Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

5.4. Általános impulzusok megjelenítése

5.4. Általános impulzusok megjelenítése

A rögzített pillanatokban ható impulzusok (impulzusmezők) megjelenítését végző függvényeket a 4.3. és 4.4. fejezetekben mutattuk be. Általános impulzusok esetén az eljárás bonyolultabb, mert a halmazokat is meg kell határozni, ahol az impulzusok hatnak. Egy általános impulzust (impulzusmezőt) egy S(t,x)=0

S ? ( t , x ) = 0 (S:R×R^n›R S : R × R n R ) felület és az ezen ható I: R×R^n›R^n I : R × R n R n transzformáció ad meg. Az alábbiakban bemutatjuk ezek néhány lehetséges megjelenítési módját skaláris és kétdimenziós esetekben. Végül a síkbeli autonóm impulzusokat ábrázoljuk.

Skaláris eset: JumpPlot

Legyenek most x?R

x ? R , S:R×R›R S : R × R R , és I: R×R›R I : R × R R transzformáció, amely az S(t,x)=0 S ? ( t , x ) = 0 görbén hat. Maga a görbe a ParametricPlot utasítással ábrázolható. A JumpPlot utasítás az S(t,x)=0 S ? ( t , x ) = 0 görbét (fekete) és ennek impulzus utáni képét (vörös, nyomtatásban szürke) együtt jeleníti meg. Vektorokat nem ábrázolunk, mivel a transzformáció (ami függhet az időtől) rögzített t t pillanatban történik. A program indítása:

JumpPlot[S,I,{t,t0,t1},{x,x0,x1},option]

ahol S a felület, I a transzformáció, {t,t0,t1} és {x,x0,x1} a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot utasítás opcióival.

5.4.1. Példa.

SS=Sin[?(t–xx)/6]; II={Cos[t] ^2?(Abs[x])Sign[x]};

SS = Sin [ ? ? ( t - x ? x ) / 6 ] ; II = { Cos [ t ] ? Abs [ x ] 2 ? Sign [ x ] } ;

t0=0.; t1=3Pi; x0=–2; x1=2;

t0 = 0. ; t1 = 3 ? Pi ; x0 = - 2 ; x1 = 2 ;

JumpPlot[SS,II,{t,t0,t1},{x,x0,x1},PlotPoints›100,ContourStyle›{Thickness[0.01]}];

JumpPlot [ SS , II , { t , t0 , t1 } , { x , x0 , x1 } , PlotPoints 100 , ContourStyle { Thickness [ 0.01 ] } ] ;

Az ábra nyilakat nem tartalmaz, a transzformáció az x-tengellyel párhuzamosan történik. A kapott képet még így is többféleképpen előállíthatjuk. A kérdéses helyekre való ráközelítés (PlotRange opció) az esetleges kétértelműségeket többnyire feloldja. A két görbe metszéspontja az adott impulzus fixpontja. Mivel kis x értékekre a képgörbe az eredeti előtt marad, a megoldások itt visszaverődnek, ugyanakkor nagy értékekre továbbhaladnak. Ez azt eredményezi, hogy ha a rendszer differenciálegyenletének megoldásai nullához tartanak (impulzusok nélkül), akkor az impulzív rendszer egyetlen megoldása sem folytatható korlátlanul.

Kétváltozós eset: JumpPlot3D

Legyenek most x,y?R

x , y ? R , S:R×R^2›R S : R × R 2 R , és I: R×R^2›R^2 I : R × R 2 R 2 transzformáció, amely az S(t,x,y)=0 S ? ( t , x , y ) = 0 felületen hat. Maga a felület a ParametricPlot3D utasítással ábrázolható. Az eljárás az előzőhöz hasonló. A JumpPlot3D utasítás az S(t,x,y)=0 S ? ( t , x , y ) = 0 felületet és ennek képét (sötét árnyalat) együtt ábrázolja. A transzformáció rögzített t t pillanatban történik. Valamely {x,y} { x , y } pont képe az őt tartalmazó, a {t=0} { t = 0 } síkal párhuzamos síkban van valahol. Annak ellenére, hogy az ábra így nem mutatja egyértelműen az impulzus-transzformációt, vektorokat most sem ábrázolunk, az ábra kaotikussá válhatna. Jól követhető ugyanakkor a továbbhaladás és visszaverődés, illetve láthatók az adott impulzus fixpontjai is. A program indítása:

