Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

5. fejezet - Állapotfüggő impulzusok

5. fejezet - Állapotfüggő impulzusok

Láttuk, hogy a rögzített időpillanatokban ható impulzusokkal perturbált rendszerek megoldásainak viselkedése egészen meglepő lehet a klasszikus rendszerekhez szokott szem számára. Az impulzív rendszerek azonban ennél általánosabbak is lehetnek, viselkedésük még furcsább lehet. Az impulzusok bekövetkezési időpontja gyakran függ a rendszer állapotától. Már most, még mielőtt a pontos definíciókat megfogalmaznánk megjegyezzük, hogy az ilyen általánosabb rendszerek nem csak számos meglepő tulajdonsággal rendelkeznek, hanem numerikus vizsgálatuk is nehezebb, hiszen az impulzusok idejét a rendszer megoldásával egyidejűleg kell meghatározni.

A legáltalánosabb alakú rendszer definíciója előtt speciális eseteket tekintünk. Az egyes rendszertípusokra a következő fejezetekben adunk példákat.

5.1. Impulzusok változó pillanatokban

Az impulzusok bekövetkezésének pillanatai az x állapotváltozó függvényei. Legyenek adottak a ?_i(x):R^n›R

? i ( x ) : R n R függvények (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) , amelyekre pontonként teljesülnek a ?_i(x)///<///?_(i+1)(x) ? i ( x ) ///</// ? i + 1 ( x ) és lim_(i›?)?_i(x)=? lim i ? ? ? i ( x ) = ? feltételek. Legyenek az I_1, I_2, ..., I_i,... : I 1 , I 2 , ... , I i , ... : R^n›R^n R n R n függvények folytonosak. Ekkor az alábbi impulzív rendszert definiálhatjuk:

x'=f(t,x), ha t??_i(x) x(?+0)=I_i(x(?–0)), ha ?=?_i(x) (i=1, 2, 3, ...) x ' = f ? ( t , x ) , ha t ? ? i ( x ) x ? ( ? + 0 ) = I i ( x ? ( ? - 0 ) ) , ha ? ? = ? i ( x ) ? ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (5.1.1)

A rendszer megoldásai szakaszonként folytonos függvények, elsőrendű szakadásuk van a ?=?_i(x(?))

? = ? i ( x ? ( ? ) ) pillanatokban. Mindenütt balról folytonosak, és folytonosan differenciálhatók értelmezési tartományukon, kivéve az ugrások helyeit. Valamely

x'=f(t,x), ha t??_i(x), x(?+0)=I_i(x(?–0)), ha ?=?_i(x) (i=1, 2, 3, ...) x(t_0+0)=x_0 x ' = f ? ( t , x ) , ha t ? ? i ( x ) , x ? ( ? + 0 ) = I i ( x ? ( ? - 0 ) ) , ha ? ? = ? i ( x ) ? ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) x ? ( t 0 + 0 ) = x 0 (5.1.2)

kezdetiérték-probléma x(t,t_0+0,x_0)

x ? ( t , t 0 + 0 , x 0 ) megoldását a rögzített pillanatokban ható impulzusok esetéhez hasonló módon kapjuk. Legyen t_0 t 0 adott és vegyük az

x'=f(t,x) x(t_0+0)=x_0
x ' = f ? ( t , x ) x ? ( t 0 + 0 ) = x 0

kezdetiérték-probléma x(t)

x ? ( t ) megoldását és folytassuk (ha lehet) a ? pillanatig, ahol ?=?_k(x(?)) ? = ? k ( x ? ( ? ) ) . Tekintsük a megoldást a [t_0,?] [ t 0 , ? ] intervallumon, és folytassuk az

x'=f(t,x) x(?+0)=I_k(x(?–0))
x ' = f ? ( t , x ) x ? ( ? + 0 ) = I k ( x ? ( ? - 0 ) )

kezdetiérték-probléma megoldásával. Most is hangsúlyozzuk, hogy a megoldást mindig a x(t_0+0)=x_0

x ? ( t 0 + 0 ) = x 0 kezdeti feltételekkel (jobb oldali határértékkel!) indítjuk, és mindig a differenciálegyenlet megoldásával kezdjük.

