Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

5.3. Általános impulzusok

5.3. Általános impulzusok

Az ebben a könyvben tekintett legáltalánosabb impulzusok az előző két eset közös általánosításai. Az

x'=f(t,x)
x ' = f ? ( t , x )

differenciálegyenlet (f:R×R^n›R^n)

( f : R × R n R n ) megoldásaira az alábbi módon hatnak impulzusok:

Legyenek adottak a S_1, S_2, ..., S_i ...:

S 1 , S 2 , ... , S i ... : R×R^n›R^n R × R n R n , és az I_1, I_2, ..., I_i,... : I 1 , I 2 , ... , I i , ... : R×R^n›R^n R × R n R n folytonos függvények. Tegyük fel, hogy ha S_i(t,x)=S_j(t,x)=0 S i ( t , x ) = S j ( t , x ) = 0 (i,j=1,2,...) ( i , j = 1 , 2 , ... ) , akkor I_i(t,x)=I_j(t,x) I i ( t , x ) = I j ( t , x ) (adott pillanatban az impulzushatás egyértelmű). Ha a differenciálegyenlet valamely x(t) x ? ( t ) megoldására egy ? pillanatban teljesül az S_i(?,x(?))=0 S i ( ? , x ( ? ) ) = 0 egyenlőség, akkor ettől az időponttól kezdve ezt a megoldást a differenciálegyenlet I_i(?,x(?)) I i ( ? , x ? ( ? ) ) pontból induló megoldásával folytatjuk. Ezzel az eljárással az alábbi impulzív rendszert definiáltuk:

x'=f(t,x), ha S_i(t,x(t))?0 x(?+0)=I_i(?,x(?–0)), ha S_i(?,x(?))=0, (i=1, 2, 3, ...). x ' = f ? ( t , x ) , ha S i ( t , x ( t ) ) ? 0 x ? ( ? + 0 ) = I i ( ? , x ? ( ? - 0 ) ) , ha ? S i ( ? , x ( ? ) ) = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) . (5.3.1)

Feltételezzük, hogy az f függvény folytonos, ha S_i(t,x)?0

S i ( t , x ) ? 0 , elsőfajú szakadása van az S_i(t,x)=0 S i ( t , x ) = 0 egyenlőséget kielégítő pontokban (i=1, 2, 3, ...) ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) , továbbá léteznek a lim_(s›t,u›x,S_i(s,u)///<///0 )f(s,u) lim s t , u x , S i ( s , u ) ///</// 0 ? f ? ( s , u ) és lim_(s›t,u›x,S_i(s,u)///>///0 )f(s,u) lim s t , u x , S i ( s , u ) ///>/// 0 ? f ? ( s , u ) „féloldali” határértékek. A rendszer megoldásai mindenütt balról folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható függvények, elsőrendű szakadásuk van az impulzusok bekövetkezésének pillanatában.

Nyilvánvaló, hogy speciális esetként megkaphatjuk a korábban tárgyalt eseteket:

  • Ha S_i(t,x)=S_i(x)

    S i ( t , x ) = S i ( x ) (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) , akkor autonóm impulzusokat kapunk.

  • Ha S_i(t,x)=t–?_i(x)

    S i ( t , x ) = t - ? i ( x ) (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) , akkor kapjuk a változó pillanatokban ható impulzusokat.

  • Ha S_i(t,x)=t–t_i

    S i ( t , x ) = t - t i , akkor a rögzített pillanatokban ható impulzusokhoz jutunk.

Megjegyezük, hogy bizonyos szabályos esetekben végtelen sok impulzuspillanat egyetlen S

S függvénnyel is megadható. Például a t_i=iT t i = i ? T időpillanatok megadása történhet a sin((?t/T))=0 sin ? ( ? ? t T ) = 0 egyenlet segítségével is. Ez általában is megtehető. Elegendő képezni az ?S_i ? S i szorzatot. Így tehát S_i(t,x)=0 S i ( t , x ) = 0 több, akár végtelen sok felületet is jelenthet, az I_i(t,x) I i ( t , x ) impulzusok (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) együttesen is kifejezhetők. Végső soron az (5.3.1) rendszer

x'=f(t,x), ha S(t,x(t))?0 x(?+0)=I(?,x(?–0)), ha S(?,x(?))=0 x ' = f ? ( t , x ) , ha S ? ( t , x ? ( t ) ) ? 0 x ? ( ? + 0 ) = I ? ( ? , x ? ( ? - 0 ) ) , ha ? S ? ( ? , x ( ? ) ) = 0 (5.3.2)

alakban is írható. Az (5.3.1) alakban való felírásnak elsősorban technikai okai vannak, amint azt a számítógépes megoldóprogram leírásánál az 5.5. fejezetben látni fogjuk.

Egyensúlyi helyzetek

Hasonlóan a rögzített idejű impulzusokhoz, az (5.3.1) rendszer valamely [t_0,T)

[ t 0 , T ) intervallumon konstans megoldásait egyensúlyi helyzeteknek nevezzük. Könnyen látható, hogy az x^_?R^n x _ ? R n pont akkor és csakis akkor egyensúlyi helyzet, ha f(t, x^_)?0 f ? ( t , x _ ) ? 0 és minden k-ra I_k(?,x^_)=x^_ I k ( ? , x _ ) = x _ , hacsak S_k(?,x^_)=0 S k ( ? , x _ ) = 0 és t,??[t_0,T) t , ? ? [ t 0 , T ) . Az S_k(?,x)=0 S k ( ? , x ) = 0 felületek megjelenése növeli az intervallum megadásának jelentőségét. A speciális eseteknél már említettük, hogy a megoldás szempontjából problémát okoz, ha a rendszer differenciálegyenletének valamely S_k(?,x)=0 S k ( ? , x ) = 0 felületből induló megoldásai a felületben maradnak, mert nem tudjuk, mely pontban hat a következő impulzus. Egyensúlyi helyzetek esetén, amelyekre nem hat impulzus (I_k(?,x^_)=x^_ I k ( ? , x _ ) = x _ ), ez a megoldás algoritmusával kapcsolatos probléma nem merül fel.

Számítógépes vizsgálati módszerek

Az általános impulzusokkal ható rendszerek számítógépes vizsgálatának sémája hasonló a rögzített impulzusok esetéhez. Az impulzusok megjelenítéséhez és a rendszerek megoldásához azonban más módszerek és eszközök szükségesek. Ezekkel foglalkozunk a következő két fejezetben.