JumpPlot3D[S,I,{t,t0,t1},{x,x0,x1},{y,y0,y1},option]

ahol S a felület, I a transzformáció, {t,t0,t1}, {x,x0,x1} és {y,y0,y1} a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot3D utasítás opcióival.

5.4.2. Példa. Egy időfüggetlen eset

SS=Sin[(1/2)?(t–x^2+y^2)];

SS = Sin [ 1 2 ? ? ? ( t - x 2 + y 2 ) ] ;

II={yx^3,Abs[y]^(1/3)Sign[y]};

II = { y ? x 3 , Abs [ y ] 1 / 3 ? Sign [ y ] } ;

t0=1.;t1=3;

t0 = 1. ; t1 = 3 ;

x0=–1;x1=1;

x0 = - 1 ; x1 = 1 ;

y0=–1;y1=1;

y0 = - 1 ; y1 = 1 ;

A transzformáció nem függ az időtől, ezért elegendő ábrázolni a felületeket ezen az időintervallumon.

JumpPlot3D[SS,II,{t,t0,t1},{x,x0,x1},{y,y0,y1},PlotPoints›{4,4}];

JumpPlot3D [ SS , II , { t , t0 , t1 } , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , PlotPoints { 4 , 4 } ] ;

Mivel a képfelület minden pontja az eredeti jobb oldalán van, az adott tartományon nincs visszaverődés, és láthatók a határon a transzformáció fixpontjai is.

5.4.3. Példa. Időfüggő transzformáció

Legyen

SS=Sin[?(t–xx–yy)/3]; II={x/(t+1),y/(2t+1)};

SS = Sin [ ? ? ( t - x ? x - y ? y ) / 3 ] ; II = { x / ( t + 1 ) , y / ( 2 ? t + 1 ) } ;

t0=0.; t1=5; x0=–1; x1=1; y0=–1; y1=1;

t0 = 0. ; t1 = 5 ; x0 = - 1 ; x1 = 1 ; y0 = - 1 ; y1 = 1 ;

A transzformáció nem függ az időtől, ezért elegendő ábrázolni a felületeket ezen az időintervallumon.

JumpPlot3D[SS,II,{t,t0,t1},{x,x0,x1},{y,y0,y1},PlotPoints›{5,5},ViewPoint-///>///{2.625, –1.699, 1.294}];

JumpPlot3D [ SS , II , { t , t0 , t1 } , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , PlotPoints { 5 , 5 } , ViewPoint -///>/// { 2.625 , - 1.699 , 1.294 } ] ;

Az előző példához hasonlóan, a megoldások az impulzus hatására áthaladnak az S felületen.

Autonóm rendszerek

Legyen most az ábrázolandó impulzus autonóm. Ekkor, hasonlóan az autonóm differenciálegyenletekhez, lehetőség van az impulzusok fázistérben való ábrázolására.

Ha valamely trajektória találkozik az S(x)=0

S ? ( x ) = 0 (S:R^n›R S : R n R ) felülettel, akkor hat az I: R^n›R^n I : R n R n impulzus (transzformáció). Az ábrázolás módja hasonló a fentebb bemutatottakkal. Együtt jelenítjük meg az S(x)=0 S ? ( x ) = 0 felületet és az I transzformáció hatására keletkezett képét, de míg a JumpPlot esetén a transzformáció iránya adott (t rögzített), itt az egyes vektorok (vagy valamilyen részhalmazok képének) ábrázolása is szükséges. Ez a módszer síkbeli autonóm rendszerek esetén jól használható. A 3D rendszerek esetén néha kaotikus ábra keletkezhet.

