A rögzített pillanatokban ható impulzusok (impulzusmezők) megjelenítését végző függvényeket a 4.3. és 4.4. fejezetekben mutattuk be. Általános impulzusok esetén az eljárás bonyolultabb, mert a halmazokat is meg kell határozni, ahol az impulzusok hatnak. Egy általános impulzust (impulzusmezőt) egy

S ? ( t , x ) = 0 (

[D]

S : R × R n › R ) felület és az ezen ható

[D]

I : R × R n › R n transzformáció ad meg. Az alábbiakban bemutatjuk ezek néhány lehetséges megjelenítési módját skaláris és kétdimenziós esetekben. Végül a síkbeli autonóm impulzusokat ábrázoljuk.

Skaláris eset: JumpPlot

Legyenek most

x ? R ,

[D]

S : R × R › R , és

[D]

I : R × R › R transzformáció, amely az

[D]

S ? ( t , x ) = 0 görbén hat. Maga a görbe a ParametricPlot utasítással ábrázolható. A JumpPlot utasítás az

[D]

S ? ( t , x ) = 0 görbét (fekete) és ennek impulzus utáni képét (vörös, nyomtatásban szürke) együtt jeleníti meg. Vektorokat nem ábrázolunk, mivel a transzformáció (ami függhet az időtől) rögzített

[D]

t pillanatban történik. A program indítása:

ahol S a felület, I a transzformáció, {t,t0,t1} és {x,x0,x1} a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot utasítás opcióival.

5.4.1. Példa.

SS = Sin [ ? ? ( t - x ? x ) / 6 ] ; II = { Cos [ t ] ? Abs [ x ] 2 ? Sign [ x ] } ;

t0 = 0. ; t1 = 3 ? Pi ; x0 = - 2 ; x1 = 2 ;

JumpPlot [ SS , II , { t , t0 , t1 } , { x , x0 , x1 } , PlotPoints › 100 , ContourStyle › { Thickness [ 0.01 ] } ] ;

Az ábra nyilakat nem tartalmaz, a transzformáció az x-tengellyel párhuzamosan történik. A kapott képet még így is többféleképpen előállíthatjuk. A kérdéses helyekre való ráközelítés (PlotRange opció) az esetleges kétértelműségeket többnyire feloldja. A két görbe metszéspontja az adott impulzus fixpontja. Mivel kis x értékekre a képgörbe az eredeti előtt marad, a megoldások itt visszaverődnek, ugyanakkor nagy értékekre továbbhaladnak. Ez azt eredményezi, hogy ha a rendszer differenciálegyenletének megoldásai nullához tartanak (impulzusok nélkül), akkor az impulzív rendszer egyetlen megoldása sem folytatható korlátlanul.

Kétváltozós eset: JumpPlot3D

Legyenek most

x , y ? R ,

[D]

S : R × R 2 › R , és

[D]

I : R × R 2 › R 2 transzformáció, amely az

[D]

S ? ( t , x , y ) = 0 felületen hat. Maga a felület a ParametricPlot3D utasítással ábrázolható. Az eljárás az előzőhöz hasonló. A JumpPlot3D utasítás az

[D]

S ? ( t , x , y ) = 0 felületet és ennek képét (sötét árnyalat) együtt ábrázolja. A transzformáció rögzített

[D]

t pillanatban történik. Valamely

[D]

{ x , y } pont képe az őt tartalmazó, a

[D]

{ t = 0 } síkal párhuzamos síkban van valahol. Annak ellenére, hogy az ábra így nem mutatja egyértelműen az impulzus-transzformációt, vektorokat most sem ábrázolunk, az ábra kaotikussá válhatna. Jól követhető ugyanakkor a továbbhaladás és visszaverődés, illetve láthatók az adott impulzus fixpontjai is. A program indítása:

ahol S a felület, I a transzformáció, {t,t0,t1}, {x,x0,x1} és {y,y0,y1} a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot3D utasítás opcióival.

5.4.2. Példa. Egy időfüggetlen eset

SS = Sin [ 1 2 ? ? ? ( t - x 2 + y 2 ) ] ;

II = { y ? x 3 , Abs [ y ] 1 / 3 ? Sign [ y ] } ;

t0 = 1. ; t1 = 3 ;

x0 = - 1 ; x1 = 1 ;

y0 = - 1 ; y1 = 1 ;

A transzformáció nem függ az időtől, ezért elegendő ábrázolni a felületeket ezen az időintervallumon.

