Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

5.2. Autonóm impulzív rendszerek

5.2. Autonóm impulzív rendszerek

Tegyük fel, hogy valamely folyamatot az

x'=f(x) x ' = f ? ( x ) (5.2.1)

autonóm differenciálegyenlet ír le, ahol f: R^n›R^n.

f : R n R n . Legyenek adottak az S_1, S_2, ..., S_i ...: R^n›R S 1 , S 2 , ... , S i ... : R n R , és az I_1, I_2, ..., I_i,... : I 1 , I 2 , ... , I i , ... : R^n›R^n R n R n folytonos függvények. Ha a differenciálegyenlet valamely x(t) x ? ( t ) megoldására egy ? pillanatban teljesül az S_i(x(?))=0 S i ( x ( ? ) ) = 0 egyenlőség, akkor ettől az időponttól kezdve ezt a megoldást az (5.2.1) differenciálegyenlet I_i(x(?)) I i ( x ? ( ? ) ) pontból induló megoldásával folytatjuk. Ezzel az eljárással az alábbi impulzív rendszert definiáltuk:

x'=f(x), ha S_i(x(t))?0 x(?+0)=I_i(x(?–0)), ha S_i(x(?))=0, (i=1, 2, 3, ...). x ' = f ? ( x ) , ha S i ( x ( t ) ) ? 0 x ? ( ? + 0 ) = I i ( x ? ( ? - 0 ) ) , ha ? S i ( x ( ? ) ) = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) . (5.2.2)

Feltételezzük, hogy az f függvény folytonos, ha S_i(x)?0

S i ( x ) ? 0 , elsőfajú szakadása van az S_i(x)=0 S i ( x ) = 0 egyenlőséget kielégítő pontokban (i=1, 2, 3, ...) ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) , és léteznek a lim_(u›x,S_i(u)///<///0 )f(u) lim u x , S i ( u ) ///</// 0 ? f ? ( u ) és lim_(u›x,S_i(u)///>///0 )f(u) lim u x , S i ( u ) ///>/// 0 ? f ? ( u ) „féloldali” határértékek. Mivel egy adott x?R^n x ? R n pontban csak egy impulzus hathat, fel kell tételeznünk, hogy ha S_i(x)=S_j(x)=0 S i ( x ) = S j ( x ) = 0 (i,j=1,2,...), ( i , j = 1 , 2 , ... ) , akkor I_i(x)=I_j(x) I i ( x ) = I j ( x ) .

A rendszer megoldásai mindenütt balról folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható függvények, elsőrendű szakadásuk van az impulzusok bekövetkezésének pillanatában.

A rendszer autonóm, mivel sem a differenciálegyenlet jobb oldala, sem az impulzusok nem függnek explicit módon az időtől. Ezért az autonóm rendszerekre vonatkozó általános meggondolások most is alkalmazhatók. A legfontosabb, hogy minden x(t)

x ? ( t ) megoldás mellett x(t–?) x ? ( t - ? ) is megoldás. Ezért a megoldások helyett elegendő az R^n R n -beli trajektóriákat ábrázolni, és kezdő pillanatnak t_0=0 t 0 = 0 választható.

Az x(0+0)=x_0

x ? ( 0 + 0 ) = x 0 kezdeti feltételnek eleget tevő megoldást a szokásos módon kapjuk. Vegyük az

x'=f(x) x(0+0)=x_0
x ' = f ? ( x ) x ? ( 0 + 0 ) = x 0

kezdetiérték-probléma megoldását. Ha S_k(x(?))=0,

S k ( x ( ? ) ) = 0 , akkor a kapott megoldást a ? pillanattól kezdve folytassuk az

x'=f(x) x(?+0)=I_k(x(?–0))
x ' = f ? ( x ) x ? ( ? + 0 ) = I k ( x ? ( ? - 0 ) )

kezdetiérték-probléma megoldásával. Ellentétben a rögzített pillanatokban ható impulzusokkal, még akkor is, ha a differenciálegyenlet minden megoldása korlátlanul folytatható lehetséges, hogy a megoldások egy része egyszer sem, más része véges sokszor, más megoldások végtelen sokszor kerül impulzusok hatása alá.

A fentiek alapján a kezdetiérték-probléma megoldhatósága látszólag a differenciálegyenletre vonatkozó probléma megoldhatóságán múlik. Felléphetnek hasonló jelenségek, mint a változó pillanatokban ható impulzusok esetén. Ha tehát a differenciálegyenlet valamelyik trajektóriája egy S_k(x)=0

S k ( x ) = 0 halmaznak része, akkor a kezdetiérték-problémának ezekben a pontokban nincs megoldása. Ez alól kivételt jelentenek a konstans megoldások, egyensúlyi helyzetek (lásd később), amelyekre az impulzus nem hat. Ugyanígy felléphet a visszaverődés jelensége (5.6. fejezet) is.