Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

4.3. Modellezési séma 1D rendszerekre

Már ismerjük a rögzített pillanatokban ható impulzív rendszerek legfontosabb tulajdonságait és megoldásának módját Mathematica-val. Most egy általános sémát adunk meg, amely tartalmazza az 1D impulzív rendszerek számítógépes vizsgálatának legfontosabb technikai lépéseit.

A modellezés lépései

A vizsgált rendszer az alábbi alakú:

[D]

x ' = f ? ( t , x ) , t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) ) ,

(4.3.1)

ahol

[D]

x ? R , t i ///</// t i + 1 ///</// ... . Megjegyezzük, hogy a programokban technikai okokból az impulzusfüggvények változóinak megadása egy kicsit különbözik a fent megadottól (részletek az IDESolve ismertetésében találhatók).

Összefoglalva, a legfontosabb lépések az alábbiak:

– A differenciálegyenlet és az impulzusok megadása
– A megoldás és a megjelenítés paramétereinek megadása
– Vizsgálat impulzusok nélkül
– Az iránymező és impulzusmező rajzolása
– A differenciálegyenlet egyensúlyi helyzetei
– Az impulzusfüggvények fixpontjai
– Az impulzív rendszer megoldása
– Megoldások ábrázolása
– Paraméterek változtatása: vizualizációs alkalmazások.

A lépéseket egy impulzívan perturbált lineáris differenciálegyenleten mutatjuk be. Az alkalmazásokat és a matematikai kérdéseket később tárgyaljuk. A rendszer alakja:

[D]

x ' = 0.5 x , t ? i , x ? ( i + 0 ) = ? ? x ? ( i - 0 ) .

(4.3.2)

A rendszer megadása

A differenciálegyenlet

`var`		az ismeretlent tartalmazó lista
`t`		független változó
`xdot`		a [D] var' = xdot egyenlet jobb oldala

[D]

eqnparm = { a › 0.5 , b › 0 } ;

[D]

var = { x } ; xdot = { a ? x + b } ;

Az impulzusok

`Imax`		az impulzusok maximális száma
`tn`		az impulzusok idejét tartalmazó lista
`Imp[i, tn, xn]`		az impulzus a `tn[[i]]` pillanatban

Az impulzus Mathematica-beli alakja:

x[tn[[i]]+0]:=x[tn[[i]]*An[[i]].

[D]

Clear [ tn , An , Imp , p , A ] ;

[D]

Imax = 50 ; Iparm = { p › 1. , A › 0.7 } ; tn = Table [ n ? p , { n , 0 , Imax } ] /. Iparm ;

[D]

An = Table [ { A } , { i , 0 , Imax } ] /. ? Iparm ;

[D]

Imp [ n_ , tn_List , x_List ] := x * An [ n ] ;

A megoldás és megjelenítés paraméterei

`t`		független változó
`t0`		kezdő időpillanat
`t1`		végső időpillanat
`[x1, x2]`		megjelenítés intervalluma

[D]

t0 = 0 ; t1 = 10 ; x1 = 0 ; x2 = 3.5 ;

Vektormezők

Az iránymező

[D]

PlotFld = PlotVectorField [ { 1 , xdot [ 1 ] } /. ? eqnparm , { t , t0 , t1 } , { x , x1 , x2 } , Axes › True , HeadLength › 0. , ScaleFactor › 0.6 ] ;

Az impulzusmező

A differenciálegyenlettel ellentétben az impulzusokat jelző nyilak nem csak az irányt, hanem a tényleges ugrást is mutatják.

[D]

PlotImp = PlotFixedImpulseField [ Imp , tn , 11 , { x , x1 , x2 , 1 } , Axes › True ] ;

A két mező együtt jól jelzi a rendszer várható viselkedését:

[D]

Show [ PlotFld , PlotImp ] ;

Mivel t nem változik az impulzusmező vektorai mentén, az ábra gyakran használhatatlan. Ekkor magukat az impulzusfüggvényeket ábrázolhatjuk. Ebből következtethetünk a fixpontokra, ami az egyensúlyi helyzetek meghatározásához szükséges. Az alábbi ábra egy animáció első kockája, ami most elegendő, hiszen az impulzusok azonosak. Az impulzust (vastagabb vonal) és az x egyenest ábrázoljuk.

[D]

AnimateImpulse [ Imp , tn , 1 , { x , x1 , x2 } ] ;

Az alábbi 3D ábrázolás az egyes ugrásokat időben együtt mutatja be.

