív rendszert. Adjunk feltételt az x(0)=x_0

x ? ( 0 ) = x 0 kezdeti értékre, hogy a megoldás korlátlanul folytatható legyen, illetve csak véges intervallumon legyen folytatható. Az alábbi ábrán néhány megoldás grafikonját láthatjuk.

4.1.2. Példa.

Tekintsük az

x'=f(t,x), ha t?t_i, x(t_i+0)=0, (i=1, 2, 3, ...)
x ' = f ? ( t , x ) , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

impulzív rendszert. Bámely t_n

t n pillanatban ható impulzus után a megoldások az

x'=f(t,x) x(t_n+0)=0
x ' = f ? ( t , x ) x ? ( t n + 0 ) = 0

kezdetiérték-probléma megoldásával folytatódnak. Legyen például f(t,x)=x

f ? ( t , x ) = x . A t_0=0 t 0 = 0 pillanatban induló néhány megoldást láthatunk az alábbi ábrán.

Egyensúlyi helyzetek

A (4.1.1) rendszer valamely [t_0,T)

[ t 0 , T ) intervalumon konstans megoldásait egyensúlyi helyzeteknek nevezzük. Könnyen látható, hogy az x^_?R^n x _ ? R n pont akkor és csakis akkor egyensúlyi helyzet, ha f(t, x^_)?0 f ? ( t , x _ ) ? 0 és minden k-ra I_k(x^_)=x^_ I k ( x _ ) = x _ (az I(t_k,x) I ? ( t k , x ) jelölésmódnál I(t_k,x^_)?x^_ I ? ( t k , x _ ) ? x _ minden t_i t i esetén), ahol t,t_k?[t_0,T) t , t k ? [ t 0 , T ) . Látni fogjuk, hogy az intervallum megadásának valódi jelentősége van elsősorban az egymástól független impulzusok miatt. Erre vonatkozóan később számtalan példát fogunk látni már a legegyszerűbb rendszerek esetén is (például a 7.1 és 13.4. fejezetek).

Kezdeti feltételektől való függés

A differenciálegyenletekre vonatkozó eredmények és az impulzusfüggvények folytonossága miatt nyilvánvaló az alábbi tétel.

4.1.1. Tétel.

Legyen az f függvény folytonos, kivéve ha t=t_i

t = t i , a {t_i,x} { t i , x } helyeken elsőfajú szakadása van. Az I_k I k (k=1,2,...) ( k = 1 , 2 , ... ) függvények folytonosak, és legyen x_0?R^n x 0 ? R n . Tegyük fel, hogy létezik az x_0 x 0 -nak olyan J környezete, hogy minden x^^?J x ^ ? J kezdeti értékre a (4.1.1) rendszer x(t,t_0+0,x^^) x ? ( t , t 0 + 0 , x ^ ) megoldásai léteznek valamely [t_0,T) [ t 0 , T ) intervallumon, és minden x,y?J x , y ? J esetén ?f(t,x)–f(t,y)??K?x–y? ? f ? ( t , x ) - f ? ( t , y ) ? ? K ? ? x - y ? , t?[t_0,T) t ? [ t 0 , T ) , és ?I_k(x)–I_k(y)??K?x–y? ? I k ( x ) - I k ( y ) ? ? K ? ? x - y ? minden olyan k-ra, amelyre t_k?[t_0,T) t k ? [ t 0 , T ) (Lipshitz-tulajdonság t-ben és k-ban egyenletesen). Ekkor az x(t,t_0+0,·) x ? ( t , t 0 + 0 , · ) függvény folytonos x_0 x 0 -ban minden egyes rögzített t?[t_0,T) t ? [ t 0 , T ) esetén.

Ha t_k///<///t_0///<///t_(k+1)

t k ///</// t 0 ///</// t k + 1 , és minden t_k///<///t_0–?///<///t^^///<///,t_0+?///<///t_(k+1) t k ///</// t 0 - ? ///</// t ^ ///</// , t 0 + ? ///</// t k + 1 esetén a (4.1.1) rendszer x(t,t^^+0,x_0) x ? ( t , t ^ + 0 , x 0 ) megoldásai léteznek valamely [t^^,T) [ t ^ , T ) intervallumon, akkor az x(t,·+0,x_0) x ? ( t , · + 0 , x 0 ) függvény folytonos t_0 t 0 -ban.

A kezdeti feltételektől való differenciálható függésre szintén a differenciálegyenletekre vonatkozó eredményekkel analóg tétel fogalmazható meg.

4.1.2. Tétel.

Tegyük fel, hogy a (4.1.1) rendszer kielégíti az alábbi feltételeket:

  • Az f függvény folytonos, ha t?(t_k, t_(k+1)]×R^n

    t ? ( t k , t k + 1 ] × R n (k=1, 2, ...) ( k = 1 , 2 , ... ) , és itt a (?f/?x) ? f ? x parciális deriváltak folytonosak.

