A rögzített pillanatokban ható impulzusok vizsgálatára készített programcsomag alapvető szerepet kap a könyv során. Használatát mutatjuk be az alábbiakban.

Parancsösszefoglaló

Az IDESolve program rögzített időpillanatokkal rendelkező impulzív rendszerek közelítő megoldását végzi több kezdeti értékből kiindulva. A program számára a rendszert az

alakban adjuk meg (az impulzus alakja eltér az elméleti megfontolásokban használttól). A rendszer megoldásához meg kell adni az egyenletet, az impuzusok

t k időpillanatait, az impulzusfüggvényt, a kezdeti értékeket. Két impulzus között a differenciálegyenletet a beépített NDSolve program oldja meg (lásd a differenciálegyenletek számítógépes vizsgálatának módszereivel foglalkozó fejezetet). Az impulzusok

[D]

10 - 10 idő alatt hatnak. A program eredménye InterpolatingFunction objektumokból álló lista lesz.

A program indítása az alábbi módon történik:

Az egyes paraméterek jelentése:

Az Impulse függvény megadása az

I ? ( t k , x ) jelöléshez illeszkedik:

ahol

A függvény definíciója tetszőleges globális változót tartalmazhat, de változóit a fentiek szerint kell megadni. Például, az

x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) + 1 ; i = 1 , 2 , ... impulzus az alábbi módon definiálható:

Imp [ i_ , tn_List , x_List ] := x + 1 ;

A program használata

A program használatát egy példán keresztül mutatjuk be. Itt a rendszerek megoldását csupán technikai szempontból vizsgáljuk, a matematikai problémákkal később foglalkozunk.

4.2.1. Példa. Impulzívan gerjesztett oszcillátor

Tekintsük az ismert harmonikus oszcillátort

var = { x , y } ; xdot = { y , - x } ;

amelyre impulzív külső erő hat minden

t i = i ? ( i = 1 , 2 , ... . ) pillanatban, azaz

Az impulzusok leírása Mathematica-ban:

tn = Table [ i , { i , 0 , 100 } ] ;

az impulzusok időpillanatai,

A = 1 ; An = Table [ { 0 , A } , { i , 0 , 100 } ] ;

azonos nagyságú impulzusok, és az impulzusfüggvény:

Imp [ i_ , tn_List , x_List ] := x + An [ i ]

amely additív, az x listához

( { x ? ( t i - 0 ) , y ? ( t i - 0 ) } ) koordinátánként An[[i]]-t hozzáadja. A paraméterek

[D]

( i , tn , x ) mellett globális változók is (mint például az An impulzustömb) használhatók. A rendszer független változója t, és a

[D]

[ t0 , t1 ] intervallumon oldjuk meg az {1,0} és {0,1} kezdeti feltételekkel, amelyeket az x0list változóban tárolunk.

t0 = 0 ; t1 = 20 ;

x0list = { { 1 , 0 } , { 0 , 1 } } ;

Az IDESolve program most már indítható:

sol = IDESolve [ xdot , var , tn , Imp , x0list , { t , t0 , t1 } ] ;

A megoldásként kapott lista elemei InterpolatingFunction objektumok. Az első, {1,0} kezdeti feltételekhez tartozó megoldás sol[[1]]:

Plot [ Evaluate [ sol [ 1 ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotStyle › { RGBColor [ 0 , 0 , 1 ] , RGBColor [ 1 , 0 , 0 ] } ] ;

A második, {0,1} kezdeti feltételekhez tartozó megoldás sol[[2]]:

Plot [ Evaluate [ sol [ 2 ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotStyle › { RGBColor [ 0 , 0 , 1 ] , RGBColor [ 1 , 0 , 0 ] } ] ;

Más alakú impulzusok is könnyen megadhatók. Például az

x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) * A i multiplikatív impulzusfüggvényt (* vektorok esetén a koordinátánkénti szorzást jelenti) fékezett oszcillátoroknál alkalmazzuk.

Imp [ n_ , tn_List , x_List ] := x * An [ n ] ;

Ha csak egy kezdeti feltételt adunk meg, akkor is kettős listát, például {{0.5,0.5}}, kell használnunk. Ezzel kapcsolatban emlékeztetnünk kell még arra is, hogy az

{ 1 , 2 , 3 } és az

[D]

{ { 1 } , { 2 } , { 3 } } listák nem azonosak. A következő 1D példa emiatt is hasznos.

4.2.2. Példa. Impulzív lehalászás

Tekintsük a korlátozó feltételek közötti (logisztikus) szaporodás egyenletét:

A Mathematica utasítások:

var = { x } ; xdot = { x ? ( 2 - x ) } ;

A populáció minden

t i = i ? ( i = 1 , 2 , ... . ) pillanatban, mondjuk évente A mennyiséggel csökken (emigráció, betakarítás, lehalászás, kilövés ...), azaz

tn = Table [ i , { i , 0 , 100 } ] ;

az impulzusok időpillanatai,

A = 0.5 ; An = Table [ { A } , { i , 0 , 100 } ] ;

az azonos nagyságú impulzusok, és az impulzusfüggvény ugyanaz, mint az előző példában:

Imp [ i_ , tn_List , x_List ] := x - An [ i ] ;

A rendszer független változója t, és a

[ t0 , t1 ] intervallumon oldjuk meg az {1,0} és {0,1} kezdeti feltételekkel.

t0 = 0 ; t1 = 10 ; x0list = { { 3 } , { 2 } , { 1 } } ;

Indítsuk az IDESolve programot:

sol = IDESolve [ xdot , var , tn , Imp , x0list , { t , t0 , t1 } ] ;

Ábrázoljuk a megoldásokat együtt:

Plot [ Evaluate [ sol ] , { t , t0 , t1 } , PlotStyle › { { Thickness [ 0.01 ] , RGBColor [ 0 , 0 , 1 ] } } ] ;