JumpPlot3D [ SS , II , { t , t0 , t1 } , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , PlotPoints › { 4 , 4 } ] ;

Mivel a képfelület minden pontja az eredeti jobb oldalán van, az adott tartományon nincs visszaverődés, és láthatók a határon a transzformáció fixpontjai is.

5.4.3. Példa. Időfüggő transzformáció

Legyen

SS = Sin [ ? ? ( t - x ? x - y ? y ) / 3 ] ; II = { x / ( t + 1 ) , y / ( 2 ? t + 1 ) } ;

t0 = 0. ; t1 = 5 ; x0 = - 1 ; x1 = 1 ; y0 = - 1 ; y1 = 1 ;

A transzformáció nem függ az időtől, ezért elegendő ábrázolni a felületeket ezen az időintervallumon.

JumpPlot3D [ SS , II , { t , t0 , t1 } , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , PlotPoints › { 5 , 5 } , ViewPoint -///>/// { 2.625 , - 1.699 , 1.294 } ] ;

Az előző példához hasonlóan, a megoldások az impulzus hatására áthaladnak az S felületen.

Autonóm rendszerek

Legyen most az ábrázolandó impulzus autonóm. Ekkor, hasonlóan az autonóm differenciálegyenletekhez, lehetőség van az impulzusok fázistérben való ábrázolására.

Ha valamely trajektória találkozik az

S ? ( x ) = 0 (

[D]

S : R n › R ) felülettel, akkor hat az

[D]

I : R n › R n impulzus (transzformáció). Az ábrázolás módja hasonló a fentebb bemutatottakkal. Együtt jelenítjük meg az

[D]

S ? ( x ) = 0 felületet és az I transzformáció hatására keletkezett képét, de míg a JumpPlot esetén a transzformáció iránya adott (t rögzített), itt az egyes vektorok (vagy valamilyen részhalmazok képének) ábrázolása is szükséges. Ez a módszer síkbeli autonóm rendszerek esetén jól használható. A 3D rendszerek esetén néha kaotikus ábra keletkezhet.

Legyenek most

x , y ? R ,

[D]

S : R 2 › R , és

[D]

I : R 2 › R 2 transzfromáció amely az

[D]

S ? ( x , y ) = 0 felületen hat. Az AutonomousJumpPlot2D utasítás az

[D]

S ? ( x , y ) = 0 görbét, ennek képét (vörös, nyomtatva szürke vonal) és a transzformációt mutató vektorokat együtt ábrázolja. A program indítása:

ahol S a felület, II a transzformáció, {t,t0,t1}, {x,x0,x1} és {y,y0,y1} a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot utasítás opcióival.

5.4.4. Példa.

SS = x - y ; II = { x 3 , Abs [ y ] 1 / 3 ? Sign [ y ] } ;

t0 = 1. ; t1 = 7 ; x0 = y0 = - 1 ; x1 = y1 = 1 ;

p1 = AutonomousJumpPlot2D [ SS , II , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , PlotPoints › 30 , ContourStyle › { Thickness [ 0.01 ] } ] ;

Megjegyezzük, hogy most semmit sem tudunk mondani a visszaverődésről a rendszer differenciálegyenletének ismerete nélkül. Az óramutató járásával egyező irányú körmozgást végző trajektóriák visszaverődnek, a fordított irányban mozgóak áthaladnak az

y = x egyenesen.

Legyenek most

x , y , z ? R ,

[D]

S : R 3 › R , és

[D]

I : R 3 › R 3 transzformáció amely az

[D]

S ? ( x , y , z ) = 0 felületen hat. Az AutonomousJumpPlot3D utasítás az

[D]

S ? ( x , y , z ) = 0 felületet és ennek képét (sötétebb, vöröses felület) és a transzformációt mutató egyenes szakaszokat együtt ábrázolja. A program indítása:

ahol S a felület, II a transzformáció, {t,t0,t1}, {x,x0,x1} {y,y0,y1} és {z,z0,z1} a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot3D utasítás opcióival.

5.4.5. Példa.

SS = z ; II = { x + 1 , y + 1 , 1 + x 2 + y 2 + z 2 } ;

t0 = 1. ; t1 = 7 ; x0 = y0 = - 1 ; x1 = y1 = 1 ; z0 = - 2 ; z1 = 2 ;

AutonomousJumpPlot3D [ SS , II , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , { z , z0 , z1 } , PlotPoints › { 3 , 3 } ] ;

Ennél az egyszerű példánál a vonalak jól mutatják a kapcsolatot a két felület között. Több mintapont vagy bonyolult transzformáció esetén az ábra már kevésbé informatív. Ezen a problémán speciális halmazok képének (egyenesek, az S szintvonalai) ábrázolása segíthet.