Karsai János
Typotex
Már ismerjük a rögzített pillanatokban ható impulzív rendszerek legfontosabb tulajdonságait és megoldásának módját Mathematica-val. Most egy általános sémát adunk meg, amely tartalmazza az 1D impulzív rendszerek számítógépes vizsgálatának legfontosabb technikai lépéseit.
A modellezés lépései
A vizsgált rendszer az alábbi alakú:
![]() [D] | (4.3.1) |
ahol
[D]IDESolve
ismertetésében találhatók).
Összefoglalva, a legfontosabb lépések az alábbiak:
|
A lépéseket egy impulzívan perturbált lineáris differenciálegyenleten mutatjuk be. Az alkalmazásokat és a matematikai kérdéseket később tárgyaljuk. A rendszer alakja:
![]() [D] | (4.3.2) |
A rendszer megadása
A differenciálegyenlet
|
[D]
[D]
Az impulzusok
|
Az impulzus Mathematica-beli alakja:
x[tn[[i]]+0]:=x[tn[[i]]*An[[i]]. |
[D]
[D]
[D]
[D]
A megoldás és megjelenítés paraméterei
|
[D]
Vektormezők
Az iránymező
[D]
Az impulzusmező
A differenciálegyenlettel ellentétben az impulzusokat jelző nyilak nem csak az irányt, hanem a tényleges ugrást is mutatják.
[D]
A két mező együtt jól jelzi a rendszer várható viselkedését:
[D]
Mivel t nem változik az impulzusmező vektorai mentén, az ábra gyakran használhatatlan. Ekkor magukat az impulzusfüggvényeket ábrázolhatjuk. Ebből következtethetünk a fixpontokra, ami az egyensúlyi helyzetek meghatározásához szükséges. Az alábbi ábra egy animáció első kockája, ami most elegendő, hiszen az impulzusok azonosak. Az impulzust (vastagabb vonal) és az x egyenest ábrázoljuk.
[D]
Az alábbi 3D ábrázolás az egyes ugrásokat időben együtt mutatja be.
[D]
Egyensúlyi helyzetek
A differenciálegyenlet egyensúlyi helyzetei
A Mathematica-ban járatlan olvasók az egyenletek megoldását végző szimbolikus és numerikus függvényeket az elektronikus melléklet M1.4. fejezetében megtalálják.
[D]
[D]
Az impulzusfüggvények fixpontjai
[D]
[D]
Az impulzív rendszer megoldása
Az IDESolve
numerikus megoldóprogramot használjuk. A kezdeti feltételeket az x0tab
lista tartalmazza, azaz x[t0]=x0tab[[i]]
[D]
[D]
[D]
Az iránymező és a megoldások ábrázolása
[D]
[D]
Az impulzusok idejétől való függés
Most az impulzusok időpontjai közti p távolság változtatásának hatását mutatjuk be animáció segítségével. Az egyes képkockák színe a paraméter változásának megfelelően változik.
[D]
[D]
[D]
A képkockák együtt
[D]
A kezdeti feltételektől való függés
Most a megoldás kezdeti x0
értékét változtatjuk.
[D]
[D]
[D]
A képkockák együtt
[D]
Az impulzusok nagyságától való függés
Ebben az animációban az impulzusok nagyságát, az
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
A képkockák együtt
[D]