[D]

StackImpulse [ Imp , tn , 5 , { x , x1 , x2 } , BoxRatios › { 3 , 1 , 1 } ] ;

Egyensúlyi helyzetek

A differenciálegyenlet egyensúlyi helyzetei

A Mathematica-ban járatlan olvasók az egyenletek megoldását végző szimbolikus és numerikus függvényeket az elektronikus melléklet M1.4. fejezetében megtalálják.

[D]

Steady = x /. NSolve [ xdot == 0 , { x } ] /. eqnparm

[D]

{ 0 }

Az impulzusfüggvények fixpontjai

[D]

SteadyImp = var /. ? Solve [ Imp [ 1 , tn , var ] == var , var ]

[D]

{ { 0 } }

Az impulzív rendszer megoldása

Az IDESolve numerikus megoldóprogramot használjuk. A kezdeti feltételeket az x0tab lista tartalmazza, azaz x[t0]=x0tab[[i]]

[D]

( i = 1 , 2 , ... ) :

[D]

x0tab = { { 0. } , { 0.1 } , { 0.4 } , { 0.5 } } ;

[D]

Sol = IDESolve [ xdot /. ? eqnparm , var , tn /. ? Iparm , Imp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

Az iránymező és a megoldások ábrázolása

[D]

PlotSol = Plot [ Evaluate [ Sol ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange › { x1 , x2 } , PlotStyle › { RGBColor [ 0 , 0 , 1 ] } ] ;

[D]

ShPlot = Show [ PlotSol , PlotFld , PlotRange › { x1 , x2 } ] ;

Az impulzusok idejétől való függés

Most az impulzusok időpontjai közti p távolság változtatásának hatását mutatjuk be animáció segítségével. Az egyes képkockák színe a paraméter változásának megfelelően változik.

[D]

tn = Table [ n ? p , { n , 0 , Imax } ] ;

[D]

TAnim = 10 ; x0Anim = { 0.5 } ; p0min = 0.5 ; p0max = 1.5 ; Np0 = 8 ;

A képkockák ábrázolása

[D]
E

[D]

Animp0 = Table [ Plot [ Evaluate [ IDESolve [ xdot /. ? eqnparm , var , tn , Imp , { x0Anim } , { t , t0 , TAnim } ] ] , { t , t0 , TAnim } , PlotRange › { x1 , x2 } , PlotStyle › { RGBColor [ p - p0min p0max - p0min , 0 , 0 ] } ] , { p , p0min , p0max , p0max - p0min Np0 } ] ;

A képkockák együtt

[D]

Show [ Evaluate [ Animp0 ] ] ;

A kezdeti feltételektől való függés

Most a megoldás kezdeti x0 értékét változtatjuk.

[D]

Clear [ x0 ] ;

[D]

TAnim = 10 ; x0min = 0 ; x0max = 0.5 ; Nx0 = 8 ;

A képkockák ábrázolása

[D]
E

[D]

Animx0 = Table [ Plot [ Evaluate [ IDESolve [ xdot /. ? eqnparm , var , tn /. ? Iparm , Imp , { { x0 } } , { t , t0 , TAnim } ] ] , { t , t0 , TAnim } , PlotStyle › { RGBColor [ x0 - x0min x0max - x0min , 0 , 0 ] } , PlotRange › { x1 , x2 } ] , { x0 , x0min , x0max , x0max - x0min Nx0 } ] ;

A képkockák együtt

[D]

Show [ Evaluate [ Animx0 ] ] ;

Az impulzusok nagyságától való függés

Ebben az animációban az impulzusok nagyságát, az

[D]

x ? ( i + 0 ) = ? ? x ? ( i - 0 ) impulzusban az ? együtthatót változtatjuk. A többi paramétert most közvetlenül adjuk meg.

[D]

Clear [ p , A ] ;

[D]

x0 = 0.3 ; TAnim = 10 ; x1 = 0 ; x2 = 2.5 ;

[D]

Amin = 0 ; Amax = 0.8 ; NAA = 8 ; Iparm1 = { p -///>/// N [ 1 ] } ;

[D]

An = Table [ { A } , { i , 0 , Imax } ] ;

A képkockák ábrázolása

[D]
E

[D]

AnimA = Table [ Plot [ Evaluate [ IDESolve [ xdot /. ? eqnparm , var , tn /. ? Iparm1 , Imp , { { x0 } } , { t , t0 , TAnim } ] ] , { t , t0 , TAnim } , PlotRange › { x1 , x2 } , PlotStyle › { RGBColor [ A - Amin Amax - Amin , 0 , 0 ] } ] , { A , Amin , Amax , Amax - Amin NAA } ] ;