Karsai János
Typotex
A rögzített pillanatokban ható impulzusok (impulzusmezők) megjelenítését végző függvényeket a 4.3. és 4.4. fejezetekben mutattuk be. Általános impulzusok esetén az eljárás bonyolultabb, mert a halmazokat is meg kell határozni, ahol az impulzusok hatnak. Egy általános impulzust (impulzusmezőt) egy
[D]
[D]
[D]
Skaláris eset: JumpPlot
Legyenek most
[D]
[D]
[D]
[D]ParametricPlot
utasítással ábrázolható. A JumpPlot
utasítás az
[D]
[D]
JumpPlot[S,I,{t,t0,t1},{x,x0,x1},option] |
ahol S
a felület, I
a transzformáció, {t,t0,t1}
és {x,x0,x1}
a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option
opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot
utasítás opcióival.
5.4.1. Példa.
[D]
[D]
[D]
Az ábra nyilakat nem tartalmaz, a transzformáció az x-tengellyel párhuzamosan történik. A kapott képet még így is többféleképpen előállíthatjuk. A kérdéses helyekre való ráközelítés (PlotRange
opció) az esetleges kétértelműségeket többnyire feloldja. A két görbe metszéspontja az adott impulzus fixpontja. Mivel kis x értékekre a képgörbe az eredeti előtt marad, a megoldások itt visszaverődnek, ugyanakkor nagy értékekre továbbhaladnak. Ez azt eredményezi, hogy ha a rendszer differenciálegyenletének megoldásai nullához tartanak (impulzusok nélkül), akkor az impulzív rendszer egyetlen megoldása sem folytatható korlátlanul.
Kétváltozós eset: JumpPlot3D
Legyenek most
[D]
[D]
[D]
[D]ParametricPlot3D
utasítással ábrázolható. Az eljárás az előzőhöz hasonló. A JumpPlot3D
utasítás az
[D]
[D]
[D]
[D]
JumpPlot3D[S,I,{t,t0,t1},{x,x0,x1},{y,y0,y1},option] |
ahol S
a felület, I
a transzformáció, {t,t0,t1}
, {x,x0,x1}
és {y,y0,y1}
a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option
opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot3D
utasítás opcióival.
5.4.2. Példa. Egy időfüggetlen eset
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
A transzformáció nem függ az időtől, ezért elegendő ábrázolni a felületeket ezen az időintervallumon.
[D]
Mivel a képfelület minden pontja az eredeti jobb oldalán van, az adott tartományon nincs visszaverődés, és láthatók a határon a transzformáció fixpontjai is.
5.4.3. Példa. Időfüggő transzformáció
Legyen
[D]
[D]
A transzformáció nem függ az időtől, ezért elegendő ábrázolni a felületeket ezen az időintervallumon.
[D]
Az előző példához hasonlóan, a megoldások az impulzus hatására áthaladnak az S felületen.
Autonóm rendszerek
Legyen most az ábrázolandó impulzus autonóm. Ekkor, hasonlóan az autonóm differenciálegyenletekhez, lehetőség van az impulzusok fázistérben való ábrázolására.
Ha valamely trajektória találkozik az
[D]
[D]
[D]
[D]JumpPlot
esetén a transzformáció iránya adott (t rögzített), itt az egyes vektorok (vagy valamilyen részhalmazok képének) ábrázolása is szükséges. Ez a módszer síkbeli autonóm rendszerek esetén jól használható. A 3D rendszerek esetén néha kaotikus ábra keletkezhet.
Síkbeli eset
Legyenek most
[D]
[D]
[D]
[D]AutonomousJumpPlot2D
utasítás az
[D]
AutonomousJumpPlot2D[S,II,{x,x0,x1},{y,y0,y1},option] |
ahol S
a felület, II
a transzformáció, {t,t0,t1}
, {x,x0,x1}
és {y,y0,y1}
a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option
opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot
utasítás opcióival.
5.4.4. Példa.
[D]
[D]
[D]
Megjegyezzük, hogy most semmit sem tudunk mondani a visszaverődésről a rendszer differenciálegyenletének ismerete nélkül. Az óramutató járásával egyező irányú körmozgást végző trajektóriák visszaverődnek, a fordított irányban mozgóak áthaladnak az
[D]
3D eset
Legyenek most
[D]
[D]
[D]
[D]AutonomousJumpPlot3D
utasítás az
[D]
AutonomousJumpPlot3D[S,II,{x,x0,x1},{y,y0,y1},{z,z0,z1},option] |
ahol S
a felület, II
a transzformáció, {t,t0,t1}
, {x,x0,x1}
{y,y0,y1}
és {z,z0,z1}
a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option
opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot3D
utasítás opcióival.
5.4.5. Példa.
[D]
[D]
[D]
Ennél az egyszerű példánál a vonalak jól mutatják a kapcsolatot a két felület között. Több mintapont vagy bonyolult transzformáció esetén az ábra már kevésbé informatív. Ezen a problémán speciális halmazok képének (egyenesek, az S szintvonalai) ábrázolása segíthet.