  • Minden x?R^n

    x ? R n és (k=1, 2, ...) ( k = 1 , 2 , ... ) esetén az f és (?f/?x) ? f ? x függvényeknek létezik véges határértéke, ha (t, y)›(t_k, x) ( t , y ) ( t k , x ) , ha t///>///t_k t ///>/// t k .

  • Az I_k

    I k függvények folytonosan differenciálhatók.

Legyen x(t)=x(t,t_0,x_0)

x ? ( t ) = x ? ( t , t 0 , x 0 ) a (4.1.1) rendszer megoldása, amely létezik a [t_0,?) [ t 0 , ? ) intervallumon, és legyen G(t,t_0,x_0)=(?/?x)f(t,x(t,t_0,x_0)) G ? ( t , t 0 , x 0 ) = ? ? x ? f ? ( t , x ? ( t , t 0 , x 0 ) ) .

Ekkor ?(t,t_0,x_0)=(?/?x_0)x(t,t_0,x_0)

? ? ( t , t 0 , x 0 ) = ? ? x 0 ? x ? ( t , t 0 , x 0 ) létezik és megoldása az alábbi kezdetiérték-problémának:

y'=G(t,t_0,x_0)y, ha t?t_i, y(t_i+0)=(?/?x)I_i(x(t_i–0))y(t_i–0), (i=1, 2, 3, ...), y(t_0+0)=E, y ' = G ? ( t , t 0 , x 0 ) ? y , ha ? t ? t i , y ? ( t i + 0 ) = ? ? x ? I i ( x ? ( t i - 0 ) ) ? y ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) , y ? ( t 0 + 0 ) = ? E , (4.1.3)

ahol ?(t,t_0,x_0)=E

? ? ( t , t 0 , x 0 ) = E az egységmátrix. Továbbá, ha t?t_k t ? t k k=1,2,... k = 1 , 2 , ... , akkor (?/?t_0)x(t,t_0,x_0) ? ? t 0 ? x ? ( t , t 0 , x 0 ) létezik és rendelkezik az alábbi tulajdonsággal:

(?/?t_0)x(t,t_0,x_0)=–?(t,t_0,x_0).f(t_0,x_0) (t?t_0).
? ? t 0 ? x ? ( t , t 0 , x 0 ) = - ? ? ( t , t 0 , x 0 ) . f ? ( t 0 , x 0 ) ? ( t ? t 0 ) .

A (4.1.3) rendszer lineáris. A lineáris rendszerek tulajdonságaival a 7.1. fejezetben foglalkozunk.

Rendszerek korlátos {t_i}

{ t i } sorozattal

A gyakorlatban előforduló modellek esetén a {t_i}

{ t i } sorozat általában nem korlátos. Matematikailag értelmes és érdekes a korlátos {t_i} { t i } sorozatok esete is. Könnyű látni, hogy a kezdetiérték-probléma megoldásánál ez nem jelent gondot. Ugyanakkor folytathatóságnál már új jelenségeket eredményez. Legyen lim_(i›?)t_i=t^_ lim i ? ? t i = t _ . Valamely x(t) x ? ( t ) megoldás csak akkor folytatható t^_ t _ -nál nagyobb t értékekre, ha létezik a lim_(t›t^_–0)x(t) lim t t _ - 0 ? x ? ( t ) véges határérték. Ha ez nem létezik, akkor az adott megoldás nem folytatható t^_ t _ -n túl. Emlékeztetünk rá, hogy közönséges differenciálegyenletek esetén, ha valamely megoldás csupán egy [t_0,T) [ t 0 , T ) intervallumon létezik és az egyenlet jobb oldala folytonos T-ben minden x érték mellett, akkor ez a megoldás nem lehet korlátos. Korlátos {t_i} { t i } sorozat esetén ez is megtörténhet. Erre mutatunk egy példát az alábbiakban. A folytathatósággal kapcsolatosan újabb szokatlan jelenségekkel találkozunk általánosabb impulzív rendszerek esetén is (visszaverődés, 5.6 fejezet)

4.1.3. Példa.

Tekintsük az

x'=0, ha t?t_i, x(t_i+0)=–(x(t_i–0)), (i=1, 2, 3, ...)
x ' = 0 , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = - ( x ? ( t i - 0 ) ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

impulzív rendszert, ahol t_i=1–(1/i)

t i = 1 - 1 i . Ha t_0///<///1 t 0 ///</// 1 , akkor csupán az x(t)=0 x ? ( t ) = 0 megoldás folytatható korlátlanul. Ha t_0?1 t 0 ? 1 , akkor az

x'=0, x(t_0+0)=x_0
x ' = 0 , x ? ( t 0 + 0 ) = x 0

kezdetiérték-problémának mindig van pontosan egy megoldása.