  • Síkbeli eset

Legyenek most x,y?R

x , y ? R , S:R^2›R S : R 2 R , és I: R^2›R^2 I : R 2 R 2 transzfromáció amely az S(x,y)=0 S ? ( x , y ) = 0 felületen hat. Az AutonomousJumpPlot2D utasítás az S(x,y)=0 S ? ( x , y ) = 0 görbét, ennek képét (vörös, nyomtatva szürke vonal) és a transzformációt mutató vektorokat együtt ábrázolja. A program indítása:

AutonomousJumpPlot2D[S,II,{x,x0,x1},{y,y0,y1},option]

ahol S a felület, II a transzformáció, {t,t0,t1}, {x,x0,x1} és {y,y0,y1} a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot utasítás opcióival.

5.4.4. Példa.

SS=x–y; II={x^3,Abs[y]^(1/3)Sign[y]};

SS = x - y ; II = { x 3 , Abs [ y ] 1 / 3 ? Sign [ y ] } ;

t0=1.; t1=7; x0=y0=–1; x1=y1=1;

t0 = 1. ; t1 = 7 ; x0 = y0 = - 1 ; x1 = y1 = 1 ;

p1=AutonomousJumpPlot2D[SS,II,{x,x0,x1},{y,y0,y1}, PlotPoints›30,ContourStyle›{Thickness[0.01]}];

p1 = AutonomousJumpPlot2D [ SS , II , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , PlotPoints 30 , ContourStyle { Thickness [ 0.01 ] } ] ;

Megjegyezzük, hogy most semmit sem tudunk mondani a visszaverődésről a rendszer differenciálegyenletének ismerete nélkül. Az óramutató járásával egyező irányú körmozgást végző trajektóriák visszaverődnek, a fordított irányban mozgóak áthaladnak az y=x

y = x egyenesen.

  • 3D eset

Legyenek most x,y,z?R

x , y , z ? R , S:R^3›R S : R 3 R , és I: R^3›R^3 I : R 3 R 3 transzformáció amely az S(x,y,z)=0 S ? ( x , y , z ) = 0 felületen hat. Az AutonomousJumpPlot3D utasítás az S(x,y,z)=0 S ? ( x , y , z ) = 0 felületet és ennek képét (sötétebb, vöröses felület) és a transzformációt mutató egyenes szakaszokat együtt ábrázolja. A program indítása:

AutonomousJumpPlot3D[S,II,{x,x0,x1},{y,y0,y1},{z,z0,z1},option]

ahol S a felület, II a transzformáció, {t,t0,t1}, {x,x0,x1} {y,y0,y1} és {z,z0,z1} a változók és az ábrázolás intervallumai. Az option opciók sorozata, amelyek azonosak a ParametricPlot3D utasítás opcióival.

5.4.5. Példa.

SS=z; II={x+1,y+1,1+x^2+y^2+z^2};

SS = z ; II = { x + 1 , y + 1 , 1 + x 2 + y 2 + z 2 } ;

t0=1.;t1=7;x0=y0=–1;x1=y1=1;z0=–2;z1=2;

t0 = 1. ; t1 = 7 ; x0 = y0 = - 1 ; x1 = y1 = 1 ; z0 = - 2 ; z1 = 2 ;

AutonomousJumpPlot3D[SS,II,{x,x0,x1},{y,y0,y1}, {z,z0,z1},PlotPoints›{3,3}];

AutonomousJumpPlot3D [ SS , II , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , { z , z0 , z1 } , PlotPoints { 3 , 3 } ] ;

Ennél az egyszerű példánál a vonalak jól mutatják a kapcsolatot a két felület között. Több mintapont vagy bonyolult transzformáció esetén az ábra már kevésbé informatív. Ezen a problémán speciális halmazok képének (egyenesek, az S szintvonalai) ábrázolása segíthet.