Ezek a rendszerek általánosításai a rögzített pillanatokban ható impulzusoknak. Az ott felmerülő új jelenségeken túl még több és nehezebb problémával találkozunk. Például, mivel az impulzusok hatásának időpontjai függnek a megoldásoktól, ezért a különböző megoldások szakadási helyei különbözőek. Ennek lényeges következ-ményei vannak.

Előfordulhat, hogy ?=?_k(x)

? = ? k ( x ) pillanatban bekövetkező x(?+0)=I_k(x(?–0)) x ? ( ? + 0 ) = I k ( x ? ( ? - 0 ) ) impulzus esetén ?=?_m(x(?+0)) ? = ? m ( x ? ( ? + 0 ) ) , vagyis a megoldás egy újabb „impulzusfelületre” ugrik. A rendszer működési algoritmusa szerint azonban a megoldást mindenképpen a differenciálegyenlet megoldásával folytatjuk.

Annak ellenére, hogy az x'=f(t,x)

x ' = f ? ( t , x ) , x(t_0+0)=x_0 x ? ( t 0 + 0 ) = x 0 kezdetiérték-problémának van megoldása, előfordulhat, hogy a megfelelő (5.1.2) problémának nincs. Ez úgy lehetséges, hogy t_0=?_k(x_0) t 0 = ? k ( x 0 ) teljesül valamely k-ra, és az innen induló megoldás grafikonja R^(n+1) R n + 1 -ben a {t_0,x_0} { t 0 , x 0 } pont környezetében része a t=?_k(x) t = ? k ( x ) halmaznak. Mivel nincs első találkozási pont az adott felülettel, az impulzus pedig pontonként változik, ezért úgy tekintjük, hogy az ilyen kezdetiérték-problémának nincs megoldása. Ez alól kivételek a konstans megoldások, egyensúlyi helyzetek (lásd később), mert ezek esetén nem hat impulzus (illetve azonosság). Ennek következményei vannak a folytathatóságra is. Ha a ?=?_k(x) ? = ? k ( x ) pillanatban bekövetkező x(?+0)=I_k(x(?–0)) x ? ( ? + 0 ) = I k ( x ? ( ? - 0 ) ) impulzus esetén ?=?_m(x(?+0)) ? = ? m ( x ? ( ? + 0 ) ) jelentkezik ez a probléma, akkor a megoldás nem folytatható tovább. A kezdetiérték-probléma megoldásának létezésére és egyértelműségére vonatkozó tételeknél tehát a megfelelő, a differenciálegyenletekre vonatkozó tételek feltételeit ki kell egészíteni olyan feltétellel, ami ezt ez esetet elkerüli.

Továbbá előfordulhat, hogy egy megoldás többször is teljesíti ugyanazt a t=?_k(x(t))

t = ? k ( x ? ( t ) ) feltételt, a megoldás a t=?_k(x) t = ? k ( x ) felületről visszaverődik. Ez okozhatja, hogy a megoldás csak az adott t=?_k(x) t = ? k ( x ) felületig folytatható. Ezt a jelenséget nevezzük visszaverődésnek vagy pulzációnak (lásd az 5.6. fejezet példáit).

A fentiek miatt a megoldások folytathatósága, a kezdeti értékektől való függés folytonosságának problémája sokkal bonyolultabb, mint a differenciálegyenletek és a rögzített pillanatokban ható impulzusok esetén. Az ilyen jellegű speciális tulajdonságokkal és a matematikai eredményekkel kapcsolatosan javasoljuk az [1, 3, 25] monográfiák tanulmányozását.